第二章 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷，解析版）

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第二章
一元二次函数、方程和不等式
能力提升卷
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知，，且，则的最小值为（
）
A．4
B．9
C．10
D．12
【答案】B
【解析】由，，且得
，
当且仅当即，时等号成立，的最小值为，故选：B.
2．对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】因为正实数a与b为函数的一对“类指数”，
所以，所以，即，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，又的最小值为9，
所以k的值为1，故选：B
3．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】结合图像易知，不等式的解集，故选：A.
4．若，不等式恒成立，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．{a|a＞1}
D．
【答案】D
【解析】由于，不等式恒成立
所以，恒成立，即
恒成立
令，显然在
上单调递减，
所以实数a的取值范围是故选：D
5．已知实数a，b，c，若a＞b，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．a2＞b2
C．
D．a|c|＞b|c|
【答案】C
【解析】A.
当时，，故错误；
B.
当时，，故错误；
C.因为
a＞b，，所以，故正确；
D.
当时，a|c|=b|c|，故错误，故选：C
6．已知关于x的不等式的解集为空集，则实数t的取值范围是（
）
A．
B．或
C．
D．
【答案】D
【解析】①当，即．
当时，不等式化为，其解集为空集，因此满足题意；
当时，不等式化为，即，其解集不为空集，因此不满足题意，应舍去；
②当，即时．
关于的不等式的解集为空集，
，解得．
综上可得：的取值范围是．故选：．
7．直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于（
）
A．16
B．18
C．20
D．不能确定
【答案】B
【解析】直角三角形的两直角边为、，面积为，
则，
当且仅当时，等号成立，直角三角形面积．故选：．
8．设p：0＜x＜1，q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，0]
B．（﹣1，0）
C．（﹣∞，0]∪[1+∞，）
D．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）
【答案】A
【解析】命题q：：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，即a≤x≤2+a．
由题意得，命题p成立时，命题q一定成立，但当命题q成立时，命题p不一定成立．
∴a≤0，且2+a≥1，解得﹣1≤a≤0，故选：A．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．（2019·江苏姑苏?高二期中）已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变得更甜.对于，，下列不等式正确的有：(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由题意可知，可以得到不等式，若，，则有，因此选项A是正确的；由该不等式反应的性质可得：，因此选项C是正确的；
对于选项B：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项B不是正确的；
对于选项D：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项D不是正确的.故选：AC
10．（2020·山东新泰?泰安一中高二期中）如果，那么下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】
A.
，故错误；
B.
，当时，，故错误；
C.
，故正确；
D.
，，故正确.
故选CD.
11．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　)
A．a>0
B．b>0
C．c>0
D．a＋b＋c>0
【答案】BCD
【解析】因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．故选B、C、D.
12．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是(　　)
A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为?
B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}
C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式
D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝
【答案】AB
【解析】由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0.从而不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为?，故A正确；当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4就是x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b就是x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确；在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．
由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误；由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，
知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b.由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4.当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
【答案】?
【解析】原不等式变形为3x2－5x＋4<0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，
所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为?.
14．若不等式x2－4x＋m<0的解集为空集，则不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集是________．
【答案】{x|3【解析】由题意，知方程x2－4x＋m＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m≤0，解得m≥4，又x2－(m＋3)x＋3m<0等价于(x－3)(x－m)<0，所以315．若?x>0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是________．
【答案】a≥2
【解析】?x>0，使得＋x－a≤0，等价于a大于等于＋x的最小值，
∵x＋≥2
＝2(当且仅当x＝1时等号成立)，
故a≥2.
16．(一题两空)某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
电子器件种类
每件需要人员数
每件产值(万元)
A类
7.5
B类
6
今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．
【答案】20　330
【解析】设总产值为y万元，应开发A类电子器件x件，则应开发B类电子器件(50－x)件．
根据题意，得＋≤20，解得x≤20.
由题意，得y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R.
(1)当a＝2时，求A∪B和(?RA)∩B；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，则A∪B＝{x|－2≤x≤7}，?RA＝{x|x<1或x>7}，(?RA)∩B＝{x|－2≤x<1}．
(2)∵A∩B＝A，∴A?B.
若A＝?，则a－1>2a＋3，解得a<－4；
若A≠?，由A?B，得，解得－1≤a≤
综上，a的取值范围是.
18．(本小题满分12分)）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求：
（1）3x+4y的最小值；
（2）求xy的最小值．
【解析】（1）正数x，y满足x+3y＝5xy，∴5．
∴3x+4y（3x+4y）（135，当且仅当x＝1，y时取等号．∴3x+4y的最小值为5．
（2）∵正数x，y满足x+3y＝5xy，∴5xy，
解得：xy，当且仅当x＝3y时取等号．
∴xy的最小值为．
19．(本小题满分12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
【解析】原不等式可化为，
即，
①当即时，；
②当时，即时，原不等式的解集为；
③当即时，，
综上知：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
20．(本小题满分12分)设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
【解析】（1），
.
均不为，则，；
（2）不妨设，
由可知，，
，.
当且仅当时，取等号，
，即.
21．(本小题满分12分)已知命题：“?x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m＝0成立”是真命题，
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．
【解析】（1）由x2﹣x﹣m＝0可得m＝x2﹣x
∵﹣1＜x＜1
∴
M＝{m|}
（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M?N
①当a＞2﹣a即a＞1时，N＝{x|2﹣a＜x＜a}，则即
②当a＜2﹣a即a＜1时，N＝{x|a＜x＜2﹣a}，则即
③当a＝2﹣a即a＝1时，N＝φ，此时不满足条件
综上可得
22．(本小题满分12分)某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x+1；g（x）．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．
【解析】设投入B商品的资金为x万元（0≤x≤5），则投入A商品的资金为5﹣x万元，设收入为S（x）万元，
①当0≤x≤3时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x），
则S（x）＝6﹣x17﹣[（x+1）]≤17﹣217﹣6＝11，当且仅当x+1，解得x＝2时，取等号．
②当3＜x≤5时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝﹣x2+9x﹣12，
则S（x）＝6﹣x﹣x2+9x﹣12＝﹣（x﹣4）2+10≤10，此时x＝4．
∵10＜11，∴最大收益为11万元，
答：投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．
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