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第5章
函数概念与性质（基础培优卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y=的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若使函数有意义，则由此可得
，所以函数的定义域为.故选B．
2．若函数为奇函数，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．
【答案】A
【解析】因为函数为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，由题意得：即，所以，又当时，，满足，函数是奇函数.所以成立.故选A.
3．向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知可得，第一段和第二段杯中水面高度匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二段上升的速度更快，说明第二段水面面积较小，故选B
4．已知函数，则（
）
A．
B．4
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数，令可得：，故选．
5．已知定义在R上的偶函数满足在上单调递增，，则关于x的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】是偶函数，不等式等价为，即，则，且，或者，且，
偶函数满足在，上单调递增，（2），，则对应的图象如图
则由，且，得，得，
由，且，得，即，得，
综上,不等式的解集为，，，故选D．
6．定义在R上的函数满足，当时，，当时，，则（
）
A．336
B．338
C．337
D．339
【答案】B
【解析】因为当时，，所以，（1），（2），
又因为，所以函数的周期为6，（6），
当时，，所以（3），（4），（5），
所以（1）（2）（3）（4）（5）（6），
故（1）（2）（3）（1）．故选B．
7．已知函数则（
）
A．的最大值为，最小值为
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，无最小值
D．的最大值为，最小值为
【答案】C
【解析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值．由图象可知，当时，取得最大值，所以由得或．
结合函数图象可知当时，函数有最大值，无最小值．
故选C．
8．函数满足，当有，且对任意的，不等式恒成立．则实的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数满足，可得为偶函数；
当，，有，可得在单调递减．
由即，可得在，恒成立，即在，恒成立，
即在，恒成立，
显然当时，不等式不成立，故舍去；
当时，函数对称轴为，
当，即或时，函数在上单调递增，只需，解得或，所以或；
当，即时，函数在上单调递减，只需，解得或，所以；
当，即时，只需，显然不成立，
综上可得，的取值范围是．故选．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由函数单调性的定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则与同号，由此可知，选项A，B正确；
对于选项C、D，因为的大小关系无法判断，则与的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确．
故选AB．
10．下列四组函数中，表示同一函数的有（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AC
【解析】A：的定义域为,的定义域为,且，所以两函数的定义域与解析式均一致，所以是同一函数，故A正确；
B：两函数的解析式不一致，所以不是同一函数，故B错误；
C：的定义域为,的定义域为,且，所以两函数的定义域与解析式均一致，所以是同一函数，故C正确；
D：的定义域为或,的定义域为，两函数的定义域不一致，所以不是同一函数，故D错误
故选：AC.
11．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上单调递增且图象关于轴对称的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】A选项，定义域为，在上显然单调递增，但，即不是偶函数，其图象不关于轴对称，A排除；
B选项，定义域为，在上显然单调递增，且，
所以是偶函数，图象关于轴对称，即B正确；
C选项，定义域为，在上显然单调递减，C排除；
D选项，的定义域为，在上显然单调递增，且，所以是偶函数，图象关于轴对称，即D正确.
故选：BD.
12．定义在上的函数满足，且在上是增函数，给出下列真命题的有（
）
A．是周期函数
B．的图象关于直线对称
C．在上是减函数
D．
【答案】ACD
【解析】令得，所以，
令，则，即，所以是奇函数，
，所以是周期函数，4是它的一个周期，A正确；
，函数图象关于点对称，B错；
，函数图象关于直线对称，
又在上递增，因此在上递增，所以在上是减函数，C正确；
，D正确．
故选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，则________．
【答案】6
【解析】，，故.
14．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，________．
【答案】
【解析】不妨设，则，所以，
又因为定义在上的奇函数，所以，
所以，即.
故答案为：.
15．已知函数为定义域在上的增函数，且满足，，则使的的取值范围为_________.
【答案】．
【解析】∵，∴令，则，即，
令，则.
由，得，即，即，
∵函数为定义域在上的增函数，
∴，即，∴，
故的取值范围是.
故答案为：．
16．已知，函数，若，则______，此时的最小值是______.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
当时，对称轴为，开口向上，
此时在单调递增，，
当时，，此时时，最小值为，
所以最小值为，故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）奇函数是定义在区间上的增函数，且．
（1）求解析式；
（2）求不等式的解集．
【解析】（1）∵函数是定义在上的奇函数，
∴，即，
∵，∴，解得，
∴.
经验证知，是定义在上的奇函数，所以.
（2）∵函数在上为奇函数，且，∴，
又∵函数是定义在上的增函数，∴，解得.
故不等式的解集为.
18．（12分）若函数为偶函数，当时，．
（1）求函数的表达式，画出函数的图象；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）当时，，．
由是偶函数，得．
所以．
函数的图象，如图．
（2）由图象可知，函数的单调递减区间是和．
要使在上单调递减，
则，解得，
所以实数a的取值范围是．
19．（12分）已知函数．
（1）证明：函数在上单调递减；
（2）若函数在上有定义，且最大值为2，最小值为，求，的取值．
【解析】（1），在上单调递减，证明如下：设，
则：，
因为，
所以，，
所以，
所以在上单调递减；
（2）因为为反比例函数经过平移得到的，
所以在，单调递减，
所以当时，函数为减函数，
所以，
解得：，．
20．（12分）已知，是一次函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若函数的定义域为，求函数的值域．
【解析】（1）设，
则，
即，
，解得，
或；
（2），
当时，取得最小值为0，当时，取得最大值为4，
在的值域为，
令，则，，
则等价于，，
当时，，当时，，
所以的值域为.
21．（12分）已知函数.
（1）证明：函数是偶函数；
（2）记，，求的值；
（3）若实数满足，求证：.
【解析】（1）证明：对任意实数，都有，
是偶函数.
（2）当时，，，
.
（3）证明：由得：，
即，
整理可得：，.
22．（12分）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
【解析】（1）设函数图象的对称中心为，则．
即，
整理得，
于是，解得．
所以的对称中心为；
（2）函数在上为增函数；
（3）由已知，值域为值域的子集．
由（2）知在上单增，所以的值域为．
于是原问题转化为在上的值域．
①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以．
因为，所以，解得．
②当，即时，在单减，单增，
又过对称中心，所以在单增，单减；
此时．
欲使，
只需且
解不等式得，又，此时．
③当，即时，在单减，在上亦单减，
由对称性，知在上单减，于是．
因为，所以,解得．
综上，实数的取值范围为．
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第5章
函数概念与性质（基础培优卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y=的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若函数为奇函数，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．
3．向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数，则（
）
A．
B．4
C．
D．
5．已知定义在R上的偶函数满足在上单调递增，，则关于x的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
6．定义在R上的函数满足，当时，，当时，，则（
）
A．336
B．338
C．337
D．339
7．已知函数则（
）
A．的最大值为，最小值为
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，无最小值
D．的最大值为，最小值为
8．函数满足，当有，且对任意的，不等式恒成立．则实的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．下列四组函数中，表示同一函数的有（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
11．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上单调递增且图象关于轴对称的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．定义在上的函数满足，且在上是增函数，给出下列真命题的有（
）
A．是周期函数
B．的图象关于直线对称
C．在上是减函数
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，则________．
14．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，________．
15．已知函数为定义域在上的增函数，且满足，，则使的的取值范围为_________.
16．已知，函数，若，则______，此时的最小值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）奇函数是定义在区间上的增函数，且．
（1）求解析式；
（2）求不等式的解集．
18．（12分）若函数为偶函数，当时，．
（1）求函数的表达式，画出函数的图象；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
19．（12分）已知函数．
（1）证明：函数在上单调递减；
（2）若函数在上有定义，且最大值为2，最小值为，求，的取值．
20．（12分）已知，是一次函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若函数的定义域为，求函数的值域．
21．（12分）已知函数.
（1）证明：函数是偶函数；
（2）记，，求的值；
（3）若实数满足，求证：.
22．（12分）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
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