1.1 两个基本计数原理 课件（苏教版选修2-3）

(共29张PPT)
1.1 两个基本计数原理 课件（苏教版选修2-3）
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.1
1.理解分类计数原理与分步计数原理．
2．会用这两个基本计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
学习目标
课前自主学案
温故夯基
1．江苏省高考数学题从题型上分有两类，分别是_____________、____________．
2．去学校餐厅刷卡吃饭，一般两步可完成，第一步点菜(饭)，第二步_________．
3．现在手机号码共是十一位数字，从理论上讲，共有号码________个．
填空题
解答题
刷卡
10
知新益能
1．分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法．在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有__________________________种不同的方法．
N＝m1＋m2＋…＋mn
2．分步计数原理(乘法原理)
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有_______________________种不同的方法．
N＝m1×m2×…×mn
问题探究
1．两个基本计数原理中对“完成一件事”的要求有什么不同？
提示：分类计数原理中，每一类方案中的每一种方法都能“完成一件事”；分步计数原理中，只有n步全部完成，才算“完成一件事”．
2．分类计数原理与分步计数原理有什么区别？
提示：两个基本原理的区别在于：前者——分类计数原理每次得到的是最后结果；后者——分步计数原理每次得到的是中间结果．
课堂互动讲练
分类加法计数原理的应用
考点突破
其特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情，它强调的是每一类中的一个方法就可以完成要做的事情．
例1
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【思路点拨】　该问题与计数有关，可考虑选用计数原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位数字确定了，这件事也就完成了．因此可考虑安排十位数上的数字进行分类，也可以考虑安排个位数上的数字进行分类．
【解】　法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
【名师点评】　本题是分类计数原理的实际应用，由于个位数字大于十位数字，所以个位数字最小是2，最大是9，于是可从个位数字的数值分类考虑．
变式训练1　若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．
解：按x的取值分类：
x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；
x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；
……
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类计数原理知共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15(个)有序自然数对．
分步乘法计数原理的应用
如果完成一件事需要n个不可缺少的步骤，即只有完成所有的这些步骤，才能完成这件事．将每一步的方法数相乘，就得到完成这件事的方法数．
例2
一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？
(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
【思路点拨】　(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，共有5×4＝20(种)．(2)把信投入邮筒，是将9封信分别投入，投一封信，就是一步，共有49种．
【解】　(1)各取一封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步计数原理，共有5×4＝20(种)．
(2)若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能……第九封信还有4种可能．共有49种不同的投法．
【名师点评】　使用分步计数原理做题时，必须是各步骤全部完成，事情才能完成，切忌缺少步骤．
变式训练2　用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个不同的四位数？
解：可分四个步骤完成：
第一步　确定千位上的数字，从1,2,3,4,5中任取一个数字，有5种不同的取法；
第二步　确定百位上的数字，从0,1,2,3,4,5中任取一个数字，有6种不同的取法；
第三步　确定十位上的数字，从0,1,2,3,4,5中任取
一个数字，有6种不同的取法；
第四步　确定个位上的数字，从0,1,2,3,4,5中任取一个数字，有6种不同的取法．
根据分步计数原理，组成的四位数共有
5×6×6×6＝1080(个)．
两个计数原理的综合应用
用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．
例3
(本题满分14分)一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动手机卡和一张联通手机卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？
【思路点拨】　(1)从两个袋子中任取一张卡有两类取法，是分类计数原理；
(2)从两个袋子中各取一张卡，要分两步完成，是分步计数原理．
【规范解答】　(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：
第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；2分
第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法.4分
根据分类计数原理，共有10＋12＝22(种)取法.7分
(2)想得到一张移动手机卡和一张联通手机卡可分两步进行：
第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法，9分
第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法.12分
根据分步计数原理，共有10×12＝120(种)取法.14分
【名师点评】　分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”．
变式训练3　如图所示，用5种不同的颜料给4块(A、B、C、D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案．
解：法一：按涂色种类进行分类．
第一类：涂4种颜色，接下来分步：A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有2种涂法．
∴共有5×4×3×2＝120(种)．
第二类：涂3种颜色，则A、C颜色相同或B、D颜色相同．
若A、C颜色相同，有5种涂法；B有4种涂法，D有3种涂法．
∴共有5×4×3＝60(种)．若B、D颜色相同，同理也有60种不同涂法．
∴共有60＋60＝120(种)．
第三类：涂2种颜色，则A、C颜色相同且B、D颜色也相同．
∴A、C有5种涂色方法，B、D有4种涂色方法．
∴共有5×4＝20(种)．
根据分类计数原理，共有120＋120＋20＝260(种)不同的涂色方案．
法二：按A、C颜色相同或不同进行分类．
(1)若A、C颜色相同：A有5种涂色方法，B有4种
涂色方法，D有4种涂色方法，故共有5×4×4＝80(种)．
(2)若A、C颜色不同，A有5种涂色方法，C有4种涂色方法，B有3种涂色方法，D有3种涂色方法，故共有5×4×3×3＝180(种)．
∴根据分类计数原理，共有80＋180＝260(种)．
答：共有260种不同的涂色方案．
方法感悟
1．分类计数原理与分步计数原理的区别和联系：
分类计数原理 分步计数原理
关键词 分类 分步
本质 每类方案都能独立地完成这件事，它是独立的、一次性的，每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
各类(步)的关系 各类方案之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、相互依存的
2.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理求和，得到总数．
分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
3．对于有些计数问题的解决，对它们既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，此时就要注意综合运用两个原理来解决问题．解决这类问题，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．