3.1.2函数的表示法(第2课时) 课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共21张PPT)

(共21张PPT)
3.1函数的概念及其表示
3.1.2
函数的表示
第2课时
1.如何理解分段函数，处理分段函数问题的一般思路是怎样的？
复习引入
(1)概念：
对于函数y=?(x)，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数y=?(x)叫分段函数．
(2)分段函数的一般形式：
说明：分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同．
(3)处理分段函数问题的一般策略：
先分段处理，后根据题意整合.
分段处理时要特别留意自变量的范围。
(1)解析法:
①两个变量间的关系简明、全面、精确
；
②能比较方便地通过自变量的任意一个值求出其对应的函数值；
③便于研究函数的性质.
解析法是中学研究函数的主要表达方法.
(2)图象法:
①能直观形象地表示出函数的变化趋势；
②有利于研究函数的某些性质。
图象法数形结合思想方法的基础.
(3)列表法:
不必通过运算就能得到与自变量值对应的函数值.
列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.
2.函数常见的表示方法有哪几种？各有什么特点各是什么？
对于一个具体问题，如果涉及函数，我们如何来选择恰当的方法来表示问题中的函数关系？对于解析法中的解析式，常见的求法又有哪一些呢？这就是本节课我们要研究的内容。
例1.下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
请你对这三人作一个学习情况像分析.
例析
思考1:
上表反映的是什么样的函数关系，有几个？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？
上表反映的是3名同学的数学成绩及班级平均成绩于测试序号的函数关系，
共有4个函数关系.
每个函数的自变量都是
每个函数定义域都是
测试序号。
{1，2，3，4，5，6}.
探究新知(一)
姓名
测试序号
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
请你对这三人的学习情况进行分析.
思考2:
上述4个函数能用解析法表示吗？表格能否直观地分析出三位同学成绩高低?
你能用图象法表示吗？
王伟
张城
赵磊
班级平均
解：
为了直观地反映每位同学和班级平均成绩的变化情况，我们用图象法将表格中的4个函数表示出来，如图。
可以看出:
王伟同学的数学成绩始终高于平均水平，学习情况稳定且成绩优秀。
张城同学的数学成绩不大稳定，总在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大;
赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平,但他成绩在稳步提高.
例2.
依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照
《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税
（简称个税）．2019年１月１日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为:
个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数①．
应纳税所得额的计算公式为:
应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除
－专项附扣除－依法确定的其他扣除②．
税率及速算扣除表为
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率(0/0)
速算扣除数
1
[0,36000]
3
0
2
(36000,144000]
10
2520
3
(144000,300000]
20
16920
4
(300000,420000]
25
31920
5
(420000,660000]
30
52920
6
(660000,960000]
35
85920
7
(960000,+∞)
45
181920
包括工资、薪金，劳务报酬，稿
酬，特许权使用费
(免征额)每年60000元
包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等
包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出
（1)设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，
求y＝f(t)，并画出图象；
思考：你认为计算应缴纳个税税额的步骤是怎样的？y＝f(t)是分段函数吗？
例2.
...个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数①...
应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除
－专项附扣除－依法确定的其他扣除②．
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率(0/0)
速算扣除数
1
[0,36000]
3
0
2
(36000,144000]
10
2520
3
(144000,300000]
20
16920
4
(300000,420000]
25
31920
5
(420000,660000]
30
52920
6
(660000,960000]
35
85920
7
(960000,+∞)
45
181920
（1)设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，
求y＝f(t)，并画出图象；
解：(1)
函数y＝f(t)的解析式为
(2)小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是８％，２％，
１％，９％，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
例2.
...个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数①...
应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除
－专项附扣除－依法确定的其他扣除②．
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率
(0/0)
速算扣除数
1
[0,36000]
3
0
2
(36000,144000]
10
2520
3
(144000,300000]
20
16920
4
(300000,420000]
25
31920
5
(420000,660000]
30
52920
6
(660000,960000]
35
85920
7
(960000,+∞)
45
181920
解:
(2)
由公式②得小王全年应纳税所得额为
t=
189600-60000-
189600(８％+2％+1％+9％)
-4560
=34320
∴y=34320×0.03
=1029.6
∴小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6
元
练习
解:
(D)与(1),
(A)与(2),
(B)与(3)
吻合得最好
(C)表示的事件可能为：
离开家时带的东西太重，越来越吃力，走得也越来越慢。
1.
下列哪几个图与以下三件事吻合得最好？并请你为剩下的一个图写出一件事.
(1)我离开家不久，发现作业本忘在家里了，于是回家找到作业本再去上学；
(2)我骑车离开家一直匀速行驶，但在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)我离开家后，心情轻松，一路缓缓加速行进。
(A)
(B)
(C)
(D)
(教材P71练习第1题)
解:
设票价为y元，里程为x公里.
由题意可知，自变量的取值范围是(0,20］,由票价制定规则,可得到函数解析式：
其图象如右
2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)
5公里以内(含5公里),票价2元；
(2)
5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里
计算)．
如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程
x之间的函数解析式,并画出函数的图象．
（教材P72练习第2题）
探究新知(二)
问题1：解析法是中学阶段函数的主要表达方法，它是用数学表达式即解析式来表示两个变量之间的对应关系，在这以前我们已学过求解析式的一些方法，你还能记起这些方法吗？
(1)直译法(适用于实际问题):
根据函数问题的实际背景直接列出函数的解析式。
(2)待定系数法(含图象法)(适用于已知函数模型的情况):
其一般步骤为：
设出函数的解析式→列方程（组）→解出参数→代回解析式。
(3)代入法(适用于由y=f(x)求y=f(g(x))的情况):
其一般步骤为：
将g(x)看作x代入y=f(x)→化简。
练习
1.已知函数f(x)是一次函数，且其图象经过点(1,2)和(2,5).求f(4)的值
2.已知函数f(x)=-2x2-x+1。求函数下列函数的解析式:
（1）f(-x+1)；
（2）f(x2-1).
解：
由题意得
解：
∵
f(x)=-2x2-x+1
∴
f(-x+1)=
-2(-x+1)2-(-x+1)+1
=-2x2+5x-2
f(x2-1)=
-2(x2-1)2+5(x2-1)-2
=-2x4+3x2
问题2：若函数f(x+1)=x2+2x+2（x<0）,
你能求出函数f(x)吗？
思考(1)：对应关系f是如何把”x+1”对应到“x2+2x+2”的?
∵x2+2x+2=
(x+1)2+1
∴f(x+1)=(x+1)2+1
思考(2)：由此你能写出f(x)吗?并能标出x的范围吗？
f(x)=x2+1
∵在f(x+1)=(x+1)2+1中，x+1<1
∴
在f(x)=x2+1中，x<1
∴f(x)=x2+1(x<1)
思考(3)：这种方法叫“配凑法”，请说说用“配凑法”由f(g(x))求f(x)的一般步骤？
用g(x)将f(g(x))解析式表示出来
→确定出对应关系f
→写出解析式f(x)
问题2：若函数f(x+1)=x2+2x+2（x<0）,
你能求出函数f(x)吗？
思考(4)：如果把“x+1”换成变量”t”,如何将“x2+2x+2”用表示出来?
思考(6)：这种方法叫“换元法”，请说说用“换元法”由f(g(x))求f(x)的一般步骤？
设t=g(x)→
由t=g(x)解出x=h(t)并注意t的范围→
将x=h(t)代入f(g(x))并化简→
写出f(x),
必要时标出x的取值范围.
设t=x+1,则
t<1，x=t-1
∴x2+2x+2=
(t-1)2+2(t-1)+2
=t2+1
思考(5)：你说说对应关系”f“是怎样的吗？并能由此写出函数f(x)吗？
f(x+1)=f(t)=x2+2x+2=t2+1
∴f(t)=t2+1(t<1)
∴f(x)=x2+1(x<1)
练习
解：
另解：
解：
说明：
这是用“方程组法”求解析式，多用于给出“f(x)和f(1/x)”或“f(x)和f(-x)”关系的情况。
其一般步骤为：
将x换为-x或1/x
→结合给出的关系组成方程组
→解出f(x)
课堂小结
1.函数常见的表示方法有哪几种？各有什么特点各是什么？
2.如何理解分段函数，处理分段函数问题的一般思路是怎样的？
3.说说求函数解析式的方法有哪一些？哪些情况需标明自变量的范围？
(1)实际问题：直译法
根据函数问题的实际背景直接列出函数的解析式。
(2)已知函数模型(含图象)：待定系数法
其一般步骤为：
设出函数的解析式→列方程（组）→解出参数→代回解析式。
(3)由y=f(x)求y=f(g(x))：代入法
其一般步骤为：
将g(x)看作x代入y=f(x)→化简。
(4)由y=f(g(x))求y=f(x)：配凑法、换元法
①配凑法，其一般步骤为：
用g(x)将f(g(x))解析式表示出来→确定出对应关系f→写出解析式f(x)。
(5)由f(-x)和f(x)的关系或f(1/x)和f(x)的关系求f(x)：方程组法
其一般步骤为：
将x换为-x或1/x→结合给出的关系组成方程组→解出f(x)。
(4)由y=f(g(x))求y=f(x)：配凑法、换元法
②换元法，其一般步骤为：
设t=g(x)→由t=g(x)解出x=h(t)并注意t的范围→将x=h(t)代入f(g(x))并化简→写出f(x),
必要时标出x的取值范围.
注意：求函数f(x)解析式时，只要x的取值范围不是由解析式有意义来确定的，都一定要标出x的取值范围
4.举例说说本节(3.1)的思想方法有哪一些？
数形结合的思想方法，
分类与整合的思想方法，
特殊与一般的思想方法。
5.你能画出本节(3.1)的知识框图吗？
作业
1.教材P72习题3.1
第6,
15题