课时21.1
一元二次方程
一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。www.21-cn-jy.com
一般形式：
。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
【注意】
1）方程两边都是只含有一个未知数；
2）所含未知数的最高次数是2；
3）方程两边都是整式方程。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2021·兰州市期末）下列是一元一次方程的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
A.关键未知数的最高次是2次，不是一元一次方程；
B.题中由两个未知数，不是一元一次方程；
C.未知数在分母，不是一元一次方程；
D.含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的等式是一元一次方程．
【详解】
A.是一元二次方程，故
A.错误；
B.是二元一次方程，故B.错误，；
C.
是分式方程，故C.错误；
D.是一元一次方程，故D正确，
故选D．
【点睛】
本题考查一元一次方程的概念，其中涉及一元二次方程、二元一次方程、分式方程的概念等，是基础考点，掌握相关概念是解题关键．www-2-1-cnjy-com
变式1-1．（2021·黑龙江七台河市期末）要使方程是关于x的一元二次方程，则（
）
A．a≠0
B．a≠3
C．a≠3且b≠-1
D．a≠3且b≠-1且c≠0
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义选出正确选项．
【详解】
解：∵一元二次方程二次项系数不能为零，
∴，即．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
变式1-2．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州期末）关于的方程是一元二次方程，则（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义可得=2，且a+1≠0，解方程即可；．
【详解】
解：由题意得=2，且a+1≠0，，
解得：a=±1，
因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
变式1-3．（2021·湖南永州市·九年级期末）下列方程中，一元二次方程共有（
）
①；②；③；④；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
含有一个未知数，且未知数的最高次数是
这样的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断即可得到答案．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
解：是一元二次方程，
是二元二次方程，
是分式方程，
是一元二次方程，
所以一元二次方程有两个，
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
典例2．（2021·合肥市期末）将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（
）【出处：21教育名师】
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．
【详解】
解：方程整理得：2x2-3x-1=0，
所以，二次项系数为2；一次项系数为-3，
故选：A．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
变式2-1．（2021·湖南邵阳市期末）一元二次方程的一般形式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据去括号、移项、合并同类项的步骤转化为一般形式即可得出答案．
【详解】
解：
去括号为
移项合并同类项，得
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解题的关键．
变式2-2．（2021·湖南衡阳市期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ）21
cnjy
com
A．3x+1=0
B．x2+3=0
C．3x2﹣1=0
D．3x2+6x+1=0
【答案】D
【分析】
根据二次项系数及常数项得到结果即可．
【详解】
已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+6x+1=0，
故选D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
变式2-3．（2021·枣庄市期末）关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（ ）
A．1
B．2
C．0，2
D．0
【答案】D
【解析】
∵关于的一元二次方程的常数项为，
∴
，解得：m=0.
故选D.
典例3．（2021·山东德州市·九年级期末）关于一元二次方程的一个根是0，则的值为（
）21·世纪
教育网
A．1或
B．1
C．
D．0
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a?1≠0，a2?1＝0，求出a的值即可．
【详解】
把x＝0代入方程得：a2?1＝0，
解得：a＝±1，
∵（a?1）x2＋x＋a2?1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a?1≠0，
即a≠1，
∴a的值是?1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．【版权所有：21教育】
变式3-1．（2021·内蒙古乌海市·九年级期末）设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为(
)21教育名师原创作品
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009
【答案】C
【详解】
分析：由于a2+2a+b=（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．
解答：解：∵a是方程x2+x-2009=0的根，
∴a2+a=2009；
由根与系数的关系得：a+b=-1，
∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2009-1=2008．
故选C．
变式3-2．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（ ）
A．a+b+c＝1
B．a﹣b+c＝0
C．a+b+c＝0
D．a﹣b﹣c＝0
【答案】C
【详解】
由题意把x=1代入方程ax2+bx+c=0即可得到结果.
由题意得a+b+c=0，故选C.
【点睛】
本题考查方程的解的定义，概念问题是数学
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
12．（2021·江西赣州市·九年级期末）已知是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值是( )
A．﹣6
B．6
C．
D．2
【答案】B
【分析】
把x=代入方程x2-3x+c=0，求出所得方程的解即可．
【详解】
把x=代入方程x2-3x+c=0得：3-9+c=0，
解得：c=6，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是得出关于c的方程．
一、单选题
1．（2020·浙江杭州市·九年级期末）下列方程是一元二次方程的是(
)
A．x2﹣y＝1
B．x2+2x﹣3＝0
C．x2+＝3
D．x﹣5y＝6
【答案】B
【详解】
试题解析：根据一元二次方程的定义可以判断选项B的方程是一元二次方程.
故选B.
2．（2020·江西南昌市·九年级期末）若关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|+5m+1=0是一元一次方程，则m的值是（ ）21世纪教育网版权所有
A．0
B．1
C．2
D．2或0
【答案】A
【解析】
由题意得：，
解得：m=0.
故选A.
点睛：本题关键在于根据一元一次方程的定义列方程求解，需要注意的是未知数前面的系数一定不能为0.
3．（2020·渠县土溪镇九年级期末）把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是(
)21cnjy.com
A．1，-3，10
B．1，7，-10
C．1，-5，12
D．1，
3，2
【答案】A
【分析】
方程整理为一般形式，找出常数项即可．
【详解】
方程整理得：x2?3x+10=0，
则a=1，b=?3，c=10.
故答案选A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的每种形式.
4．（2020·黑龙江鸡西市·九年级期末）关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程解的定义得到-1+a2=0，再解关于a的方程，然后根据一元二次方程定义确定a的值．
【详解】
解：把x=0代入一元二次方程（a-1）x2+x-1+a2=0得-1+a2=0，
解得a1=1，a2=-1，
而a-1≠0，
所以a的值为-1．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
5．（2020·贵州毕节市·九年级期末）一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（
）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
【答案】C
【详解】
试题分析：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，
∴22+2p﹣2=0，
解得
p=﹣1．
故选C．
考点：一元二次方程的解
6．（2020·山东烟台市·九年级期末）关于的一元二次方程的常数项是0，则的值
A．1
B．1或2
C．2
D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的一般形式，可得答案．
【详解】
解：由题意，得
且，
解得，
故选：．
【点睛】
此题考查一元二次方程的一般形式，利用常数项等于零且二次项不等于零是解题关键．
7．（2020·四川自贡市·九年级期末）已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为（ ）
A．1
B．
C．或1
D．2
【答案】A
【解析】
分析：根据一元二次方程的解的定义得到即
原式变形，
整体代入即可．
详解：∵a是方程的一个根，
∴
∴
故选A.
点睛：考查了一元二次方程的解，采用了整体代入法，难度适中.
8．（2020·广东肇庆市·九年级期末）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是(
)
A．x2－5x+5=0
B．x2+5x－5=0
C．x2+5x+5=0
D．x2+5=0
【答案】A
【详解】
试题分析：一元二次方程的一般式为：ax
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2+bx+c=0(a≠0),将原方程去括号为：x2-6x+4+x+1=0,合并为：x2-5x+5=0,所以选A.
考点：一元二次方程的一般式.
9．（2020·安徽蚌埠市·九年级期末）一元二次方程4x2﹣1=5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）21
cnjy
com
A．4，﹣1，5
B．4，﹣5，﹣1
C．4，5，﹣1
D．4，﹣1，﹣5
【答案】B
【分析】
将方程整理为一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可．
【详解】
∵一元二次方程4x2﹣1=5x，
∴整理为：4x2﹣5x﹣1=0，
∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：4，﹣5，﹣1．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．
10．（2020·湖北黄冈市·九年级期末）已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为( )21·cn·jy·com
A．1
B．－1
C．2
D．－2
【答案】B
【分析】
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：因为x＝-3是原方程的根，所以将x＝-3代入原方程，即（-3）2+3k?6＝0成立，解得k＝-1．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题的关键是把方程的解代入进行求解.
11．（2020·江苏苏州市·九年级期末）a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
【答案】8
【分析】
直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案．
【详解】
解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为8．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
12．（2020·河南信阳市·九年级期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值为_____．2-1-c-n-j-y
【答案】﹣1．
【分析】
根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m2-1=0，由此可以求得m的值．
【详解】
解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m=±1，
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．
13．（2020·安徽铜陵市·九年级期末）若是关于的一元二次方程，则________．
【答案】1
【分析】
根据一元二次方程的定义，从而列出关于m的关系式，求出答案.
【详解】
根据题意可知：m＋1≠0且｜m｜＋1＝2，解得：m＝1，故答案为m＝1.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义，解本题的要点在于知道一元二次方程中二次项系数不能为0.
14．（2020·湖南长沙市·九年级期末）已知方程ax2+bx+c＝0的一个根是﹣1，则a﹣b+c＝_____．
【答案】0
【分析】
将方程的根代入求值即可.
【详解】
解：把x＝﹣1代入方程，可得
a﹣b+c＝0，
故答案为0．
【点睛】
此题考察代入求值，理解题意即可正确解题.
15．（2020·浙江杭州市·九年级期末）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0，则m的值是______.
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意可知=0，且m-1≠0，解得m=±1，且m≠1，因此m=-1.
故答案为m=-1.
16．（2020·北京九年级期末）若m是方程x2+x－1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值．21教育网
【答案】2020．
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程求得m（m+1）=1；然后将所求的代数式转化为含有m（m+1）的代数式，并代入求值即可．
【详解】
解：根据题意，得
∴，或m（m+1）=1，
∴m3+2m2+2019．
【点睛】
本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
17．（2020·陕西商洛市·九年级期末）如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣x+3＝0是一元二次方程，求m的值．
【答案】﹣1
【分析】
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】
由题意，得|m﹣1|＝2且m﹣3≠0．
解得m＝﹣1．
即m的值是﹣1．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
18．（2020·广西河池市·九年级期末）若方程(m-2)+(3-m)x-2=0是关于x的一元二次方程,试求代数式m2+2m-4的值.
【答案】-4
【分析】
根据一元二次方程的定义列式求出m的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解:根据题意,得m2-2=2且m-2≠0,
解得m=±2且m≠2,
所以m=-2,m2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=4-4-4=-4.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义，熟悉掌握是关键.
教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）课时21.1
一元二次方程
一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。21教育网
一般形式：
。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
【注意】
1）方程两边都是只含有一个未知数；
2）所含未知数的最高次数是2；
3）方程两边都是整式方程。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2021·兰州市期末）下列是一元一次方程的是(
)
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（2021·黑龙江七台河市期末）要使方程是关于x的一元二次方程，则（
）
A．a≠0
B．a≠3
C．a≠3且b≠-1
D．a≠3且b≠-1且c≠0
变式1-2．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州期末）关于的方程是一元二次方程，则（
）21·cn·jy·com
A．
B．
C．
D．
变式1-3．（2021·湖南永州市·九年级期末）下列方程中，一元二次方程共有（
）
①；②；③；④；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
典例2．（2021·合肥市期末）将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（
）www.21-cn-jy.com
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（2021·湖南邵阳市期末）一元二次方程的一般形式是（
）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（2021·湖南衡阳市期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．3x+1=0
B．x2+3=0
C．3x2﹣1=0
D．3x2+6x+1=0
变式2-3．（2021·枣庄市期末）关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（ ）
A．1
B．2
C．0，2
D．0
典例3．（2021·山东德州市·九年级期末）关于一元二次方程的一个根是0，则的值为（
）21·世纪
教育网
A．1或
B．1
C．
D．0
变式3-1．（2021·内蒙古乌海市·九年级期末）设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为(
)www-2-1-cnjy-com
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009
变式3-2．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（ ）
A．a+b+c＝1
B．a﹣b+c＝0
C．a+b+c＝0
D．a﹣b﹣c＝0
12．（2021·江西赣州市·九年级期末）已知是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值是( )21cnjy.com
A．﹣6
B．6
C．
D．2
1．（2020·浙江杭州市·九年级期末）下列方程是一元二次方程的是(
)
A．x2﹣y＝1
B．x2+2x﹣3＝0
C．x2+＝3
D．x﹣5y＝6
2．（2020·江西南昌市·九年级期末）若关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|+5m+1=0是一元一次方程，则m的值是（ ）21世纪教育网版权所有
A．0
B．1
C．2
D．2或0
3．（2020·渠县土溪镇九年级期末）把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是(
)2·1·c·n·j·y
A．1，-3，10
B．1，7，-10
C．1，-5，12
D．1，
3，2
4．（2020·黑龙江鸡西市·九年级期末）关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（
）
A．
B．
C．或
D．
5．（2020·贵州毕节市·九年级期末）一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（
）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
6．（2020·山东烟台市·九年级期末）关于的一元二次方程的常数项是0，则的值
A．1
B．1或2
C．2
D．
7．（2020·四川自贡市·九年级期末）已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为（ ）21
cnjy
com
A．1
B．
C．或1
D．2
8．（2020·广东肇庆市·九年级期末）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是(
)
A．x2－5x+5=0
B．x2+5x－5=0
C．x2+5x+5=0
D．x2+5=0
9．（2020·安徽蚌埠市·九年级期末）一元二次方程4x2﹣1=5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
A．4，﹣1，5
B．4，﹣5，﹣1
C．4，5，﹣1
D．4，﹣1，﹣5
10．（2020·湖北黄冈市·九年级期末）已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为( )【出处：21教育名师】
A．1
B．－1
C．2
D．－2
11．（2020·江苏苏州市·九年级期末）a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
12．（2020·河南信阳市·九年级期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值为_____．【版权所有：21教育】
13．（2020·安徽铜陵市·九年级期末）若是关于的一元二次方程，则________．
14．（2020·湖南长沙市·九年级期末）已知方程ax2+bx+c＝0的一个根是﹣1，则a﹣b+c＝_____．
15．（2020·浙江杭州市·九年级期末）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0，则m的值是______.21教育名师原创作品
16．（2020·北京九年级期末）若m是方程x2+x－1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值．21
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17．（2020·陕西商洛市·九年级期末）如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣x+3＝0是一元二次方程，求m的值．
18．（2020·广西河池市·九年级期末）若方程(m-2)+(3-m)x-2=0是关于x的一元二次方程,试求代数式m2+2m-4的值.2-1-c-n-j-y
教材知识链接
典例及变式
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精品试卷·第
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