第二十五章 锐角的三角比 重点题型专项训练（含解析）

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锐角的三角比重点题型专项训练
一．题型：特殊角的三角函数值（共7小题）
1．的值是　　
A．1
B．
C．
D．
2．计算的值等于　　
A．
B．
C．
D．
3．计算：　　
A．1
B．
C．
D．2
4．计算：　
　．
5．计算：．
6．计算：．
7．计算：．
二．题型：直角三角形的边角关系（共8小题）
8．如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则下列式子正确的是　　
A．
B．
C．
D．
9．如图，在中，，，，则等于　　
A．
B．
C．
D．
10．如图，在中，，，，则长为　　
A．2
B．4
C．6
D．8
11．如图，已知在的网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为　　
A．
B．
C．
D．
12．在网格中按如图所示放置，则的值是　　
A．
B．
C．
D．
13．在中，，，，则的值是　　
A．
B．2
C．
D．
14．如图，在中，，，，求的面积．
15．如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长．
三．题型：仰角与俯角问题（共7小题）
16．如图，某飞机于空中处探测到正下方的地面目标，此时飞机高度，从飞机上看地面控制点的俯角为，则处到控制点的距离可表示为　　
A．
B．
C．
D．
17．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点处发现其正前方的海底处有黑匣子，同时测得黑匣子的俯角为，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点处，测得黑匣子的俯角为，则黑匣子所在的处距离海面的深度是　　
A．米
B．米
C．780米
D．1260米
18．如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为，若甲楼高为36米，则乙楼的高度为　
　
A．米
B．米
C．米
D．米
19．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高．在桥外一点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，测得与大桥主架的水平距离为100米．则大桥主架顶端离水面的高为　　
A．
米
B．
米
C．米
D．米
20．如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部点的处，利用测角仪测得其顶部的仰角，测角仪的高度为，求该建筑物的高度．（精确到【参考数据：，，】
21．为了测量建筑物的高度，兴趣小组在处用高为1.5米的测角仪，测得屋顶的仰角为，再向房屋方向前进15米，又测得房屋的顶端的仰角为，求房屋的高度．（参考数据，，结果保留整数）
22．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，，
四．题型：坡度与坡角问题（共7小题）
23．如图，某游乐场山顶滑梯的高为50米，滑梯的坡比为，则滑梯的长为　　
A．100米
B．110米
C．120米
D．130米
24．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知，则小车上升的高度是　　
A．5米
B．6米
C．6.5米
D．7米
25．如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若坡面的长度为米，则斜坡的长度为　　
A．
B．
C．
D．24
26．步行是全世界公认的有效、科学的健身方法．为了方便市民步行健身，某区园林部门决定将某公园里的一段斜坡改造成．已知原坡角，改造后的斜坡的坡度为，米，求原斜坡的长．（精确到0.1米，参考数据：
27．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到0.01
，参考数据：，
28．如图，小超老师带领学生参加夏令营活动期间，发现在某地小山坡的点处有一棵结满桃子的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即的长度，小超老师站在点的位置，让学生沿方向移动平面镜至点处，此时小超老师在平面镜内可以看到点，且米，米，，已知小超老师的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出的长度．（结果精确到1米，
29．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点、分别在、上，斜坡的长为18米，过点作于点，且线段的长为米．
（1）求该斜坡的坡高；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角为，过点作于点，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
五．题型：方位角问题（共7小题）
30．如图，小明在一条东西走向公路的处，测得图书馆在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆到公路的距离为　　
A．
B．
C．
D．
31．如图，一艘渔船从点出发，沿正南方向航行了半小时到达点，再沿南偏西方向航行了半小时到达点，此时测得码头在的正东方向，该渔船的速度为60海里时，则，两点间的距离为　　
A．10海里
B．15海里
C．30海里
D．90海里
32．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距　　
A．米
B．米
C．米
D．米
33．一艘货轮以的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至处时，发现它的东南方向有一灯塔，货轮继续向东航行30分钟后到达处，发现灯塔在它的南偏东方向，求此时货轮与灯塔的距离．（参考数据：，，
34．一艘货船以30海里小时的速度向正北航行，在处看见灯塔在船的北偏东，20分钟后货船至处，看见灯塔在船的北偏东，已知灯塔周围7.1海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否能绕过暗礁？（提供数据：，
35．如图，小岛和都在码头的正北方向上，它们之间距离为，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头的正西方向处时，测得，渔船速度为，经过，渔船行驶到了处，测得，求渔船在处时距离码头有多远？（结果精确到
（参考数据：，，，，，
36．如图，一艘渔船正以海里小时的速度由西向东赶鱼群，在处看小岛在船北偏东，60分钟后，渔船行至处，此时看见小岛在船的北偏东．
（1）求小岛到航线的距离．
（2）已知以小岛为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
参考答案
一．题型：特殊角的三角函数值（共7小题）
1．的值是　　
A．1
B．
C．
D．
解：．
故选：．
2．计算的值等于　　
A．
B．
C．
D．
解：，
故选：．
3．计算：　　
A．1
B．
C．
D．2
解：．
故选：．
4．计算：　0　．
解：原式．
5．计算：．
解：原式
．
6．计算：．
解：原式
．
7．计算：．
解：原式
．
二．题型：直角三角形的边角关系（共8小题）
8．如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则下列式子正确的是　　
A．
B．
C．
D．
解：在中，，，选项说法错误；
，选项说法正确；
，、选项说法错误；
故选：．
9．如图，在中，，，，则等于　　
A．
B．
C．
D．
解：在中，
，
故选：．
10．如图，在中，，，，则长为　　
A．2
B．4
C．6
D．8
解：在中，，，
则，
解得，，
故选：．
11．如图，已知在的网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为　　
A．
B．
C．
D．
解：由题意可得，
，，，
，
，
是直角三角形，，
，
故选：．
12．在网格中按如图所示放置，则的值是　　
A．
B．
C．
D．
解：过点作，垂足为．
在中，，
在中，，
，
又
，
．
．
．
故选：．
13．在中，，，，则的值是　　
A．
B．2
C．
D．
解：由勾股定理得，，
则，
故选：．
14．如图，在中，，，，求的面积．
解：作于点，如右图所示，
，，
，
解得，，
，
，，
，
，
，
，
的面积是：．
15．如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长．
解：在中，，
；
在中，，
．
，
的长为．
三．题型：仰角与俯角问题（共7小题）
16．如图，某飞机于空中处探测到正下方的地面目标，此时飞机高度，从飞机上看地面控制点的俯角为，则处到控制点的距离可表示为　　
A．
B．
C．
D．
解：根据题意可得：，；
则，
故选：．
17．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点处发现其正前方的海底处有黑匣子，同时测得黑匣子的俯角为，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点处，测得黑匣子的俯角为，则黑匣子所在的处距离海面的深度是　　
A．米
B．米
C．780米
D．1260米
解：由点向作垂线，交的延长线于点，并交海面于点．
已知米，，，
，
．
（米．
在中，，
（米．
米，
故选：．
18．如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为，若甲楼高为36米，则乙楼的高度为　　
A．米
B．米
C．米
D．米
解：由题意知：米，米，
在中，，
（米，
则米，
即乙楼的高度为米，
故选：．
19．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高．在桥外一点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，测得与大桥主架的水平距离为100米．则大桥主架顶端离水面的高为　　
A．
米
B．
米
C．米
D．米
解：在中，，
，
在中，，
，
米，
故选：．
20．如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部点的处，利用测角仪测得其顶部的仰角，测角仪的高度为，求该建筑物的高度．（精确到【参考数据：，，】
解：过点作于点，如图所示：
根据题意得：，，，
在中，，，
，
．
答：建筑物的高度约为．
21．为了测量建筑物的高度，兴趣小组在处用高为1.5米的测角仪，测得屋顶的仰角为，再向房屋方向前进15米，又测得房屋的顶端的仰角为，求房屋的高度．（参考数据，，结果保留整数）
解：由题意得，四边形，四边形都是矩形，
所以，米，米，
设米，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
解得，，
（米，
答：房屋的高度约为35米．
22．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，，
解：过分别作、的垂线，设垂足为、，
则，，
在中，斜坡的坡度，米，
设米，米，
，
，
米，米，
在中，，
米，
（米，
在中，（米，
（米，
答：宣传牌的高度为2米．
四．题型：坡度与坡角问题（共7小题）
23．如图，某游乐场山顶滑梯的高为50米，滑梯的坡比为，则滑梯的长为　　
A．100米
B．110米
C．120米
D．130米
解：某游乐场山顶滑梯的高为50米，滑梯的坡比为，
，
则，
解得：米，
故（米．
故选：．
24．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知，则小车上升的高度是　　
A．5米
B．6米
C．6.5米
D．7米
解：如图，作，
，
，
小车上升的高度是．
故选：．
25．如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若坡面的长度为米，则斜坡的长度为　　
A．
B．
C．
D．24
解：过作于，过作于，如图所示：
则四边形是矩形，
，
背水坡的坡比，米，
（米，
米，
又斜坡的坡比，
（米，
（米，
故选：．
26．步行是全世界公认的有效、科学的健身方法．为了方便市民步行健身，某区园林部门决定将某公园里的一段斜坡改造成．已知原坡角，改造后的斜坡的坡度为，米，求原斜坡的长．（精确到0.1米，参考数据：
解：设米，
在中，，
，
，
斜坡的坡度为，
，
由题意得，，
解得，，
则，
答：原斜坡的长约为47.3米．
27．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到0.01
，参考数据：，
解：，其坡度为，
在中，，
解得．
四边形为矩形，
．
斜坡的坡度为，
，
，
在中，．
故斜坡的长度约为20.62米．
28．如图，小超老师带领学生参加夏令营活动期间，发现在某地小山坡的点处有一棵结满桃子的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即的长度，小超老师站在点的位置，让学生沿方向移动平面镜至点处，此时小超老师在平面镜内可以看到点，且米，米，，已知小超老师的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出的长度．（结果精确到1米，
解：如图，过点作于点，
根据题意可知：
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得，
（米．
答：的长度约为15米．
29．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点、分别在、上，斜坡的长为18米，过点作于点，且线段的长为米．
（1）求该斜坡的坡高；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角为，过点作于点，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
解：（1）在中，；
答：该斜坡的坡高长为米；
（2），
，
，
在中，，
，
，
．
综上所述，长度增加了2米．
五．题型：方位角问题（共7小题）
30．如图，小明在一条东西走向公路的处，测得图书馆在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆到公路的距离为　　
A．
B．
C．
D．
解：由题意得，，，
，
故选：．
31．如图，一艘渔船从点出发，沿正南方向航行了半小时到达点，再沿南偏西方向航行了半小时到达点，此时测得码头在的正东方向，该渔船的速度为60海里时，则，两点间的距离为　　
A．10海里
B．15海里
C．30海里
D．90海里
解：由题意可得，（海里），
在中，，，
，
（海里），
即点、之间的距离为15海里，
故选：．
32．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距　　
A．米
B．米
C．米
D．米
解：过点作于，如图所示：
由题意得：，，
在中，，
（米，（米，
在中，（米，
（米．
故选：．
33．一艘货轮以的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至处时，发现它的东南方向有一灯塔，货轮继续向东航行30分钟后到达处，发现灯塔在它的南偏东方向，求此时货轮与灯塔的距离．（参考数据：，，
解：作于，
由题意得，，，，
在中，，
，
在中，，
，
答：货轮与灯塔的距离为．
34．一艘货船以30海里小时的速度向正北航行，在处看见灯塔在船的北偏东，20分钟后货船至处，看见灯塔在船的北偏东，已知灯塔周围7.1海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否能绕过暗礁？（提供数据：，
解：如图，过作于点，
，，
，
，
（海里），
海里，
，
则（海里）海里，
这艘船继续航行能绕过暗礁．
35．如图，小岛和都在码头的正北方向上，它们之间距离为，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头的正西方向处时，测得，渔船速度为，经过，渔船行驶到了处，测得，求渔船在处时距离码头有多远？（结果精确到
（参考数据：，，，，，
解：设处距离码头有，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
因此，处距离码头大约．
36．如图，一艘渔船正以海里小时的速度由西向东赶鱼群，在处看小岛在船北偏东，60分钟后，渔船行至处，此时看见小岛在船的北偏东．
（1）求小岛到航线的距离．
（2）已知以小岛为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
解：（1）作于点，如图1所示：
由题意可知：，，
，
即，
，
在中，；
即小岛到航线的距离为16海里；
（2），
这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能，
设为开始进入危险区的位置，为离开危险区的位置，如图2所示：
则，
，
，
在中，，
，
（小时），
小时分钟
渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．
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精品试卷·第
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