第二章 一元二次函数、方程和不等式（基础自测卷，解析版）

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第二章
一元二次函数、方程和不等式
基础自测卷
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
一、单选题
1．对，不等式恒成立，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【解析】不等式对一切恒成立，
当，即时，恒成立，满足题意；
当时，要使不等式恒成立，需，即有，
解得.综上可得，的取值范围为.故选：A.
2．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（
）
A．<
B．a2>b2
C．>
D．a|c|>b|c|
【答案】C
【解析】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2因>0，a>b，由不等式性质得，C正确；
当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，故选：C
3．已知正实数a，b满足，则的最小值是（
）
A．8
B．16
C．32
D．36
【答案】B
【解析】因为正实数a，b满足，
所以，即，当且仅当时，即时取等号.
因为，所以，
所以.
故的最小值是16.故选：B
4．若实数，则的最小值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【解析】由条件可知，，
所以
，
当，即，结合条件
，
可知时，等号成立，所以的最小值为.故选：D
5．已知且，下列各式中最大的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
所以，，
由均值不等式可知，所以，
由上可知：，
所以四个式子中最大，故选：D.
6．已知，，，，则M与N的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】A
【解析】因为，且，，
所以，所以，故选：A.
7．某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由，得，即，故选：B．
8．在R上定义运算：a?b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)?(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为(　C　)
A．{m|－2B．{m|－1C．{m|－3D．{m|1【答案】C
【解析】(m－x)?(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)?(m＋x)<4成立，所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．在数轴上，A（x），B（3），且AB，则（　　）
A．x或
B．x或
C．AB的中点C（）或（）
D．AB的中点C（）或（）
【答案】AC
【解析】由题意可知，AB＝|x﹣3|，∴x，或x
∴AB的中点对应的数为或．故选：AC．
10．下列说法中，正确的是(　ABD　)
A．若a，b∈R，则a4＋b4≥2a2b2
B．若a，b∈R，则a3b3≤
C．若a>0，b>0，则(a－1)＋(b－1)≥
D．若a，b∈R，则ab≤
【答案】ABD
【解析】对于A，由(a2－b2)2≥0，得a4＋b4≥2a2b2，故A正确；对于B，由(a3－b3)2≥0，得a6＋b6≥2a3b3，即a3b3≤，故B正确；对于C，虽然a>0，b>0，但不一定有a－1>0，b－1>0，故C不一定成立，故C不正确；对于D，由均值不等式，得ab≤，故D正确．故选ABD．
11．已知方程x2－(p－1)x＋q＝0的解集为A，方程x2＋(q－1)x＋p＝0的解集为B，A∩B＝{－2}，则(　AD　)
A．A∪B＝{－2，－1,1}　
B．A∩(?RB)＝{2}
C．(?RA)∩B＝?　
D．(?RA)∩B＝{1}
【答案】AD
【解析】A∩B＝{－2}，则将x＝－2代入方程，得，解得则方程x2－(p－1)x＋q＝0为x2＋3x＋2＝0，即(x＋2)·(x＋1)＝0，解得x1＝－1，x2＝－2，所以A＝{－1，－2}．方程x2＋(q－1)x＋p＝0为x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，解得x3＝1，x4＝－2，所以B＝{1，－2}，所以A∪B＝{－2，－1,1}，A∩(?RB)＝{－1}，(?RA)∩B＝{1}．故选AD．
12．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列结论错误的是(　ACD　)
A．b－a>0　
B．b＋a>0
C．a3＋b3<0　
D．a2－b2<0
【答案】ACD
【解析】a－|b|>0?a>|b|≥0.对于A选项，a>|b|≥b，所以b－a<0，故A错误；对于B选项，a>|b|≥－b，所以a＋b>0，故B正确；对于C选项，a>|b|?a3>|b|3≥－b3，所以a3＋b3>0，故C错误；对于D选项，a>|b|?a2>b2，所以a2－b2>0，故D错误．故选ACD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．设a＞b＞0，若x，y则x，y的大小关系是　　（用”＜”号连接）
【答案】x＜y
【解析】因为a＞b＞0，所以，a﹣b＞0，
所以x＞0，y＞0，
，
＝﹣（）2+b＝﹣（）2+（）2
＝（）（）＝（）（）
∵a＞b＞0，∴（）（）＜0，
∴x2﹣y2＜0，所以x＜y，故答案为：x＜y．
14．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为___.
【答案】
【解析】依题意知方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，根据根与系数的关系可求得a＝5，b＝－6，所以所求解的不等式为6x2＋5x＋1<0，解得－15．建造一个容积为18
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果水池底和水池壁每平方米的造价分别为200元和150元，那么水池的最低造价为____元．
【答案】5400
【解析】设水池底的长为x
m，宽为y
m，则有2xy＝18，得xy＝9.这时水池的造价p＝200xy＋150×2(2x＋2y)，即p＝1
800＋600(x＋y)，于是p≥1
800＋600×2＝1
800＋600×6＝5
400，当且仅当x＝y＝3时等号成立，故水池的最低造价为5
400元．
16．已知命题p：?x＞0，2x＞m﹣1恒成立是真命题，则实数m的取值范围是　　．
【答案】（﹣∞，1+2]
【解析】?x＞0，2x＞m﹣1恒成立，
即为m﹣1＜（2x）min，（x＞0），
由2x≥22，当且仅当x取得等号，
则2x的最小值为2，
可得m﹣1＜2，即m＜1+2，
即m的取值范围是（﹣∞，1+2]．
故答案为：（﹣∞，1+2]．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)设有一元二次方程x2+2（m﹣1）x+（m+2）＝0．试问：
（1）m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．
（2）m为何值时，有两正根．
【解析】（1）设一元二次方程x2+2（m﹣1）x+（m+2）＝0的两个根分别为x1，x2，且x1＜1，x2＞1，则x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
只要求（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，即x1x2﹣（x1+x2）+1＜0．
利用韦达定理有（m+2）+2（m﹣1）+1＜0，求得m．
（2）若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0，故应满足条件，
求得﹣2＜m．
18．(12分)已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0．
（1）若不等式的解集为（2，3），求实数k的值；
（2）若k＞0，且不等式对一切2＜x＜3都成立，求实数k的取值范围．
【解析】（1）不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集为（2，3），
所以2和3是方程kx2﹣2x+6k＝0的两根且k＞0，
由根与系数的关系得，2+3，解得k；
（2）令f（x）＝kx2﹣2x+6k，
则原问题等价于，
即，解得k，
又k＞0，
所以实数k的取值范围是0＜k
19．(12分)已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）．
（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．
【解析】（1）函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R），
不等式f（x）≥b化为ax2﹣（4a+1）x+4﹣b≥0，
由该不等式的解集为{x|1≤x≤2}，
所以a＜0，且1和2是方程ax2﹣（4a+1）x+4﹣b＝0的两根，
所以，
解得a＝﹣1，b＝6；
（2）不等式f（x）＞0，即（ax﹣1）（x﹣4）＞0．①当a＝0时，不等式为﹣x+4＞0，解得x＜4；
②当a＜0时，不等式为（x）（x﹣4）＜0，此时4，解得x＜4；
③当a＞0时，不等式为（x）（x﹣4）＞0，若0＜a，则4，解得x＜4或x；
若a，则4，不等式为（x﹣4）2＞0，解得x≠4；
若a，则4，解得x或x＞4；
综上知，a＝0时，不等式的解集为{x|x＜4}；
a＜0时，不等式的解集为{x|x＜4}；
0＜a时，不等式的解集为{x|x＜4或x}；
a时，不等式的解集为{x|x≠4}；
a时，不等式的解集为{x|x或x＞4}．
20．(12分)已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，且BC＝8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．
【解析】(1)因为Δ＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1>0，
所以不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)由于无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根，
故若要△ABC为等腰三角形，那么方程必有一个根为8.
不妨设AB＝x1＝8(x1是方程的一个根)，
则有82－8(2m＋1)＋m(m＋1)＝0，
即m2－15m＋56＝0，解得m＝7或8，
故当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8.
21．(12分)设实数x，y满足2x+y＝1．
（1）若|2y﹣1|﹣2|x|＜3，求x的取值范围；
（2）若x＞0，y＞0，求证：．
【解析】（1）解：由2x+y＝1，得y＝1﹣2x，
所以不等式|2y﹣1|﹣2|x|＜3，即为|4x﹣1|﹣2|x|＜3，
所以有或或
解得﹣1＜x＜0或0或x＜2，
所x的取值范围为x∈（﹣1，2）．
（2）证明：∵x＞0，y＞0，2x+y＝1
所以（）（2x+y）＝44+4＝8，当且仅当，即2x＝y时取等号．
又，当且仅当2x＝y时取等号，
所以，当且仅当2x＝y时取等号．
22．(12分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
【解析】（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．
则总造价f（x）＝400×（2x）+248×2x+80×162＝1296x12960
＝1296（x）+12960≥1296×212960＝38880（元），
当且仅当x（x＞0），即x＝10时，取等号．
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．
（2）由限制条件知，∴10x≤16．
设g（x）＝x（10x≤16），
由函数性质易知g（x）在[10，16]上是增函数，
∴当x＝10时（此时16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值
1296×（10）+12960＝38882（元）．
∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元．
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精品试卷·第
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