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2.1
等式性质与不等式性质
【学习要求】
1）会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.
2）会利用不等式性质比较大小
【思维导图】
【知识梳理】
1、等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2、不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
3、比较两个实数a、b大小的依据
文字语言
符号表示
如果a＞b，那么a－b是正数；如果a＜b，那么a－b是负数；如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然
a>b?a－b>0a
[化解疑难]
1）上面的“?”表示“等价于”，即可以互相推出．
2）“?”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
4、不等式的性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c；
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)：?a＋c>b＋d；
(4)可乘性：?ac>bc；?ac推论(同向同正可乘性)：?ac>bd；
(5)正数乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N
，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0?>(n∈N
，n≥2)．
[化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
【高频考点】
高频考点1
.
利用不等式的性质判断正误
【方法点拨】①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
【例1】（2021?中卫一模）下列四个命题：
①若a＞|b|，则a2＞b2；②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则
其中正确命题的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解答】解：①∵a＞|b|，∴a2＞b2，故正确；
②∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d，因此a﹣c＞b﹣d不正确；
③取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，满足a＞b，c＞d，但是ac＝﹣4＜bd＝﹣3，故不正确；
④∵a＞b＞0，c＜0，∴，﹣c＞0，∴，∴，故正确．
综上可知：只有①④正确．故选：B．
【变式1-1】（2021·江苏高一专题练习）对于任意实数，命题（1）若则（2）若则（3）若则（4）若则；（5）若则其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】（1）中当时不成立；（2）中当时不成立；
（3）中若则，所以，成立.
（4）中当时不成立；
（5）中在时不成立．故选：A
【变式1-2】（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABC
【详解】A.，满足，，而，故错误；
B.，满足，，而ac=bd，故错误；
C.若，，则，故错误
D.若，，则，所以，则，故正确．故选：ABC．
【变式1-3】（2021·上海市奉贤区曙光中学高一月考）下列命题中，正确的是_________
①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则；⑤若，，则.
【答案】②③
【详解】对①，举反例，取不成立，故①错误；
对②，开三次方根不改变大小关系，故②正确；对③，是不等式的性质，正确；
对④，取不成立，故④错误；
对⑤，明显错误，负数越小绝对值越大，应该是，故⑤错误；故答案为：②③
【变式1-4】（2021·铜山启星中学高一月考）下面命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【详解】A.若，当时，；当时，，故错误；
B.若，当时，，故错误；
C.
若，则，即，当
时，
，当
时，
，故错误；
D.若，则，即，故正确，故选：D
高频考点2.
根据已知条件判断不等式正误
【方法点拨】根据已知条件结合不等式的性质比较各式大小即可。
【例2】（2021·江苏省震泽中学高一月考）若，则下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：因为，所以有，所以，A正确；
又，所以，B正确；，C正确；，但正负未知，若，则不成立，故D错误.故选：D
【变式2-1】（2021·河北武强中学高一期中）若，，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：对A:取，满足，，但，所以，故选项A错误；对B：取，满足，，但，所以，故选项B错误；对C：取，满足，，但，所以，故选项C错误；对D：因为，所以，又，所以由不等式的性质知，所以选项D正确.故选：D.
【变式2-2】（2020·江苏苏州中学）设，，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】,,，即，，
当时，显然不成立，故正确的为B、D，故选：BD
【变式2-3】（2021·江苏高一专题练习）若实数，满足，则下列不等式中不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为，所以，所以A正确；
由，可得，则，所以，所以B不正确；
由，可得，则，所以，所以C正确；
由，可得，则，所以，所以D正确；选：B．
【变式2-4】（2021·沭阳如东中学高三月考）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】因为，所以a>b>0，0>c>d，
对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2对于B，取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则a-c=3,b-d=3,所以a-c=b-d,故选项B错误；
对于C，取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故选项C错误；
对于D，因为ad<0,bc<0,因为a>b>0,d<0,则ad高频考点3
.
利用作差（作商）法比较大小
【方法点拨】（1）作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．
（2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．
【例3】（2021·山西太原·高二期中）下列不等式中，恒成立的个数是（
）
①；②；③；
④．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】①因为
，恒成立，所以恒成立.
②因为恒成立，所以恒成立.
③当时，有，此时.
④因为
恒成立，所以恒成立.故选：C.
【变式3-1】（2021·张家口市第一中学高一月考）已知，，，，则M与N的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】A
【详解】因为，且，，
所以，所以，故选：A.
【变式3-2】（2020·上海高三专题练习）设，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】，，
则.
故，当且仅当时，取等号，故选：D
【变式3-3】（2021·全国高一课时练习）若，设，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为，则，，
所以，
，因此，.故选：A.
【变式3-4】2021?运城模拟）若b＞a＞0，m＜﹣a，设X，Y，则（ ）
A．X＞Y
B．X＜Y
C．X＝Y
D．X与Y的大小关系不确定
【解答】解：根据b＞a＞0，m＜﹣a，可得b﹣a＞0，m+a＜0，m＜0，
所以，所以X＞Y．故选：A．
高频考点4.
利用作差法比较大小的应用
【方法点拨】
【例4】（2021·江苏高一专题练习）某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（
）
A．甲
B．乙
C．甲、乙一样
D．无法确定
【答案】B
【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为，则两年的购买的总金额为，
平均价格为；对于乙方案，设每年购买的总金额为，则总数量为，
平均价格为.因为，
所以，.因此，乙方案的平均价格较低.故选：B.
【变式4-1】（2021·安徽高三月考）现有一台不等臂的天平，它有左右两个托盘，若同一个物体放在左右托盘各测一次所得的质量分别是a、b(单位：g)，则下列关于物体的真实质量m表述正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，设天平的两个力臂的长度分别为，且，
若两次称重结果分别为a、b，且，根据杠杆平衡条件有：，，所以，即，
又，所以，即，故选：C．
【变式4-2】（2021·浙江）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位），若，则（
）
A．甲先到达终点
B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点
D．无法确定谁先到达终点
【答案】B
【详解】设马拉松全程为x，所以甲用的时间为，乙用的时间为，
因为，所以，
所以，则乙先到达终点.故选：B.
【变式4-3】（2021·江苏高一专题练习）已知的三边长分别为、、，有以下4个命题：
（1）以、、为边长的三角形一定存在；（2）以、、为边长的三角形一定存在；
（3）以、、为边长的三角形一定存在；
（4）以、、为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【详解】的三边长分别为、、，不妨设，则，
对于（1）：
，所以，所以以、、为边长的三角形一定存在；故（1）正确；对于（2）：不一定成立，因此以、、为边长的三角形不一定存在；故（2）不正确；对于（3）：，因此以、、为边长的三角形一定存在；故（3）正确；
对于（4）：
取，，因此、、，能构成一个三角形的三边，而，因此以、、为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确，所以正确的命题有个，故选：B
【变式4-4】（2021·山东高一期中）甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，则（
）
A．如果，则两个项目组同时完工
B．如果，则甲项目组先完工
C．如果，则甲项目组先完工
D．如果，则乙项目组先完工
【答案】AC
【详解】设总工程量为，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作，
，，
乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，，
当时，，，，即甲、乙项目组同时完工；
当时，，，
，，即甲项目组先完工，故选：AC.
高频考点5
.
利用不等式的性质求取值范围
【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
【例5】（2021·浙江瑞安中学高一期中）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】对于A，，即，故A正确；
对于B，，则，即，故B错误；
对于C，，即，故C正确；
对于D，由题知，则，故D错误；故选：AC
【变式5-1】（2021·全国）若实数、满足，则的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质即可求解.
【详解】解：，，，
又，.故选：D.
【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设，
所以，解得：，，
因为，，所以，故选：A.
【变式5-3】（2021·山东济南·高三月考）已知均为正实数，且，那么的大值为__________．
【答案】
【详解】因为均为正实数，所以由题可得：，即，，，三式相加得：，所以
所以的最大值为4故答案为：4
【变式5-4】（2021春?黄陵县校级月考）设2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+b，a﹣b，，ab，的取值范围．
【解答】解：∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴3＜﹣b＜4，，
∴﹣2＜a+b＜0，5＜a﹣b＜7，∵，∴1，即﹣1，
∵6＜﹣ab＜12，∴﹣12＜ab＜﹣6，∵9＜b2＜16，，∴38，
综上：﹣2＜a+b＜0，5＜a﹣b＜7，﹣1，﹣12＜ab＜﹣6，38．
高频考点6
.
利用不等式的性质证明不等式
【方法点拨】①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
【例6】（2021·全国高一课时练习）（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】证明：（1）因为，，所以，。
所以，故得证；
（2）由不等式的性质知，，
所以，
又因为根据（1）的结论可知，，
所以.所以.
【变式6-1】（2021·余干县第三中学高二月考（理））求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵，∴
∴
∴得证.
【变式6-2】（2021·全国高一课时练习）证明不等式：
（1）设，求证：；（2）设，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】证明：（1）因为
，
因为，所以，
所以，所以；
（2）因为，
所以.
【变式6-3】（2021·全国）已知，.证明：
（1）；（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】解：证明：（1）∵，，∴，
又，，∴，故；
（2）由，得，又，∴，即，
又，∴.
【变式6-4】（2021·湖北高三二模（理））已知实数a、b满足a2+b2-ab＝3．
（1）求a-b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：．
【答案】（1）﹣2≤a﹣b≤2；（2）证明见解析．
【详解】（1）因为a2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．
①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；
②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得
ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，所以﹣1≤ab≤3，则0≤3﹣ab≤4，
而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；
（2）由（1）知0＜ab≤3，因为
当且仅当ab＝2时取等号，所以．
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试）已知，，，为实数，且，则下列不等式不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】在给定条件下，利用不等式的性质逐一分析各选项即可得解.
【详解】实数，，满足：，，则，即，A正确；
当时，，当时，有，B不一定正确；
，于是得，即，C正确；
由，得，D正确.故选：B
2.（2021?驻马店期中）下列不等式中，正确的是（ ）
A．若a＞b，则a2＞b2
B．若a＞b，则c﹣a＜c﹣b
C．若a＞b，c＞d，e＞f，则ace＞bdf
D．若a＞b，c＞d，e＞f，则
【分析】根据不等式的性质只能判断选项B正确，得不出其它选项正确，然后可举反例说明其它选项都错误．
【解答】解：A．a＞b得不出a2＞b2，比如a＝2，b＝﹣3，∴该选项错误；
B．∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b．该选项正确；
C．a＞b，c＞d，e＞f得不出ace＞bdf，比如，a＝1，b＝﹣2，c＝2，d＝﹣3，e＝2，f＝1，∴该选项错误；D．a＞b，c＞d，e＞f得不出，比如，a＝1，b＝﹣6，c＝1，d＝﹣2，e＝6，f＝1．
故选：B．
3．（2020·江苏无锡·高二开学考试）若，则下列不等关系中，不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合不等式的性质确定正确选项.
【详解】由于，所以，A正确.由于，所以，B正确.
设，则，C不正确.由于，所以，D正确.故选：C
4．（2021·广东高一单元测试）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（
）
A．大于
B．小于
C．大于等于
D．小于等于
【答案】A
【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）因为，
因为，所以，即.所以这样可知称出的黄金质量大于.故选：A
5．（2021·广东高一单元测试）已知，，记，则与的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
【答案】B
【分析】利用作差法比较即可
【详解】解：因为，所以，
因为，，所以，
所以，所以，即，故选：B
6．（2021·陕西省黄陵县中学高二期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据生活常识可知，糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，即可解出．
【详解】因为糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，，所以．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于容易题．
7.（2021?金华期末）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（ ）
A．甲先到达终点
B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点
D．无法确定谁先到达终点
【分析】根据题意，设全程的距离为2s，用s、a、b表示甲、乙的时间，用作差法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设全程的距离为2s，
对于甲，前半程s的时间为，后半程的时间为，则甲的时间t1，
对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑，则有ab2s，
变形可得t2，则有t1﹣t2[（a+b）2﹣4ab]（a﹣b）2，
又由a≠b，则t1﹣t2＞0，故乙先到达终点，故选：B．
8．（2021·长垣市第十中学高二月考）实数，，满足且，则下列关系成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用配方法可得的大小关系，利用作差法及配方法可得的大小关系，从而可得正确的选项.
【详解】由可得（当时取等号），
所以，由可得且，故．
，∴，综上．故选：D.
【点睛】方法点睛：代数式的大小比较可以用作商法或作差法，后者需定号，常用的定号方法有配方法、因式分解法等.
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏高一单元测试）下列说法中正确的是（
）
A．若a>b，则
B．若-2C．若a>b>0，m>0，则
D．若a>b，c>d，则ac>bd
【答案】AC
【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.
【详解】对于A，因c2+1>0，于是有>0，而a>b，由不等式性质得，A正确；
对于B，因为1对于C，因为a>b>0，所以，又因为m>0，所以，C正确；
对于D，且，而，即ac>bd不一定成立，D错误.故选：AC
10．（2021·全国高一课时练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则下列不等式不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】
根据不等式的基本性质，可判定B正确，结合反例法，可判定A、C、D不正确，即可求解.
【详解】
对于A中，当，时，满足，此时，故A不一定成立；
对于B中，因为，所以，即，
所以一定成立，故B一定成立；
对于C中，当，时，满足，此时，故C不一定成立；对于D，当，时，满足，此时，故D不一定成立．
故选：ACD．
11．（2021·全国）已知a，b＞0且2a＋b＝1，则的值不可能是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】ABD
【分析】根据式子进行化简可得原式=，然后进一步化简可得，简单判断可得结果.
【详解】由题可知：所以
所以原式
原式，由a，b＞0，所以
又
故故选：ABD
12．（2021·江苏高一专题练习）若实数，满足，下列四个不等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据题意设，则，结合基本不等式，可判定A正确；利用作差比较法，可判定B成立；代入利用配方法，可判定C成立，举反例可判定D不成立．
【详解】由题意，因为，可设，则，
对于A中，，当且仅当等号成立，所以A正确；
对于B中，
，所以B成立；
对于C中，，所以C成立．
对于D中，取，则，所以D不成立．故选：ABC．
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·全国），则的大小关系为_______．
【答案】≥
【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果.
【详解】因为，
则
由
所以
故答案为：
14．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试）下列命题正确的个数是___________.
①若，则；②若，则；
③若，是非零实数，且，则；④若，则.
【答案】2
【分析】对于①，当时不成立；对于②，当为正数，为负数时不成立；
对于③，运用作差比较法可判断；对于④，运用不等式的性质可判断.
【详解】对于①，当时不成立；对于②，当为正数，为负数时不成立；
对于③，因为，所以，所以，所以，③成立；
对于④，若，则，，从而得，所以只有③④两个正确，所以正确的命题的个数为2.故答案为：2.
15．（2021·全国高一课时练习）杯中有浓度为的盐水克，杯中有浓度为的盐水克，其中杯中的盐水更咸一些．若将、两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_____．
【答案】
【分析】先求将、两杯盐水混合再一起的浓度，再与、两杯盐水的浓度比较，即可得到结论.
【详解】由题意，将、两杯盐水混合再一起后浓度为，
，，
杯中的盐水更咸一些，，，故答案为：.
16．（2021·湖南高三模拟预测）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场，市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的面积为．月租为x万元；每间肉食水产类店面的建筑面积为，月租为0.8万元全部店面的建造面积不低于总面积的，又不能超过总面积的，市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，则x的最大值为__________．
【答案】1
【分析】设蔬菜水果类店面a间，则肉食水产类店面为间，根据题意建立不等式，求出a的范围，再建立费用的不等式，解不等式，即可求出x的最大值.
【详解】设蔬菜水果类店面a间，则肉食水产类店面为间，由全部店面的建造面积不低于总面积的，又不高于总面积的，得
，解得．
又，所以a有16个取值，即共有16种建造方案，根据“任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，，即
．所以，x的最大值为1．故答案为：1
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国高一专题练习）比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；（2）当，且时，与.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用做差法比较两个代数式的大小即可.
（2）先利用做商法得出，再分①和②两种情况判断和的大小即可得出结论.
【详解】（1），
因此，；
（2），
①当时，即，时，，；
②当时，即，时，，.
综上所述，当，且时，.
【点睛】本题主要考查了利用做差法和做商法比较大小的问题.属于较易题.
18．（2021·全国高一专题练习）（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；（3）已知，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到
,
再用同向可加性法则即可得出结果.（2）根据正数的倒数大于0可得,再用同向同正可乘性得出结果.（3）因为，根据（2）的结论，得,再用同向同正可乘性得出结果.
【详解】证明：（1）因为，所以.则.
（2）因为，所以.又因为，所以，即，因此.
（3）因为，根据（2）的结论，得.
又因为，则
，即.
【点睛】本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.
19．（2021·全国高一课时练习）已知-2（1）|a|；（2）a+b；（3）a-b；（4）2a-3b．
【答案】（1）；（2）-1【分析】(1)利用绝对值的意义求解即得；(2)利用不等式加法法则求解即得；
(3)先由不等式性质求出-b的范围，再用不等式加法法则求解即得；
(4)先由不等式性质求出2a和-3b的范围，再用不等式加法法则求解即得.
【详解】（1）因-2所以|a|∈[0，3]；
（2）因-2所以-1（3）因1≤b<2，则-2<-b≤-1，又-2所以-4（4）由-2所以-10<2a-3b≤3.
20．（2020·全国高一课时练习）某种商品计划提价，现有四种方案：
方案（1）先提价，再提价；
方案（2）先提价，再提价；
方案（3）分两次提价，每次提价；
方案（4）一次性提价.
已知，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？
【答案】方案（3）
【分析】设单价为，计算四种提价方案后的价格，比较大小后可得出结论.
【详解】依题意，设单价为，那么方案（1）提价后的价格是，
方案（2）提价后的价格是，
方案（3）提价后的价格是，
方案（4）提价后的价格是，
所以，提价最少的是方案（4），方案（1）和方案（2）提价后的价格是一样的，
只需比较与的大小即可，因为，则，
所以，，
所以，
，因此，方案（3）提价最多.
21．（2021·全国高一专题练习）现有A，B，C，D四个盛满水的长方体容器，A，B的底面积均为a2，高分别为a，b，C，D的底面积均为b2，高分别为a，b（a≠b）.现规定一种游戏规则，每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有无必胜的把握？若有的话，有几种方案？
【答案】先取A、D是必胜的方案，一种.
【分析】分情况求出先取到的两个容器与后取到的两个容器容积和，再作差比较与0的大小即得.
【详解】（1）若先取A、B，后者只能取C、D，则有(a3+a2b)-(ab2+b3)=a2(a+b)-b2(a+b)=(a+b)2(a-b)，
显然(a+b)2>0，而a，b的大小不定，即(a+b)2(a-b)正负不确定，
所以这种取法没有必胜的把握；
（2）若先取A、C，后者只能取B、D，则有(a3+b2a)-(ba2+b3)=a(a2+b2)-b(a2+b2)=(a2+b2)(a-b)，
显然a2+b2>0，而a，b的大小不定，即(a2+b2)(a-b)正负不确定，
所以这种取法没有必胜的把握；
（3）若先取A、D，后者只能取B、C，则有(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a-b)2，
又a≠b，a>0，b>0，必有(a+b)(a-b)2>0，即a3+b3>a2b+ab2，
所以先取A、D是唯一必胜的方案，综上，先取A、D是必胜的方案，一种.
22．（2021·全国）甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为元，元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元，问甲、乙谁的购物比较经济合算.
【答案】（1）5，
；（2）乙的购物比较经济合算
.
【分析】（1）首先设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，再分别计算甲、乙的平均价格即可.（2）首先分别算出甲、乙的平均价格，再作差比较即可.
【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，
所以甲两次购买这种物品平均价格为，，
乙两次购买这种物品平均价格为，.
（2）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，
所以甲两次购买这种物品平均价格为，，
乙两次购买这种物品平均价格为，
，
所以乙的购物比较经济合算.
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精品试卷·第
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2.1
等式性质与不等式性质
【学习要求】
1）会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.
2）会利用不等式性质比较大小
【思维导图】
【知识梳理】
1、等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2、不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
3、比较两个实数a、b大小的依据
文字语言
符号表示
如果a＞b，那么a－b是正数；如果a＜b，那么a－b是负数；如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然
a>b?a－b>0a[化解疑难]
1）上面的“?”表示“等价于”，即可以互相推出．
2）“?”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
4、不等式的性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c；
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)：?a＋c>b＋d；
(4)可乘性：?ac>bc；?ac推论(同向同正可乘性)：?ac>bd；
(5)正数乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N
，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0?>(n∈N
，n≥2)．
[化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
【高频考点】
高频考点1
.
利用不等式的性质判断正误
【方法点拨】①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
【例1】（2021?中卫一模）下列四个命题：
①若a＞|b|，则a2＞b2；②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则
其中正确命题的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式1-1】（2021·江苏高一专题练习）对于任意实数，命题（1）若则（2）若则（3）若则（4）若则；（5）若则其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1-2】（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【变式1-3】（2021·上海市奉贤区曙光中学高一月考）下列命题中，正确的是_________
①若，，则；②若，则；③若，则；
④若，，则；⑤若，，则.
【变式1-4】（2021·铜山启星中学高一月考）下面命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
高频考点2.
根据已知条件判断不等式正误
【方法点拨】根据已知条件结合不等式的性质比较各式大小即可。
【例2】（2021·江苏省震泽中学高一月考）若，则下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2021·河北武强中学高一期中）若，，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2020·江苏苏州中学）设，，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2021·江苏高一专题练习）若实数，满足，则下列不等式中不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】（2021·沭阳如东中学高三月考）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点3
.
利用作差（作商）法比较大小
【方法点拨】（1）作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．
（2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．
【例3】（2021·山西太原·高二期中）下列不等式中，恒成立的个数是（
）
①；②；③；
④．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3-1】（2021·张家口市第一中学高一月考）已知，，，，则M与N的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
【变式3-2】（2020·上海高三专题练习）设，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2021·全国高一课时练习）若，设，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-4】2021?运城模拟）若b＞a＞0，m＜﹣a，设X，Y，则（ ）
A．X＞Y
B．X＜Y
C．X＝Y
D．X与Y的大小关系不确定
高频考点4.
利用作差法比较大小的应用
【方法点拨】同考点3
【例4】（2021·江苏高一专题练习）某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（
）
A．甲
B．乙
C．甲、乙一样
D．无法确定
【变式4-1】（2021·安徽高三月考）现有一台不等臂的天平，它有左右两个托盘，若同一个物体放在左右托盘各测一次所得的质量分别是a、b(单位：g)，则下列关于物体的真实质量m表述正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2021·浙江）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位），若，则（
）
A．甲先到达终点
B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点
D．无法确定谁先到达终点
【变式4-3】（2021·江苏高一专题练习）已知的三边长分别为、、，有以下4个命题：
（1）以、、为边长的三角形一定存在；（2）以、、为边长的三角形一定存在；
（3）以、、为边长的三角形一定存在；
（4）以、、为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式4-4】（2021·山东高一期中）甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，则（
）
A．如果，则两个项目组同时完工
B．如果，则甲项目组先完工
C．如果，则甲项目组先完工
D．如果，则乙项目组先完工
高频考点5
.
利用不等式的性质求取值范围
【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
【例5】（2021·浙江瑞安中学高一期中）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2021·全国）若实数、满足，则的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2021·山东济南·高三月考）已知均为正实数，且，那么的大值为__________．
【变式5-4】（2021春?黄陵县校级月考）设2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+b，a﹣b，，ab，的取值范围．
高频考点6
.
利用不等式的性质证明不等式
【方法点拨】①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
【例6】（2021·全国高一课时练习）（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
【变式6-1】（2021·余干县第三中学高二月考（理））求证：．
【变式6-2】（2021·全国高一课时练习）证明不等式：
（1）设，求证：；（2）设，求证：.
【变式6-3】（2021·全国）已知，.证明：
（1）；（2）.
【变式6-4】（2021·湖北高三二模（理））已知实数a、b满足a2+b2-ab＝3．
（1）求a-b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：．
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试）已知，，，为实数，且，则下列不等式不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2.（2021?驻马店期中）下列不等式中，正确的是（ ）
A．若a＞b，则a2＞b2
B．若a＞b，则c﹣a＜c﹣b
C．若a＞b，c＞d，e＞f，则ace＞bdf
D．若a＞b，c＞d，e＞f，则
3．（2020·江苏无锡·高二开学考试）若，则下列不等关系中，不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·广东高一单元测试）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（
）
A．大于
B．小于
C．大于等于
D．小于等于
5．（2021·广东高一单元测试）已知，，记，则与的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
6．（2021·陕西省黄陵县中学高二期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（
）
A．
B．
C．
D．
7.（2021?金华期末）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（ ）
A．甲先到达终点
B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点
D．无法确定谁先到达终点
8．（2021·长垣市第十中学高二月考）实数，，满足且，则下列关系成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏高一单元测试）下列说法中正确的是（
）
A．若a>b，则
B．若-2C．若a>b>0，m>0，则
D．若a>b，c>d，则ac>bd
10．（2021·全国高一课时练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则下列不等式不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2021·全国）已知a，b＞0且2a＋b＝1，则的值不可能是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
12．（2021·江苏高一专题练习）若实数，满足，下列四个不等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·全国），则的大小关系为_______．
14．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试）下列命题正确的个数是___________.
①若，则；②若，则；
③若，是非零实数，且，则；④若，则.
15．（2021·全国高一课时练习）杯中有浓度为的盐水克，杯中有浓度为的盐水克，其中杯中的盐水更咸一些．若将、两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_____．
16．（2021·湖南高三模拟预测）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场，市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的面积为．月租为x万元；每间肉食水产类店面的建筑面积为，月租为0.8万元全部店面的建造面积不低于总面积的，又不能超过总面积的，市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，则x的最大值为__________．
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国高一专题练习）比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；（2）当，且时，与.
18．（2021·全国高一专题练习）（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；（3）已知，求证：.
19．（2021·全国高一课时练习）已知-2（1）|a|；（2）a+b；（3）a-b；（4）2a-3b．
20．（2020·全国高一课时练习）某种商品计划提价，现有四种方案：
方案（1）先提价，再提价；方案（2）先提价，再提价；
方案（3）分两次提价，每次提价；方案（4）一次性提价.
已知，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？
21．（2021·全国高一专题练习）现有A，B，C，D四个盛满水的长方体容器，A，B的底面积均为a2，高分别为a，b，C，D的底面积均为b2，高分别为a，b（a≠b）.现规定一种游戏规则，每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有无必胜的把握？若有的话，有几种方案？
22．（2021·全国）甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为元，元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元，问甲、乙谁的购物比较经济合算.
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