2021—2022学年人教版 九年级数学上册23.1 图形的旋转 同步课时训（word版含答案）

人教版
九年级数学上册
23.1
图形的旋转
同步课时训练
一、选择题
1.
如图所示，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是
(　　)
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
2.
把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为
(　　)
A．30°
B．90°
C．120°
D．180°
3.
如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点顺时针旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(－4，1)
B．(－1，2)
C．(4，－1)
D．(1，－2)
4.
如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是(　　)
A．AC＝AD
B．AB⊥EB
C．BC＝DE
D．∠A＝∠EBC
5.
如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是(　　)
图7－ZT－1
A．(－1，2＋)
B．(－，3)
C．(－，2＋)
D．(－3，)
6.
如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(，－1)
B．(1，－)
C．(2，0)
D．(，0)
7.
如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为(　　)
A．90°－α　　
B．α　　
C．180°－α　　
D．2α
8.
2019·河南
如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为(　　)
A．(10，3)
B．(－3，10)
C．(10，－3)
D．(3，－10)
二、填空题
9.
如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2
.将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，CE′＝________．
10.
如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝________°.
11.
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为(1，0)，点A在x轴正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，则变化后点A的对应点的坐标为________．
12.
如图所示，△ABC的顶点都在网格线的交点(格点)上，如果将△ABC绕点C逆时针旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是________．
13.
把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_______．
14.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
15.
如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10，则S△ABP＋S△BPC＝________．
16.
如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．
三、作图题
17.
图是由边长为1的小正方形组成的8×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：
第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；
第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；
第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.
(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；
(2)所画图形是________对称图形；
(3)求所画图形的周长(结果保留π)．
18.
如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B都在格点上(两条网格线的交点叫格点)．
(1)将线段AB向上平移2个单位长度，点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，请画出平移后的线段A1B1；
(2)将线段A1B1绕点A1逆时针旋转90°，点B1的对应点为B2，请画出旋转后的线段A1B2；
(3)连接AB2，BB2，求△ABB2的面积．
四、解答题
19.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
20.
如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
　　
21.
已知：如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，F，G，H分别为DE，BE，CD的中点．
(1)当△ADE绕点A旋转时，如图①，△FGH的形状为________，并说明理由．
(2)在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图②，若AB＝3，AD＝2，求线段FH的长．
(3)在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b(a＞b＞0)，则△FGH的周长是否存在最大值和最小值？若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
22.
请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
(1)探究1：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.求证：△BCD的面积为a2.(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE)
(2)探究2：如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
(3)探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
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九年级数学上册
23.1
图形的旋转
同步课时训练-答案
一、选择题
1.
【答案】B　[解析]
旋转中心到对应点的距离相等．
2.
【答案】C
3.
【答案】D
4.
【答案】D　[解析]
由旋转的性质可知，AC＝CD，但∠A不一定是60°，所以不能证明AC＝AD，所以选项A错误；因为旋转角度不定，所以选项B不能确定；因为不确定AB和BC的数量关系，所以BC和DE的数量关系不能确定，所以选项C不能确定；由旋转的性质可知∠ACD＝∠BCE，AC＝DC，BC＝EC，所以2∠A＝180°－∠ACD，2∠EBC＝180°－∠BCE，从而可证选项D是正确的．
5.
【答案】B　[解析]
如图，过点B′作B′H⊥y轴于点H.
由题意得，OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴∠A′B′H＝30°，
∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，
∴OH＝3，∴B′(－，3)．
6.
【答案】A
7.
【答案】C　[解析]
由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.
∵∠EDB＋∠ADB＝180°，
∴∠C＋∠ADB＝180°.
由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.
∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.
8.
【答案】D
二、填空题
9.
【答案】＋　[解析]
如图，连接CE′，
∵△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2
，
∴AB＝BC＝2
，BD＝BE＝2.
∵将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，
∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，
∠D′BD＝∠ABE′，
∴∠ABD′＝∠CBE′，
∴△ABD′≌△CBE′(SAS)，
∴∠D′＝∠CE′B＝45°.
过点B作BH⊥CE′于点H，
在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝BE′＝，
在Rt△BCH中，CH＝＝，
∴CE′＝＋.故答案为＋.
10.
【答案】90　[解析]
连接AA1，CC1，分别作AA1和CC1的垂直平分线，两直线相交于点D，则点D即为旋转中心，连接AD，A1D，则∠ADA1＝α＝90°.
11.
【答案】(－2，2)　[解析]
△ABC绕点C逆时针旋转90°后，点A的对应点的坐标为(1，2)，再向左平移3个单位长度，点A的对应点的坐标为(－2，2)．
12.
【答案】(1，0)
13.
【答案】y＝－x2－2x－3　[解析]
旋转前二次项的系数a＝1，抛物线的顶点坐标是(1，2)，旋转后二次项的系数a＝－1，抛物线的顶点坐标是(－1，－2)，∴新抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2－2，即y＝－x2－2x－3.
14.
【答案】18　[解析]
如图．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠B＋∠ADC＝180°.又∵AB＝AD，∴将△ABC绕点A逆时针旋转90°后点B与点D重合，点C的对应点E落在CD的延长线上，∴AE＝AC＝6，∠CAE＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝AC·AE＝×6×6＝18.
15.
【答案】24＋16
　[解析]
如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到△BP′A，连接PP′.
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′＝∠CBA＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP′.
由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，
在△APP′中，PP′＝8，AP＝6，AP′＝10，
由勾股定理的逆定理，得△APP′是直角三角形，
∴S△ABP＋S△BPC＝S四边形AP′BP＝S△BPP′＋S△AP′P＝BP2＋PP′·AP＝24＋16
.
故答案为24＋16
.
16.
【答案】9＋3
　[解析]
将y＝1代入y＝－x，解得x＝－.
∴AB＝，OA＝2，且直线y＝－x与x轴所夹的锐角是30°.
由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO2＝O2O4＝O4O6＝O6O8＝O8O10＝O10O12＝2＋＋1＝3＋.
∴OO12＝6×(3＋)＝18＋6
.
∴点O12的纵坐标＝OO12＝9＋3
.
三、作图题
17.
【答案】
解：(1)如图所示：
(2)轴
(3)所画图形的周长＝半径为4的圆的周长＝2π×4＝8π.
18.
【答案】
解：(1)如图，线段A1B1即为所求．
(2)如图，线段A1B2即为所求．
(3)如图，S△ABB2＝4×4－×2×4－×2×2－×2×4＝6.
四、解答题
19.
【答案】
解：(1)证明：由题意可知，CD＝CE，∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE.
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°.
∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°.
∵AD＝BF，∴BE＝BF，
∴∠BEF＝×(180°－45°)＝67.5°.
20.
【答案】
解：(1)①当A，D，M三点在同一直线上时，AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD－DM＝20.
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∵AM>0，
∴AM＝20
.
当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∵AM>0，
∴AM＝10
.
综上所述，满足条件的AM的长为20
或10
.
(2)如图，连接CD1，
由题意得，∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，
∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30
.
∵∠AD2C＝135°，
∴∠CD2D1＝∠AD2C－∠AD2D1＝90°，
∴CD1＝＝30
.
∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，
∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，
∴∠BAD2＝∠CAD1.
又∵AB＝AC，AD2＝AD1，
∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，
∴BD2＝CD1＝30
.
21.
【答案】
解：(1)△FGH是等边三角形．理由如下：
如图①，连接BD，CE，延长BD交CE于点M，设BM交FH于点O.
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC.
∵EG＝GB，EF＝FD，
∴FG＝BD，FG∥BD.
∵DF＝EF，DH＝HC，
∴FH＝CE，FH∥CE，
∴FG＝FH.
∵∠ADB＋∠ADM＝180°，
∴∠AEC＋∠ADM＝180°，
∴∠DME＋∠DAE＝180°.
∵∠DAE＝60°.
∴∠DME＝120°，∴∠BMC＝60°，
∴∠GFH＝∠BOH＝∠BMC＝60°，
∴△FGH是等边三角形．
(2)如图②，连接AF，EC.
易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE＝2，EF＝DF＝1，
∴AF＝＝.
在Rt△ABF中，BF＝＝.
同(1)可得FH＝CE，BD＝CE，
∴CE＝BD＝BF－DF＝－1，
∴FH＝CE＝.
(3)存在．
由(1)可知，△FGH是等边三角形，GF＝BD，∴△FGH的周长＝3GF＝BD.
∵AB＝a，AD＝b，AB－AD≤BD≤AB＋AD，
∴BD的最小值为a－b，最大值为a＋b，
∴△FGH的周长的最大值为(a＋b)，最小值为(a－b)．
22.
【答案】
解：(1)证明：如图①，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，
∴∠BED＝∠ACB＝90°.
由旋转知，AB＝BD，∠ABD＝90°，
∴∠ABC＋∠DBE＝90°.
又∵∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DBE.
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
∴BC＝DE＝a.
∵S△BCD＝BC·DE，
∴S△BCD＝a2.
(2)△BCD的面积为a2.
理由：如图②，过点D作CB的垂线，与CB的延长线交于点E，
∴∠BED＝∠ACB＝90°.
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°，
∴∠ABC＋∠DBE＝90°.
又∵∠A＋∠ABC＝90°.
∴∠A＝∠DBE.
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
∴BC＝DE＝a.
∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a2.
(3)如图③，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，
∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a，
∴∠FAB＋∠ABF＝90°.
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴∠ABD＝90°，AB＝BD，
∴∠ABF＋∠DBE＝90°，
∴∠FAB＝∠DBE.
在△AFB和△BED中，
∴△AFB≌△BED(AAS)，
∴BF＝DE＝a，
∴S△BCD＝BC·DE＝·a·a＝a2.