中小学教育资源及组卷应用平台
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式
【学习要求】
1）掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．
2）理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
3）掌握图像法解一元二次不等式，培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力.
4）掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
【思维导图】
【知识梳理】
1、二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增；在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
2、一元二次方程的根的分布
(1)一元二次方程的根的零分布
所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2且x1≤x2
①x1＞0，x2＞0
②x1＜0，x2＜0
③x1＜0＜x2＜0．④x1＝0，x2＞0c＝0，且＜0；x1＜0，x2＝0c＝0，且＞0．
(2)一元二次方程的根的k分布
研究一元二次方程的根的k分布，一般情况下要从以下三个方面考虑：
①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负．
③对应二次函数图象——抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，则一元二次方程的根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下结论．
根的分布
图象
等价条件
x1≤x2＜k
k＜x1≤x2
x1＜k＜x2
f(k)＜0
x1，x2
(k1，k2)
x1，x2中有且仅有一个在区间(k1，k2)内
f(k1)·f(k2)＜0或f(k1)＝0，k1＜或f(k2)＝0，＜k2．
3、一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
表达式
ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
解集
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
4、“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2
有两个相等的实数根x1，x2
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
x≠x1
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
5、一元二次不等式的解法
利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．
6、一元二次不等式的恒成立问题
1）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0.
2）一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.
3)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立?k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立?k≤f(x)min.
【高频考点】
高频考点1.
一元二次不等式的解法
【方法点拨】解一元二次不等式的一般步骤:
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
【例1】（2021·全国高一专题练习）解下列不等式：
（1）2x2＋5x－3<0；（2）－3x2＋6x≤2；（3）4x2－4x＋1>0；（4）－x2＋6x－10>0.
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）
【分析】（1）求出方程的两根，利用二次函数求解不等式即可（2）先化二次项系数为正，再求出方程的两根，利用二次函数求解不等式即可（3）求出方程的根，利用二次函数求解不等式即可（4）利用判别式小于0得其解集
【详解】（1）方程2x2＋5x－3＝0的两实根为x1＝－3，x2＝，故2x2＋5x－3<0的解集为.
（2）原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.
＝36－4×3×2＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝.故得原不等式的解集为或.
（3）∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.故得原不等式的解集为.
（4）原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵＝36－40＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为
【变式1-1】（2021·吴江汾湖高级中学高二月考）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【分析】由一元二次不等式的解法求得选项.
【详解】由不等式得或，
所以不等式的解集为或故选：D.
【变式1-2】（2021·上海市建平中学高三月考）不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】原不等式化为，分解因式后直接求解.
【详解】∵，∴，即，∴，
即不等式的解集为.故答案为：.
【变式1-3】（2021·靖西市第二中学高一期中）不等式的解集为_______________
【答案】空集
【分析】利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】不等式可化为：，无解，
所以不等式的解集为空集，故答案为：空集
【变式1-4】（2021·全国）解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或.
【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可
【详解】（1）由，得，得，
所以不等式的解集为，
（2）由，得，得，
所以原不等式的解集为，
（3）由，得，解得或，
所以不等式的解集为或，
（4）由，得，，解得或，
所以原不等式的解集为或
高频考点2
.
含参数的一元二次不等式的解法
【方法点拨】解含参数的一元二次不等式时
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【例2】（2021·广东高一期末）解关于x的不等式，其中.
【答案】答案不唯一见解析
【分析】首先不等式转化为，再讨论两根的关系，分类解不等式.
【详解】解：原不等式可化为
方程的两根分别为，
当时，原不等式的解集为或
当时，原不等式的解为且
当时，原不等式的解为或.
【变式2-1】（2021·江苏高一期中）解下列一元二次不等式：.
【答案】答案见解析.
【分析】分别讨论，，，，时不等式解集的情况即可求解.
【详解】当时，原不等式可化为，解得：，此时不等式的解集为，
当时，由可得：，
当时，原不等式可化为，解得：或，
此时不等式的解集为：或，
当时，原不等式可化为，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式解集为，
当即时，不等式的解集为，
综上所述：当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式的解集为.
【变式2-2】（2021·如皋市第一中学高一月考）不等式的解集是或，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将不等式变形为，结合二次不等式的解法可得出结论.
【详解】由可得，即，
因为原不等式的解集为或，故.故选：C.
【变式2-3】（2021·钦州市大寺中学高一期中）已知关于的不等式．
（1）若时，求不等式的解集（2）求不等式的解集
【答案】（1）；（2）答案不唯一见解析.
【分析】（1）直接求解即可，（2）由，得，然后分，和三种情况求解即可
【详解】（1）当时，，，得
，
所以不等式的解集为，
（2）由，得，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为
【变式2-4】（2021·河北张家口·高一期末）已知函数.
（1）若，解不等式；（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）由抛物线开口向上，且其两个零点为，，可得不等式的解集.（2）由对应的二次方程的判别式，其两根为，.讨论时，时，时，其两根的大小，由此可得不等式的解集.
【详解】解：（1）当时，不等式可化为，
又由，得，.
因为抛物线开口向上，且其两个零点为，，
所以不等式的解集为.
（2）对于二次函数，其对应的二次方程的判别式，其两根为，.
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
综上，时，不等式的解集为；
时，不等式无解；
时，不等式的解集为.
高频考点3
.
三个“二次”关系的应用
【方法点拨】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
【例3】（2021·江苏高一专题练习）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解集得出对应方程的实数根，利用韦达定理可得，从而得出不等式的解集．
【详解】解：一元二次不等式的解集为，
所以不等式对应方程的两个实数根是和2，且；
所以，即
所以不等式，即为，即，即，解得，即不等式的解集为．故选：D．
【变式3-1】（2021·浙江高一单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（
）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】AC
【分析】根据一元二次不等式的解集可判断A正确；根据不等式的解集，可得方程的两根为、，利用韦达定理可得，代入相应不等式，结合的符号，化简后（求解），可判断BCD.
【详解】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
方程的两根为、，由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，由的分析过程可知，所以
或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.故选：AC.
【变式3-2】（2021·山东高二期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______；
【答案】
【分析】根据已知不等式的解集，利用利用韦达定理求得的值,进而求解.
【详解】∵关于的不等式的解集是，
∴的两根为1，2.
∴,解得，∴为，即，即，解得,故答案为：.
【变式3-3】（2020秋?亭湖区校级月考）已知实数a，b满足0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是
．
【解题思路】将不等式变形为[（a+1）x﹣b]?[（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整数恰有4个，再由0＜b＜1+a
可得，a＞1，不等式的解集为x1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围．
【解答过程】解：关于x
的不等式（x﹣b）2＞（ax）2即
（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，
∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]?[（a﹣1）x+b]＜0
的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，
∴不等式的解集为x1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0
三个，
∴﹣32，∴2a﹣2＜b≤3a﹣3，
∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3．故答案为：（1，3）．
【变式3-4】（2020·江苏海门市第一中学）已知关于的不等式的解集为，则（
）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.
【详解】关于的不等式的解集为，，A选项正确；
且-2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得
，则，则，C选项错误；
不等式即为，解得，B选项正确；
不等式即为，即，解得或，D选项正确.
故选：ABD.
高频考点4.
解简单的分式不等式
【方法点拨】(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
【例4】（2021·全国高一课时练习）解下列不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）或；（2）或.
【分析】（1）由，得，从而可求出的范围，
（2）由，得，化为，从而可求出的范围
【详解】（1）原不等式可以转化为，即，
解得或.所以，原不等式的解集为或；
（2）原不等式可以转化为，即，即，
解得或.所以原不等式的解集为或.
【变式4-1】（2021·江苏高二月考）不等式的解集为________．
【答案】
【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可解得.
【详解】不等式可化为：，解得：，
故不等式的解集为：.故答案为：.
【变式4-2】（2021·全国）解不等式
【答案】
【分析】通过移项、通分，利用符号法则把不等式化为，求出解集即可.
【详解】不等式化为，，
即，解得，不等式的解集为．
【变式4-3】（2021·全国）求不等式的解集.
【答案】
【分析】直接将分式不等式移项通分化成二次不等式求解
【详解】，
所以原不等式的解集为.
【变式4-4】（2021·全国高一课时练习）已知不等式>0()．
（1）解这个关于
的不等式；（2）若当
时不等式成立，求
的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
．
【分析】（1）根据同号得正异号得负，转化为
，讨论二次项系数，解出不等式的解集；（2）根据不等式成立，得到关于
的不等式，求出
的范围.
【详解】解（1）原不等式等价于．
①当
时，由
，得．
②当
时，不等式可化为
，解得
或
．
③当
时，不等式可化为．
若
，即
，则
；
若，即a＝－1，则不等式的解集为空集；
若，即a<－1，则．
综上所述，当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式解集为
；
当
时，不等式的解集为；
当
时，不等式的解集为；
当
时，不等式的解集为
．
（2）∵当
时不等式成立，
∴
，则
，∴
，即
的取值范围为
．
高频考点5
.
有关一元二次不等式恒成立问题
【方法点拨】不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为?的条件为
【例5】（2021·全国高一专题练习）已知，不等式的解集是，则b=________；若对于任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是________.
【答案】
t≤-2
【分析】由不等式的解集是结合一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程的解集的关系可得是的两根，由此可求，再由在上恒成立可得，由此可得t的范围.
【详解】由不等式的解集是，可知和是方程的根，即解得，所以，所以不等式可化为，
令
，由二次函数的性质可知在上单调递减，则的最小值为，所以，故答案为：4，.
【变式5-1】（2021·全国高一课时练习）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可.
【详解】不等式对任意的恒成立，转化为不等式对任意的恒成立，记，其图像开口向上，对称轴为，当时，该函数单调递增，要想在时恒成立，只需，故选：B.
【变式5-2】（2021春?百色期末）对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤0
B．﹣1≤a＜0
C．﹣1＜a≤0
D．﹣1＜a＜0
【解题思路】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求．
【解答过程】解：1°a＜0时，△＝4a2+4a（a+2）＝8a2+8a＜0，∴8a（a+1）＜0，∴﹣1＜a＜0
2°a＝0时，﹣2＜0成立
综上，实数a的取值范围是﹣1＜a≤0故选：C．
【变式5-3】（2021·全国高一课时练习）对任意实数，若不等式在上恒成立，则的取值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】先求出的最小值，再由题设条件求出的范围即可得解.
【详解】令，则有
当时，，当时，在上递减，，当时，，于是当时，
因对任意实数，不等式恒成立，因此得，
所以的取值可以是-6，-5，-4.故选：ABC
【变式5-4】（2021·全国高一课时练习）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据的解集是可得b，c的值，然后不等式恒成立，分离参数转化最值问题即可求解.
【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根，
则，解得，
则，由得，当时，
，故.故选：B.
高频考点6
.
一元二次不等式的实际应用
【方法点拨】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
【例6】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
【解题思路】（1）降低税率后的税率为（10﹣x）\%，农产品的收购量为a（1+2x\%
）万担，收购总金额为200a（1+2x\%
）万元，然后直接列出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）由题意可得原计划税收为200a×10%＝20a万元，则（50+x）?（10﹣x）≥20a×83.2%，求解不等式得答案．
【解答过程】解：（1）降低税率后的税率为（10﹣x）%，农产品的收购量为a（1+2x%
）万担，收购总金额为200a（1+2x%
）万元．
依题意有y＝200a（1+2x%
）?（10﹣x）%（0＜x＜10）；
（2）原计划税收为200a×10%＝20a万元，依题意有（50+x）?（10﹣x）≥20a×83.2%，
化简得x2+40x﹣84≤0，解得﹣42≤x≤2，
又0＜x＜10，∴0＜x≤2．∴x的取范围是{x|0＜x≤2}．
【变式6-1】（2021·全国高一专题练习）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.
【详解】第一次操作后，利下的纯药液为，
第二次操作后，利下的纯药液为，由题意可知：
，
因为，所以，答案为：
【变式6-2】（2021?丰台区期中）汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．
则交通事故的主要责任方是
（填“甲”或“乙”）．
【解题思路】先由题意列出不等式组，分别求解甲、乙两种车型的事发前的车速，看它们是不是超速行驶，谁超速谁应负主要责任．
【解答过程】解：由题意，解0.1x+0.01x2＞12得，x＜﹣40或x＞30，
∵x＞0，∴x甲＞30km/h，解0.05x+0.005x2＞10得，x＜﹣50或x＞40，
∵x＞0，∴x乙＞40km/h，∴乙车超过限速，应负主要责任．故答案为：乙．
【变式6-3】（2021?峨山县校级期中）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是
台．
【解题思路】首先应该仔细审题分析成本y与产量x的关系以及以及获利与产量的关系，再结合企业不亏本即收入要大于等于支出即可得到关于x的一元二次不等式解之．
【解答过程】解：由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出，
又因为总收入为：25x，总支出为：3000+20x﹣0.1x2∴25x≥3000+20x﹣0.1?x2
解得：x≥150或x≤﹣200又x∈（0，240）∴x≥150故答案为：150．
【变式6-4】（2020·江苏省通州高级中学高一月考）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示.当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）.
阶段
0.准备
1.人的反应
2.系统反应
3.制动
时间
秒
秒
距离
米
米
（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；（2）当k=2时，求在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间；（3）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？
【答案】（1）；（2）2秒；（3）.
【分析】（1）利用求得函数关系式.（2）利用基本不等式求得最短时间.
（3）化简不等式，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围.
【详解】（1）由题意得，所以.
（2）当时，，（秒）.
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒.
（3）根据题意要求对于任意，恒成立，
即对于任意，，即恒成立，
由，得.所以，即，
即，解得.所以.
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·江苏高一专题练习）不等式的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式不等式的解法，将其等价转化为一元二次不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵，∴，
∴，即，等价于，解得：，
故不等式的解集是，故选：C.
2．（2021·贵州省思南中学高一期中）不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法，直接求解.
【详解】，
即，解得：，解得：.故选：A
3．（2021·南昌市豫章中学）若0）
A．
B．或
C．或
D．
【答案】D
【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】∵01>m，故原不等式的解集为，故选：D．
4．（2021·全国）若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是（
）
A．（－2，2）
B．（－2，2]
C．（－∞，－2）∪[2，＋∞）
D．（－∞，2）
【答案】B
【分析】化简不等式，根据二次项系数是否为零分类讨论即可.
【详解】∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，
∴（2－m）x2＋（4－2m）x＋4>0.
当m＝2时，4>0，x∈R；
当m<2时，＝（4－2m）2－16（2－m）<0，解得－2综上所述，－25．（2020·江西高安中学高一月考）已知不等式，对任意实数都成立，则的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先对二次项系数进行讨论，m=0时成立,当m≠0时是一元二次不等式，对任意实数x都成立，满足开口向上且与x轴没交点.
【详解】当时，不等式成立，
当时，不等式恒成立需满足解得，
综上，故故选：B
6．（2021·北京昌平·高二期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由根与系数的关系可得?的值，即可得的解析式，分析可得答案.
【详解】因为不等式的解集为，
所以方程的解为或，且，
则有，解可得，
函数，是开口向下，对称轴为的二次函数.故选：C.
7．（2021·江苏省西亭高级中学高一月考）要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由题意可得，解得.故选：B.
8．（2021·全国高一课时练习）若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】B
【分析】对不等式进行因式分解，根据题意得到，解不等式，然后结合题意分类讨论即可.
【详解】∵不等式，即恰有2个整数解，
∴，解得或.
当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，
∴，即，解得；
当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，
∴，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是-或.
故选：B.
【点睛】根据不等式解的情况得到不等式，运用分类讨论方法进行求解是解题的关键.
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏省震泽中学高一月考）已知关于的方程，则下列结论中正确的是
（
）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正实数根的充要条件是
C．方程无实数根的必要条件是
D．当时，方程的两个实数根之和为
【答案】ABC
【分析】根据一元二次方程的性质，结合判别式和韦达定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，方程有一个正一个负根的充要条件是，解得，所以A正确；
对于B中，方程有两个正实数根的充要条件是，解得，所以B正确；
对于C中，方程无实数根，则，解得，
又由，所以C正确；
对于D中，当时，方程无实数根，所以D错误.
故选：ABC.
10．（2021·江苏高一期中）已知a为实数，下列选项中可能为关于x的不等式解集的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据分类讨论可得结果.
【详解】（1）当时，原不等式即，解得，故A正确；
（2）当时，原不等式即，①
当时，，解得，故B正确；
②
当时，，解得或，故D正确；③
当时，，解得，且；
④
当时，，解得或.故选：ABD.
11．（2021·广东高一期末）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣4x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】BCD
【分析】把每个选项中的数代入关于x的一元二次不等式x2﹣4x+a≤0验证即可．
【详解】解：当a＝0时，一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x≤0，解得0≤x≤4，有5个整数解，∴A错；
当a＝1时，一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x+1≤0解得2x≤2，有3个整数解“1，2，3”，∴B对；
当a＝2时，一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x+2≤0，解得2x≤2，有3个整数解“1，2，3”，∴C对；
当a＝3时，一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，有3个整数解“1，2，3”，∴D对；故选：BCD．
12．（2021·全国高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数的值可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合子集的性质进行求解即可.
【详解】不等式的解集是.
因为对任意，不等式恒成立，所以，
所以解得.所以实数的值可能为，.
故选：BC.
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海市奉贤区曙光中学高一月考）设[]表示不超过的最大整数，如[1.4]=1，[-1.4]=-2，则不等式的解集是________;
【答案】
【分析】首先根据二次不等式可得，可得，由的定义即可得解.
【详解】由可得，
由表示整数，则，所以，即解集为.故答案为：
14．（2021·河北正定中学高一月考）在上定义运算：．若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为________．
【答案】
【分析】本题首先可根据题意将不等式转化为，然后求出，将不等式转化为，通过计算即可得出结果.
【详解】由题意可知，，
不等式恒成立即恒成立，
，，
因为，所以，即，解得，
则实数的最大值为，故答案为：.
15．（2021·江苏省盱眙中学高一月考）关于的不等式的解集为，且，则的值为______．
【答案】
【分析】的两根为，对平方处理，利用韦达定理即可得解.
【详解】由题可得：的两根为，判别式，
由韦达定理：，，所以，
，所以.故答案为：
16．（2021·江苏高一单元测试）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】分别求出命题，为真时对应的的取值范围，依题意可知命题，一真一假，进而可求得结果.
【详解】对于：成立，而，有，∴，∴；
对于：存在，使得不等式成立，只需，
而，∴，∴；
若为假命题，为真命题，则，一真一假.
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则，所以.
综上，或，即实数的取值范围是.故答案为：.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国）解下列关于的不等式：（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）移项通分化二次不等式求解；（2）直接分解因式求解不等式即可
【详解】解：（1）因为，所以，即，即，即等价于，
解得，故原不等式的解集为
（2）因为，
所以，解得或，
故原不等式的解集为
18．（2021·四川省绵阳江油中学高二期中）设，实数满足（）.
（1）若，且都为真命题，求x的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求得为真时的范围，求出均为真时范围的交集即得；（2）同样求得为真时的范围，由是的充分不必要条件，得前者范围是后者范围的真子集，由此可得参数范围．
【详解】（1）当时，可得，可化为，
解得，
又由命题为真命题，则.所以，都为真命题时，则的取值范围是.
（2）由，解得，
因为，且是的充分不必要条件，即集合
是的真子集，
则满足??，解得，所以实数的取值范围是.
19．（2021·全国高一专题练习）已知关于的一元二次方程，当为何值时，该方程：（1）有两个不同的正根；（2）有不同的两根且两根在内.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）方程有两个不同的正根，等价于，由此求得的范围.
（2）令，则当时，满足条件，由此求得的范围.
【详解】解：（1）由题意，关于的一元二次方程有两个不同的正根时，满足，得，所以的范围为.
（2）令，则当时，
即时，方程有不同的两根且两根在内.
20．（2021·杭州之江高级中学高一期中）设函数．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）若，使得成立，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）当时，不等式可化简为，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.（2），使得成立的否定为：恒成立，列出方程组，可求得a的范围，进而可得答案.
【详解】（1）当时，，整理可得
所以，解得或，
故原不等式的解集为．
（2）命题：，使得成立的否定为：恒成立，
则，解得，
若原命题成立，则a的取值范围为．
21．（2021·江苏高二期中）已知.（1）若，求实数的取值范围;
（2）请在①，恒成立，②，使得，这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，并解答问题.若______，求实数的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）或；（2）选①：；选②：.
【分析】（1）代入数值，解一元二次不等式即可得解；
（2）选①：转化条件为，结合基本不等式即可得解；
选②：转化条件为，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意，，即，解得或；
（2）选①：因为，恒成立，
所以，恒成立，即，
当时，，当且仅当时，等号成立，所以；
选②：因为，使得，
所以，使得，即，
当时，，当且仅当时，等号成立，所以.
22．（2020·江苏省苏州第一中学校）已知函数．
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），，；（2）答案见解析；（3）.
【分析】（1）把代入可得不等式，然后解出即可；
（2）根据函数的解析式，可将化为，分类讨论可得不等式的解集；（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数的取值范围．
【详解】（1）当时，则，由，得，
令，解得，或原不等式的解集为，，
（2）由得，令，得，
；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
（2）由即在上恒成立，得
令，则，
故实数的取值范围是
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式
【学习要求】
1）掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．
2）理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
3）掌握图像法解一元二次不等式，培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力.
4）掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
【思维导图】
【知识梳理】
1、二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增；在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
2、一元二次方程的根的分布
(1)一元二次方程的根的零分布
所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2且x1≤x2
①x1＞0，x2＞0
②x1＜0，x2＜0
③x1＜0＜x2＜0．④x1＝0，x2＞0c＝0，且＜0；x1＜0，x2＝0c＝0，且＞0．
(2)一元二次方程的根的k分布
研究一元二次方程的根的k分布，一般情况下要从以下三个方面考虑：
①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负．
③对应二次函数图象——抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，则一元二次方程的根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下结论．
根的分布
图象
等价条件
x1≤x2＜k
k＜x1≤x2
x1＜k＜x2
f(k)＜0
x1，x2
(k1，k2)
x1，x2中有且仅有一个在区间(k1，k2)内
f(k1)·f(k2)＜0或f(k1)＝0，k1＜或f(k2)＝0，＜k2．
3、一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
表达式
ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
解集
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
4、“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2
有两个相等的实数根x1，x2
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
x≠x1
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
5、一元二次不等式的解法
利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．
6、一元二次不等式的恒成立问题
1）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0.
2）一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.
3)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立?k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立?k≤f(x)min.
【高频考点】
高频考点1.
一元二次不等式的解法
【方法点拨】解一元二次不等式的一般步骤:
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
【例1】（2021·全国高一专题练习）解下列不等式：
（1）2x2＋5x－3<0；（2）－3x2＋6x≤2；（3）4x2－4x＋1>0；（4）－x2＋6x－10>0.
【变式1-1】（2021·吴江汾湖高级中学高二月考）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【变式1-2】（2021·上海市建平中学高三月考）不等式的解集为__________.
【变式1-3】（2021·靖西市第二中学高一期中）不等式的解集为_______________
【变式1-4】（2021·全国）解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
高频考点2
.
含参数的一元二次不等式的解法
【方法点拨】解含参数的一元二次不等式时
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【例2】（2021·广东高一期末）解关于x的不等式，其中.
【变式2-1】（2021·江苏高一期中）解下列一元二次不等式：.
【变式2-2】（2021·如皋市第一中学高一月考）不等式的解集是或，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2021·钦州市大寺中学高一期中）已知关于的不等式．
（1）若时，求不等式的解集（2）求不等式的解集
【变式2-4】（2021·河北张家口·高一期末）已知函数.
（1）若，解不等式；（2）解关于x的不等式.
高频考点3
.
三个“二次”关系的应用
【方法点拨】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
【例3】（2021·江苏高一专题练习）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（
）
A．或
B．或
C．
D．
【变式3-1】（2021·浙江高一单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（
）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【变式3-2】（2021·山东高二期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______；
【变式3-3】（2020秋?亭湖区校级月考）已知实数a，b满足0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是
．
【变式3-4】（2020·江苏海门市第一中学）已知关于的不等式的解集为，则（
）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
高频考点4.
解简单的分式不等式
【方法点拨】(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
【例4】（2021·全国高一课时练习）解下列不等式：（1）；
（2）.
【变式4-1】（2021·江苏高二月考）不等式的解集为________．
【变式4-2】（2021·全国）解不等式
【变式4-3】（2021·全国）求不等式的解集.
【变式4-4】（2021·全国高一课时练习）已知不等式>0()．
（1）解这个关于
的不等式；（2）若当
时不等式成立，求
的取值范围．
高频考点5
.
有关一元二次不等式恒成立问题
【方法点拨】不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为?的条件为
【例5】（2021·全国高一专题练习）已知，不等式的解集是，则b=________；若对于任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是________.
【变式5-1】（2021·全国高一课时练习）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2021春?百色期末）对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤0
B．﹣1≤a＜0
C．﹣1＜a≤0
D．﹣1＜a＜0
【变式5-3】（2021·全国高一课时练习）对任意实数，若不等式在上恒成立，则的取值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-4】（2021·全国高一课时练习）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点6
.
一元二次不等式的实际应用
【方法点拨】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
【例6】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
【变式6-1】（2021·全国高一专题练习）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为___________.
【变式6-2】（2021?丰台区期中）汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．
则交通事故的主要责任方是
（填“甲”或“乙”）．
【变式6-3】（2021?峨山县校级期中）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是
台．
【变式6-4】（2020·江苏省通州高级中学高一月考）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示.当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）.
阶段
0.准备
1.人的反应
2.系统反应
3.制动
时间
秒
秒
距离
米
米
（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；（2）当k=2时，求在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间；（3）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·江苏高一专题练习）不等式的解是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·贵州省思南中学高一期中）不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·南昌市豫章中学）若0）
A．
B．或
C．或
D．
4．（2021·全国）若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是（
）
A．（－2，2）
B．（－2，2]
C．（－∞，－2）∪[2，＋∞）
D．（－∞，2）
5．（2020·江西高安中学高一月考）已知不等式，对任意实数都成立，则的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·北京昌平·高二期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·江苏省西亭高级中学高一月考）要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·全国高一课时练习）若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏省震泽中学高一月考）已知关于的方程，则下列结论中正确的是
（
）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正实数根的充要条件是
C．方程无实数根的必要条件是
D．当时，方程的两个实数根之和为
10．（2021·江苏高一期中）已知a为实数，下列选项中可能为关于x的不等式解集的有（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2021·广东高一期末）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣4x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
12．（2021·全国高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数的值可能为（
）
A．
B．
C．
D．
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海市奉贤区曙光中学高一月考）设[]表示不超过的最大整数，如[1.4]=1，[-1.4]=-2，则不等式的解集是________;
14．（2021·河北正定中学高一月考）在上定义运算：．若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为________．
15．（2021·江苏省盱眙中学高一月考）关于的不等式的解集为，且，则的值为______．
16．（2021·江苏高一单元测试）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是___________.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国）解下列关于的不等式：（1）；（2）.
18．（2021·四川省绵阳江油中学高二期中）设，实数满足（）.
（1）若，且都为真命题，求x的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．（2021·全国高一专题练习）已知关于的一元二次方程，当为何值时，该方程：（1）有两个不同的正根；（2）有不同的两根且两根在内.
20．（2021·杭州之江高级中学高一期中）设函数．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）若，使得成立，求a的取值范围．
21．（2021·江苏高二期中）已知.（1）若，求实数的取值范围;
（2）请在①，恒成立，②，使得，这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，并解答问题.若______，求实数的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
22．（2020·江苏省苏州第一中学校）已知函数．
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
