2021-2022学年冀教版数学九年级上册24.3一元二次方程根与系数的关系 同步练习（word版含答案）

一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．若是关于x的方程的根，则的值为（
）
A．1
B．4
C．
D．
2．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图像经过第（
）
A．二、三、四象限
B．一、三、四象限
C．一、二、四象限
D．一、二、三象限
3．设是一元二次方程的两根，则（
）
A．
B．2
C．3
D．
4．已知一元二次方程的两根为，则（
）
A．0
B．1
C．2
D．
5．若一元二次方程的两根是m，n，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（
）
A．a≥0
B．a≥0且a≠1
C．a＞0
D．a＞0且a≠1
7．若关于x的方程＋＋＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（
）
A．7
B．15
C．31
D．以上选项均不对
8．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有两个相等的实数根k．（
）
A．若﹣1＜a＜1，则
B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则
D．若，则0＜a＜1
9．关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则的值为（
）
A．1
B．
C．1或
D．0
10．亮亮在解一元二次方程：□时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（
）
A．1
B．0
C．7
D．9
11．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则的值为（　　）
A．24
B．25
C．24或25
D．无法确定
12．关于x的一元二次方程有实数根，则点在（　　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、填空题
13．若为的三边，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是_________三角形．
14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程有两个相等的实数根，则△ABC是
_______
三角形．
16．已知关于的方程有两个实数根，．若，满足，则的值为_______．
17．已知是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是________．
三、解答题
18．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
（1）
（2）
（3）
（4）
19．关于x的一元二次方程有一个根为3，求k的值及另一个根．
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，该方程均有两个不相等的实数解；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求m的取值范围．
参考答案
1．C
解：是关于的方程的根，
代入得：，
，
方程两边都除以得：，
．
故选：C．
2．A
解：由已知得：，
解得，
∵一次函数中，，
∴该一次函数图像在第二、三、四象限，
故选A．
3．A
解：∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
故选：A．
4．A
解：∵方程的两根是、，
∴，即，
∴原式．
故选A.
5．D
解：∵一元二次方程x2-4x-3=0的两根是m，n，
∴m+n=4，mn=-3．
故选：D．
6．B
解：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x-1=0有两个实数根，
∴Δ=（-2）2-4×（a-1）×（-1）=4a≥0，
解得a≥0，
又∵a-1≠0，
∴a≥0且a≠1，
故选B．
7．C
解：由题意，x≠2，x≠0，
去分母，得：，
整理得：①，
（1）若方程①有两个相等的实数根，则有△=16﹣16（8﹣a）=0，
解得：a=7，
当a=7时，方程①为，解得：，满足2x（x﹣2）≠0，
（2）若x=2是方程①的根，则16﹣8﹣a+8=0，解得：a=16，
当a=16时，方程①为，解得另一个根为x=﹣1满足2x（x﹣2）≠0，
（3）若x=0是方程①的根，则a=8，此时方程①为，
解得另一个根为x=1，满足2x（x﹣2）≠0，
综上，符合条件的a值有7、16和8，其总和为7+16+8=31，
故选：C．
8．D
解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2?4a（b＋1）＝0，即：4a(
a?b?1)＝0，
又∵ab≠0，
∴a?b?1＝0，
即a＝b＋1，
∴ax2＋2ax＋a＝0，
解得：x1＝x2＝?1，
∴k＝?1，
∵＝，
∴当?1＜a＜0时，a?1＜0，a（a?1）＞0，
此时＞0，即；
当0＜a＜1时，a?1＜0，a（a?1）＜0，
此时＜0，即；
故A、C错误；
当时，即＞0，
＞0，
解得：a＞1或a＜0，
故B错误；
当时，即＜0，
＜0，
解得：0＜a＜1，
故D正确
故选：D．
9．B
解：设方程的两根为x1和x2．
∵，
又∵，
∴．
∴．
当m=1时，原方程为．
判别式．
此时原方程没有实数根；
当m=-1时，原方程为．
判别式．
此时原方程有两个不相等的实数根．
∴符合条件的m=-1．
故选：B
10．D
解：设常数项为c，
根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值为9．
故选：D．
11．C
解：①当6为底边时，则，
∴，
∴，
∴方程为，
解得：，
∵，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
②当6为腰时，则设，
∴，
∴，
∴方程为，
∴，，
∵，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：或25．
故选：C．
12．B
解：∵是一元二次方程，且有实数根，
∴m-1≠0且，
解得：且m≠1，
∴m-3＜0，-m+4＞0，
∴在第二象限，
故选B．
13．等腰
解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴即
解得或，
∴这个三角形为等腰三角形．
故答案为：等腰．
14．且
解：根据题意得且，
解得且．
故答案为：且．
15．直角
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2－4ac=0，
∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，
所以△ABC是直角三角形.
故答案为：直角
16．-1
解：方程有两个实数根，可知，
，
∵，，，
，，
．
故答案为：-1．
17．3
解：∵方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，
∴△=（2m+3）2-4m2=12m+9＞0，
∴m＞，
∵α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=-2m-3，α?β=m2．
∵，
∴m2-2m-3=（m-3）（m+1）=0，
解得：m=3或m=-1（舍去），
经检验可知：m=3是分式方程的解，且符合题意．
故答案为：3．
18．（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1）∵，
且，
∴；
（2）∵，
且，
∴；
（3）方程化为，
∵，
且，
∴；
（4）方程化为，∵，且，
∴．
19．，．
解：把代入，
得，解得，
∴原方程为，
设另一根为，
由根与系数的关系可得：，即
解得，即原方程的另一个根是．
20．（1）-2；（2）2
解：（1）根据题意得，解得，
∴m的最小整数值为；
（2）根据题意得，
∵，
∴，
∴，整理得，解得，
∵，
∴m的值为2．
21．（1）见解析；（2）
解：（1）证明：，
∵，
∴，即，
∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵，
∴由可得，解得．