2021-2022学年冀教版九年级数学上册24.3一元二次方程根与系数的关系 同步能力提升训练（word版、含解析）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《24.3一元二次方程根与系数的关系》
同步能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．已知关于x的方程2x2+x+a＝0有一个根为1，则另一个根是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0
B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0
D．x2﹣2x﹣3＝0
3．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则m2﹣m+n的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则2x1+2x2﹣x1x2的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣7
D．7
二、填空题
6．关于x的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，若x1＝n，且mn2﹣4n+m＝6，则x12+x22的值为
　
　．
7．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　
　．
8．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　
　．
9．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，则k的值是　
　．
10．已知m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝　
　．
三、解答题
11．已知一元二次方程两个根为a，b，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0两根为x1，x2．
（1）已知x1﹣x2＝0，求a的值；
（2）化简：﹣|2﹣a|．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．
14．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．
15．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；
①求代数式﹣4x1x2的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
17．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值．
18．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
19．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0
（1）若该方程有两个实数根，求k的最大整数值．
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：设关于x的方程2x2+x+a＝0的另一个根为x＝t，
∴1+t＝﹣，
解得，t＝﹣；
故选：D．
2．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
3．解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2＝2m+1，
∴m2﹣m+n＝2m+1﹣m+n＝m+n+1，
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0两根，
∴m+n＝2，
∴m2﹣m+n＝m+n+1＝2+1＝3．
故选：C．
4．解：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，
∴k＝﹣3，b＝1，
∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
5．解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，
所以2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝2×2﹣（﹣3）＝7．
故选：D．
6．解：∵关于x的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，且x1＝n，
∴mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，
∵mn2﹣4n+m＝6，
∴5+m＝6，
解得m＝1，
则方程为x2﹣4x﹣5＝0，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣5，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝42﹣2×（﹣5）
＝16+10
＝26，
故答案为：26．
7．解：∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，解得m≥0，
α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，
∵＝1，即＝1，
∴＝1，
解得m1＝0，m2＝3，
经检验，m1＝0不合题意，m2＝3符合题意，
∴m＝3．
故答案为：3．
8．解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．
解得k＝2．
故答案是：2．
9．解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．
①如果x1﹣2＝0，那么x1＝2，
将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，
整理，得k2+4k+4＝0，
解得k＝﹣2；
②如果x1﹣x2＝0，
则Δ＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．
解得：k＝﹣．
所以k的值为﹣2或﹣．
故答案为：﹣2或﹣．
10．解：∵m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，m2+2m＝2021，
∴m2+mn+3m+n＝m2+2m+mn+（m+n）＝2021﹣2021﹣2＝﹣2．
故答案是：﹣2．
11．解：∵a，b是的两个根，
∴，，，
∴．
（1）＝
＝
＝
＝8；
（2）＝
＝
＝
＝6．
12．解：Δ＝（2a﹣1）2﹣4（a2+1）＝﹣4a﹣3≥0，
解得a≤﹣，
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0两根为x1，x2，
∴x1+x2＝2a﹣1，x1x2＝a2+1，
∵x1﹣x2＝0，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝0，
即（2a﹣1）2﹣4（a2+1）＝﹣4a﹣3＝0，
解得a＝﹣；
（2）﹣|2﹣a|＝1﹣a﹣（2﹣a）＝﹣1．
13．解：（1）∵Δ＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝，
∵，
∴x1+x2＝6，
∵x1+x2＝4m，
∴4m＝6，
∴，
∴，
∴x1＝6，x2＝0．
14．解：（i）∵方程有实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得：k≤；
（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵x1，x2是方程的解，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）
＝﹣（x1+2）（x2+2）
＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]
＝﹣（1﹣6+4）
＝1．
15．解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
16．解：（1）Δ＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，
∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，
∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24．
②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或x＝6，
三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，
三角形边长为2，2，6时不存在．
当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，
解得x＝6或x＝10．
三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，
∴等腰三角形周长为14或22．
17．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围为：k≤1．
（2）由根与系数关系得：x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
所以（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣1+2（k﹣1）+1＝6．
解得k＝2（舍去）或k＝﹣4．
故k的值是﹣4．
18．解：存在，理由如下：
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，
∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）
＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝﹣2×（7+a）（3﹣7）
＝8（7+a），
由8（7+a）＝8得a＝﹣6，
∴存在实数a＝﹣6使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8．
19．解：（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，
∴（2m+1）2﹣4m（m﹣2）≥0
解得m≥﹣且m≠2
（2）由题意得有两种情况：
①当x1＝x2，则Δ＝0，所以m＝﹣，x1＝x2＝﹣×＝．
②当x1＝﹣x2时，则x1+x2＝0．，所以m＝﹣，
因为m≥﹣且m≠2，所以此时方程无解．
综上所述，m＝﹣，x1＝x2＝．
20．解：（1）由题意得：此方程的根的判别式Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，
整理得：﹣4k+1≥0，
解得，
则k的最大整数值是0；
（2）存在，
由根与系数的关系得：x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵＝，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得：k2﹣2k﹣15＝0，
解得k＝﹣3或k＝5，
由（1）可知，，
则k＝﹣3．