2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差 课件（苏教版选修2-3）

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2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差 课件（苏教版选修2-3）
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
2.5.2
1.理解离散型随机变量的方差的概念、意义及计算方法．
2．能用方差(标准差)来分析解决实际问题．
学习目标
课前自主学案
温故夯基
1．若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
E(X)＝_______________________________，它反映了离散型随机变量取值的_______水平．
2．若X～B(n，p)，则E(X)＝______.
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
平均
np
知新益能
1．离散型随机变量的方差和标准差
(1)离散型随机变量的方差
①定义：设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn
σ2
平均偏离
算术平方根
p(1－p)
np(1－p)
问题探究
1．随机变量的方差和样本的方差都是变量吗？
提示：样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常数(量)而非变量．
2．方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？
提示：方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位．
课堂互动讲练
求离散型随机变量的方差
考点突破
根据离散型随机变量的分布列、期望、方差公式求解．
例1
【思路点拨】　本题考查方差的求法．可由分布列先求出X的期望E(X)，再利用方差定义求之．也可直接利用公式V(X)＝E(X2)－(E(X))2来解．
变式训练1　已知随机变量X的概率分布表为：
求V(X)．
解：法一：E(X)＝0.1×0＋0.15×1＋0.25×2＋0.25×3＋0.15×4＋0.1×5＝2.5，
V(X)＝(0－2.5)2×0.1＋(1－2.5)2×0.15＋(2－2.5)2×0.25＋(3－2.5)2×0.25＋(4－2.5)2×0.15＋(5－2.5)2×0.1
＝0.625＋0.3375＋0.0625＋0.0625＋0.3375＋0.625＝2.05.
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.15 0.25 0.25 0.15 0.1
两点分布与二项分布的方差、标准差
确定是两点分布或二项分布后，直接用公式求解即可．
例2
一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分．学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个．求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望和方差．
【思路点拨】　设学生甲和乙在这次英语测验中正确解答的选择题个数分别是ξ，η，则ξ～B(20,0.9)，η～B(20，0.25)．利用二项分布的期望公式E(X)＝np，方差公式V(X)＝npq直接计算．
【解】　设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择个数分别是ξ，η，则ξ ～B(20,0.9)，η ～B(20.0,25)，
∴E(ξ)＝20×0.9＝18，E(η)＝20×0.25＝5.
V(ξ)＝np甲q甲＝20×0.9×0.1＝1.8，
V(η)＝np乙q乙＝20×0.25×0.75＝5×0.75＝3.75.
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η.所以，他们在测验中的成绩的期望和方差分别是
E(5ξ)＝5E(ξ)＝5×18＝90，
E(5η)＝5E(η)＝5×5＝25.
V(5ξ)＝25 V(ξ)＝25×1.8＝45，
V(5η)＝25V(η)＝25×3.75＝93.75.
【名师点评】　随机变量的期望与方差具有下列运算性质：
E(aX＋b) V(aX＋b)
a＝0 b 0
a＝1 E(X)＋b V(X)
a≠1 aE(X)＋b a2V(X)
变式训练2　某人投弹命中目标的概率为p＝0.8.
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；
(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．
解：(1)X的分布列为：
E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.
V(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.
(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10,0.8)，
∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，
V(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.
X 0 1
P 0.2 0.8
期望、方差、分布列的综合应用
数学期望反映随机变量取值的平均水平，方差则反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．
例3
(本题满分14分)在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的期望和方差．
ξ 1 2 3 4 5
P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
8分
由定义知：E(ξ)＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
V(ξ)＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.14分
【名师点评】　求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值的定义求E(X)；
(5)由方差的定义求V(X)．
变式训练3　有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：
X 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
Y 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，试比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好？
解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
V(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
V(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.
由于E(X)＝E(Y)，而V(X)方法感悟
1．求随机变量ξ的均值、方差的一般步骤
(1)写出ξ的分布列．在求ξ取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识如分布列，在求ξ取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等．
(2)由分布列求E(ξ)，进而求出V(ξ)．
(3)如果随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布，根据它们的期望、方差公式计算．
2．期望(均值)仅体现了随机变量取值的平均水平
当我们希望实际的平均水平比较理想时，则先求它们的均值，但不要误认为均值相等时，它们都一样好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定(即计算方差的大小)，稳定者就更好．如果我们希望比较稳定时，这时应先考虑方差，再考虑均值是否接近即可．