24.4一元二次方程的应用同步培优提升训练2021-2022学年九年级数学冀教版上册（word版含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《24.4一元二次方程的应用》
同步培优提升训练（附答案）
一、填空题
1．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　
　cm2．
2．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率　
　乙药品成本的年平均下降率（用“大于”“小于”或“等于”填空）
3．已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为k．则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于　
　．
4．已知两个连续奇数的平方差是2000，则这两个连续奇数可以是　
　．
5．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）与标枪出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s＝+2，如果抛出40m，那么标枪出手时的速度是　
　m/s（精确到0.1）
6．两个奇数，其中一个为另一个的平方，较大奇数与较小奇数的差为110，两个奇数分别为　
　，　
　．
7．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，则这三个数分别为　
　．
8．某工厂用两年时间把产量提高了44%，求每年的平均增长率．设每年的平均增长率为x，列方程为　
　，增长率为　
　．
9．某商品成本价为360元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率是　
　．
二、解答题
10．山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一，其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2021年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，在蔡岭，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
11．节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．
（1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？
（2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为1：2，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元．为加快实现“碳达峰”的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%，改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%，求a的值．
12．2020年某地由于各种因素的影响，猪肉价格持续走高，同时其他肉类的价格也有一定程度的上涨，引起了当地政府的高度关注．某超市11月份的猪肉销量是牛肉销量的3倍，且猪肉价格为每千克70元，牛肉价格为每千克120元．
（1）若该超市11月份猪肉、牛肉的总销售额不低于26.4万元，则11月份的猪肉销量至少多少千克？
（2）由于12月份香肠腊肉等传统美食的制作，使得市场的猪肉需求量加大，政府也投放大量储备猪肉对价格进行调控，12月份猪肉的销量比11月份猪肉的最低销量增长了15a%，12月份的猪肉价格比11月份降低了a%，12月份牛肉的销量与11月份牛肉的最低销量相等，且价格比11月份降低了a%．最终该超市12月份猪肉和牛肉的销售额比11月份这两种肉的最低销售额增加了a%，求a的值．
13．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
14．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价1元．销售量就减少20件．
（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？
（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3168元，求m的值．
15．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
16．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
17．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
18．重庆江津是中国著名的“花椒之乡”，江津地理条件优越，所产花椒麻香味浓，并且富含多种微量元素，出油率高，不仅是优良的调味品，而且经加工，可提取多种名贵的化工原料，去年江津某村积极改革农村产业结构，增加农民收入，村委会多方筹集资金，流转耕地1200亩，全都用于种植大红袍花椒和九叶青花椒两个品种，花椒上市后，大红袍花椒每亩获利1000元，九叶青花椒每亩获利1200元．
（1）去年该村种植的1200亩花椒至少获利128万元，则该村种植大红袍花椒的面积最多为多少亩？
（2）今年村里保持（1）中大红袍花椒的最多面积种植大红袍花椒，且每亩的获利比去年增加a%；由于九叶青花椒每亩获利较多，村里利用新增流转耕地，使九叶青花椒的种植面积在去年最少种植面积的基础上扩大2a%，同时每亩利润将增加a%，这样，今年花椒的总利润达到了208万元，求a的值．
19．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降价0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价出售．若张阿姨想要这种水果每天盈利300元，请你帮她算算每斤的售价应为多少元？
20．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
21．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？
22．某专卖店销售核桃，进价为每千克40元，售价每千克60元，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克，要想平均每天获利2240元，同时尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？
23．我市南湖生态城某楼盘准备以每平方米4800元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3888元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）王先生准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案：
①打9.5折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米188元，试问那种方案更优惠？
24．山水旅行社的一则广告如下：我社组团去A风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元，某公司组织一批员工到A风景区旅游，支付给旅行社28000元．
（1）该公司的人数　
　30人（填“大于、小于或等于”）
（2）如果设该公司的人数为x，用含x的代数式表示人均旅游费用　
　（填化简结果）
（3）求（2）中的x．
25．某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空土，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？
26．某工厂计划从今年1月份起，每月生产收入是22万元，但生产过程中会引起环境污染，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资111万元治理污染，从1月份开始，每月不但不受处罚，还可降低生产成本，使1至3月生产收入以相同的百分率逐月增长，经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份生产收入为36万元．
（1）求出投资治污后，2月、3月份生产收入增长的百分率；
（2）如果把利润看作是每月生产收入的总和减去治理污染的投资或环保部门的罚款，试问治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？（即治污后所获利润不少于不治污情况下所获利润）．
27．如图，某旅游景点要在长、宽分别为40m、24m的矩形水池的正中央建立一个与矩形的各边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽．
28．列方程解应用题．
福州市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.9折销售；
②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1元．请问哪种方案更优惠？
29．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
参考答案
1．解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x）?x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm
2）．
故答案为：9．
2．解：设甲药品成本的年平均下降率为x，由题意得：
5000（1﹣x）2＝3000
化简得：（1﹣x）2＝①
设乙药品成本的年平均下降率为y，由题意得：
6000（1﹣y）2＝3600
化简得：（1﹣y）2＝②
比较①②得：（1﹣x）2＝（1﹣y）2
∴1﹣x＝1﹣y或1﹣x＝﹣（1﹣y）
\∴x＝y或x+y＝2（不合题意，舍去）
∴x＝y
故答案为：等于．
3．解：设矩形的长、宽分别为a、b（a≥b）．
则＝k，即4a2+（8﹣k）ab+4b2＝0．
两边都除以b2，
令t＝，则4t2+（8﹣k）t+4＝0．
解得t＝．
故答案为：．
4．解：设较小的奇数为x，则较大的奇数为x+2，
（x+2）2﹣x2＝2000，
解得x＝499，
∴x+2＝501，
故答案为501，499或﹣501，﹣499．
5．解：根据题意得40＝+2，
解得v＝19.3或v＝﹣19.3．（舍去）
所以标枪出手时的速度是19.3m/s．
6．解：设较小奇数为x，则较大奇数为x2，根据题意得x2﹣x＝110
解之得x1＝11，x2＝10（不合题意，舍去）
所以较大奇数为x2＝121．
7．解：设最小的偶数为x，根据题意得（x+4）2＝x2+（x+2）2，解得x＝6或﹣2．
当x＝6时，x+2＝8，x+4＝10；
当x＝﹣2时，x+2＝0，x+4＝2
因此这三个数分别为6，8，10或﹣2，0，2．
故答案为6，8，10或﹣2，0，2．
8．解：可设原来的产量为1，
由于每年的平均增长率为x，
那么一年后产量为：1×（1+x），
则可列方程为：1×（1+x）2＝1×（1+44%）；
即（1+x）2＝1.44
1+x＝1.2（取正值）
x＝0.2
x＝20%．
9．解：设降价的百分率是x则，
360×（1﹣x）2＝160，
解之得x＝≈33.3%，
答：降价的百分率是33.3%．
10．解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有
2（1+x）2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：
（y﹣10）[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，
解得y1＝18，y2＝22，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝18．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．
11．解：（1）设2021年改建x座工厂，则重建工厂为（100﹣x）座，
根据题意得：x≥4（100﹣x），
解得：x≥80，
∴至少改建80座工厂；
（2）由（1）得：2021年改建工厂80座，则此时重建工厂20座，
设改建一座工厂花费y亿元，重建一座为2y亿元，
根据题意得：80y+20×2y＝156，
解得y＝1.3，
∴2y＝2.6，
由题意得：1.3（1+a%）×80（1+5a%）+2.6（1+5a%）×20（1+8a%）＝156（1+10a%），
解得：a＝10．
12．解：（1）设11月份的羊肉的销量为x千克，则猪肉的销量为3x千克，
依题意，得：70×3x+120x≥264000，
解得：x≥800，
∴3x≥2400．
答：11月份的猪肉销量至少为2400千克．
（2）依题意，得：70（1﹣a%）×2400（1+15a%）+800×120×（1﹣a%）＝264000×（1+a%），
整理，得：357a2﹣5355a＝0，
解得：a1＝20，a2＝0（舍去）．
答：a的值为20．
13．解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，
依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为50元．
14．解：（1）设售价应为x元，依题意有
1160﹣20（x﹣12）≥1100，
解得：x≤15．
答：售价应不高于15元．
（2）10月份的进价：10（1+20%）＝12（元），
由题意得：
1100（1+m%）[15（1﹣m%）﹣12]＝3168，
设m%＝t，
化简得50t2﹣25t﹣3＝0，
解得：t1＝0.6，t2＝﹣0.1（舍去），
所以m＝60．
答：m的值为60．
15．解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
16．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得
x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
17．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
18．解：（1）设该村种植大红袍花椒的面积为x亩，则该村种植九叶青花椒的面积为（1200﹣x）亩，
根据题意得：1000x+1200（1200﹣x）≥1280000，
解得：x≤800．
答：种植大红袍花椒的面积最多为800亩．
（2）今年大红袍花椒的种植面积为800亩，总利润为800×1000（1+a%）万元，
今年九叶青花椒种植面积为（1200﹣800）（1+2a%）亩，总利润为（1200﹣800）（1+2a%）×1200（1+a%）万元，
根据题意得：800×1000（1+a%）+（1200﹣800）（1+2a%）×1200（1+a%）＝2080000，
5（1+a%）+3（1+2a%）（1+a%）＝13，
设a%＝x，则方程变形为：5（1+x）+3（1+2x）（1+x）＝13，
6x2+17x﹣10＝0，
（2x﹣1）（3x+10）＝0，
x1＝0.5，x2＝﹣（舍），
∴a%＝0.5，
a＝50，
答：a的值为50．
19．解：设每斤水果降价x元，则每天多售出200x斤，
根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
整理得：2x2﹣3x+1＝0，
解得：x1＝0.5，x2＝1．
∵100+200x≥260，
∴x≥0.8，
∴x＝0.5不合题意，舍去．
∴4﹣x＝4﹣1＝3．
答：若张阿姨想要这种水果每天盈利300元，则每斤的售价应为3元．
20．（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得
10×（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝10%，x2＝﹣210%．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．
（2）4月：12.1×1.1＝13.31（万件）
21×0.6＝12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．
∵22＜＜23，
∴至少还需增加2名业务员．
21．解：（1）根据题意得：100﹣＝88（辆），
则当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆车；
（2）设每辆车的月租金为（3000+x）元，
根据题意得：（100﹣）[（3000+x）﹣150]﹣×50＝306600，
解得：x1＝900，x2＝1200，
∴3000+900＝3900（元），3000+1200＝4200（元），
则当每辆车的月租金为3900元或4200元时，月收益达到306600元．
22．解：设每千克核桃应降价x元，
（60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240，
解得，x1＝4，x2＝6，
∵尽可能让利于顾客，
∴x＝6，
即每千克核桃应降价6元．
23．解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
则4800（1﹣x）2＝3888，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），
故平均每次下调的百分率为10%；
（2）方案①购房优惠：3888×100×（1﹣0.95）＝19440（元）；
方案②可优惠：188×100＝18800（元）．
故选择方案①更优惠．
24．解：（1）设这次旅游可以安排x人参加，且30×800＝24000＜28000，
就有x＞30；
故答案为：大于；
（2）根据题意得，
800﹣10（x﹣30）＝1100﹣10x，
故答案为：1100﹣10x；
（3）由题意可得：（1100﹣10x）x＝28000，
则x2﹣110x+2800＝0
解得：∴x1＝40，x2＝70．
∵800﹣10（x﹣30）≥500，
∴x≤60．
∴x＝40．
答：这次旅游可以安排40人参加．
25．解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532．
整理，得x2﹣35x+34＝0．
解得，x1＝1，x2＝34．
∵34＞20（不合题意，舍去），
∴x＝1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
26．解：（1）设2月、3月份生产收入增长的百分率为x，由题意得：
25（1+x）2＝36
解得，x＝0.2＝20%，或x＝﹣2.2（不合题意舍去）
答：2月、3月份生产收入增长的百分率是20%．
（2）设y月后开始见成效，由题意得：
25+25（1+20%）+36（y﹣2）﹣111≥22y﹣2y
解得，y≥8
答：治理污染8个月后开始见成效．
27．解：设道路的宽为x米，
则可列方程：
x（24﹣4x）+x（40﹣4x）+16x2＝×40×24，
即：x2+8x﹣20＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣10（舍去）．
答：道路的宽为2米．
28．解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
依题意得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意舍去）
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）第①种方案：
8100×100×0.99+1×100×24＝801900+2400＝804300（元），
第②种方案：
8100×100＝810000（元），
∵804300＜810000，
∴第①种方案更优惠．
29．解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2＝400，
解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．