共点力平衡的三类问题
1.如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为( )
A.∶4
B．4∶
C．1∶2
D.2∶1
解析：选D 将两小球及弹簧B视为整体进行受力分析，如图所示，有FC＝FAsin
30°，FC＝kxC，FA＝kxA，＝＝＝2∶1，故A、B、C错误，D正确。
2.L形木板P(上表面光滑)放在固定斜面上，轻质弹簧一端固定在木板上，另一端与置于木板上表面的滑块Q相连，如图所示。若P、Q一起沿斜面匀速下滑，不计空气阻力。则木板P的受力个数为( )
A．3
B.4
C．5
D.6
解析：选C 先把P、Q、弹簧看成一个整体进行分析，整体在重力、斜面的支持力、斜面的摩擦力三个力作用下处于平衡状态。隔离Q进行分析，Q在重力、木板P的支持力、弹簧的弹力(沿斜面向上)三个力作用下处于平衡状态。由牛顿第三定律可知Q对P有一个压力，弹簧对P有一个弹力(沿斜面向下)，所以P共受到5个力的作用，C正确。
3.如图所示，内壁及碗口光滑的半球形碗固定在水平面上，碗口保持水平。A球、C球与B球分别用两根轻质细线连接，当系统保持静止时，B球对碗壁刚好无压力，图中θ＝30°，则A球、C球的质量之比为( )
A．1∶2
B.2∶1
C．1∶
D..∶1
解析：选C 设A球、C球的质量分别mA、mC。由几何知识可知，两细线相互垂直，由A、C两球受力平衡得FT1＝mAg，FT2＝mCg。以B球为研究对象，分析受力情况：受重力G、两细线的拉力FT1、FT2。由平衡条件得FT1＝FT2tan
θ，得＝tan
θ＝，则得＝＝
。
4．(多选)如图所示，A、B、C三个完全相同的水泥管道静止叠放在水平地面上(B与C相接触)，假设每个管道的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．A对B的弹力大小为mg
B．地面对B、C均没有摩擦力作用
C．地面对B的支持力大小为mg
D．地面对B的摩擦力大小为mg
解析：选AD 选择A、B、C为研究对象，可得其截面图如图甲所示，对A受力分析如图乙所示，由题意及几何关系知，FBA＝FCA,2FBAcos
30°＝mg，则A对B的弹力FAB＝FBA＝mg，选项A正确；对B受力分析如图丙所示，由于A对B有斜向左下的弹力，则地面对B有摩擦力作用，同理，地面对C也有摩擦力作用，选项B错误；对B，由平衡条件可得mg＋FABcos
30°＝FNB，FABsin
30°＝f，联立解得FNB＝mg，f＝mg，选项
C错误，选项D正确。
5.将重力为4mg的均匀长方体物块切成相等的A、B两部分，切面与边面的夹角为45°，如图所示叠放并置于水平地面上，现用弹簧测力计竖直向上拉物块A的上端，弹簧测力计示数为mg，整个装置保持静止，则( )
A．地面与物块间可能存在静摩擦力
B．物块对地面的压力大于3mg
C．A对B的压力大小为mg
D．A、B之间的静摩擦力大小为mg
解析：选D 对A、B整体受力分析，在水平方向上不受地面的摩擦力，否则不能平衡，在竖直方向上受力平衡，则有FN＋F＝4mg，解得FN＝3mg，则物块对地面的压力等于3mg，故A、B错误；对A部分受力分析，如图所示，把A部分所受力沿切面和垂直切面方向进行分解，根据平衡条件得FNA＝(2mg－mg)sin
45°，f＝(2mg－mg)·cos
45°，解得FNA＝f＝mg，由牛顿第三定律知A对B的压力FNB＝FNA＝mg，故C错误，D正确。
6.质量为M的半球形物体A和质量为m的光滑球形物体B紧靠着放在倾角为α的固定斜面上，并处于静止状态，如图所示。下列关于物体受力情况的判断正确的是( )
A．物体A对物体B的弹力方向沿斜面向上
B．物体A受到的静摩擦力大小为Mgsin
α
C．物体B对物体A的压力大于mgsin
α
D．物体B对斜面的压力等于mgcos
α
解析：选C 隔离物体B进行受力分析如图所示，可知物体B受到重力mg、斜面的支持力FN1和物体A对其的弹力FN2的作用，由于物体A对物体B的弹力方向与两者的接触面垂直，故物体A对物体B的弹力方向不沿斜面向上，选项A错误；将物体A和B看成一个整体，受力分析可知，物体A受到的静摩擦力大小为f＝(M＋m)gsin
α，选项B错误；对物体B，根据平衡条件可得mgsin
α＝FN2cos
θ，FN1＋FN2sin
θ＝mgcos
α，可解得FN2＝mg>mgsin
α，FN1＝mg(cos
α－sin
αtan
θ)α，再结合牛顿第三定律可知选项C正确，选项D错误。
7.(多选)如图所示，光滑水平地面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止。若将A的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则( )
A．水平外力F增大
B．墙对B的作用力减小
C．地面对A的支持力减小
D．B对A的作用力减小
解析：选BD 对B受力分析，受到重力mg、A对B的支持力FNAB和墙壁对B的支持力FNB，如图甲所示，
当A向左移动后，A对B的支持力FNAB的方向变化，根据平衡条件结合合成法可以知道A对B的支持力FNAB和墙对B的支持力FNB都在不断减小，由力的作用是相互的知B对A的作用力减小，故B、D正确；再对A和B整体受力分析，受到总重力G、地面支持力FN、外力F和墙的弹力FNB，如图乙所示，根据平衡条件，有F＝FNB，FN＝G，故地面对A的支持力不变，外力F随着墙对B的支持力FNB的减小而减小，故A、C错误。
8.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平力F拉着绳的中点O，使OA段绳偏离竖直方向一定角度，如图所示。设绳OA段拉力的大小为T，若保持O点位置不变，则在力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中( )
A．F先变大后变小，T逐渐变小
B．F先变大后变小，T逐渐变大
C．F先变小后变大，T逐渐变小
D．F先变小后变大，T逐渐变大
解析：选C 对结点O受力分析，画出力的平行四边形如图所示，若保持O点位置不变，则在力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中，由图可知F先减小后增大，T一直减小。故C正确。
9.(多选)如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，小球B用长为L的细绳悬于O点，小球A固定在O点正下方，当小球B平衡时，细绳所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同，但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为T2，弹簧的弹力为F2。下列关于T1与T2、F1与F2大小之间的关系正确的是( )
A．T1>T2
B.T1＝T2
C．F1D.F1＝F2
解析：选BC 以小球B为研究对象，受力分析如图所示。由平衡条件可知，弹簧的弹力F和细绳的拉力T的合力F合与重力mg大小相等，方向相反，即F合＝mg，由几何关系得＝＝。当弹簧的劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故AB长度增加，而OB、OA的长度不变，故T1＝T2，F2>F1，故A、D错误，B、C正确。
10．(多选)如图所示，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，最高点B处固定一小滑轮，质量为m的小球A穿在环上。现用细绳一端拴在A上，另一端跨过滑轮用力F拉动，使A缓慢向上移动。在移动过程中关于铁丝对A的支持力FN的说法正确的是( )
A．FN的方向始终背离圆心O
B．FN的方向始终指向圆心O
C．FN逐渐变小
D．FN大小不变
解析：选AD 小球A缓慢向上移动的过程中受三个力作用而处于平衡状态，根据平衡条件知mg与FN的合力与T等大反向共线，作出mg与FN的合力，如图所示，由几何关系有＝＝，得FN＝×mg，AO、BO都不变，则FN大小不变，方向始终背离圆心O。故A、D正确，B、C错误。
11.如图所示，小球用细绳系住置于斜面体上，绳的另一端固定于O点。现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态。当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力T的变化情况是( )
A．FN保持不变，T不断增大
B．FN不断增大，T不断减小
C．FN保持不变，T先增大后减小
D．FN不断增大，T先减小后增大
解析：选D 方法一：解析法 先对小球进行受力分析，如图甲所示，小球受到重力mg、支持力FN、拉力T的作用，设细绳与水平方向的夹角为β，斜面的倾角为α，由平衡条件得FN
cos
α＋Tsin
β＝mg，FNsin
α－Tcos
β＝0，联立解得T＝，FN＝。用水平力F缓慢推动斜面体，β一直减小直至接近0。由题图易知，起始时刻β>α，当β＝α时，cos
(β－α)＝1，T最小，所以T先减小后增大，β一直减小直至接近0，tan
β
不断减小，FN不断增大，选项D正确。
方法二：图解法 由于用水平力F缓慢推动斜面体，故小球处于动态平衡状态。小球受到大小和方向均不变的重力、方向不变的支持力、方向与大小均变化的细绳的拉力，三个力构成封闭的三角形，画出小球受力示意图如图乙所示。当细绳与斜面平行时，细绳拉力T2与支持力方向垂直，细绳拉力最小。当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，细绳拉力为T4，所以T先减小后增大，而此过程中斜面对小球的支持力FN一直增大，选项D正确。
12.(多选)如图所示，质量为m＝5
kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝，g取10
N/kg。当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的是( )
A．牵引力F的最小值为25
N
B．牵引力F的最小值为
N
C．最小牵引力F与水平面的夹角为45°
D．最小牵引力F与水平面的夹角为30°
解析：选AD 物体受重力G、支持力FN、摩擦力f和拉力F的共同作用。将拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图所示，由共点力平衡的条件可知，在水平方向上，有Fcos
θ－μFN＝0，在竖直方向上，有Fsin
θ＋FN－G＝0，联立解得F＝。设tan
Φ＝μ，则cos
Φ＝，所以F＝·，当cos
(θ－Φ)＝1，即θ－Φ＝0时，F取到最小值，Fmin＝＝25
N，而tan
Φ＝μ＝，所以Φ＝30°，θ＝30°。故选A、D。
13.如图所示，质量不等的盒子A和物体B用细绳相连，跨过光滑的定滑轮，A置于倾角为θ的斜面上，与斜面间的动摩擦因数μ＝tan
θ，B悬于斜面之外而处于静止状态。现向A中缓慢加入砂子(假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，下列说法正确的是( )
A．绳子拉力逐渐减小
B．A对斜面的压力逐渐增大
C．A所受的摩擦力一定逐渐增大
D．A可能沿斜面下滑
解析：选B 当mAgsin
θ>mBg时，对A受力分析，由平衡条件，有mAgsin
θ＝f＋mBg，随mA的增大，摩擦力不断增大；当mAgsin
θθ＋f＝mBg，随mA的增大，摩擦力不断减小，C项错误。在垂直斜面方向上，始终有FN＝mAgcos
θ，因
此随着不断加入砂子，A对斜面的压力不断增大，B项正确。由μ＝tan
θ，可知最大静摩擦力fmax＝μmAgcos
θ＝mAgsin
θ，故增加的重力的分力与增加的最大静摩擦力大小相等，方向相反，故A不会滑动，保持静止，D项错误。绳子所受拉力等于B的重力，故拉力保持不变，A项错误。
14．(多选)如图所示，用一段绳子把轻质滑轮吊装在A点，一根轻绳跨过滑轮，绳的一端拴在井中的水桶上，人用力拉绳的另一端，滑轮中心为O点，人所拉的绳子与OA的夹角为β，拉水桶的绳子与OA的夹角为α。人拉绳沿水平面向左运动，把井中质量为m的水桶缓慢提上来，人的质量为M，重力加速度大小为g，在此过程中，以下说法正确的是( )
A．α始终等于β
B．吊装滑轮的绳子上的拉力逐渐变大
C．地面对人的摩擦力逐渐变大
D．地面对人的支持力逐渐变大
解析：选ACD 水桶缓慢上升，拉水桶的轻绳中的拉力FT始终等于mg，对滑轮受力分析如图甲所示。
垂直于OA方向上有FTsin
α＝FTsin
β，所以α＝β，沿OA方向上有F＝FTcos
α＋FTcos
β＝2FTcos
α，人向左运动的过程中α＋β变大，所以α和β均变大，吊装滑轮的绳子上的拉力F变小，选项A正确，选项B错误；对人受力分析如图乙所示，θ＝α＋β逐渐变大，在水平方向上，有f＝FT′sin
θ，地面对人的摩擦力逐渐变大，在竖直方向上，有FN＋FT′cos
θ＝Mg，地面对人的支持力FN＝Mg－FT′cos
θ逐渐变大，选项C、D正确。共点力平衡的三类问题
1.如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为( )
A.∶4
B．4∶
C．1∶2
D.2∶1
2.L形木板P(上表面光滑)放在固定斜面上，轻质弹簧一端固定在木板上，另一端与置于木板上表面的滑块Q相连，如图所示。若P、Q一起沿斜面匀速下滑，不计空气阻力。则木板P的受力个数为( )
A．3
B.4
C．5
D.6
3.如图所示，内壁及碗口光滑的半球形碗固定在水平面上，碗口保持水平。A球、C球与B球分别用两根轻质细线连接，当系统保持静止时，B球对碗壁刚好无压力，图中θ＝30°，则A球、C球的质量之比为( )
A．1∶2
B.2∶1
C．1∶
D..∶1
4．(多选)如图所示，A、B、C三个完全相同的水泥管道静止叠放在水平地面上(B与C相接触)，假设每个管道的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．A对B的弹力大小为mg
B．地面对B、C均没有摩擦力作用
C．地面对B的支持力大小为mg
D．地面对B的摩擦力大小为mg
5.将重力为4mg的均匀长方体物块切成相等的A、B两部分，切面与边面的夹角为45°，如图所示叠放并置于水平地面上，现用弹簧测力计竖直向上拉物块A的上端，弹簧测力计示数为mg，整个装置保持静止，则( )
A．地面与物块间可能存在静摩擦力
B．物块对地面的压力大于3mg
C．A对B的压力大小为mg
D．A、B之间的静摩擦力大小为mg
6.质量为M的半球形物体A和质量为m的光滑球形物体B紧靠着放在倾角为α的固定斜面上，并处于静止状态，如图所示。下列关于物体受力情况的判断正确的是( )
A．物体A对物体B的弹力方向沿斜面向上
B．物体A受到的静摩擦力大小为Mgsin
α
C．物体B对物体A的压力大于mgsin
α
D．物体B对斜面的压力等于mgcos
α
7.(多选)如图所示，光滑水平地面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止。若将A的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则( )
A．水平外力F增大
B．墙对B的作用力减小
C．地面对A的支持力减小
D．B对A的作用力减小
8.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平力F拉着绳的中点O，使OA段绳偏离竖直方向一定角度，如图所示。设绳OA段拉力的大小为T，若保持O点位置不变，则在力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中( )
A．F先变大后变小，T逐渐变小
B．F先变大后变小，T逐渐变大
C．F先变小后变大，T逐渐变小
D．F先变小后变大，T逐渐变大
9.(多选)如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，小球B用长为L的细绳悬于O点，小球A固定在O点正下方，当小球B平衡时，细绳所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同，但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为T2，弹簧的弹力为F2。下列关于T1与T2、F1与F2大小之间的关系正确的是( )
A．T1>T2
B.T1＝T2
C．F1D.F1＝F2
10．(多选)如图所示，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，最高点B处固定一小滑轮，质量为m的小球A穿在环上。现用细绳一端拴在A上，另一端跨过滑轮用力F拉动，使A缓慢向上移动。在移动过程中关于铁丝对A的支持力FN的说法正确的是( )
A．FN的方向始终背离圆心O
B．FN的方向始终指向圆心O
C．FN逐渐变小
D．FN大小不变
11.如图所示，小球用细绳系住置于斜面体上，绳的另一端固定于O点。现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态。当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力T的变化情况是( )
A．FN保持不变，T不断增大
B．FN不断增大，T不断减小
C．FN保持不变，T先增大后减小
D．FN不断增大，T先减小后增大
12.(多选)如图所示，质量为m＝5
kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝，g取10
N/kg。当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的是( )
A．牵引力F的最小值为25
N
B．牵引力F的最小值为
N
C．最小牵引力F与水平面的夹角为45°
D．最小牵引力F与水平面的夹角为30°
13.如图所示，质量不等的盒子A和物体B用细绳相连，跨过光滑的定滑轮，A置于倾角为θ的斜面上，与斜面间的动摩擦因数μ＝tan
θ，B悬于斜面之外而处于静止状态。现向A中缓慢加入砂子(假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，下列说法正确的是( )
A．绳子拉力逐渐减小
B．A对斜面的压力逐渐增大
C．A所受的摩擦力一定逐渐增大
D．A可能沿斜面下滑
14．(多选)如图所示，用一段绳子把轻质滑轮吊装在A点，一根轻绳跨过滑轮，绳的一端拴在井中的水桶上，人用力拉绳的另一端，滑轮中心为O点，人所拉的绳子与OA的夹角为β，拉水桶的绳子与OA的夹角为α。人拉绳沿水平面向左运动，把井中质量为m的水桶缓慢提上来，人的质量为M，重力加速度大小为g，在此过程中，以下说法正确的是( )
A．α始终等于β
B．吊装滑轮的绳子上的拉力逐渐变大
C．地面对人的摩擦力逐渐变大
D．地面对人的支持力逐渐变大
