2.5.1 离散型随机变量的均值 课件（苏教版选修2-3）

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2.5.1 离散型随机变量的均值 课件（苏教版选修2-3）
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
2.5.1
1.掌握离散型随机变量的均值的概念及计算方法．
2．掌握超几何分布、二项分布的均值．
3．会用均值分析解决简单的实际问题．
学习目标
课前自主学案
温故夯基
2．两点分布的分布列是
3．若X～B(n，p)，则P(X＝k)＝____________________，k＝0,1,2，…，n，其p称成功概率．　
X 0 1
P 1－p p
知新益能
1．离散型随机变量的均值(或数学期望)
(1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为
则称___________________为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝_____________________.
(2)意义：刻画离散型随机变量取值的___________________．
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
平均水平和稳定程度
np
问题探究
1．在实际问题中，为什么能用样本均值来估计总体均值？
提示：随机变量总体的均值是一个常数，不受其他因素的影响，而样本均值是一个随机变量，它随着样本的不同而变化，当样本容量趋于无穷大时，样本均值就越来越接近于总体的均值．因此，我们常用样本均值来估计总体均值．
2．若随机变量X等可能地取1,2,3，…，n，其均值为多少？
课堂互动讲练
求离散型随机变量的数学期望
考点突破
求数学期望(期值)的关键是求出其分布列，然后套用数学期望(均值)公式求解．
例1
(2011年高考江西卷)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的分布列；
(2)求此员工月工资的期望．
【名师点评】　随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找清随机变量及相应的概率即可计算．
变式训练1　在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．
超几何分布及二项分布的均值
例2
某校高二年级组织的一次数学测试由30个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分150分，学生甲乙选对任意一题的概率分别为0.9,0.5，分别求学生甲和学生乙在这次测试中的成绩的期望．
【思路点拨】　由题意，可知甲、乙两名学生选对的题数成二项分布，求得选对题的数学期望，便可计算出成绩的数学期望．
【解】　设学生甲和学生乙在这次测试中选对的题数分别是X1和X2，则X1～B(30,0.9)，X2～B(30，0.5)，
所以E(X1)＝30×0.9＝27；E(X2)＝30×0.5＝15.
由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这次测试中的成绩分别是5X1和5X2，这样，他们在测试中的成绩的期望分别是：
E(5X1)＝5E(X1)＝5×27＝135，
E(5X2)＝5E(X2)＝5×15＝75.
【名师点评】　超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接有规律地写出分布列，求出期望值．
均值的实际应用
在实际生活中，常利用随机变量均值的大小决定某些方案的优劣，解决一些决策问题．
例3
(本题满分14分)(2011年沂源高二检测)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【思路点拨】　解答本题应先根据题意求ξ的分布列，再计算数学期望回答有关问题．
(2)E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.9分
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(x)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29).11分
依题意，E(x)≥4.73，即4.76－x≥4.73.
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.14分
【名师点评】　解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及数学期望．
变式训练3　A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员为B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A队、B队最后总得分分别为ξ、η.求
(1)ξ、η的概率分布；
(2)E(ξ)、E(η)．
方法感悟
1．求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定离散型随机变量X的取值；
(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；
(3)根据公式求出均值．
2．若X、Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，即随机变量X的线性函数的数学期望等于这个随机变量的期望E(X)的同一线性函数．
知能优化训练
本部分内容讲解结束
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