(共30张PPT)
4.2.2等差数列的前n项和
（第1课时）
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1+2+3+4+…+100=？
其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=10150=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，…，n，…
①
前100项的和的问题.
新知讲解
思考
你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？
你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？
答：
高斯在计算中利用了
这一特殊关系
即上节课例5性质的应用
若{}是等差数列，,且
.
则
对于数列①，设
1，2，3，…，n，…
①
等差数列中，下标和相等的两项和相等
新知讲解
将上述方法推广到一般，可以得到：
当n是偶数时，有
于是有
当n是奇数时，有
首尾配对要分奇、偶数讨论
所以，对于任意正整数n，都有
合作探究
思考
在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？
如果对公式
作变形，可得
它相当于两个相加，而结果变成n个（n+1）相加.
受此启发，我们得到下面的方法：
合作探究
将上述两式相加，可得
所以
倒序相加法可避免分类讨论
合作探究
探究
上述方法的妙处在哪里
？
观察左图，从几何上体会倒序求和的方法.
上述方法的妙处在于将“倒序”为，
将两式相加，得到n个相同的数（即n+1）相加，从而把不同数的求和转化为n个相同的数求和.
合作探究
对于等差数列
，因为
探究
上述方法能够推广到求等差数列的前n项和吗
？
由上述方法得到启示，我们用两种方式表示
①
②
①+②,
得
新知讲解
由此得到等差数列的前n项和公式
(1)
把等差数列的通项公式代入公式（1），可得
(2)
合作探究
等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
选用
公式
合作探究
思考
1.
等差数列前n项和的公式（1）和公式（2）有什么共同点和不同点：
提示：
共同点是两个公式均为等差数列的求和公式，均需知道
.
不同点是
还需知道，
还需知道d，
解题时根据已知条件决定选用哪个公式.
注：①两个公式一共涉及
五个量.
通常已知其中三个，可求得其余两个，而且方法就是解方程（组），这也是等差数列的基本问题形式之一
②当已知首项，末项，项数n时，用公式.
用此公式时，有时要结合等差数列的性质，如,从而有
合作探究
思考
2．
等差数列中，
与
相等吗？表示什么意义？
提示：
相等，表示等差数列前n项的平均数.
3.
不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
提示：
从等差数列前n项和的定义及通项公式入手
合作探究
例6
已知数列是等差数列.
（1）若，，求
；
（2）若，，求；
（3）若，
,
，求n.
分析：
（1）可以直接利用公式求和；
（2）可以先利用的值求出d，再利用公式求和；
（3）已知公式
中的，
合作探究
解：
（1）若，，求
；
（2）若，，求；
（1）因为，，根据公式
，可得
.
（2）因为，，
所以
根据公式，可得
合作探究
（3）若，
,
，求n.
把，
,
代入
得
整理，得
解得
n=12，或n=-5（舍去）
所以
n=12
解：
解：
合作探究
例7
已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
分析：
把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于的二元一次方程，解解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得.
解：
由题意，知
，
.
把它们代入公式
，
得
解方程组，得
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
合作探究
探究
已知数列的前n项和为，其中
为常数，且
任取若干组，在电子表格中计算的值
（图4.2-3给出的情况），
观察数列的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.
提示：观察C列，显然，是等差数列。
合作探究
思考：
已知数列的前n项和为，其中
为常数，且
那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是多少？
分析：
∵
当时，
当n=1时，
又
∵
当n=1时，
∴
当且仅当r=0时，满足
故只有当r=0时，该数列才是等差数列，
此时，首项，公差
当
时，不满足
，此时，数列不是等差数列.
合作探究
结论：
数列是等差数列
(p、q为常数)
课堂练习
1
（改编例7）已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和吗？
解法1：
由题意知
，
.
∴
解得:
于是
得
∴
解法2：
设
则
得：
∴
课堂练习
2
在等差数列中，
（1）已知，，求；
（2）已知，
求
.
解：
（1）法1：
∵
，
∴
，
得
，
∴
法2：
∴
即
∴
，
∴
课堂练习
2
在等差数列中，
（2）已知，
求
.
（2）法1：
∵
，
∴
∴
法2:
∵
∴
∴
解：
课堂练习
3
已知是数列的前n项和，根据条件求.
(1)
;
(2)
.
解：
（1）当
n＝1
时，，
当
时，
又
不适合上式，
所以
课堂练习
3
已知是数列的前n项和，根据条件求.
(1)
;
(2)
.
解：
（2）当
n＝1
时，，
当
时，
显然，
适合上式.
所以.
注:
(1)已知求，其方法是
，这里常常因为忽略条件“”而出错
(2)在书写的通项公式时，务必验证n＝1是否满足的情形．如果不满足，则通项公式只能用表示．
课堂练习
4
若等差数列的前n项和为，则该数列的公差为________．
解法1：
数列
的前n项和为
所以当时，
，
当
n＝1时满足，所以d＝2A.
解法2：
设d为数列的公差，
因为
所以
，得d＝2A.
2A
课堂总结
1
等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
选用
公式
2
例题巩固
板书设计
1等差数列的前n项和公式
2
例题巩固
3
课堂练习
作业布置
课本25页习题4.2
3
,
4
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
4.2.2等差数列的前n项和（第1课时）教学设计
课题
等差数列的前n项和
单元
第一单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册，第四章《数列》。本节课主要学习等差数列的前n项和公式的推导及应用。
运算是代数学的核心，本节用具体例子说明了如何利用运算探索数列的取值规律。等差数列前n项和公式的推导过程，体现了代数变换在数列研究中的价值，蕴含着数列求和的一般方法，以及分类讨论的数形思想，让学生体验从特殊到一般的研究方法，培养学生灵活运用公式的能力，发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养。
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：等差数列的前n项和公式
2逻辑推理：等差数列的前n项和公式的推导
3数学运算：等差数列的前n项和的应用
4数学建模：等差数列的前n项和的综合应用
5直观想象：
等差数列前n项和公式的特征以及它与相应二次函数的关系
6数据分析：
等差数列前n项和公式的推导方法，“首尾配对法”与“倒序相加法”（即首尾配对法要分奇偶，倒序相加则可一步到位），学生经历公式推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，提高学生参与数学活动的能力，进一步培养学生灵活运用公式的能力。
重点
等差数列的前n项和公式的推导及应用
难点
等差数列的前n项和公式的推导及应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1+2+3+4+…+100=？
其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=10150=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，…，n，…
①
前100项的和的问题.
数学史导入
高斯，德国数学家，近代数学的奠基者之一，他在天文学、大地测量学、磁学、光学等邻域都做出过杰出贡献.
通过了解历史上高斯的故事，提出等差数列求和问题
讲授新课
思考
你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？
对于数列①，设,
那么高斯计算方法可以表示为
.
可以发现，高斯在计算中利用了
这一特殊关系，这就是上一小节例5中性质的应用，它使不同数的求和问题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化了运算.
将上述方法推广到一般，可以得到：
当n是偶数时，有
，
于是有
当n是奇数时，有
所以，对于任意正整数n，都有
思考
我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？
如果对公式
作变形，可得
它相当于两个相加，而结果变成n个（n+1）相加.
受此启发，我们得到下面的方法：
，
，
将上述两式相加，可得
所以
探究
上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前n项和吗？
可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，将两式相加，得到n个相同的数（即n+1）相加，从而把不同数的求和转化为n个相同的数求和.
对于等差数列
，因为
，
由上述方法得到启示，我们用两种方式表示
①
②
①+②,得
由此得到等差数列的前n项和公式
(1)
对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项和末项
，就可以求得前n项和.另外，如果已知首项和公差d，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用和d来表示.
把等差数列的通项公式代入公式（1），可得
(2)
等差数列的前n项和公式
已知量首项，末项
与项数首项，公差与项数选用
公式
思考：
1.
等差数列前n项和的公式（1）和公式（2）有什么共同点和不同点：
提示：共同点是两个公式均为等差数列的求和公式，均需知道
.
不同点是
还需知道，
还需知道d，解题时根据已知条件决定选用哪个公式.
①两个公式一共涉及五个量.
通常已知其中三个，可求得其余两个，而且方法就是解方程（组），这也是等差数列的基本问题形式之一
②当已知首项，末项，项数n时，用公式.
用此公式时，有时要结合等差数列的性质，如,从而有
思考：
2．
等差数列中，
与
相等吗？表示什么意义？
提示：相等，表示等差数列前n项的平均数.
思考
3.
不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
提示：从等差数列前n项和的定义及通项公式入手
例6
已知数列是等差数列.
（1）若，，求
；
（2）若，，求；
（3）若，
,
，求n.
分析：
对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用的值求出d，再利用公式求和；（3）已知公式
中的，
和，解方程即可求得n.
解：
（1）因为，，根据公式
，可得
.
（2）因为，，
所以
.根据公式，可得
（3）把，
,
代入
得
整理，得
解得
n=12，或n=-5（舍去）
所以
n=12
例7
已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于的二元一次方程，解解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得.
解：由题意，知
，
.
把它们代入公式
，
得
解方程组，得
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定.
探究
已知数列的前n项和为，其中
为常数，且
.
任取若干组，在电子表格中计算的值（图4.2-3给出的情况），观察数列的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.
观察C列，显然，是等差数列。
思考：
已知数列的前n项和为，其中
为常数，且
，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是多少？
分析：
∵
当时，
当n=1时，
又
∵
当n=1时，
∴当且仅当r=0时，满足
故只有当r=0时，该数列才是等差数列，
此时，首项，公差
当
时，不满足
，此时，数列不是等差数列.
结论：
数列是等差数列
(p、q为常数)
课堂练习：
1
（改编例7）已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和吗？
解法1：由题意知
，
.
∴
解得:
于是
得
∴
解法2：
设
则
得：
∴
2
在等差数列中，
已知，，求；
已知，
求
.
解：
（1）法1：
∵
，
∴
，
得
，
∴
法2：
∴
即
∴
，
∴
（2）法1：
∵
，
∴
∴
法2:
∵
∴
∴
3
已知是数列的前n项和，根据条件求.
;
.
解：
（1）当
n＝1
时，，
当时，
又
不适合上式，
所以
（2）当
n＝1
时，，
当时，
显然，
适合上式.
所以.
注:
(1)已知求，其方法是
，这里常常因为忽略条件“”而出错
(2)在书写的通项公式时，务必验证n＝1是否满足的情形．如果不满足，则通项公式只能用表示．
4
若等差数列的前n项和为，则该数列的公差为________．
答案：2A
解法1：
数列
的前n项和为，所以当时，，当n＝1时满足，所以d＝2A.
解法2：（结构特征法）
设d为数列的公差，
因为
所以，得d＝2A.
学生思考、讨论
注意：
首尾配对要分奇、偶数讨论
注意：
倒序相加法可避免分类讨论
引导学生从几何上体会倒序求和的方法
探究高斯方法简化运算的本质原因，即通过等差数列的性质，将不同数求和问题转化为相同数求和问题，从而用乘法运算简化了求和运算
让学生经历从特殊到一般，分类讨论等思想方法，掌握等差数列求和公式的推导，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养
引导学生将公式变形，通过变形后的等式的意义，构造对应的计算方法，得到倒序求和的方法
总结倒序求和的方法
例题巩固
课堂小结
1等差数列的前n项和公式
已知量首项，末项
与项数首项，公差与项数选用
公式
2例题巩固
板书
1等差数列的前n项和公式
2
例题巩固
3
课堂练习
教学反思
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精品试卷·第
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