2.6 正态分布 课件（苏教版选修2-3）

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2.6 正态分布 课件（苏教版选修2-3）
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
2.6
1.了解正态密度函数的概念．
2．认识正态密度函数的特点及曲线所表示的意义．
3．体会运用正态分布解决实际问题的方法．
学习目标
课前自主学案
温故夯基
面积
光滑的曲线
np
np(1－p)
两点
知新益能
1．概率密度曲线
对于某一随机变量的频率分布直方图，若数据无限_______且组距无限_______，那么频率分布直方图上的频率折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．
缩小
增多
2．正态密度曲线
图象的特征 (1)当x<μ时，曲线_____；当x>μ时，曲线______．
当曲线向左右两边无限延伸时，以______为渐近线．
(2)正态曲线关于直线______对称．
(3)σ越_____，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡．
(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为_____
上升
下降
x轴
x＝μ
大
1
3.正态分布
若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a正态密度曲线下方
x轴上(a，b]上方
X～N(μ，σ2)
4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%，
落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，
落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.
5．中心极限定理
在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于__________，这就是中心极限定理．
正态分布
问题探究
提示：参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的均值和标准差估计μ和σ.
2．如果X1～N(μ，0.52)，X2～N(μ，12)，X3～N(μ，22)，那么P(－1≤X1≤1)、P(－1≤X2≤1)、P(－1≤X3≤1)的大小如何？
提示：因σ1＝0.5<σ2＝1<σ3＝2，那么，X1的分布最集中，X3的分布最分散．
∴P(－1≤X1≤1)>P(－1≤X2≤1)>P(－1≤X3≤1)．
课堂互动讲练
正态分布密度函数与正态曲线
考点突破
例1
【思路点拨】　要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
变式训练1　如图为某地成年男性体重的正态密度曲线图，试根据图象写出其正态密度函数，并求出随机变量的期望与方差．
正态分布的计算
X～N(μ，σ2)关于x＝μ对称，随机变量X的取值区间在(a，b]上的概率等于正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴围成的封闭图形的面积．
例2
(本题满分14分)设X～N(6,1)，求P(4【规范解答】　由已知μ＝6，σ＝1，2分
∵P(5＝P(μ－σP(4P(4如图，由正态密度曲线的对称性知
P(4∴P(4＝×0.271＝0.1355.14分
【名师点评】　(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1；
(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
答案：0.3
正态分布的实际应用
正态分布是最常见、应用最广泛的一种分布，人的身高、体重，学生的学习成绩，产品的尺寸等一般都服从正态分布，在解决此类问题时，利用正态曲线的对称性结合三个特殊概率的值求概率．
例3
设在一次数学考试中，某班学生的分数ξ～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．
【思路点拨】　要求及格的人数，要求出P(90≤ξ≤150)，而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解．
【解】　因为ξ～N(110,202)，所以μ＝110，σ＝20.
所以P(110－20<ξ≤110＋20)＝0.683.
所以ξ>130的概率为 (1－0.683)≈0.159.
所以ξ≥90的概率为0.683＋0.159＝0.842.
所以及格人数为54×0.842≈45(人)，130分以上的人数为54×0.159≈9(人)．
【名师点评】　解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个．然后求出相应的概率，从而估算某一个区间上的人数．
变式训练3　在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名．
试问此次参赛的学生总数约为多少人？
方法感悟