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2.2
基本不等式
【学习要求】
1）能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小
2）能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
3）熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
4）能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
【思维导图】
【知识梳理】
1、重要不等式及证明
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．
2、基本不等式
1）≤，其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
2）证明：∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0.
∴a＋b≥2.∴≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
3）两种理解：(1)算术平均数与几何平均数：设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)几何意义：如图所示，以长度为a＋b的线段AB为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD，DB，易证Rt△ACD
∽
Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝.这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即≥，当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，等号成立．
3、基本不等式的常用推论
1）ab≤2≤(a，b∈R)．
2）＋≥2
(a，b同号)．
3）当ab>0时，＋≥2；
当ab<0时，＋≤－2.
4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
4、基本不等式求最值
1）理论依据：
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
2）基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．
3)利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．
【高频考点】
高频考点1.
对基本不等式的理解
【方法点拨】(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b?＝；
②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝?a＝b.
【例1】（2021·吴县中学高二月考）下列结论中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】CD
【分析】由可判断A；由基本不等式可判断B、C、D.
【详解】当时，，故A错误；
当时，，则，故B错误；
当，时，，，相加可得，故C正确；当，时，，故D正确.故选：CD.
【变式1-1】（2021·河北高一期末）下列选项中正确的是（
）
A．不等式恒成立
B．若?为正实数，则
C．当，不等式恒成立
D．若正实数，满足，则
【答案】BD
【分析】根据基本不等式判断各选项的对错.
【详解】取，，则，，A错，
∵?为正实数，∴
，∴
，当且仅当时等号成立，B对，
取，则，C错，∵正实数，满足，
∴，
当且仅当，时等号成立，D对，故选：BD.
【变式1-2】（2021·铜山启星中学高一月考）下列命题中不正确的是（
）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
【答案】ACD
【分析】结合基本不等式的知识确定正确选项.
【详解】A选项，，时等号成立，这与已知矛盾，所以A错误.
B选项，，，当且仅当时等号成立，所以B正确.C选项，，，时等号成立，这与已知矛盾，所以C错误.D选项，当时，，所以D选项错误.故选：ACD
【变式1-3】（2020·佛山市南海区里水高级中学高一月考）有下面四个不等式，其中恒成立的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】对于A：取特殊值，否定选项A；对于B：直接利用基本不等式证明；
对于C：直接利用基本不等式证明；对于D：取特殊值，否定选项D.
【详解】对于A：取，则，所以不成立，故A错误；
对于B：，当且仅当a=1-a，即时等号成立，故B正确；
对于C：因为，所以；同理可证：，，
相加得：.即证.故C正确；
对于D：取，则，所以不成立.故D错误.故选：BC.
【变式1-4】（2021·广东深圳·）设且，则下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据基本不等式进行判断．
【详解】由得，A正确；
在时，，但不成立，B错；同理C也错误；
时，，，当且仅当时等号成立，D正确．故选：AD．
高频考点2.
利用基本不等式求最值（有条件）
【方法点拨】灵活运用已知条件，转化为均值不等式完成即可。
【例2】（2021·浙江省富阳中学高三开学考试）已知正实数a，b满足，则的最小值是（
）
A．8
B．16
C．32
D．36
【答案】B
【分析】对利用基本不等式求出且，把展开得到，即可求出最小值.
【详解】因为正实数a，b满足，
所以，即，当且仅当时，即时取等号.
因为，所以，所以.
故的最小值是16.故选：B
【变式2-1】（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）若，且，则的最小值为（
）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.
【详解】因，且，则，即有，同理，
由得：，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：D
【变式2-2】（2021·长沙市明德中学高一开学考试）若正数、满足，则的最小值是______
【答案】
【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求出的最小值.
【详解】由，则，当且仅当时取等号，
整理可得
解不等式可得或，
又因为、为正数，所以，所以的最小值是.故答案为：
【变式2-3】（2021·富宁县第一中学高二月考）设，，且，则当取最小值时，（
）
A．12
B．8
C．16
D．
【答案】A
【分析】根据已知求出，再求出，当且仅当即时取等号，即得解.
【详解】∵，，∴当取最小值时，取最小值，
∵，，∴，
∴，∴，当且仅当即时取等号，
∴，∴，∴.故选：A
【变式2-4】（2021·淮北市树人高级中学高一月考）已知，，且满足，则的最小值为_________
【答案】
【分析】将展开利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以
，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.
高频考点3
.
利用基本不等式求最值（无条件）
【方法点拨】(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
【例3】（2021·江苏苏州中学高二开学考试）若，是正常数，，，，则当且仅当时取等号．利用以上结论函数，取得最小值时的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据所给结论，直接套用即可得解.
【详解】，
当且仅当时，即时等号成立，故选：A
【变式3-1】（2021春?鼓楼区校级期末）设x＞0，y＞0，则x+4y的最小值为
．
【分析】由基本不等式得x+4y≥2，42，注意等号要同时取得即可．
【解答】解：x+4y≥24（当且仅当x＝4y时，等号成立），
424（当且仅当4时，等号成立），
故x+4y4（当且仅当4且x＝4y，即x＝1，y时，等号成立），
故x+4y的最小值为4，故答案为：4．
【变式3-2】（2021·红桥·天津三中高一月考）函数的最小值等于____________.
【答案】
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值是.故答案为：
【变式3-3】（2021·铜山启星中学高一月考）设则的最大值是（
）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为所以，
当且仅当，即时，等号成立，故选：D
【变式3-4】（2021·全国（理））若
，则有（
）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
【答案】A
【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A
高频考点4
.
利用基本不等式证明不等式
【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．
【例4】（2021·孟津县第一高级中学高三月考）已知，，．
（1）求证：；（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）将要求证的等式左边平方，利用基本不等式结合已知条件即可证结论，注意等号成立条件.（2）利用“1”的代换有，再由基本不等式求证即可，注意等号成立条件.
【详解】（1），当且仅当时，等号成立．．
（2）．（当且仅当时，等号成立）．
【变式4-1】（2021·博野县实验中学高一月考）设.
（1）证明：；（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）把展开化简，利用基本不等式即可得证；（2）结合已知条件，利用两数和的立方公式展开，再用基本不等式即可得证.
【详解】（1）证明：因为，，.
.且（当且仅当时取等号），
故.所以
（2）证明：
当且仅当时取等号，
又，故.
【变式4-2】（2021·河北正定中学高一月考）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径的半圆弧于D，连结OD，作CE⊥OD，垂足为E，请从下列不等式①、②、③中选出表示CD≥DE的序号（不需要写出推导过程，只需选出不等式序号即可），并证明选出的不等式．
①（a＞0，b＞0）；②（a＞0，b＞0）；③（a＞0，b＞0）．
【答案】答案见解析
【分析】选择：②，利用作差法证明.
【详解】选择：②
下面证明：
作差法：，
当且仅当时，等号成立，故成立．
【变式4-3】（2021·全国高一专题练习）已知为正实数，且．
（1）求证：；（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）将已知条件两边平方，平方后利用基本不等式，然后移项，合并同类项即可证明上式；（2）在原不等式左边每个分式分子利用基本不等式，然后分别提公因式，继续利用基本不等式并结合等式可证明原不等式．
【详解】解：（1）在等式两边平方得，
由基本不等式可得：
所以，当且仅当时等号成立，得证
（2）由基本不等式可得
，当且仅当时，等号成立．
【变式4-4】（2021·全国高三模拟预测）已知、、，.
（1）证明：.（2）若，证明：或.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）本题首先可通过得出，然后根据基本不等式得出，即可证得结论；（2）本题首先可根据题意得出，然后通过基本不等式得出，最后通过得出，即可证得结论.
【详解】（1）因为，所以，
因为，，，
所以，
即，，当且仅当时取等号.
（2），
则
，当且仅当时取等号，即，
因为，所以，解得或.
高频考点5
.
利用基本不等式求参数
【方法点拨】
【例5】（2021·全国高一专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣8≤m≤1
B．m≤﹣8或m≥1
C．﹣1≤m≤8
D．m≤﹣1或m≥8
【答案】A
【分析】由题意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立?m2+7m＜（）min，即可求得实数m的取值范围．
【详解】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），
∵不等式m2+7m成立，∴m2+7m≤8，求得﹣8≤m≤1．故选：A．
【变式5-1】（2021·江西南昌十中）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用参变分离，转化为求函数在的最大值，即可求解.
【详解】若不等式对一切恒成立，则，即
，在单调递增，，所以.故选：C
【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（
）
A．3
B．4
C．8
D．9
【答案】D
【分析】由，知，，，由，得，结合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值．
【详解】由，知，，，由，得，
又，
，当且仅当，
即时，取得最小值9，，的最大值为9．故选：．
【变式5-3】（2021·阜阳市耀云中学高二期中）设，若恒成立，则k的最大值为___________.
【答案】
【分析】由基本不等式求得不等式左边的最小值即可得参数范围．
【详解】因为，
所以
当且仅当，即时等号成立．
所以．故答案为：．
【变式5-4】（2021·全国高一课时练习）若不等式（a>0）恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【分析】原不等式可转化为根据基本不等式和不等式恒成立思想可求得答案.
【详解】原不等式可转化为
又a>0，则当且仅当
即时，等号成立，则根据恒成立的意义可知解得故答案为：
高频考点6
.
利用基本不等式解决实际问题
【方法点拨】解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．
【例6】（2021·广东高一期末）某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为节约用水，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为（，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：平方米）记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和.（1）解释的实际意义；（2）求y的最小值.
【答案】（1）表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元；（2）的最小值为3万元.
【分析】（1）根据题意，即可知道实际意义（2）建立关于的函数，求最值即可.
【详解】解（1）表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元.
（2）由
∴
∵
∴∴（万元）
当且仅当即时取“=”答：的最小值为3万元.
【变式6-1】（2021·江苏省苏州第一中学校）如图所示，某市现有自市中心通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决该交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取、两点，使环城公路在、间为直线，要求路段与市中心的距离为，且使、间的距离最小，请你确定、两点的最佳位置（不要求作近似计算）．
【答案】、两点的最佳位置是离市中心均为处．
【分析】先以为原点，正东方向为轴的正半轴，正北方向为轴的正半轴，建立直角坐标系．设、，则可得直线的方程，再根据点到直线的距离公式可得，进而求得的范围，再根据两点间的距离求得，进而可得的范围及最小值．当取最小值时可求得，的值，进而求出和，确定，的位置．
【详解】以为原点，正东方向为轴的正半轴，正北方向为轴的正半轴，建立如下图所示的直角坐标系
设、（其中，，则的方程为，即．
．
，．当且仅当“”时等号成立，
而，．
当，时，取最小值，即，
此时，，
、两点的最佳位置是离市中心均为处．
【变式6-2】（2020·江苏苏州中学高二月考）某公司生产的某批产品的销售量（万件）（生产量与销售量相等）与促销费用（万元）满足（其中，为正常数）.已知生产该批产品还需投入成本万元（不包含促销费用）.产品的销售价格定为元/件.
（1）将该产品的利润（万元）表示为促销费用（万元）的函数；
（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
【答案】（1），；（2）见解析.
【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本，建立函数关系；
（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．
【详解】解：（1）由题意知，，
将代入化简得：，；
（2），当且仅当时，上式取等号；
当时，促销费用投入4万元时，该公司的利润最大；
当时，函数在，上单调递增，
时，函数有最大值．即促销费用投入万元时，该公司的利润最大．
综上：当时，促销费用投入4万元时，该公司的利润最大；
当时，促销费用投入万元时，该公司的利润最大．
【变式6-3】（2021·山西运城·高二期末（文））中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额-成本）；
（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元．
【分析】（1）根据销售额减去成本（固定成本万和投入成本）求出利润函数即可．
（2）根据（1）中的分段函数结合二次函数在确定区间上求最值以及均值等式求最值可求出何时取最大值及相应的最大值．
【详解】（1）当时，；
当时，；
∴；
（2）若，，
当时，万元；
若，，
当且仅当即时，万元．
因为，故最大利润是8250万元，
答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元．
【变式6-4】（2020秋?浦东新区校级期中）公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．
【分析】（1）设每个组x个人，可得1000x次检测可以找到所有的被感染者，由均值不等式即可得到所求值；（2）设第一次每个组x1人，第二次每个组x2人，可得检测的总次数为1000x2，运用三元基本不等式，结合整数解，即可得到所求值；（3）运用基本不等式的一般式，结合xn＝1，可得n的最小值，进而得到所求结论．
【解答过程】解：（1）设每个组x个人，
那么最坏情况下，需要进行1000x次检测可以找到所有的被感染者，
由y1000x≥24×104，由1000x，即x≈44.72，
由于x为正整数，由x＝44，可得y44000≈89854.54，
由x＝45，可得y45000≈89444.44，
可得在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数为45；
（2）设第一次每个组x1人，第二次每个组x2人，可得检测的总次数为
1000x2≥33×104，
当且仅当1000x2，即x22＝x1，x1＝100158.74，
由x1为正整数，可得x1＝159离100，较158离100近，即x1为159；
由x212.6，则13较12与12.6距离近，则x2为13，
则第一次每个组159人，第二次每个组13人；
（3）当进行n次这样的检验，可以达到最优，
由1000xn≥（n+1），
由1000xn，
可得xn，由n＝18，x181.49，
可取x18＝1，即进行这样的检验18次，即可得到总次数更少．
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国高三专题练习）设a>0，则的最小值为（
）
A．
B．2
C．4
D．5
【答案】D
【分析】根据基本不等式可求解.
【详解】，，当且仅当a=2时取等号，
所以的最小值为5.故选：D.
2．（2021·如皋市第一中学高一月考）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设直角三角形的两个直角边为，，由此可得，又面积，利用基本不等式可求面积的最大值.
【详解】设直角三角形的两个直角边为，，则，
又由基本不等式可得(当且仅当x=y=时等号成立)故选：A.
3．（2021·全国高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式求得的最大值，再根据恒成立，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，对任意，则有，
当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，
又由对任意时，恒成立，所以，即的取值范围为.故选：A.
3．（2021·安徽六安一中高二月考）下列结论正确的是（
）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是1
D．设，则的最小值是2
【答案】A
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】对于A,
当时，，当且仅当取等号，故A对，
对于B，当时，为增函数，，没有最小值，B错误,
对于C，，，当且仅当时取等号，即最大值是1，没有最小值.错误，
对于D,
，故D错误.故选：A
4．（2021·铜山启星中学高一月考）下列不等式的最小值是的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求解判断.
【详解】A.当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立，故错误；
B.当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立，故错误；
C.
当时，，当且仅当时，等号成立；
D.
当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立，故错误；故选：C
5．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）若正实数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据基本不等式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
【详解】因为a，b是正实数，
所以有，
因为a，b是正实数，所以，因此有，故选：B
6．（2021·江苏）若不等式对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（
）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由题意可知对所有正数x，y均成立，即，然后结合均值不等式求出的最大值即可.
【详解】解：∵对所有正数x，y均成立，
∴对所有正数x，y均成立，∴
又，当且仅当时等号成立，∴
故m的最小值为故答案为：B
7．（2021·陕西省子洲中学高二开学考试）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质，分别表示和，根据长度关系，判断选项．
【详解】由图可知，，，
在中，，显然，即．故选：B.
8．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考）若实数，则的最小值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【分析】由条件变形，再结合基本不等式求最小值.
【详解】由条件可知，，所以
，
当，即，结合条件
，
可知时，等号成立，所以的最小值为.故选：D
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2021?无锡校级月考）下列结论成立的是（ ）
A．若a，b∈R，则a10+b10≥2a5b5
B．若x≠0，则x22
C．若，则a＞0，b＞0
D．?a∈R，使a2+9＜6a
【解题思路】根据题意，结合基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．
【分析】解：对于选项A：∵a10+b10≥22|a5b5|≥2a5b5（当且仅当a＝b时取“＝“），∴选项A正确；
对于选项B：∵当x≠0时，x222（当且仅当x2时取“＝“），∴选项B正确；
对于选项C：当a＝b＝﹣1时满足2，但a＜0，b＜0，∴选项C错误；
对于选项D：∵a2+9﹣6a＝（a﹣3）2≥0，即a2+9≥6a恒成立，∴选项D错误．故选：AB．
10．（2021·河北）设正实数，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据正实数?满足.A，由，利用基本不等式判断；B.由，利用基本不等式判断；C.由判断；D.由，利用基本不等式判断.
【详解】设正实数?满足.对于A选项，可得，
当且仅当时取得等号，故A错误；对于B选项，，
，
当且仅当时取得等号成立，故B正确；对于C选项，，∴，
当且仅当时取得等号，故C正确；
对于D选项，，
而，∴，当且仅当时取得等号，故D正确，故选：BCD.
11．（2021·河北正定中学高一月考）已知正实数a，b，c满足a2-ab＋4b2-c＝0，当取最小值时，下列说法正确的是（
）
A．a＝2b
B．c＝4b2
C．a＋b-c的最大值为
D．a＋b-c的最大值为
【答案】AD
【分析】由，利用基本不等式求解判断.
【详解】因为正实数a，b，c满足a2-ab＋4b2-c＝0，
所以，
当且仅当即时，等号成立，此时，
所以，当时取得最大值，故选：AD
12．（2021·广东）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（
）
A．当时，，故时，的最大值为；
B．当时，，当且仅当时取等号，解得或，又由，所以取，故时，的最小值为；
C．由于，故的最小值是；
D．，，且，由于，则，又，则，，且，的最小值为．
【答案】BCD
【分析】
利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件，即“一正二定三相等”．
【详解】解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确；
对于B，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，即B的运算方法错误；
对于C，取等的条件是，即，显然均不成立，即C的运算方法错误；
对于D，第一次使用基本不等式的取等条件为，而第二次使用基本不等式的取等条件为，两者不能同时成立，即D的运算方法错误．
故选：BCD．
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）已知，则是的最小值为________．
【答案】
【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意知，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以是的最小值为.故答案为：.
14．（2022·全国（理））若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是__________
【答案】
【分析】根据题意可知，利用基本不等式求得的最小值，再解分式不等式即可得出答案.
【详解】若对任意满足的正数，都有成立，则，
，
当且仅当，即时等号成立，所以，
所以，即，即，解得或，
所以实数x的取值范围是.故答案为：.
15．（2021·重庆北碚·西南大学附中高二月考）设，则的最大值为____.
【答案】
【分析】依题意将原式变形为，再利用基本不等式，令，即可求出，从而得解；
【详解】解：
令或（舍去）
所以故答案为：
16．（2021·江苏南京一中高三开学考试）设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为______．
【答案】
【分析】由已知条件可得，代入化简，利用基本不等式求出该代数式的最小值并得出等号成立的条件为，，再代入转化为关于的函数，利用二次函数的性质即可求最大值.
【详解】由可得，
所以，
当且仅当时即等号成立，取得最小值，此时，
所以，
所以当时，的最大值为，故答案为：.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·河北张家口·高一期末）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.
【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；
（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.
【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.
又，所以.所以宽的最大值为16米.
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立.
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
18．（2021·全国高一专题练习）（1）设，证明；
（2）求满足方程的实数的值.
【答案】（1）见解析;
（2）
或
【分析】（1）利用重要不等式和不等式性质即得;
（2）利用均值定理即得.
【详解】（1）
以上三个式子相加可得：
即
即故.
（2）
故满足方程时有
或
19．（2021·全国）（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．
（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；
【答案】（1）；（2）-1；（3）.
【分析】（1）将原式改为，进而用基本不等式解决；
（2）根据题意，将原式改为，进而用基本不等式解决；（3）根据x＋y＝4，，将原式改为，进而化简，最后根据基本不等式得到答案.
【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为.
（2）因为x＜3，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为-1.
（3）因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最小值为.
20．（2021·全国高一月考）对于题目：已知，，且，求最小值．
同学甲的解法：因为，，所以，，从而：
．所以A的最小值为8．
同学乙的解法：因为，，
所以．所以A的最小值为．
①请对两位同学的解法正确性作出评价；②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：
已知，，且，求的最小值．
【答案】①甲错误，乙正确；②．
【分析】①说明甲同学多次运用基本不等式时未保证同时取“=”即可；②先将待求式分式通分再运用题中所给等式化简、配凑后运用基本不等式即可.
【详解】①甲错误，乙正确，甲同学连续两次运用基本不等式，取等号的条件为，则，故不能保证可以同时取“=”．
②
当且仅当，即时，取“=”．
21．（2021·全国高三模拟预测）设，，为非零实数，且，证明：
（1）；（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由，结合均值不等式即可证明；（2）由，，利用不等式同向相加即可证明．
【详解】
解：（1）因为，
所以，当且仅当时取“=”.
（2），当且仅当时取“=”，
同理可得，当且仅当时取“=”，
，当且仅当时取“=”，
所以，当且仅当时取“=”.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
22．（2021·东莞市光明中学高二月考）某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车．经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车万台需投入资金万元，且，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000（单位：元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完．（1）求的值，并写出2021年该款摩托车的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；（2）当2021年该款摩托车的年产量为多少时，年利润最大？最大年利润是多少？（年利润销售所得投入资金设备改造费）
【答案】（1），；（2）年产量为5万台时，年利润最大，最大年利润是4000万元．
【分析】（1）根据生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元，求出的值，然后年利润销售额投入资金改造费，从而可求出所求；
（2）分段函数求最值分段求，利用二次函数的性质和基本不等式分别求出最值，比较即可求出所求．
【详解】（1）由题意，所以，
当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，，所以当时，．
当时，，
因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，
所以，所以当时，，因为，
所以，当2021年该款摩托车的年产量为5万台时，年利润最大，最大年利润是4000万元．
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精品试卷·第
2
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（共
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2.2
基本不等式
【学习要求】
1）能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小
2）能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
3）熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
4）能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
【思维导图】
【知识梳理】
1、重要不等式及证明
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．
2、基本不等式
1）≤，其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
2）证明：∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0.
∴a＋b≥2.∴≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
3）两种理解：(1)算术平均数与几何平均数：设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)几何意义：如图所示，以长度为a＋b的线段AB为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD，DB，易证Rt△ACD
∽
Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝.这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即≥，当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，等号成立．
3、基本不等式的常用推论
1）ab≤2≤(a，b∈R)．
2）＋≥2
(a，b同号)．
3）当ab>0时，＋≥2；
当ab<0时，＋≤－2.
4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
4、基本不等式求最值
1）理论依据：
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
2）基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．
3)利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．
【高频考点】
高频考点1.
对基本不等式的理解
【方法点拨】(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b?＝；
②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝?a＝b.
【例1】（2021·吴县中学高二月考）下列结论中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式1-1】（2021·河北高一期末）下列选项中正确的是（
）
A．不等式恒成立
B．若?为正实数，则
C．当，不等式恒成立
D．若正实数，满足，则
【变式1-2】（2021·铜山启星中学高一月考）下列命题中不正确的是（
）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
【变式1-3】（2020·佛山市南海区里水高级中学高一月考）有下面四个不等式，其中恒成立的有（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-4】（2021·广东深圳·）设且，则下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点2.
利用基本不等式求最值（有条件）
【方法点拨】灵活运用已知条件，转化为均值不等式完成即可。
【例2】（2021·浙江省富阳中学高三开学考试）已知正实数a，b满足，则的最小值是（
）
A．8
B．16
C．32
D．36
【变式2-1】（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）若，且，则的最小值为（
）
A．3
B．
C．
D．
【变式2-2】（2021·长沙市明德中学高一开学考试）若正数、满足，则的最小值是______
【变式2-3】（2021·富宁县第一中学高二月考）设，，且，则当取最小值时，（
）
A．12
B．8
C．16
D．
【变式2-4】（2021·淮北市树人高级中学高一月考）已知，，且满足，则的最小值为_________
高频考点3
.
利用基本不等式求最值（无条件）
【方法点拨】(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
【例3】（2021·江苏苏州中学高二开学考试）若，是正常数，，，，则当且仅当时取等号．利用以上结论函数，取得最小值时的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（2021春?鼓楼区校级期末）设x＞0，y＞0，则x+4y的最小值为
．
【变式3-2】（2021·红桥·天津三中高一月考）函数的最小值等于____________.
【变式3-3】（2021·铜山启星中学高一月考）设则的最大值是（
）
A．3
B．
C．
D．
【变式3-4】（2021·全国（理））若
，则有（
）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
高频考点4
.
利用基本不等式证明不等式
【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．
【例4】（2021·孟津县第一高级中学高三月考）已知，，．
（1）求证：；（2）求证：．
【变式4-1】（2021·博野县实验中学高一月考）设.
（1）证明：；（2）证明：.
【变式4-2】（2021·河北正定中学高一月考）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径的半圆弧于D，连结OD，作CE⊥OD，垂足为E，请从下列不等式①、②、③中选出表示CD≥DE的序号（不需要写出推导过程，只需选出不等式序号即可），并证明选出的不等式．
①（a＞0，b＞0）；②（a＞0，b＞0）；③（a＞0，b＞0）．
【变式4-3】（2021·全国高一专题练习）已知为正实数，且．
（1）求证：；（2）求证：．
【变式4-4】（2021·全国高三模拟预测）已知、、，.
（1）证明：.（2）若，证明：或.
高频考点5
.
利用基本不等式求参数
【方法点拨】
【例5】（2021·全国高一专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣8≤m≤1
B．m≤﹣8或m≥1
C．﹣1≤m≤8
D．m≤﹣1或m≥8
【变式5-1】（2021·江西南昌十中）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（
）
A．3
B．4
C．8
D．9
【变式5-3】（2021·阜阳市耀云中学高二期中）设，若恒成立，则k的最大值为___________.
【变式5-4】（2021·全国高一课时练习）若不等式（a>0）恒成立，则实数a的取值范围是________.
高频考点6
.
利用基本不等式解决实际问题
【方法点拨】解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．
【例6】（2021·广东高一期末）某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为节约用水，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为（，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：平方米）记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和.（1）解释的实际意义；（2）求y的最小值.
【变式6-1】（2021·江苏省苏州第一中学校）如图所示，某市现有自市中心通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决该交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取、两点，使环城公路在、间为直线，要求路段与市中心的距离为，且使、间的距离最小，请你确定、两点的最佳位置（不要求作近似计算）．
【变式6-2】（2020·江苏苏州中学高二月考）某公司生产的某批产品的销售量（万件）（生产量与销售量相等）与促销费用（万元）满足（其中，为正常数）.已知生产该批产品还需投入成本万元（不包含促销费用）.产品的销售价格定为元/件.
（1）将该产品的利润（万元）表示为促销费用（万元）的函数；
（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
【变式6-3】（2021·山西运城·高二期末（文））中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额-成本）；
（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【变式6-4】（2020秋?浦东新区校级期中）公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国高三专题练习）设a>0，则的最小值为（
）
A．
B．2
C．4
D．5
2．（2021·如皋市第一中学高一月考）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于（
）．
A．
B．
C．
D．
3．（2021·全国高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·安徽六安一中高二月考）下列结论正确的是（
）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是1
D．设，则的最小值是2
4．（2021·铜山启星中学高一月考）下列不等式的最小值是的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）若正实数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·江苏）若不等式对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（
）
A．
B．
C．3
D．4
7．（2021·陕西省子洲中学高二开学考试）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考）若实数，则的最小值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2021?无锡校级月考）下列结论成立的是（ ）
A．若a，b∈R，则a10+b10≥2a5b5
B．若x≠0，则x22
C．若，则a＞0，b＞0
D．?a∈R，使a2+9＜6a
10．（2021·河北）设正实数，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2021·河北正定中学高一月考）已知正实数a，b，c满足a2-ab＋4b2-c＝0，当取最小值时，下列说法正确的是（
）
A．a＝2b
B．c＝4b2
C．a＋b-c的最大值为
D．a＋b-c的最大值为
12．（2021·广东）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（
）
A．当时，，故时，的最大值为；
B．当时，，当且仅当时取等号，解得或，又由，所以取，故时，的最小值为；
C．由于，故的最小值是；
D．，，且，由于，则，又，则，，且，的最小值为．
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）已知，则是的最小值为________．
14．（2022·全国（理））若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是__________
15．（2021·重庆北碚·西南大学附中高二月考）设，则的最大值为____.
16．（2021·江苏南京一中高三开学考试）设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为______．
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·河北张家口·高一期末）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
18．（2021·全国高一专题练习）（1）设，证明；
（2）求满足方程的实数的值.
19．（2021·全国）（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；
20．（2021·全国高一月考）对于题目：已知，，且，求最小值．
同学甲的解法：因为，，所以，，从而：
．所以A的最小值为8．
同学乙的解法：因为，，
所以．所以A的最小值为．
①请对两位同学的解法正确性作出评价；②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：
已知，，且，求的最小值．
21．（2021·全国高三模拟预测）设，，为非零实数，且，证明：
（1）；（2）.
22．（2021·东莞市光明中学高二月考）某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车．经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车万台需投入资金万元，且，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000（单位：元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完．（1）求的值，并写出2021年该款摩托车的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；（2）当2021年该款摩托车的年产量为多少时，年利润最大？最大年利润是多少？（年利润销售所得投入资金设备改造费）
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精品试卷·第
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