人教版
八年级数学上册
13.3
等腰三角形
同步课时训练
一、选择题
1.
如图,等腰三角形的对称轴是( )
A.直线l1
B.直线l2
C.直线l3
D.直线l4
2.
已知实数x、y满足|x-4|+=0,则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A.
20或16
B.
20
C.
16
D.
以上答案均不对
3.
(2020·毕节)已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为(
)
A.13
B.17
C.13或17
D.13或10
4.
如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为( )
A.
5
B.
6
C.
8
D.
10
5.
如图,在五边形ABCDE中,AB=AC=AD=AE,且AB∥ED,∠EAB=120°,则∠BCD的度数为( )
A.150°
B.160°
C.130°
D.60°
6.
(2019?广西)如图,在中,,观察图中尺规作图的痕迹,可知的度数为
A.
B.
C.
D.
7.
如图,在△ABC中,∠BAC=72°,∠C=36°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,则图中有等腰三角形( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
8.
(2020·绍兴)如图,等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,将BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<90°),得到BP,连结CP,过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H,连结AP,则∠PAH的度数( )
A.随着θ的增大而增大
B.随着θ的增大而减小
C.不变D.随着θ的增大,先增大后减小
二、填空题
9.
(2020·齐齐哈尔)等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是
.
10.
等腰三角形的两边长分别为6
cm,13
cm,其周长为________
cm.
11.
(2020·常州)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形,则∠B=________°.
12.
如图,在等边三角形ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F,已知AB=8,则BF的长为________.
13.
如图,在△ABC中,若AB=AC=8,∠A=30°,则S△ABC=________.
14.
如图,在△ABC中,∠B=20°,∠A=105°,点P在△ABC的三边上运动,当△PAC为等腰三角形时,顶角的度数是__________.
15.
定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的特征值k=________.
16.
规律探究如图,∠BOC=9°,点A在OB上,且OA=1,按下列要求画图:
以A为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A1,得第1条线段AA1;
再以A1为圆心,1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线段A1A2;
再以A2为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3……
这样画下去,直到得第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=________.
三、解答题
17.
如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D,过点D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F.
求证:BE+CF=EF.
18.
已知:如图所示,锐角三角形ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.
19.
如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.求证:DF=2DC.
20.
已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点(点A,D在直线BC的两侧),且DB=DC,过点D作DE∥AC,交射线AB于点E,连接AD交BC于点F.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)如图①,当点E在线段AB上且不与点B重合时,求证:DE=AE;
(3)如图②,当点E在线段AB的延长线上时,请直接写出线段DE,AC,BE的数量关系.
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八年级数学上册
13.3
等腰三角形
同步课时训练-答案
一、选择题
1.
【答案】A
2.
【答案】B 【解析】∵|x-4|+=0,∴x-4=0,y-8=0,解得x=4,y=8.分两种情况讨论:①当4为腰时,根据三角形三边关系知4+4=8,∴这样的等腰三角形不存在;②当8为腰时,则有4+8>8,这样能够组成等腰三角形,∴此三角形的周长是8+8+4=20.
3.
【答案】B,
【解析】本题考查等腰三角形的三边关系.
解:分两种情况讨论:若3为底边,腰长为7,则此等腰三角形的周长为3+7+7=17;
若7为底边,腰长为3,则此等腰三角形不存在,因为3+3<7,不符合三角形的三边关系,
故选B.
4.
【答案】C 【解析】∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD⊥BC,BD=CD,在Rt△ABD中,AB=5,AD=3,由勾股定理得BD=4,∴BC=2BD=8.
5.
【答案】A [解析]
∵AB∥ED,
∴∠E=180°-∠EAB=180°-120°=60°.
又∵AD=AE,
∴△ADE是等边三角形.
∴∠EAD=60°.∴∠BAD=∠EAB-∠EAD=120°-60°=60°.∵AB=AC=AD,∴∠B=∠ACB,∠ACD=∠ADC.在四边形ABCD中,∠BCD=∠B+∠ADC=(360°-∠BAD)=×(360°-60°)=150°.
故选A.
6.
【答案】C
【解析】由作法得,∵,∴平分,,
∵,∴.故选C.
7.
【答案】D [解析]
∵∠BAC=72°,∠C=36°,
∴∠ABC=72°.∴∠BAC=∠ABC.
∴CA=CB.
∴△ABC是等腰三角形.
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D,
∴∠DAB=∠CAD=36°.
∴∠CAD=∠C.∴CD=AD,
∴△ACD是等腰三角形.
∵∠ADB=∠CAD+∠C=72°,∴∠ADB=∠B.∴AD=AB.
∴△ADB是等腰三角形.
8.
【答案】C
【解析】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和,旋转的性质.由旋转得BC=BP=BA,∴△BCP和△ABP均是等腰三角形.在△BCP中,∠CBP=θ,BC=BP,∴∠BPC=90°-θ.在△ABP中,∠ABP=90°-θ,同理得∠APB=45°+θ,∴∠APC=∠BPC
+∠APB
=135°,又∵∠AHC=90°,∴∠PAH=45°,即其度数是个定值,不变.因此本题选C.
二、填空题
9.
【答案】10或11.
【解析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可.①3是腰长时,三角形的三边分别为3、3、4,
∵此时能组成三角形,∴周长=3+3+4=10;
②3是底边长时,三角形的三边分别为3、4、4,此时能组成三角形,所以周长=3+4+4=11.
综上所述,这个等腰三角形的周长是10或11.
故答案为:10或11.
10.
【答案】32 [解析]
由题意知,应分两种情况:
(1)当腰长为6
cm时,三角形的三边长为6
cm,6
cm,13
cm,6+6<13,不能构成三角形;
(2)当腰长为13
cm时,三角形的三边长为6
cm,13
cm,13
cm,能构成三角形,周长=2×13+6=32(cm).
11.
【答案】30°
【解析】本题考查了等边三角形和等腰三角形以及垂直平分线的性质.因为FE垂直平分BC,∴
FC=FB
∴∠B=∠BCF
∵△ACF是等边三角形,∴∠AFC=60°
,∴
∠B=30°
12.
【答案】5 [解析]
∵在等边三角形ABC中,D是AB的中点,AB=8,∴AD=4,BC=AC=AB=8,∠A=∠C=60°.∵DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F,∴∠AED=∠CFE=90°.
∴AE=AD=2.
∴CE=8-2=6.∴CF=CE=3.∴BF=5.
13.
【答案】16 [解析]
如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,
则△ADC是含30°角的直角三角形,那么DC=AC=4,∴S△ABC=AB·DC=×8×4=16.
14.
【答案】105°或55°或70° [解析]
(1)如图①,点P在AB上时,AP=AC,顶角∠A=105°.
(2)∵∠B=20°,∠BAC=105°,
∴∠ACB=180°-20°-105°=55°.
点P在BC上时,如图②,若AC=PC,则顶角∠C=55°.
如图③,若AC=AP,则顶角∠CAP=180°-2∠C=180°-2×55°=70°.
综上所述,顶角为105°或55°或70°.
15.
【答案】或 [解析]
①当∠A为顶角时,等腰三角形两底角的度数为=50°,
∴特征值k==.
②当∠A为底角时,顶角的度数为180°-80°-80°=20°,
∴特征值k==.
综上所述,特征值k为或.
16.
【答案】9
三、解答题
17.
【答案】
证明:∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC.
∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,∴DE=BE,
同理CF=DF,∴EF=DE+DF=BE+CF,即BE+CF=EF.
18.
【答案】
解:(1)证明:∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∵锐角三角形ABC的两条高BD,CE相交于点O,
∴∠BEC=∠CDB=90°.
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°,
∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠DBC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.
(2)点O在∠BAC的平分线上.
理由:连接AO并延长交BC于点F.
在△AOB和△AOC中,
∴△AOB≌△AOC(SSS),∴∠BAF=∠CAF,
∴点O在∠BAC的平分线上.
19.
【答案】
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°,∠DEC=∠A=60°.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.
∴∠F=90°-∠EDC=30°.
∵∠ACB=∠EDC=∠DEC=60°,
∴△EDC是等边三角形.∴DE=DC.
∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴DF=2DE=2DC.
20.
【答案】
解:(1)证明:∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上.
∵DB=DC,∴点D在BC的垂直平分线上.
∴直线AD是BC的垂直平分线.∴AD⊥BC.
(2)证明:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵DE∥AC,∴∠EDA=∠CAD.
∴∠BAD=∠EDA.∴DE=AE.
(3)DE=AC+BE.
理由:同(2)得∠BAD=∠CAD.
∵DE∥AC,∴∠EDA=∠CAD.
∴∠BAD=∠EDA.∴DE=AE.
∵AB=AC,∴DE=AB+BE=AC+BE.