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课时11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。2-1-c-n-j-y
三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。21
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com
三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。【版权所有：21教育】
注意：三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线。
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典例1．（2021·浙江八年级期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B．C．D．
变式1-1．（2021·浙江宁波市·八年级期末）用直角三角板作的高，下列作法正确的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
变式1-2．（2021·安徽淮南市·八年级期末）如图，中，边上的高是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
典例2．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，在中，，分别是边上的中线与高，，的面积为，则的长为（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（2021·贵州铜仁市·八年级期末）等腰三角形的顶角是，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（2020·浙江八年级期末）若线段和线段分别是边上的中线和高，则下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．（2020·湖北咸宁市·八年级期末）如图，△ABC的面积计算方法是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．ACBD
B．BCEC
C．ACBD
D．ADBD
典例3．（2020·浙江八年级期末）已知是的中线，，，且的周长为11，则的周长是（
）
A．14
B．9
C．16
D．不能确定
变式3-1．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1
B．2
C．3
D．4
变式3-2．（2020·浙江八年级期末）若线段分别是边上的高线和中线，则（
）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．（2020·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)广东广州市八年级期中）如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE=4，△ABC的面积为12，则CD的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2
B．3
C．4
D．5
典例4．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，分别为的中点，且，则S阴影为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2
B．1
C．
D．
变式4-1．（2020·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)涿州市八年级期中）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则阴影部分（△BEF）的面积等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2cm2
B．4cm2
C．6cm2
D．8cm2
变式4-2．（2020·东莞市八年级期中）如图，BD，CE为△ABC的两条中线，交点为O，则与的大小关系是（
）．21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．不能确定
变式4-3．（2020·明光市明湖学校八年级期中）如图，在中，点D是BC的中点，点E是AD上的一点，且，则阴影部分的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3
B．3.5
C．4
D．4.5
典例5．（2020·厦门市八年级期中）三角形的重心是（
）
A．三个内角的平分线的交点
B．三条边上的中线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条边上的高所在的直线的交点
变式5-1．（2020·甘肃省庆阳市八年级期末）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫作△ABC的（
）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．中心
B．圆心
C．重心
D．格点
变式5-2．（2020·福建福州市·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)八年级期中）如图，在△ABC中，AD交边BC于点D．设△ABC的重心为M，
若点M在线段AD上，则下列结论正确的是（
）www-2-1-cnjy-com
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A．∠BAD＝∠CAD
B．AM＝DM
C．△ABD的周长等于△ACD的周长
D．△ABD的面积等于△ACD的面积
变式5-3．（2020·河北保定市·八年级期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．点
B．点
C．点
D．点
典例6．（2020·山东菏泽市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=2，AB=6，则△ABD的面积是(
)21教育名师原创作品
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A．3
B．6
C．12
D．18
变式6-1．（2020·广东深圳市八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点.
变式6-2．（2020·大石桥市期末）如图，若，，则下列结论中错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．是的角平分线
B．是的角平分线
C．
D．是的角平分线
变式6-3．（2020·山东德州市·八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E、
F为AB上的一点,CF⊥AD于H，下列判断正确的有(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．AD是△ABE的角平分线
B．BE是△ABD边AD上的中线
C．AH为△ABC的角平分线
D．CH为△ACD边AD上的高
1．（2021·广西柳州市·八年级期末）下列各组图形中，AD是的高的图形是
A．
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B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
2．（2021·北京八年级期末）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（
）21cnjy.com
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
B．C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
3．（2021·广东江门市·八年级期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，△ABC
中，D、E
分别是
BC、AD
的中点，若△ABC
的面积是
18，则△ABE的面积是（
）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．9
B．4.5
C．6
D．4
4．（2021·湖南张家界市·八年级期末）如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（
）21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．高
B．角平分线
C．中线
D．不能确定
5．（2021·福建厦门市·八年级期中）如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1cm2
B．2cm2
C．3cm2
D．4cm2
6．（2021·河南三门峡市·八年级期末）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）21
cnjy
com
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．都有可能
7．（2021·上海市八年级期末）如图，在R
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)t△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．（2021·湖南怀化市·八年级期末）三角形的下列线段中将三角形的面积分成相等两部分的是( )
A．中线
B．角平分线
C．高
D．以上都对
9．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在中，A
B=2020，AC=2018，AD为中线，则与的周长之差为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1
B．2
C．3
D．4
10．（2021·北京市八年级期末）如图所示，已知G为直角△ABC的重心，，且，，则△AGD的面积是（
）
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A．9cm2
B．12cm2
C．18cm2
D．20cm2
11．（2021·北京八年级期末）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
21世纪教育网版权所有
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12．（2021·内蒙古通辽市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)·八年级期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
13．（2021·河南驻马店市·八
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期末）如图，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则
△ABC的面积等于_____________.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
14．（2021·广西崇左市·八年级期末）如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
15．（2021·四川成都市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
16．（2021·云南曲靖市八年级期末）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
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17．（2021·大庆市八年级期末）如图，AD，CE是△ABC的两条高；已知AD＝10，CE＝9，AB＝12.【来源：21cnj
y.co
m】
(1)求△ABC的面积；
(2)求BC的长.
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教材知识链接
典例及变式
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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课时11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线。
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典例1．（2021·浙江八年级期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B．C．D．
【答案】D
【提示】
根据三角形的高的定义进行判断即可．
【详解】
解：由三角形的高的定义可知，如果线段BD是△ABC的高，那么BD⊥AC，垂足是点D．
四个选项中，只有D选项中BD⊥AC．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了三角形的高．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．理解定义是关键．
变式1-1．（2021·浙江宁波市·八年级期末）用直角三角板作的高，下列作法正确的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】C
【提示】
根据高线的定义即可得出结论．
【详解】
解：A、B、D均不是高线．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
变式1-2．（2021·安徽淮南市·八年级期末）如图，中，边上的高是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【提示】
根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．
【详解】
由图可知，过点A作BC的垂线段AD，则中，边上的高是AD．
故选：B
【名师点拨】
本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．
典例2．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，在中，，分别是边上的中线与高，，的面积为，则的长为（
）21教育名师原创作品
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【提示】
先根据三角形面积和高AE的长求出底边BC的长，再根据AD是中线得到CD=BC，求出CD的长．
【详解】
解：∵S△ABC=
=24，
AE=8，
∴BC=6，
∵AD是BC上的中线，
∴CD=BC=3．
故选：B．
【名师点拨】
此题考查三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出BC的长是解题关键．
变式2-1．（2021·贵州铜仁市·八年级期末）等腰三角形的顶角是，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
画出符合题意的图形，由，求解底角，再利用高的含义及两锐角互余，求解即可．
【详解】
解：如图，为等腰三角形，
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故选：
【名师点拨】
本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的高的含义，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．
变式2-2．（2020·浙江八年级期末）若线段和线段分别是边上的中线和高，则下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【提示】
根据三角形的高的概念得到AN⊥BC，根据垂线段最短判断．
【详解】
解：∵线段AN是△ABC边BC上的高，
∴AN⊥BC，
由垂线段最短可知，AM≥AN，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【名师点拨】
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．
变式2-3．（2020·湖北咸宁市·八年级期末）如图，△ABC的面积计算方法是（ ）
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A．ACBD
B．BCEC
C．ACBD
D．ADBD
【答案】C
【提示】
根据三角形的高线及面积可直接进行排除选项．
【详解】
解：由图可得：线段BD是△ABC底边AC的高线，EC不是△ABC的高线，
所以△ABC的面积为，
故选C．
【名师点拨】
本题主要考查三角形的高线及面积，正确理解三角形的高线是解题的关键．
典例3．（2020·浙江八年级期末）已知是的中线，，，且的周长为11，则的周长是（
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A．14
B．9
C．16
D．不能确定
【答案】B
【提示】
根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．
【详解】
解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∵△ABD的周长为11，AB=5，BC=3，
∴△BCD的周长是11-（5-3）=9，
故选：B．
【名师点拨】
本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．
变式3-1．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【提示】
根据三角形中线的性质得，则两个三角形的周长之差就是AB和AC长度的差．
【详解】
解：∵AD是中线，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．
变式3-2．（2020·浙江八年级期末）若线段分别是边上的高线和中线，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【提示】
画出符合题意的图形，根据点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，逐一判断各选项可得答案．
【详解】
解：如图，是的高，是的中线，
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当为等腰三角形，且时，等号成立．
故错误，正确，
故选：．
【名师点拨】
本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，三角形的高，中线的含义，掌握以上知识是解题的关键．
变式3-3．（2020·广东广州市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)八年级期中）如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE=4，△ABC的面积为12，则CD的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【提示】
先根据三角形面积和高AE的长求出底边BC的长，再根据AD是中线得到，求出CD的长．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵AD是BC上的中线，
∴．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查三角形中线和高的性质，解题的关键是掌握三角形中线和高的性质．
典例4．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，分别为的中点，且，则S阴影为（
）
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A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【提示】
根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ACD是△CDE的面积的2倍，△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，依此即可求解．21教育网
【详解】
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△CDE=S△ACD，S△ACD=S△ABC，
∴S阴影=S△ABC=×4=1．
故选B．
【名师点拨】
本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．
变式4-1．（2020·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)涿州市八年级期中）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则阴影部分（△BEF）的面积等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2cm2
B．4cm2
C．6cm2
D．8cm2
【答案】B
【提示】
三角形的一条中线分三角形为两个三角形，这两个三角形的面积相等，根据以上内容求出每个三角形的面积，即可求出答案．21·世纪
教育网
【详解】
解：∵S△ABC＝16cm2，D为BC中点，
∴S△ADB＝S△ADC＝
＝8cm2，
∵E为AD的中点，
∴S△BED＝＝4cm2，S△CED＝＝4cm2，
∴S△BEC＝S△BED+S△CED＝4cm2+4cm2＝8cm2，
∵F为CE的中点，
∴S△BEF＝
S△BEC＝4cm2，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了三角形的中线平分面积，能求出各个三角形的面积是解此题的关键．
变式4-2．（2020·东莞市八年级期中）如图，BD，CE为△ABC的两条中线，交点为O，则与的大小关系是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】C
【提示】
由三角形中线的性质证明，则从而可得结论．
【详解】
解：∵△ABC的中线BD和CE相交于点O，
∴，
∴
即，
故选：．
【名师点拨】
本题考查了三角形的中线与三角形面积的关系，掌握三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分是解题的关键．
变式4-3．（2020·明光市明湖学校八年级期中）如图，在中，点D是BC的中点，点E是AD上的一点，且，则阴影部分的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3
B．3.5
C．4
D．4.5
【答案】B
【提示】
根据中线的性质可得△ABD的面积=△ACD的面积，△BED的面积=△CED的面积，可得△ABE的面积=△ACE的面积，从而可得S阴影=S△EBD+S△ACE=S△ABC．21·cn·jy·com
【详解】
S△ABC=7，
解：∵点D是BC中点，
∴S△ABD=S△ACD，S△EBD=S△ECD，
∴S△ABE=S△ACE，
∴S阴影=S△EBD+S△ACE=S△ABC==3.5，
故选B．
【名师点拨】
本题考查了中线的性质，掌握三角形的一条中线将这个三角形面积分为相等的两个部分是解题的关键．
典例5．（2020·厦门市八年级期中）三角形的重心是（
）
A．三个内角的平分线的交点
B．三条边上的中线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条边上的高所在的直线的交点
【答案】B
【提示】
根据三角形的重心的定义（三角形的重心是三角形三条边上的中线的交点）即可得出答案．
【详解】
解：∵三角形的重心是三角形三条边上的中线的交点，
∴选项B正确，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查三角形的重心，熟知三角形的重心是三角形三条边上的中线的交点是解答的关键．
变式5-1．（2020·甘肃省庆阳市八年级期末）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫作△ABC的（
）
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A．中心
B．圆心
C．重心
D．格点
【答案】C
【提示】
根据三角形中各线段的交点对应的概念辨析即可．
【详解】
A、正三角形才有中心，故错误；
B、既不是内切圆的圆心，也不是外接圆的圆心，故错误；
C、由图可知，Ｐ是三条中线的交点，则为重心，故正确；
D、没有这个说法，故错误；
故选：C
【名师点拨】
本题考查三角形重心的判断，熟记三条中线的交点为重心是解题关键．
变式5-2．（2020·福
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)建福州市·八年级期中）如图，在△ABC中，AD交边BC于点D．设△ABC的重心为M，
若点M在线段AD上，则下列结论正确的是（
）
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A．∠BAD＝∠CAD
B．AM＝DM
C．△ABD的周长等于△ACD的周长
D．△ABD的面积等于△ACD的面积
【答案】D
【提示】
由点M是重心得AD是中线，依次判断选项即可.
【详解】
∵点M是△ABC的重心，点M在线段AD上，
∴AD是BC边的中线，
∴BD=CD,
∴A.
∠BAD＝∠CAD错误；
B.
AM＝2DM,故该选项错误；
C.AB+AD+BD＞AC+AD+CD,故选项C错误；
D.
△ABD与△ACD是等底同高的两个三角形，故△ABD的面积等于△ACD的面积，此选项正确.
故选：D.
【名师点拨】
此题考查三角形的重心，确定三角形重心的构成是三条中线的交点是解题的关键.
变式5-3．（2020·河北保定市·八年级期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（
）
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A．点
B．点
C．点
D．点
【答案】A
【提示】
三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可．
【详解】
根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A．
【名师点拨】
本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的中心是三角形中线的交点．
典例6．（2020·山东菏泽市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=2，AB=6，则△ABD的面积是(
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A．3
B．6
C．12
D．18
【答案】B
【提示】
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=2，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，如图所示，
由图可知，AP平分∠CAB，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=2，
∴，
故答案选B．
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【名师点拨】
本题主要考查了角平分线的性质定理、三角形的面积等知识以及基本作图的能力，属于中考常考题型．
变式6-1．（2020·广东深圳
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市八年级期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
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A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点.
【答案】C
【提示】
由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
【名师点拨】
本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
变式6-2．（2020·大石桥市期末）如图，若，，则下列结论中错误的是（
）
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A．是的角平分线
B．是的角平分线
C．
D．是的角平分线
【答案】B
【提示】
根据角平分线的定义即可得出答案.
【详解】
∵∠1=∠2
∴AD是△ABC的角平分线，故A正确；
∵∠3=∠4
∴CE是△ACD的角平分线，∠3=∠ACB，故B和C正确；
故答案选择B.
【名师点拨】
本题考查的是角平分线，属于基础题型，需要熟练掌握角平分线的判定与性质.
变式6-3．（2020·山东德州市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)·八年级期末）如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E、
F为AB上的一点,CF⊥AD于H，下列判断正确的有(
)
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A．AD是△ABE的角平分线
B．BE是△ABD边AD上的中线
C．AH为△ABC的角平分线
D．CH为△ACD边AD上的高
【答案】D
【提示】
根据三角形的角平分线、三角形的中线、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【详解】
A.
根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故本选项错误；
B.
根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故本选项错误；
C.
根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故本选项错误；
D.根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故本选项正确；
故选D.
【名师点拨】
此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握其定义.
1．（2021·广西柳州市·八年级期末）下列各组图形中，AD是的高的图形是
A．
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B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
【答案】D
【提示】
根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【详解】
△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．
故选D．
【名师点拨】
本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（2021·北京八年级期末）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（
）
A．
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B．C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】B
【提示】
从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】
解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；
B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项正确；
C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项错误；
故选：B．
【名师点拨】
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
3．（2021·广东江门市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，△ABC
中，D、E
分别是
BC、AD
的中点，若△ABC
的面积是
18，则△ABE的面积是（
）
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A．9
B．4.5
C．6
D．4
【答案】B
【提示】
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积.
【详解】
∵AD是BC上的中线，
∴，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴，
∴，
∵△ABC的面积是18，
∴.
故选B.
【名师点拨】
本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相等.
4．（2021·湖南张家界市·八年级期末）如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（
）
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A．高
B．角平分线
C．中线
D．不能确定
【答案】C
【详解】
试题提示：三角形ABD和三角形ACD共用一条高，再根据S△ABD=S△ADC，列出面积公式，可得出BD=CD．
解：设BC边上的高为h，
∵S△ABD=S△ADC，
∴，
故BD=CD，即AD是中线．故选C．
考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．
5．（2021·福建厦门市·八年级期中）如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（
）
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A．1cm2
B．2cm2
C．3cm2
D．4cm2
【答案】C
【提示】
根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵点E是AB的中点，
∴△AED的面积=△ABD的面积，
∵S△ABD：S△ACD=2：1，
∴△ABD的面积=△ABC的面积×
∴△AED的面积=3cm2，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
6．（2021·河南三门峡市·八年级期末）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．都有可能
【答案】C
【提示】
根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．
【详解】
解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)部(如图1)，钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部(如图2)，直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点上(如图3).
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
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故选C.
【名师点拨】
本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键.
7．（2021·上海市八年级期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【提示】
根据垂直的定义得到∠CD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误．
【详解】
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠DCB+B=90°，
∵∠A+∠B=90，
∴∠DCB=∠A，
∴①正确；
∵CE是RtABC斜边AB上的中线，
∴EA=EC=EB，
∴∠ACE=∠A，
∴∠DCB=∠A，
∴∠DCB=∠ACE，
∴②正确；
∵EC=EB，
∴∠B=∠BCE，
∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，
∴∠B=
∠ACD，
∴∠ACD=
∠BCE，
∴③正确；
∵BC与BE不一定相等，
∴∠BCE
与∠BEC
不一定相等，
∴④不正确；
∴正确的个数为3个，
故答案为C.
【名师点拨】
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
8．（2021·湖南怀化市·八年级期末）三角形的下列线段中将三角形的面积分成相等两部分的是( )
A．中线
B．角平分线
C．高
D．以上都对
【答案】A
【提示】
根据等底等高的三角形的面积相等解答．
【详解】
∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．
故选A．
【名师点拨】
本题考查了三角形的面积，主要利用了“三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形”的知识，本知识点是中学阶段解三角形的面积经常使用，一定要熟练掌握并灵活应用．
9．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在中，A
B=2020，AC=2018，AD为中线，则与的周长之差为（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【提示】
由AD为的中线，可得：再利用，即可得到答案．
【详解】
解：AD为的中线，
故选
【名师点拨】
本题考查的是三角形的中线的概念，掌握三角形的中线的含义是解题的关键．
10．（2021·北京市八年级期末）如图所示，已知G为直角△ABC的重心，，且，，则△AGD的面积是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．9cm2
B．12cm2
C．18cm2
D．20cm2
【答案】A
【提示】
由于G为直角△ABC的重心，所以BG＝2GD，AD＝DC，根据三角形的面积公式可以推出，而△ABC的面积根据已知条件可以求出，那么△AGD的面积即可求得．21
cnjy
com
【详解】
解：∵G为直角△ABC的重心，
∴BG＝2GD，AD＝DC，
∴，
而，
∴，
故选：A．
【名师点拨】
本题主要考查了三角形的重心的性质，解题的关键是根据G为直角△ABC的重心，得出BG＝2GD，AD＝DC．2·1·c·n·j·y
11．（2021·北京八年级期末）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
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【答案】1.9
【提示】
过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为1.9．
【名师点拨】
本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
12．（2021·内蒙古通辽市·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)八年级期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】1
【提示】
由点为的中点，可得的面积是面积的一半；同理可得和的面积之比，利用三角形的等积变换可解答．【版权所有：21教育】
【详解】
解：如图，点是的中点，
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的底是，的底是，即，而高相等，
，
是的中点，
，，
，
，且，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为1．
【名师点拨】
本题主要考查了三角形面积的等积变
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
13．（2021·河南驻
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)马店市·八年级期末）如图，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则
△ABC的面积等于_____________.
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【答案】48
【提示】
由于F是BE的中点，BF=EF
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，那么△EFD和△BFD可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出△EFD和△BFD的面积相等，进而得出△BDE的面积等于△BFD的面积的2倍；同理，由于E是AD的中点，得出△ADB的面积等于△BDE面积的2倍；由于AD是BC边上的中线，得出△ABC的面积等于△ABD面积的2倍，代入求解即可．
【详解】
∵F是BE的中点，∴BF=EF，
∴S△EFD=S△BFD，
又∵S△BDE=S△EFD+S△BFD，
∴S△BDE=2S△BFD=2×6=12．
同理，S△ABC=2S△ABD=2×2S△BDE=4×12=48．
故答案为48．
【名师点拨】
本题考查了三角形的面积公式，难度中等．掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
14．（2021·广西崇左市·八年级期末）如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多______．2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】2
【提示】
由是的中线，可得
再利用，可得答案．
【详解】
解：是的中线，
故答案为：
【名师点拨】
本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．
15．（2021·四川成都市·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】14°
【提示】
利用垂直的定义得到∠ADC＝90°
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，再根据三角形内角和计算出∠CAD＝64°，接着利用角平分线的定义得到∠CAE＝50°，然后计算∠CAD﹣∠CAE即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．
故答案为14°．
【名师点拨】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义，解题关键是熟练运用相关性质求角．
16．（2021·云南曲靖市八年级期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】⑴4.8cm；⑵12cm?；⑶2cm.
【提示】
（1）利用直角三角形面积的两种求
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)法求线段AD的长度即可；（2）先求△ABC的面积，再根据△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等，由此即可求得△ABE的面；（3）由AE是中线，可得BE=CE，根据△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB，即可求解．
【详解】
∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴AB?AC=BC?AD，
∴AD=
=4.8（cm），
即AD的长度为4.8cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S△ABC=AB?AC=×6×8=24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴BE?AD=EC?AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△ABE=S△ABC=12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【名师点拨】
本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用直角三角形面积的两两种表达方式求线段AD的长．【来源：21cnj
y.co
m】
17．（2021·大庆市八年级期末）如图，AD，CE是△ABC的两条高；已知AD＝10，CE＝9，AB＝12.
(1)求△ABC的面积；
(2)求BC的长.
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【答案】（1）54（2）
【解析】
提示：(1)根据三角形的面积公式计算；(2)S△ABC＝AB·CE＝BC·AD.
详解：(1)S△ABC＝AB·CE＝×12×9＝54.
(2)因为S△ABC＝BC·AD，
所以×10×BC＝54.
所以BC＝.
名师点拨：三角形的面积等于它的底和底上的高和积的一半，设a，b，c边上的高分别为ha，hb，hc，则有aha＝bhb＝chc.
教材知识链接
典例及变式
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精品试卷·第
2
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