太原五中2021-2022学年度第一学期月考
高
三
数
学（理）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)
若复数z满足，则z的虚部是
A.
B.
4
C.
4i
D.
已知集合，，则
A.
B.
C.
D.
下列函数中，与函数的定义域、单调性与奇偶性均一致的是
A.
B.
C.
D.
若函数，则在上的最大值与最小值之和为
A.
B.
C.
0
D.
下列命题中错误的是
A.
命题“若，则”的逆否命题是真命题
B.
命题“”的否定是“”
C.
若为真命题，则为真命题
D.
已知，则“”是“”的必要不充分条件
定积分???
．
B.
C.
D.
已知等差数列的前n项和为，若，则
B.
C.
D.
函数的图象大致为
A.
B.
C.
D.
中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了???
附：
A.
B.
C.
D.
已知函数的图象相邻的对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则函数在上的最大值为
4
B.
C.
D.
2
若，，，则a、b、c的大小关系是?
A.
B.
C.
D.
已知函数，实数a，b满足不等式，则下列不等式成立的是
B.
C.
D.
填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
已知集合，若，则实数x的值是??????????．
已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则________．
已知函数，若方程有四个不等的实根，，，，则的取值范围是______．
若对任意的，，且，都有，则m的最小值是______．
解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17--21题为必考题.第22、23题为选考题)
已知等比数列的前n项和．
Ⅰ求m的值，并求出数列的通项公式；
Ⅱ令，设为数列的前n项和，求．
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为锐角且满足．
求角B的大小；
若，，求的面积．
设函数，其中曲线在点处的切线方程为．
确定b，c的值；
若，过点可作曲线的几条不同的切线？
如图，在五面体ABCDEF中，底面四边形ABCD为正方形，平面平面．
求证：；
若，，，，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．
设函数．
当有极值时，若存在，使得成立，求实数m的取值范围；
当时，若在定义域内存在两实数满足且，
证明：．
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
已知点，若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．
已知函数
求不等式的解集；
若的最小值为m，且正数a，b满足，求的最小值．
高三数学
（理）
第3页,共4页
高三数学
（理）
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高三数学
（理）
第1页,共4页
高三数学
（理）
第2页,共4页2021----2022学校高三数学月考试卷
命题双向细目表（理）
题型
题号
分值
考查的知识点与考查层次要求
选择题
1
5
本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题．
2
5
本题主要考查集合的交集和补集运算，考查运算求解能力，属于基础题．
3
5
本题主要考查函数性质的判断，结合函数定义域，奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．属于基础题
4
5
本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．属于基础题
5
5
本题考查命题的真假判断，为基础题．
6
5
本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，属于基础题
7
5
本题主要考查等差数列的前n项和的求法，考查了转化思想，属于基础题．
8
5
本题考查函数的奇偶性，考查函数的图象，属于基础题．
9
5
本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于中档题．
10
5
本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11
5
本题考查对数的大小比较，对数函数单调性的应用和对数的运算性质，考查学生的化简运算和推理能力．属于中档题
12
5
本题主要考查函数对称性和单调性的应用，根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，属于难档题．
填空题
13
5
本题考查集合的子集概念，属于基础题．
14
5
本题主要考查函数的周期性及奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
15
5
本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想及数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．
16
5
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是较难题．
17
12
本题考查等比数列的通项公式和数列的并项求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题
18
12
本题考查了正弦定理、三角恒等变形等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
19
12
本题重点考查导数的几何意义，属于中档题．
三
解答题
20
12
本题主要考查直线与平面平行的判断与性质，以及二面角的求法，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
21
12
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，导数中的存在性问题，属于难题．
22
10
本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23
10
本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式在最值中的应用，是中档题．2021----2022学年度第一学期月考
高三数学(理)
【答案】
1.
B
2.
B
3.
B
4.
A
5.
C
6.
B
7.
A
8.
B
9.
B
10.
A
11.
D
12.
A
13.
??
14.
6??
15.
??
16.
??
17.
解：Ⅰ当时，，
当时，，
当时，，
由，，成等比数列，可得，
即，解得，
；
Ⅱ，
．??
18.
解：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且满足足．
由余弦定理得：，即，
，
，B为锐角，．
由正弦定理可得：，即，．
，，，
．
的面积．??
19.
解：由得，，
又由，曲线在点处的切线方程为，得，．
故，．
时，，，点不在的图象上，
设切点为，则切线斜率，
所以
上式有几个解，过就能作出的几条切线．
令，则，
，随x变化的情况如下：
x
0
2
0
0
极大值
极小值
，，
所以有三个零点，
即过可作出的3条不同的切线．
??
20.
证明：在正方形ABCD中，，
平面CDEF，平面CDEF，
平面CDEF，
又平面ABEF，且平面，
．
四边形ABCD为正方形，
，
，
平面ADE，
平面ADE，
，
又，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则3，，3，，1，，
可知1，为平面ADE的一个法向量，
设平面BCF的一个法向量为，
，则，令，，
设平面ADE与平面BCF所成的锐二面角为，
则，
故平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为．??
21.
解：定义域为，，
当时，，即在上单调递增，不合题意，；
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
存在，使得成立，则，即，
又，，
即，
令，则，
在上单调递增，又，，
即实数m的取值范围为．
证明：当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
由且知：；
令，，
则，
在上单调递增，，即；
，又，；
，，又且在上单调递减，
，即．
??
22.
解：因为曲线C的参数方程为为参数，则，所以，整理得曲线C的普通方程为．
直线l的极坐标方程为，展开得，l的普通方程为．
，代入中得，设P，Q对应的参数为，则，所以．??
23.
解：当时，，解得，故；
当时，恒成立；
当时，，解得，故．
综上可得不等式的解集为．
，
当且仅当时等号成立，故，
因此有，即，，
当且仅当时等号成立，即，
故的最小值为．
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