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第四讲
平行的性质
【提升训练】
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线平行
B．两直线平行，同旁内角相等
C．同旁内角互补
D．同位角相等
【答案】A
【分析】
对照平行线的性质和定理，逐一判断即可.
【详解】
∵平行于同一直线的两条直线平行，
∴选项A正确；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴选项B错误；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴选项C错误；
∵两直线平行，同位角相等，
∴选项D错误；
故选A.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，熟记性质和判定的条件和结论是解题的关键.
2．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（
）
（1）；（2）；（3）；（4）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
过点E做直线EF平行于直线AB，然后根据同位角和同旁内角即可判断（2）和（3），其中（1）和（4）无法判断．
【详解】
过点E做直线EF平行于直线AB，如下图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）无法判断；
（2）∵AB//CD，AB//EF
∴EF//CD
∴，
∴
故（2）正确；
（3）由（2）得，
∴
故（3）正确；
（4）无法判断；
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，重点是做出辅助线，然后利用平行线的性质进行求解．
3．如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，若∠1=55°，则∠2等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．35°
B．45°
C．55°
D．125°
【答案】C
【解析】
试题分析：根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.
考点：平行线的性质
4．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有；其中正确的有(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【答案】B
【分析】
根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．
【详解】
解：①∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，
∴∠1=∠3，故本选项正确．
②∵∠2=30°，
∴∠1=90°-30°=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故本选项正确．
③∵∠2=30°，
∴∠3=90°-30°=60°，
∵∠B=45°，
∴BC不平行于AD，故本选项错误．
④由∠2=30°可得AC∥DE，从而可得∠4=∠C，故本选项正确．
故选B.
【点睛】
此题主要考查了学生对平行线判定与性质、余角和补角的理解和掌握，解答此题时要明确两种三角板各角的度数．
5．如图，下列条件中可得到AD∥BC的是
(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①AC⊥AD
AC⊥BC;②∠1=∠2，∠3=∠D;③∠4=∠5
④
∠BAD+∠ABC=180021cnjy.com
A．①③④
B．①②④
C．②③④
D．①②③
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵AC⊥AD，AC⊥BC，
∴∠DAC=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠ACB=90°，
∴AD∥BC，故①正确；
∵∠1=∠2，
∵BC∥EF，
∵∠3=∠D，
∴AD∥EF，
∴AD∥BC，故②正确；
根据∠4=∠5能推出AB∥CD，不能推出AD∥BC，故③错误；
∵∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，故④正确；
即正确的有①②④，
故选B．【来源：21cnj
y.co
m】
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
6．如图，已知AB∥CD，点E在AC上，∠A＝105°，∠D＝20°，则∠AED＝（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．85°
B．90°
C．95°
D．100°
【答案】C
【分析】
根据平行线的性质可求出∠C的度数，根据三角形外角的性质求出∠AED的度数即可.
【详解】
∵AB∥CD，∠A＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝75°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C+∠D＝75°+20°＝95°，
故选C．
【点睛】
本题考查平行线的性质及外角性质，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；熟练掌握平行线的性质及外角性质是解题关键.
7．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果，则有；②；③如果，则有；④如果，必有；正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
【答案】A
【分析】
根据平行线的判定定理判断①；根据角的关系判断②即可；根据平行线的性质定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④．
【详解】
∵∠2=30°，∴∠1=60°．
又∵∠E=60°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故①正确；
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，即∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=90°+90°=180°，故②正确；
∵BC∥AD，∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°．
又∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，∴∠3=45°，∴∠2=90°﹣45°=45°，故③错误；
∵∠D=30°，∠CAD=150°，∴∠CAD+∠D=180°，∴AC∥DE，∴∠4=∠C，故④正确．21教育名师原创作品
故选A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
8．如图，AB//CD,
∠CED=90°,
∠BED=40°,
则∠C
的度数是（
）
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A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】C
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BEC+∠C=180°，再由条件∠CED=90°，∠BED=40°可得答案．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠BEC+∠C=180?，
∵∠CED=90?,∠BED=40?，
∴∠C=180??90??40?=50?
故选C.
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的突破口在于根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BEC+∠C=180°.
9．如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（ ）
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A．相等
B．互补
C．互余
D．不能确定
【答案】C
【分析】
由DE∥AB，得出∠B＝∠EDC，由AD⊥BC，得出∠1+∠EDC＝90°，即可得出∠B和∠1互余．
【详解】
解：∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC，
∵AD⊥BC，
∴∠1+∠EDC＝90°，
∴∠B+∠1＝90°，
∴∠B和∠1互余．
故选C．
【点睛】
此题考查平行线的性质，余角和补角，解题关键在于得出∠1+∠EDC＝90°.
10．如图，，CB平分，BD平分，且，下列结论中错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．BC平分
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由BC⊥BD得到∠CBE+∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DBE=90°，∠BCD+∠D=90°，则可对C选项进行判断；再由平行线的性质得∠D=∠DBF，由角平分线定义得∠DBF=∠DBE，则∠CBE=∠BCE，而∠ABC=∠BCE，所以∠ABC=∠CBE，则可对A选项进行判断；接着由BC平分∠ACD得到∠ACB=∠BCE，所以∠ACB=∠CBE，根据平行线的判定即可得到AC∥BE，于是可对B选项进行判断；利用平行线的性质得到∠DEB=∠ABE=2∠ABC，加上∠D=∠DBE=∠DBF，∠D≠∠BED，于是可得∠DBF≠2∠ABC，则可对D选项进行判断．
【详解】
∵，
∴.
∴C中的结论正确，
∵，
∴，
∴
∵BD平分，
∴，
又∵.
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴A中的结论正确.
∵CB平分，
∴，
∴，
∴，
∴B中的结论正确.
∵，而，且题中没有明确与的数量关系，∠D≠∠BED.
∴∠DBF≠2∠ABC，D中的结论错误.
故选D
【点睛】
此题考查平行线的性质，解题关键在于利用角平分线定义得∠DBF=∠DBE.
11．如图，l1∥l2，?ABCD的顶点A在l1上，BC交l2于点E．若∠C＝100°，则∠1+∠2＝（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．100°
B．90°
C．80°
D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BAD=∠C=100°，AD∥BC，由平行线的性质得出∠2=∠ADE，∠ADE+∠BAD+∠1=180°，得出∠1+∠2=180°-∠BAD=80°即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∴∠BAD=∠C=100°，AD∥BC，
∴∠2=∠ADE，
∵l1∥l2，
∴∠ADE+∠BAD+∠1=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAD=80°；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质和平行线的性质是解题的关键．
12．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．90°
C．50°
D．100°
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质即可得到∠4的度数，再根据平角的定义即可得到∠3的度数.
【详解】
∵a∥b，
∴∠4＝∠1＝50°，
∵∠2＝40°，
∴∠3＝180°-40°-50°=90°，
故选B.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.
13．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
作BF∥a，根据平行线的性质即可求解.
【详解】
解：作BF∥a，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠4＝40°，
∵BF∥a，a∥b，
∴BF∥b，
∴∠5＝∠4＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠5﹣90°＝50°，
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
14．如图，直线，直线，若，则（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到，根据两直线平行，同位角相等可得．
【详解】
如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
直线，
．
，
，
直线，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
15．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．www-2-1-cnjy-com
【详解】
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴.
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键．
16．如图.将一块含有角的直角三角板的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，如果，那么的度数为(
)2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．【出处：21教育名师】
【详解】
解：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由三角形的外角性质，
∠3=30°+∠1=30°+27°=57°，
∵矩形的对边平行，
∴∠2=∠3=57°．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握是解题的关键．
17．如图，已知a∥b，小明把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．65°
B．120°
C．125°
D．145°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同位角相等，即可得到∠AEB=∠ACD=125°，再根据两直线平行，同位角相等，即可得到∠2的度数．21
cnjy
com
【详解】
如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠1＝35°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝125°，
∵a∥b，
∴∠AEB＝∠ACD＝125°，
∴由图可得∠2＝∠AEB＝125°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
18．如图所示，由已知条件推出结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．由∠1＝∠5，可以推出AB∥CD
B．由AD∥BC，可以推出∠4＝∠8
C．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC
D．由AD∥BC，可以推出∠3＝∠7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的判定以及性质，对各选项分析判断即可利用排除法求解．
【详解】
解：A、由∠1=∠5，可以推出AB∥CD，故
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)本选项正确；
B、由AB∥CD，可以推出∠4=∠8，故本选项错误；
C、由∠2=∠6，可以推出AD∥BC，故本选项正确；
D、由AD∥BC，可以推出∠3=∠7，故本选项正确．
故选B．21世纪教育网版权所有
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，找准构成内错角的截线与被截线是解题的关键．
19．已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC．则∠ADE的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B，再根据平行线的性质求出∠ADE即可．
【详解】
在△ABC中，∵∠A＝60°，∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝50°，
故选B．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图所示，能表示直线AB、CD之间距离的是线段( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．PQ的长度
B．PM的长度
C．PN的长度
D．以上都不对
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两平行线之间的距离可以用垂线段表示，而相交的直线无法表示距离进行解答．
【详解】
∵不能确定直线AB、CD的位置关系，
∴无法确定直线AB、CD之间距离，
故选：D．
【点睛】
考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
21．如图，△ABC≌△DEC，点B的对应点E在线段AB上，若AB∥CD，∠DCA＝40°，则∠B的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用相似三角形的性质结合平行线的性质得出∠B＝∠CEB＝∠CED，进而得出∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝2∠B＋∠DEA求出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵△ABC≌△DEC，AB∥CD
∴∠D＝∠A＝∠DCA＝40°，EC＝BC，
∴∠B＝∠CEB＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠A＝∠DEA＝40°，
∴∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝2∠B＋∠DEA＝2∠B＋40°＝180°，
解得：∠B＝70°．
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质和平行线的性质，熟悉掌握是关键.
22．如图，直线AB、CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3的大小是（ ）
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A．80°
B．70°
C．90°
D．100°
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质求出∠C的度数，再由三角形外角的性质可得出结论．
【详解】
∵AB∥CD,∠1＝45°，
∴∠C＝∠1＝45°.
∵∠2＝35°，
∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.
故选A.
【点睛】
本题考查的是平行线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
23．如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．42°
B．64°
C．74°
D．106°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠ABD的度数，再根据∠CBD＝∠ABD－∠CBA即可求得答案.
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠ABD＋∠D＝180°，
∴∠ABD＝180°－42°＝138°，
∴∠CBD＝∠ABD－∠CBA＝138°－64°＝74°，
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
24．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）【版权所有：21教育】
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
【答案】B
【详解】
根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
25．如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．125°
B．75°
C．65°
D．55°
【答案】D
【分析】
延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．
【详解】
延长CB，延长CB，
∵AD∥CB,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴∠1=∠ADE=145，
∴∠DBC=180?∠1=180?125=55.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
26．如图，a//b，∠1=105°，∠2=140°，则∠3
的度数是
（
）
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A．75°
B．65°
C．55°
D．50°
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作出两直线的交点，由a∥b可以
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)推出∠1+∠4=180°，然后可以求出∠4=75°．再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可以求出∠3．
【详解】
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如图作出两直线的交点，
∵a∥b，
则∠1+∠4=180°，
∴∠4=75°，
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到∠2=∠3+∠4，
则∠3=65°.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质与平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外角性质与平行线的性质.
27．如图，已知DE∥AB，那么表示∠3的式子是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠1＋∠2－180°
B．∠1－∠2
C．180°＋∠1－∠2
D．180°－2∠1＋∠2
【答案】A
【解析】
【分析】
过点C作CG∥AB,因为AB∥EF,所以C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)G∥EF,用两直线平行,同旁内角互补,内错角相等求出∠1+∠BCG=180°,∠3=∠DCG,再利用角之间的和差关系求解．
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
过点C作CG∥AB,
∵AB∥EF,
∴CG∥EF,
∴∠1+∠BCG=180°,∠3=∠DCG,
又∵∠2=∠BCG+∠GCD,
∴∠3=∠DCG=∠1+∠2-（∠1+∠BCG）=∠1+∠2-180°,
故选A．
【点睛】
本题主要考查作辅助线构造三条互相平行的直线,然后利用平行线的性质和角的和差关系求解,解决本题的关键是要熟练掌握平行线的性质.
28．如图所示，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O，若∠A＝42°，∠C＝58°，则∠AOB的度数为( )．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45°
B．60°
C．80°
D．90°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据内错角相等可得∠C=∠B，再由∠A=42°，∠C=58°可求出∠AOB的度数．
【详解】
∵AB平行CD，
∴∠B=∠C=58°，
在△ABO中，∠AOB+∠A+∠B=180°
∴∠AOB=180°-58°-42°=80°．
故选C．
【点睛】
本题考查平行线的性质，关键在于掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
29．如图,AB∥CD,∠C=110°,∠B=120°,则∠BEC等于
( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．110°
B．120°
C．130°
D．150°
【答案】C
【分析】
首先过点E作EF∥AB，即可得EF∥AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1与∠2的度数，即可求得∠BEC的值．
【详解】
过点E作EF∥AB，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1+∠B=180°，∠2+∠C=180°，
∵∠C=110°，∠B=120°，
∴∠1=60°，∠2=70°，
∴∠BEC=∠1+∠2=130°．
故选C．
【点睛】
考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用与辅助线的作法．
30．如图所示，已知O是△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC＝10
cm，则△ODE的周长为( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10cm
B．8cm
C．12cm
D．20cm
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质得出∠DOB=∠ABO，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根据角平分线定义推出∠BOD=∠DBO，推出OD=BD，同理OE=CE，求出△ODE的周长=BC长，代入即可求出答案．
【详解】
∵OD∥AB，
∴∠DOB=∠ABO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠DOB，
∴∠BOD=∠DBO，
∴OD=BD，
同理OE=CE，
∴△ODE的周长为OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出OD=BD，OE=CE．
二、填空题
31．如图，△ABC中，∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②△ADE的周长等于AB与AC的和；③BF=CF；
④F为DE中点．其中正确的有_____．（填正确结论的序号）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】①②
【分析】
由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐项分析可得解．
【详解】
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①正确；
∵BD与CE无法判定相等，
∴DF与EF无法判定相等，
故④错误；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；
故②正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故③错误．
故答案为：①②．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．2·1·c·n·j·y
32．如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】①②
【分析】
证，可得，，再根据即可求得，即可解题．
【详解】
解：在和中，
，
，
，①正确，
∴，
，
，
，②正确，
和中，只有一个条件，再没有其余条件可以证明
，故③④错误；
故答案是：①②．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键．
33．如图，平分，若，则________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】65
【分析】
利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．
【详解】
∵∠1=50°，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，
∵∠2=130°，
∴∠DBE=∠2，
∴AE∥CF，
∴∠4=∠ADF，
∵∠3=∠4，
∴∠EBC=∠4，
∴AD∥BC，
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADB=∠ADF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠4=∠CBD，
∴∠CBD=∠EBC=∠DBE=×130°=65°．
故答案为：65．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．
34．完成下面的证明过程：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图，，平分，平分．
求证：．
证明：，（已知）
（________）
又，（已知）
_______
（__________）
平分，（已知）
．同理，
（已知）
（________
（________）
【答案】两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】
根据题中的证明过程写出每一步的推理过程及有关的角度和线段填写．
【详解】
解：完成下面的证明过程：
如图，，平分平分．
求证：
证明：（已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
又，（已知）
（同角的补角相等）
平分，（已知）
同理，
（已知）
．（两直线平行，内错角相等）
（同位角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠ADC；同角的补角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，根据题目本身的证明过程确定每空是填写推理依据、角度还是线段等等是解题关键．
35．如图，在中，，，，有下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）与互余；（5）．其中正确的有______（填写所有正确的序号）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
由同角的余角相等得到∠1=∠A，由已知内
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)错角相等得到AC与DE平行，由两直线平行同位角相等得到∠A=∠3，再利用等量代换得到∠2与∠B相等，∠2不一定等于∠A．
【详解】
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴△ACD与△ACB都为直角三角形，
∴∠B+∠1=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠1=∠A，选项（3）正确；
∵∠1=∠2，
∴AC∥DE，选项（1）正确；
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠B+∠1=90°，∠3+∠1=90°，
∴∠B=∠3，选项（2）正确；
∵∠1=∠A，∠1=∠2，
∴∠2=∠A，即∠2与∠A不互余，选项（4）错误；
∠2不一定等于∠B，选项（5）错误；
则正确的选项有（1）（2）（3），
故答案为（1）（2）（3）．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
36．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，AB与CD之间的距离等于4.8,OA=3,OC=4,求线段AC为（_______）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】5
【分析】
过点O作FG⊥AB，交AB于点F
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，交CD于点G，则易得FG就是AB与CD之间的距离，再由O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，可得OE=OF=OG，从而可得OE的长与∠AOC=90°，然后根据直角三角形的面积公式即可求出结果.
【详解】
解：过点O作FG⊥AB，交AB于点F，交CD于点G，
∵AB∥CD，
∴FG⊥CD，∠BAC+∠ACD=180°，
∴FG就是AB与CD之间的距离．
∵O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，
∴OE=OF=OG，∠CAO=∠BAC，∠ACO=∠ACD，
∴2OE=4.8，即OE=2.4，∠CAO+∠ACO=(∠ACD+∠BAC)=90°，即∠AOC=90°．
根据三角形的面积可得：，即，解得AC=5.
故答案为：5．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了两条平行线间的距离、平行线的性质、角平分线的性质定理和三角形的面积等知识，灵活应用角平分线的性质定理是求解的关键.
37．如图，已知AB∥CD，∠A＝20°，∠C＝30°，则∠AEC＝_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】50°
【分析】
过点P作作EF∥AB，根据平行公理可得EF∥
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，再根据∠AEC＝∠AEF+∠CEF计算即可得解．
【详解】
解：如图，作EF∥AB．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C＝20°+30°＝50°，
故答案为50°．
【点睛】
此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线.
38．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为__．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】14．
【分析】
根据角平分线的性质可知：∠DBO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，又DE∥BC可得∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，从而得出DO＝BD，OE＝EC，因此C△ADE＝AB+AC，即可得出答案.21·cn·jy·com
【详解】
由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得
∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB．
由DE∥BC，得
∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴DO＝BD，OE＝EC．
C△ADE＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14．
故答案为14．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，有效地进行线段的等量代换是解决本题的关键.
39．如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD且与EF交于点O，那么与∠AOE相等的角有_________个.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】5
【解析】
【分析】
由AB∥CD∥EF，根据两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直线平行，同位角相等，内错角相等，可得：∠AOE=∠OAB=∠ACD，又由AC平分∠BAD，BC∥AD以及对顶角相等，可得与∠AOE（∠AOE除外）相等的角有5个．
【详解】
解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠AOE=∠OAB=∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∵BC∥AD，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠AOE=∠FOC，
∴∠AOE=∠OAB=∠ACD=∠DAC=∠ACB=∠FOC．
∴与∠AOE（∠AOE除外）相等的角有5个．
故答案为：5.
【点睛】
此题考查了平行线的性质，对顶角相等以及角平分线的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
40．将一块的直角三角板放置在的直角三角板上，移动三角板使两条直角边，恰好分别经过两点，若，则__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】15°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和直角三角形的内角解答即可．
【详解】
解：∵将一块60°的直角三角板DEF放置
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在45°的直角三角板ABC上，
∴∠E=30°，∠ABC=45°，
∵EF∥BC，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴∠ABD=45°-30°=15°，
故答案为：15°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
41．如图,把含30°角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的直角三角板的直角顶点C放在直线a上,其中∠A=30°,直角边AC和斜边AB分别与直线b相交,如果a∥b,且∠1=25°,则∠2的度数为____
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【答案】35°
【分析】
先过点B作BD∥b，由直线a∥b，可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得BD∥a∥b，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有60°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数．
【详解】
过点B作BD∥b，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵直线a∥b，
∴BD∥a∥b，
∴∠4=∠1=25°，
∵∠ABC=60°，
∴∠3=∠ABC?∠4=60°?25°=35°，
∴∠2=∠3=35°.
故答案为35°
【点睛】
此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线
42．如图,AC∥BD,AE平分∠BAC交BD于点E,若∠1=62°，则∠2=______.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】121°
【分析】
由AC∥BD，根据两直线平行，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．
【详解】
∵AC∥BD，
∴∠B=∠1=64°，
∴∠BAC=180°-∠1=180°-62°=118°，
∵AE平分∠BAC交BD于点E，
∴∠BAE=∠BAC=59°，
∴∠2=∠BAE+∠B=62°+59°=121°．
故答案为121°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
三、解答题
43．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．
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（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用ASA证明△AED≌△FEC即可；
（2）根据题意，，根据计算即可．
【详解】
（1）∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE，
∵∠AED=∠FEC，DE=CE，
∴△AED≌△FEC，
∴FC=AD；
（2）∵△AED≌△FEC，
∴，AE=EF，
∴，
∴==
==．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，割补法计算图形的面积，熟练掌握三角形全等的判定和性质，灵活运用割补法计算面积是解题的关键．21教育网
44．如图，直线MN分别与直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线AB、CD交于点E、F，且∠AEM＝∠NFC．∠AEF的角平分线EG交直线CD于点G，∠EFC的角平分线FH交直线AB于点H．
（1）求证：EG//HF；
（2）若∠AHF＝36°，求∠EGD的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）144°．
【分析】
利用对顶角相等及同位角相等，证明出，再根据角平分线定理通过等量代换得出内错角相等，推出EG//HF；
（2）先根据两直线平行，同位角相等得出∠AEG＝∠AHF＝36°，再根据两直线平行得到内错角相等即可求解．
【详解】
（1）证明：∵∠AEM＝∠NFC，∠NFC＝∠DFM，
∴∠AEM＝∠DFM，
∴AB//DC，
∴∠AEF＝∠EFC，
∵∠AEF的角平分线EG交直线DC于点G，∠MFC的角平分线FH交直线AB于点H，
∴∠GEF＝∠AEF，∠EFH＝∠EFC，
∴∠GEF＝∠EFH，
∴EG//HF；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）解：∵EG//HF，∠AHF＝36°，
∴∠AEG＝∠AHF＝36°，
∵AB//CD，
∴∠AEG+∠EGD＝180°，
∴∠EGD＝180°36°＝144°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定及性质，角平分线性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及性质．
45．已知：AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4.证EM∥FN；
（2）如图（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，直接写出∠GEH与∠EFD的数量关系．
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【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平角的定义可得，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差可得，由此即可得出结论．
【详解】
证明：（1），
，
，
，
又，
，
；
（2），
，
平分，平分，
，
，
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
46．已知：如图，在中，为延长线上一点，为延长线上一点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形．
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【答案】见解析
【分析】
根据平行四边形的判定与性质求解．
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
又∵，
∴，
即且．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
47．已知：如图，点、分别在、上，分别交、于点，，，求证：．
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【答案】见解析．
【分析】
先由对顶角相等，得到：∠1=∠DMF，然后根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)据等量代换得到：∠2=∠DMF，然后根据同位角相等两直线平行，得到BD∥CE，然后根据两直线平行，同位角相等，得到∠C=∠DBA，然后根据等量代换得到：∠D=∠DBA，最后根据内错角相等两直线平行，即可得到DF与AC平行，再利用平行线的性质解答即可．
【详解】
证明：∵∠1=∠DMF，∠1=∠2，
∴∠2=∠DMF，
∴BD∥CE，
∴∠C=∠DBA，
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠DBA，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
48．推理填空：
如图，于D，于G，，可得平分．
理由如下：∵于D，于G，（已知）
∴，（____________________）
∴，（____________________）
∴__________，（____________________）
，（____________________）
又∵，（____________________）
∴___________，（____________________）
∴平分．（____________________）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；已知；∠2；等量代换；角平分线的定义．
【分析】
根据证明的前后联系填写理由或结论即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义）
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等）
∠E＝∠3，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠1（已知）
∴∠3＝∠2（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；已知；∠2；等量代换；角平分线的定义．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，明确每步说理的原因是正确答题的关键．
49．如图，，，．求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析
【分析】
先根据已给的角度判断BD//CE，从而可得∠ABD=∠C，再根据等量代换可得∠ABD=∠D，从而可证．
【详解】
证明：∵，，
∴∠1+∠2=78°+102°=180°，
∴BD//CE，
∴∠ABD=∠C，
∵，
∴∠ABD=∠D，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握平行线的性质和判定定理，并能正确识别同位角、同旁内角是解题关键．
50．如图，已知，，则吗？为什么？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】，理由见解析．
【分析】
利用两直线平行，同位角相等，得到，结合，转化为内错角相等证明即可.
【详解】
解：
，理由如下：
，
，
，
，
.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键.
51．如图，C是线段的中点，过C作，且，连接．证明：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
由全等三角形的判定定理，先证明，得到，即可得到结论成立．
【详解】
证明：是线段的中点，
．
，
．
在和中，
，
．
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是正确得到．
52．如图，已知与均为等边三角形，点在的延长线上，且，连接、．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）是上的一点，连接、，与相交于，若是等边三角形，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）由等边三角形的性质，解得，，结合，可证明；
（2）由等边三角形的性质，解得，继而根据同位角相等，两直线平行判定，由两直线平行，内错角相等解得，接着由全等三角形的对应角相等得到，最后由角的和差解得整理得据此解题即可．
【详解】
解：（1）与均为等边三角形，
，
在与中，
；
（2）与均为等边三角形，
若是等边三角形，
即
．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．www.21-cn-jy.com
53．如图，点E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD．求证：CF∥DE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见详解．
【分析】
先证，所以，根据内错角相等两直线平行即可得证．
【详解】
证明：
AC∥BD，
，
AE＝BF，
，即
，
又
∠C＝∠D
，
，
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，请在明是解本题的关键．
54．如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分，过E点作，G为射线EC上一点，连接BG，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据题意得到，再根据等量代换的方法求解即可；
（2）通过已知条件证明，即可得到结果；
【详解】
（1）∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2）∵平分，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，结合角平分线的性质和垂直的性质证明是解题的关键．
55．如图1，点A是射线OE：（x≥0）上的一点，已知，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OE的平行线交∠AOB的平分线于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：CG＝CH．
（3）①若射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②在①的条件下，在平面内另有三点、（4，）、，请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是
．（写出你认为正确的点）
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【答案】（1）；（2）见解析；（3）①存在，P（8，-4）；②满足全等的点有P1、P2、P3，见解析．
【分析】
（1）根据题意，设，在Rt△AOB中，利用勾股定理，解得的值，即可解得点A的坐标；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，由平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)行线的性质得到∠MBC=∠ABC，结合角平分线上的点到角两边的距离相等可得CM=
CH
，据此可证明CG＝CH；
（3）①先计算∠BDC的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)度数，再根据角平分线及平行线性质可证明∠BOC=∠BCO，由等角对等边可解得BO=BC=AB，继而得到∠ACP=∠BDC，接着证明△APB为等腰直角三角形，解答AP的长，据此解题；
②根据全等三角形的判定方法，分别证明、、即可解题．
【详解】
（1）∵AB⊥x轴
∴∠ABO=90°
∵A在上
∴设
则AB=OB=a
即△ABO为等腰直角三角形
在Rt△AOB中
∵
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴
∴a=±4（负值舍去）
∴
（2）如图，过点C作CM⊥x轴于M
∵BC//OE
∴∠MBC=∠BOA=45°，∠ABC=∠OAB=45°
∴∠MBC=∠ABC
∵CM⊥x轴，CG⊥AB
∴CM=
CG
∵OC平分∠AOB，CM⊥x轴
CH⊥OE
∴CM=
CH
∴CG＝CH
（3）①存在点P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
易证∠BDC=∠BOD+∠OBD=22.5°+90°=112.5°
∵OC平分∠AOB，BC∥OE
∴∠BOC=∠COA
，∠BCO=∠COA
∴∠BOC=∠BCO
∴BO=BC=AB
又∠ABC
=45°
∴∠BAC=∠BCA=67.5°
∴∠ACP=112.5°
∴∠ACP=∠BDC
又∠BAC=∠CDA=67.5°
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)∴CA=CD
∴当CP=BD时，△ACP≌△CDB
∴∠APC=∠DBC=45°
∴△APB为等腰直角三角形
∴AP=AB=OB=4
∴P（8，-4）
②如图，满足全等的点有P1、P2、P3理由如下，
点在射线上，
在线段上，
连接
是等腰直角三角形，
轴
在与中
的横坐标为4，点
在的延长线上，
连接
的纵坐标为
在与中，
的横坐标为，点的横坐标为，
所在的直线垂直于轴，
轴
连接，过点作交的延长线于点，
在与中
故答案为：
．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．21·世纪
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56．如图，AD平分∠BAC，点E，F分别在边BC，AB上，且∠BFE＝∠DAC，延长EF，CA交于点G，求证：∠G＝∠AFG．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
先利用角平分线的定义得到∠BAD＝∠D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC，结合已知条件∠BFE＝∠DAC，可得∠BFE＝∠BAD，根据平行线的判定可证EG∥AD，再由平行线的性质得∠G＝∠DAC，∠AFG＝∠BAD，则利用等量代换即可证得结论．
【详解】
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠BFE＝∠DAC，
∴∠BFE＝∠BAD，
∴EG∥AD，
∴∠G＝∠DAC，∠AFG＝∠BAD，
∴∠G＝∠AFG．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定的方法及利用性质证明角相等是解答此题的关键．
57．如图，，，，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质定理即可得到结论．
【详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
58．如图，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，那么∠1与∠2相等吗？说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】∠1＝∠2，理由见解析．
【分析】
根据平行线的性质推出∠ADE＝∠ABC，推出∠ABC＝∠EFC，根据平行线的判定推出EF∥AB即可．
【详解】
解：∠1＝∠2，
理由是：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵∠ADE＝∠EFC，
∴∠ABC＝∠EFC，
∴EF∥AB，
∴∠1＝∠2．
【点睛】
本题考查了对平行线的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及判定．
59．如图，已知：∠DGA=∠FHC，∠A=∠F．求证：DF∥AC．（注：证明时要求写出每一步的依据）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析．
【分析】
先根据∠DGA=∠EGC证出AE∥BF，再根据平行证明出∠F=∠FBC即可求证出结论．
【详解】
证明：∵∠DGA=∠EGC(对顶角相等)
又∵∠DGA=∠FHC（已知）
∴∠EGC=∠FHC（等量代换）
∴AE∥BF
(同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠FBC
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠A=∠F（已知）
∴∠F=∠FBC
(等量代换)
∴DF∥AC
(内错角相等,两直线平行)．
【点睛】
此题考查平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
60．如图，已知，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行线的判定可得：，根据平行线的性质可得：，继而可得：，根据平行线的判定即可求证结论；
（2）根据平行线的性质得出：，进而求出，最后根据平行线的性质即可求解．
【详解】
（1）证明：∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴
∴，
∴.
∴
∵，
∴
【点睛】
本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法及其性质．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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第四讲
平行的性质
【提升训练】
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线平行
B．两直线平行，同旁内角相等
C．同旁内角互补
D．同位角相等
2．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（
）
（1）；（2）；（3）；（4）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，若∠1=55°，则∠2等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．35°
B．45°
C．55°
D．125°
4．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有；其中正确的有(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
5．如图，下列条件中可得到AD∥BC的是
(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①AC⊥AD
AC⊥BC;②∠1=∠2，∠3=∠D;③∠4=∠5
④
∠BAD+∠ABC=1800www.21-cn-jy.com
A．①③④
B．①②④
C．②③④
D．①②③
6．如图，已知AB∥CD，点E在AC上，∠A＝105°，∠D＝20°，则∠AED＝（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．85°
B．90°
C．95°
D．100°
7．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果，则有；②；③如果，则有；④如果，必有；正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
8．如图，AB//CD,
∠CED=90°,
∠BED=40°,
则∠C
的度数是（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
9．如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．相等
B．互补
C．互余
D．不能确定
10．如图，，CB平分，BD平分，且，下列结论中错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．BC平分
B．
C．
D．
11．如图，l1∥l2，?ABCD的顶点A在l1上，BC交l2于点E．若∠C＝100°，则∠1+∠2＝（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．100°
B．90°
C．80°
D．70°
12．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．90°
C．50°
D．100°
13．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
14．如图，直线，直线，若，则（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
15．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
16．如图.将一块含有角的直角三角板的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，如果，那么的度数为(
)21世纪教育网版权所有
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A．
B．
C．
D．
17．如图，已知a∥b，小明把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．65°
B．120°
C．125°
D．145°
18．如图所示，由已知条件推出结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．由∠1＝∠5，可以推出AB∥CD
B．由AD∥BC，可以推出∠4＝∠8
C．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC
D．由AD∥BC，可以推出∠3＝∠7
19．已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC．则∠ADE的度数是（ ）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
20．如图所示，能表示直线AB、CD之间距离的是线段( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．PQ的长度
B．PM的长度
C．PN的长度
D．以上都不对
21．如图，△ABC≌△DEC，点B的对应点E在线段AB上，若AB∥CD，∠DCA＝40°，则∠B的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
22．如图，直线AB、CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3的大小是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．80°
B．70°
C．90°
D．100°
23．如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．42°
B．64°
C．74°
D．106°
24．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）2·1·c·n·j·y
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
25．如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为（
）21
cnjy
com
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A．125°
B．75°
C．65°
D．55°
26．如图，a//b，∠1=105°，∠2=140°，则∠3
的度数是
（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．75°
B．65°
C．55°
D．50°
27．如图，已知DE∥AB，那么表示∠3的式子是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠1＋∠2－180°
B．∠1－∠2
C．180°＋∠1－∠2
D．180°－2∠1＋∠2
28．如图所示，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O，若∠A＝42°，∠C＝58°，则∠AOB的度数为( )．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45°
B．60°
C．80°
D．90°
29．如图,AB∥CD,∠C=110°,∠B=120°,则∠BEC等于
( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．110°
B．120°
C．130°
D．150°
30．如图所示，已知O是△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC＝10
cm，则△ODE的周长为( )【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10cm
B．8cm
C．12cm
D．20cm
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．如图，△ABC中，∠ABC与∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②△ADE的周长等于AB与AC的和；③BF=CF；
④F为DE中点．其中正确的有_____．（填正确结论的序号）【来源：21cnj
y.co
m】
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32．如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是________．【出处：21教育名师】
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33．如图，平分，若，则________．
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34．完成下面的证明过程：
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如图，，平分，平分．
求证：．
证明：，（已知）
（________）
又，（已知）
_______
（__________）
平分，（已知）
．同理，
（已知）
（________
（________）
35．如图，在中，，，，有下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）与互余；（5）．其中正确的有______（填写所有正确的序号）．
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36．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，AB与CD之间的距离等于4.8,OA=3,OC=4,求线段AC为（_______）21cnjy.com
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37．如图，已知AB∥CD，∠A＝20°，∠C＝30°，则∠AEC＝_____．
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38．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为__．21·cn·jy·com
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39．如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD且与EF交于点O，那么与∠AOE相等的角有_________个.【版权所有：21教育】
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40．将一块的直角三角板放置在的直角三角板上，移动三角板使两条直角边，恰好分别经过两点，若，则__________．21教育名师原创作品
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41．如图,把含30°角的直角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角板的直角顶点C放在直线a上,其中∠A=30°,直角边AC和斜边AB分别与直线b相交,如果a∥b,且∠1=25°,则∠2的度数为____
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42．如图,AC∥BD,AE平分∠BAC交BD于点E,若∠1=62°，则∠2=______.
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三、解答题
43．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．
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（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
44．如图，直线MN分别与直线AB、CD交于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点E、F，且∠AEM＝∠NFC．∠AEF的角平分线EG交直线CD于点G，∠EFC的角平分线FH交直线AB于点H．21
cnjy
com
（1）求证：EG//HF；
（2）若∠AHF＝36°，求∠EGD的度数．
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45．已知：AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4.证EM∥FN；
（2）如图（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，直接写出∠GEH与∠EFD的数量关系．
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46．已知：如图，在中，为延长线上一点，为延长线上一点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形．
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47．已知：如图，点、分别在、上，分别交、于点，，，求证：．
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48．推理填空：
如图，于D，于G，，可得平分．
理由如下：∵于D，于G，（已知）
∴，（____________________）
∴，（____________________）
∴__________，（____________________）
，（____________________）
又∵，（____________________）
∴___________，（____________________）
∴平分．（____________________）
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49．如图，，，．求证：．
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50．如图，已知，，则吗？为什么？
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51．如图，C是线段的中点，过C作，且，连接．证明：．
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52．如图，已知与均为等边三角形，点在的延长线上，且，连接、．
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（1）求证：；
（2）是上的一点，连接、，与相交于，若是等边三角形，求证：．
53．如图，点E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD．求证：CF∥DE．
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54．如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分，过E点作，G为射线EC上一点，连接BG，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
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55．如图1，点A是射线OE：（x≥0）上的一点，已知，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OE的平行线交∠AOB的平分线于点C．21教育网
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：CG＝CH．
（3）①若射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21·世纪
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②在①的条件下，在平面内另有三点、（4，）、，请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是
．（写出你认为正确的点）
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56．如图，AD平分∠BAC，点E，F分别在边BC，AB上，且∠BFE＝∠DAC，延长EF，CA交于点G，求证：∠G＝∠AFG．
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57．如图，，，，求证：．
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58．如图，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，那么∠1与∠2相等吗？说明理由．
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59．如图，已知：∠DGA=∠FHC，∠A=∠F．求证：DF∥AC．（注：证明时要求写出每一步的依据）
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60．如图，已知，，．
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（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
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