(共22张PPT)
4.2.2
等差数列的前n项和的
性质及应用（第2课时）
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
等差数列前n项和公式？
提示：
①
推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法”.
②
方程（组）思想的应用，“知三求一”，“知三求二”.
③
等差数列前
n
项和可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d=0)
.
新知讲解
拓展
等差数列前n项和的常用性质
设等差数列的前n项和为
，则
1.
数列是等差数列
(p、q为常数)
数列是等差数列.
2.
等差数列的依次k项之和，公差为的等差数列.
3.
若表示奇数项的和，
表示偶数项的和，公差为d，
①
当项数为偶数2n时，
，
②
当项数为偶数2n-1时，
，
,
合作探究
例8
某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位.
分析：
将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列.
设数列的前n项和为.
由题意可知，是等差数列，并且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
解：
设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数列，其前n项和为.
根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且
.
由，可得
.
因此，第1排应安排21个座位.
合作探究
例9
已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.
分析：
由和，可以证明是递减数列，且存在正整数
k
,
使得当时，，递减.
这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和.
另一方面，等差数列的前n项和公式可写成
所以当
时，
可以看成是二次函数
当
x=n
时的函数值
如图4.2-4，当
时，
关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.
因此，可以利用二次函数求出相应的n,
的值,
合作探究
例9
已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.
解法1：
由，得
所以是递减数列.
又由，可知：
当时，
所以
.
也就是说，当n=5或6时，最大.
因为，
所以的最大值为30.
由，得
，所以是递减数列.
当时，
当时，
合作探究
例9
已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.
解法2：
因为
，
所以，当n取与最接近的正数即5或6时，最大，最大值为30.
合作探究
思考
在例9中，当d=-3.5时，有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前n
项和的最大值问题
提示：
结合对应的二次函数知，有最大值，当n=3时，取到最大值.
合作探究
拓展：
等差数列前n项和的最值
（1）二次函数法：
（2）图象法：
（3）
邻项变号法：
将配方，转化为二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决。但要注意
当
d>0时，
有最小值；当
d<0时，
有最大值；
且n取最接近对称轴的自然数时，取到最值
当时，满足
的项数n使取得最大值.
当时，满足
的项数n使取得最小值.
利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使取得最值.
课堂练习
1（例题改编）
已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求第21项到第30项的和.
解法1：
设等差数列的首项为，公差为d，得
，
.
所以
解方程组，得
所以
，于是
所以第21项到第30项的和为1510.
课堂练习
解法2：
已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求第21项到第30项的和.
数列，，
构成等差数列
即310，910，成等差数列
所以
所以
课堂练习
2
在等差数列中，，，则此数列前20项的和等于多少？
解：等差数列中，
∵
，，
∴
，
∴
，
∴此数列前20项的和
所以，此数列前20项的和等于320.
课堂练习
3
已知数列，
均为等差数列，其前n项和分别为，且，则
解：
由等差数列的性质知
.
课堂练习
4
等差数列共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．
解法1：
解法2：
∵
，
∴
∴
解得
n=10
由题意可得
上面两式相比，得
解得
n=10
10
课堂练习
5
在等差数列中，设为其前n项和，且，当取得最大值时，n的值为____.
解法1：（函数法）
由，可得
即
从而
因为
，所以
故当n=7时，
最大.
合作探究
5
在等差数列中，设为其前n项和，且，当取得最大值时，n的值为____.
解法2：（邻项变号法）
由解法1
知
欲使
最大，则需
即
解得
故当
n=7时，
最大.
合作探究
5
在等差数列中，设为其前n项和，且，当取得最大值时，n的值为____.
解法3：（等差数列的性质）
依题意，数列单调递减，公差.
因为
所以
又
即
故当n=7时，
故当n=7时，
最大.
7
课堂总结
等差数列前n项和的常用性质
1.
数列是等差数列
(p、q为常数)
数列是等差数列.
2.
等差数列的依次k项之和，公差为的等差数列.
等差数列前n项和的最值
（1）二次函数法：
（2）图象法：
（3）
邻项变号法：
板书设计
1
等差数列前n项和的常用性质
2
例题
3
等差数列前n项和的最值
4
课堂练习
作业布置
课本25页习题4.2
6
,
7,
8
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4.2.2等差数列的前n项和的性质及应用（第2课时）
教学设计
课题
等差数列的前n项和的性质及应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册，第四章《数列》。本节课主要学习等差数列的前n项和的性质及应用。
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以很重要。等差数列前n项和公式的推导过程，体现了代数变换在数列研究中的价值，蕴含着数列求和的一般方法，以及分类讨论的数形思想，让学生体验从特殊到一般的研究法，培养学生灵活运用公式的能力，发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养。
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：
等差数列的前n项和公式
2逻辑推理：
等差数列的前n项和的性质
3数学运算：
等差数列的前n项和的应用
4数学建模：
等差数列的前n项和的具体应用
5直观想象：
等差数列的前n项和公式与相应二次函数的关系
6数据分析：等差数列的前n项和公式的灵活运用
重点
求等差数列的前n项和的最值
难点
等差数列的前n项和的性质及应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
1
等差数列前n项和公式？
提示：
①推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法”.
②方程（组）思想的应用，“知三求一”，“知三求二”.
③
等差数列前n项和可以转化为关于n的一元二次函数或一次函数(d=0)
.
复习导入
复习上一节所学的内容，为本节课的继续深入奠定基础
讲授新课
拓展
等差数列前n项和的常用性质
设等差数列的前n项和为
，则
1.
数列是等差数列
(p、q为常数)
数列是等差数列.
2.
等差数列的依次k项之和，公差为的等差数列.
3.
若表示奇数项的和，
表示偶数项的和，公差为d，
①
当项数为偶数2n时，
，
②当项数为偶数2n-1时，
，
,
例8
某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位.
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列.
设数列的前n项和为.由题意可知，是等差数列，并且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数列，其前n项和为.
根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且
.
由，可得
.
因此，第1排应安排21个座位.
例9
已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.
分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数
，使得当时，，递减.这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和.
另一方面，等差数列的前n项和公式可写成
所以当
时，可以看成是二次函数
当
时的函数值.
如图4.2-4，当
时，关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此，可以利用二次函数求出相应的的值.
解法1
由，得
所以是递减数列.
又由，可知：
当时，；
当
时，；
当
时，.
所以
.
也就是说，当n=5或6时，最大.
因为，
所以的最大值为30.
解法2：
因为，
所以，当n取与最接近的正数即5或6时，最大，最大值为30.
思考
在例9中，当d=-3.5时，有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前n项和的最大值问题.
提示：结合对应的二次函数知，有最大值，当n=3时，取到最大值.
拓展：
等差数列前n项和的最值
（1）二次函数法：
将配方，转化为二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决。但要注意
当
时，有最小值；
当
时，有最大值；
且n取最接近对称轴的自然数时，取到最值.
（2）图象法：
利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使取得最值.
（3）
邻项变号法：
当时，满足
的项数n使取得最大值.
当时，满足
的项数n使取得最小值.
课堂练习：
1（例题改编）
已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求第21项到第30项的和.
解法1：
设等差数列的首项为，公差为d，得
，
.
所以
解方程组，得
所以
，于是
所以第21项到第30项的和为1510.
解法2：
数列，，
构成等差数列
即310，910，成等差数列
所以
所以
2在等差数列中，，，则此数列前20项的和等于多少？
解：等差数列中，
∵
，，
∴
，
∴
，
∴此数列前20项的和
所以，此数列前20项的和等于320.
3
已知数列，
均为等差数列，其前n项和分别为，且，则
解：
由等差数列的性质知
.
4
等差数列共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．
解法1：
∵
，
∴
∴
解得
n=10
解法2：
由题意可得
上面两式相比，得
解得
n=10
5
在等差数列中，设为其前n项和，且，当取得最大值时，n的值为____.
解法1：（函数法）
由，可得
即
从而
因为
，所以
故当n=7时，
最大.
解法2：（邻项变号法）
由解法1
知
欲使
最大，则需
即
解得
故当n=7时，
最大.
解法3：（
等差数列的性质）
依题意，数列单调递减，公差.
因为
所以
又
即
故当n=7时，
故当n=7时，
最大.
通过等差数列前n项在实际问题中的应用，发展学生数学抽象、数学建模的核心素养
课堂小结
等差数列前n项和的常用性质
1.
数列是等差数列
(p、q为常数)
数列是等差数列.
2.
等差数列的依次k项之和，公差为的等差数列.
等差数列前n项和的最值
（1）二次函数法：
（2）图象法：
（3）
邻项变号法：
板书
1等差数列前n项和的常用性质
2例题
3等差数列前n项和的最值
4课堂练习
教学反思
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精品试卷·第
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