第四章 《图形的相似》检测卷（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
广东省佛山市高明区2021-2022学年度北师大版九年级上册
第四章《图形的相似》检测卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列四组线段中，不能成比例的是（??
）
A.?a＝3，b＝6，c＝2，d＝4???????
????????B.?a＝1，b＝3，c＝2，d＝6
C.?a＝4，b＝6，c＝5，d＝10????????????????????????????????D.?a＝2，b＝5，c＝4，d＝10
2.如果5x=6y，那么下列结论正确的是（?
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
3.如图，
ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且
，下列结论正确的是（??
）
A.?DE：BC＝1：2???????????????????????????????????????????????????B.?
ADE与
ABC的面积比为1：3
C.?
ADE与
ABC的周长比为1：2??????????????????D.?DE
BC
4.用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（??
）
①三角形的每个角都扩大10倍；②三角形的每条边都扩大10倍；
③三角形的面积扩大10倍；④三角形的周长扩大10倍.
A.?①②??????????????????B.?①③??????????????????????C.?②④???????????
???D.?②③
5.如图，□ABCD中，EF∥AB，DE∶DA
=
2∶5，EF
=
4，则CD的长为（???
）
A.
B.8
C.10
D.16
6.如图，
和
是位似三角形，位似中心为点
，
，则
和
的位似比为（??
）
A.???????????????????????????????B.?????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
7.如图，
、
交于
点，
，则下列结论一定正确的是（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
8.如图，△ABC是一张锐角三角形的纸片，AD是边BC上的高，已知BC=20cm，AD=15cm，从这张纸片上剪一下一个矩形，使矩形的一边在BC上，另两个顶点分别在AB、AC上。则下列结论不正确的是（
???）
A.?当△AHG的面积等于矩形面积时，HE的长为5cm
B.?当HE的长为6cm时，剪下的矩形的边HG是HE的2倍
C.?当矩形的边HG是HE的2倍时，矩形面积最大
D.?当矩形的面积最大时，HG的长是10cm
9.如图，在平行四边形
中，F是
上一点，且
，连结
并延长交
的延长线于点G
，
则
的值为（
??）
A.???????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
10.如图，正方形
中，点
是
边上一点，连接
，以
为对角线作正方形
，边
与正方形
的对角线
相交于点
，连接
.以下四个结论：①
；②
；③
；④
.其中正确的个数为（??
）
A.?1个?????????????????????????B.?2个??????????????????????????C.?3个????????????????????????D.?4个
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.已知
，则
＝________.
12.在某一时刻，测得一根高为1.5
m的竹竿的影长为3
m，同时同地测得一栋楼的影长为60
m，则这栋楼的高度为________m．
13.在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，点
的坐标为
，在第三象限内作与
位似的
，点
的对应点为点
，
与
的位似比为
，则点
的坐标为________．
14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC.BC＝2AD，若S△AOD＝1，则S△ABC＝________.
15.两个等边三角形
和
，点D在BC上，AC与DE交于点F
，
BD=4，CD=2，则AF的长为________．
16.如图，在
中，
，
，点P是
边的中点，点Q是
边上一动点，若
与
相似，则
的长为________．
17.如图，在平行四边形
中，
为
的中点，
为
上点，
交
于点
，
，
，
，则
的长为________cm．
第14题图
第15题图
第16题图
第17题图
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.已知x：y＝2：3，求：
（1）
的值；
（2）若x+y＝15，求x，y的值.
19.已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD
＝2，BD
＝3，求AC、DC的长．
20.如图，利用标杆
测量楼高，点A，D，B在同一直线上，
，
，垂足分别为E，C.若测得
，
，
，楼高
是多少？
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，cosA＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
22.如图，在
中，点
、
分别在边
，
上，
，线段
分别交线段
，
于点
，
，且
．
（1）求证：
；
（2）若
，求
的值．
23.如图，已知矩形
的两条对角线相交于点O
，
过点
作
分别交
、
于点
、
．
（1）求证：
；
（2）连接
，若
．求证：
．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.如图，
（1）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
求证：
.
（2）【运用】
如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若
，
，求线段DE的长.
（3）【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若
，
，求
的值（用含k的代数式表示）.
25.已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝24cm，BC＝16cm，点E为边CD的中点，连接BE
，
EF⊥BE交AD于点F
．
点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为3cm/s．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上？
（2）连接PQ
，
设五边形AFEPQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t
，
使S五边形AFEPQ∶S矩形ABCD＝33∶64？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t
，
使点Q在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.【答案】
C
【解析】【解答】解：A、∵2×6=3×4，∴四组线段中能成比例；不符合题意；
B、∵1×6=3×2，∴四组线段中能成比例；不符合题意；
C、∵4×10≠5×6，∴四组线段中不能成比例；符合题意；
D、∵2×10=4×10，∴四组线段中能成比例；不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质验证四条线段是否两两乘积相等即可判断求解.
2.【答案】
A
【解析】【解答】A，
可以得出：
故答案为：A.
【分析】根据两内项之积等于两外项之积可判断求解.
3.【答案】
D
【解析】【解答】解：∵
，
∴AD：AB=AE：AC=1：3，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=1：3，故A错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC.故D正确.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得AD:AB=AE:AC=1:3，证明△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可判断A、B、C；由相似三角形对应角相等可得∠ADE=∠B，利用平行线的判定定理可判断D.
4.【答案】
C
【解析】【解答】解：①三角形的每个角不会变化，故错误；
②三角形的每条边都扩大10倍，故正确；
③三角形的面积会扩大100倍，故错误；
④三角形的周长会扩大10倍，故正确.
故答案为：C.
【分析】①由三角形的内角和等于180°可知，用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，三角形的每个角不会变化；
②三角形的每条边都扩大10倍；
③根据S△=底×高可知，三角形的面积会扩大100倍；
④三角形的周长会扩大10倍.
5.【答案】
C
【解析】【解答】∵EF∥AB
∴△DEF∽△DAB
∴
∴AB=10
∴CD=AB=10
故答案为：C．
【分析】先证明△DEF∽△DAB，再求出
，
最后计算求解即可。
6.【答案】
D
【解析】【解答】解：∵
，
∴
，
∴
和
的位似比为
，
故答案为：D.
【分析】利用位似图形的性质即可求解.
7.【答案】
C
【解析】【解答】解：
，
，
，故A不符合题意，
，
，
，
，故B不符合题意，
，
，
，
，
，故C符合题意，
，
，
，
，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出△AEO△ABC，再根据
?和相似三角形的性质对每个选项一一判断即可。
8.【答案】
C
【解析】【解答】解：A.∵
△AHG的面积等于矩形面积，
∴HG·AP=HG·PD，
∴AP=PD，
∴（15-PD）=PD，
∴HE=PD=5（cm），
故A正确；
B.∵△AHG∽△ABC，
∴
，
∴
，
∴HG=12=2HE，
故B正确；
C.
∵△AHG∽△ABC，
∴
，
∴
，
解得：HG=20-HE，
∴S矩形=HG·HE=（20-HE）·HE=-HE2+20HE=-（HE-）2+75，
∴当HE=-时，
S矩形最大，
∴HG=20-HE=10（cm），
故C不正确，D正确.
故答案为：C.
【分析】A.根据三角形的面积和矩形的面积公式列出等式，得出（15-PD）=PD，求出PD的长，即可求出HE的长，从而判断A正确；
B.先证出△AEF∽△ABC，列出比例式，得出
，
求出HG的长，即可判断B正确；
CD.根据△AHG∽△ABC，得出
，
得出HG=20-HE，进而得出矩形EFHG的面积为-（HE-）2+75，利用二次函数的性质得出当HE=-时，
S矩形最大，再求出HG的长，即可判断C不正确，D正确.
9.【答案】
C
【解析】【解答】解：根据题意，
∵四边形
是平行四边形，
∴AB∥CD
，
∴△ABF∽△DGF
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵AB∥CD
，
∴△ABE∽△CGE，
∴
；
故答案为：C．
【分析】由四边形
是平行四边形，可证出△ABF∽△DGF
，
再利用平行线分线段成比例的了即可解决问题。
10.【答案】
D
【解析】【解答】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG
∴∠EAB=∠GAD
∴①正确②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴AD=DC，AG=FG
∴AC=
AD，AF=
AG
∴
，
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴
∴②正确③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
∴
即
又∵AF=
AE
∴
∴③正确④由②知
又∵四边形ABCD为正方形，
AC为对角线
∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC
∴④正确
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得∠EAG=∠BAD=90°,利用同角的余角相等可得∠EAB=∠GAD，据此判断①；根据两组对边成比例且夹角相等，可证
，
据此判断②；先证△HAF∽△FAC，可得
，
可得
，
由AF=
AE，即得
，
据此判断③；由
，
可得∠ADG=∠ACF=45°，从而求出∠AND=90°，据此判断④.
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
设
=k，则a=2k，b=5k
∴
.
故填
.
【分析】
12.【答案】
30
【解析】【解答】解：设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.5m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，
∴
＝
，
解得h＝30．
故答案为：30．
【分析】先求出
＝
，再解方程即可。
13.【答案】
【解析】【解答】解：∵
与
位似，点
的对应点为点
，
与
的位似比为
，
∵点
的坐标为
，点
在第三象限内，
∴点
的横纵坐标分别为：
，
；
∴点
的坐标为
；
故答案为：
；
【分析】根据相似和点C所在的象限求解即可。
14.【答案】
6
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，AD//BC.
∴△AOD∽△COB.
∵AD
=
2BC.
∴AD：BC=1：2，
∴OD：OB=AD：BC=1：2，S△BOC=4
S△AOD=4
∴S△AOD：S△AOB
=1：2，即S△AOB
=2
∴S△ABC＝S△BOC+
S△AOB
=4+2=6.
故填6.
【分析】
15.【答案】
【解析】【解答】∵
和
都是等边三角形，BD=4，CD=2，
∴AB=AC=BC=6，∠B=∠C=∠ADF=60°，
∴∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠CDF=120°，
∴∠BAD=∠CDF，
∴
，
∴
，即
，
解得
，
∴
，
故答案为：
．
【分析】先求出∠BAD=∠CDF，再求出
，
最后计算求解即可。
16.【答案】
5或
【解析】【解答】∵
，
，点P是
边的中点
∴
当
时
∴
即
解得：
∴
当
时
∴
即
解得：
∴
∴
或
故答案为：
或
．
【分析】利用
或者
，分别得出答案。
17.【答案】
7.5
【解析】【解答】过点E作
，交AC于点H，如下图：
∵
∴
又∵
∴
∴
又∵四边形
是平行四边形，
且
为
的中点，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
cm．
故答案为：7.5
【分析】过点E做EH//AD，构造相似三角形，由相似性质得对应线段成比例,因为
且
为
的中点，由中位线推论得：EH是△ABC的中位线，因此。已知AF=1,DF=2，所以,因此,综合看,因此，
，
所以
，
AC=2AH=
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.【答案】
（1）解：
＝
＝﹣2
（2）解：∵x+y＝15，
∴2k+3k＝15，
解得：k＝3，
∴x＝6，y＝9
【解析】【分析】（1）由已知的比例式可设x=2k，y=3k；（1）把x、y的值代入代数式计算即可求解；
（2）把x、y的值代入等式x+y=15可得关于k的方程，解方程可求得k的值，则x、y的值可求解.
?
?
19.【答案】
证明：
如图
∵△ABC∽△ACD，
∴∠1=∠B，
又∵CD是平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠B，
∴BD=DC．
∵BD=3，
∴DC=3；
又∵AD
=2，BD
=3，
∴AB=5
由
得
即
=2×5=10
∴
．
【解析】【分析】利用相似三角形的性质得到
∠1=∠B，?
，把已知数据代入比例式求解即可得到AC的长；再结合角平分线的性质、等腰三角形的判定可求出DC的长。
20.【答案】
解：∵
，
，
∴
m，
∵
，
，
∴
∥
，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
∴楼高
是9米.
【解析】【分析】由??，?
，
可得?∥?
，
可证△ADE∽△ABC，可得
，
代入相应数据，即可求出BC.
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.【答案】
解：∵∠C＝90°，cosA＝3︰5，
∴
，
∵BC＝8cm，
∴
，
，
∵点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，则有：
，
∴
，
①当
时，则
，
∴
，即
，
解得：
，
②当
时，则
，
∴
，即
，
解得：
；
综上所述：当运动时间为
s或
s时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.
【解析】【分析】由题意可求出sin∠A=
，
然后根据正弦函数的概念以及BC的值可得AB的值，进而求得AC的值，然后表示出BP、CQ、PC，分①∠PQC=∠A；②∠PQC=∠B，结合相似三角形对应边成比例求解即可.
五、综合题
22.【答案】
（1）证明：
，
．
，
，
又
，
；
（2）解：
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先求出∠ADF=∠C，再证明三角形相似求解即可；
（2）根据相似三角形的性质计算求解即可。
23.【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABE=90°
∴∠ABG+∠EBG=90°
∵
∴∠ABG+∠BAG=90°
∴∠EBG=∠BAG
∴Rt△BEG∽Rt△AEB
∴
∴
（2）证明：由（1）有：
∵BE=CE
∴
∴
∵∠CEG=∠AEC
∴△CEG∽△AEC
∴∠CGE=∠ACE
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∴OB=OC
∴∠DBC=∠ACE
∴
【解析】【分析】（1）先求出
∠EBG=∠BAG
，再求出
Rt△BEG∽Rt△AEB
，最后证明求解即可；
（2）先求出
∠CGE=∠ACE
，再求出
∠DBC=∠ACE
，最后证明求解即可。
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.【答案】
（1）证明：如图1，
由
折叠得到，
，
.
又
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又
正方形
，
（2）解：如图，连接
，
由（1）得
，
，
由折叠得
，
，
.
四边形
是正方形，
，
，
又
，
，
.
，
，
，
.
，
，
（
舍去）
（3）解：如图，连结HE，
由已知
可设
，
，可令
，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得，
，
，
由折叠得
，
，
又
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
.
，
，
，
（
舍去）.
②当点
在
点右边时，如图，
同理得
，
，
同理可得
，
可得
，
，
，
，
（
舍去）.
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可证得BE⊥CF，利用正方形的性质可得到BC=CD，∠D=∠BCE，利用余角的性质可得到∠BEC=∠CGD；然后利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可求出DG的长，利用折叠的性质可得到BC=BF，CE=EF=9；再证明∠HFG=∠HGF，利用等角对等边可证得HF=HG，结合已知条件可求出HD，HF的长；再利用勾股定理建立关于DE的方程，解方程求出DE的长.
（3）连结HE，
设DH=4m，HG=5m，
，①当点H在D点左边时，同理可证得HF=HG，可得到DG=9，利用折叠的性质及余角的性质可推出∠BEC=∠CGD，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值；②当点
在
点右边时，如图，同理可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值.
25.【答案】
（1）解：∵AB＝24cm，BC＝16cm，点E为边CD的中点，
∴CE＝12cm，
在Rt△ECB中，根据勾股定理，得BE＝
20（cm），
过P作PG⊥QB于G，
若点P在线段BQ的垂直平分线上，
则PQ＝PB，GB＝
BQ＝
（24﹣3t），
∵∠C＝∠PGB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠PBG＝∠BEC，
∴△PBG∽△BEC，
∴
，即
，
∴t＝
，
∴当t＝
时，点P在线段BQ的垂直平分线上；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝24cm，BC＝16cm，点E为边CD的中点，
∴DE＝CE＝12，∠C＝∠D＝90°，∠DEF＋∠DFE＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠DEF＋∠CEB＝90°，
∴∠DFE＝∠CEB，
∴△DFE∽△CEB，
∴
，即
，
∴DF＝9，
由（1）知，△PBG∽△BEC，
∴
，即
，
∴PG＝
，
∴五边形AFEPQ的面积y＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S△DEF﹣S△PBQ
＝24×16﹣
×12×16﹣
×12×9﹣
（24﹣3t）×
＝
，
∴y与t的函数关系式为：y＝
；
（3）解：∵S五边形AFEPQ∶S矩形ABCD＝33∶64，
∴
＝
×24×16，即t2﹣8t＋15＝0，
解得：t1＝3，t2＝5，
∴存在，t的值为3或5
（4）解：过Q作QM⊥EF于M，若点Q在∠AFE的平分线上，则QM＝QA，分别延长EF、BA相交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△OAF∽△EDF，
∴
，
∴OA＝
，
∴OB＝AB＋OA＝24＋
＝
，
∵QM⊥EF，EF⊥BE，
∴QM∥BE，
∴
，即
，
∴QM＝
，
∴
，
解得：t＝
．
答：存在，t的值是
．
【解析】【分析】（1）
在Rt△ECB中，根据勾股定理，得BE=20，过P作PG⊥QB于G，证明△PBG∽△BEC，根据相似三角形的性质求解即可；
（2）?证明△DFE∽△CEB，可得
，
据此求出DF，由（1）知△PBG∽△BEC，可得
，
据此求出PG，利用五边形AFEPQ的面积y＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S△DEF﹣S△PBQ，即可求出关系式；
（3）由S五边形AFEPQ∶S矩形ABCD＝33∶64，建立方程，求出t值即可；
（4）过Q作QM⊥EF于M?，根据角平分线的性质得出QM=QA，
分别延长EF、BA相交于点O，?证明
△OAF∽△EDF，
利用相似三角形的性质求出OA，从而求出OB，由QM∥BE，可得
，
从而求出QM＝??
，
?从而得出
，
解出t值即可.
?
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