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第五讲
三角形内角和定理
【提升训练】
一、单选题
1．如图，是的角平分线，，垂足为，交于，连结．若，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
2．如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．18°
B．22°
C．30°
D．38°
3．如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠EDC等于（
）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．42°
B．66°
C．69°
D．77°
4．如图，在ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．48°
B．54°
C．64°
D．78°
6．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．118°
C．100°
D．90°
7．如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．32°
B．30°
C．28°
D．26°
8．如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．90°﹣
C．α﹣90°
D．2α﹣180°
9．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（
）21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
10．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点分别是边上的点，将沿着折叠压平，与重合，若，则（
）21·世纪
教育网
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A．
B．
C．
D．
11．如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
12．如图，的一边上有一动点E，连结，在射线上任取一点D，连结，分别作的角平分线，交于点F，则下列关系式正确的是(
)www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
13．如图，在中，，
是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（
）2-1-c-n-j-y
①的面积是的面积的一半；②；③；④．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③④
B．①②
C．①③
D．①④
14．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．80°
B．82°
C．84°
D．86°
15．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28，∠E＝95，∠EAB＝20，则∠BAD等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．75
B．57
C．55
D．77
16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若，则∠A的度数为（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
17．如图，在中，，，平分，，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．25°
C．30°
D．35°
18．下列命题是真命题的个数为（
）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②三角形的内角和是180°．
③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．
④相等的角是对顶角．
⑤两点之间，线段最短．
A．2
B．3
C．4
D．5
19．如图，中，将沿翻折，若，，则多少度（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．60°
B．75°
C．85°
D．90°
20．如图，在中，是角平分线，是高，已知，，那么的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．72°
B．75°
C．70°
D．60°
21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．50°
C．60°
D．30°
22．一个三角形的三个内角中（
）
A．至少有一个等于90°
B．至少有一个大于90°
C．不可能有两个大于89°
D．不可能都小于60°
23．如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（
）【来源：21cnj
y.co
m】
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A．25°
B．30°
C．40°
D．55°
24．如图，点P是内一点，连结PB、PC，，，，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
25．如图，中，点在上，，，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、，则的度数为（
）【版权所有：21教育】
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A．122°
B．114°
C．132°
D．108°
26．在中，，则是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
27．将沿折叠，使点与点重合，得到如图所示的情形，如果此时，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
28．如图，、是的角平分线，、相交于点，，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
29．如图，在中，，点为边上一动点，将沿着直线对折．若，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
30．如图，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=45°，∠C=73°，则∠DAE的度数是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．22°
B．16°
C．14°
D．23°
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．如图，平分，平分，与交于，若，，则的度数为________．
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32．如图，△ABC≌△AD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E，①若△ABC周长为24，AD=6，AE=9，则BC=______；②若∠BAD=42°，则∠EFC=______．21cnjy.com
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33．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于_______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
34．如图，在中，，，，，求的度数____________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
35．如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为________．
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三、解答题
36．如图，在中，是的高线，是的角平分线，已知．
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（1）求的大小．
（2）若是的角平分线，求的大小．
37．已知，在直角三角形中，，是上一点，且．
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（1）如图1，求证：；
（2）如图2，将沿所在直线翻折，点落在边上，记为点．
①若，求的度数；
②试求与的关系，并说明理由．
38．如图所示．在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，∠B=66°，∠C=54°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
39．（1）如图1，在△ABC纸片中，点D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在边AC上，点E在边AB上，沿DE折叠，当点A落在CD上时，∠DAE与∠1之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）若折成图2时，即点A落在△ABC内时，请找出∠DAE与∠1，∠2之间的关系式并说明理由．
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40．如图，已知AB∥DE，求证：∠A＋∠ACD＋∠D＝360°．（请你至少使用两种方法证明）
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41．如图，∠XOY＝90°，点A，B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变，求出∠C的度数．
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42．在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．【出处：21教育名师】
已知：如图，．
求证：_____________________．
证明：如图，在边上取点，过点作交于点，过点作交于点．
∵，
∴，（依据：_____________________）．
∵，
∴．
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43．如图，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．
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44．如图，在中，于点，
交于点，于点，交
于点．
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（1）求证：；
（2）若，，求
的度数．
45．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=22°，∠C=78°，求∠EAD的度数．
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46．如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．
（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝
（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝
°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝
°．
∴AD∥BC（
）．
（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．
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47．将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
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48．在中，与的平分线相交于点．
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（1）如图①，如果，求的度数；
（2）如图②，作外角，的角平分线，且交于点，试探索，之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段，交于点若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
49．如图，在中，平分，．若，，求的度数．
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50．如图，，，与交于点，点在线段上，，，．
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（1）求证：；
（2）求的度数．
51．如图，中，为上一点，，的角平分线交于点．
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（1）求证：；
（2）为上一点，当平分且时，求的度数．
52．如图，在中，P是，的角平分线的交点．
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（1）若，求的度数；
（2）有位同学在解答（1）后得出的规律，你认为正确吗？请说明理由．
53．如图，已知，，，．
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（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
54．如图，平分，平分．试确定和的数量关系．
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55．如图，在五边形AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数21教育网
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56．如图所示，在中，，平分交于点，平分交于点.
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（1）求的度数.
（2）若，求的度数.
57．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落到点A′，若∠C＝125°，∠A＝20°，求∠BD
A′的度数.21·cn·jy·com
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58．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
59．已知：如图，，，．
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（1）求证：．
（2）若，求的度数．
60．中，是的角平分线，是的高．
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（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，试说明、、的数量关系．
61．如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，∠ABC＝∠ACE．
（1）求证：AB//CE；
（2）猜想：若∠A＝50°，求∠E的度数．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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第五讲
三角形内角和定理
【提升训练】
一、单选题
1．如图，是的角平分线，，垂足为，交于，连结．若，，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由角平分线的性质得到，由三角形内角和定理可求得∠BAC，又有可求得∠BAF，继而根据∠EAD=∠BAC-∠BAF进行求解即可．
【详解】
解：，
，
∵BD平分∠ABC，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，灵活利用三角形内角和定理是解题的关键．
2．如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（
）
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A．18°
B．22°
C．30°
D．38°
【答案】B
【分析】
根据角平分线性质和三角形内角和定理求解即可；
【详解】
∵AE是的高，
∴，
又∵AD是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和三角形内角和定义，准确分析计算是解题的关键．
3．如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠EDC等于（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．42°
B．66°
C．69°
D．77°
【答案】C
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDC可得答案．21·世纪
教育网
【详解】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，
∴∠B=90°-∠A=66°．
由折叠的性质可得：∠BCD=∠ACB=45°，
∴∠BDC=∠EDC=180°-∠BCD-∠B=69°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．
4．如图，在ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=（
）
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A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
【答案】D
【分析】
利用角平分线的定义结合∠1的度
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数可得出∠CAE的值，进而可得出∠DAE、∠BAD的值，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B的值，此题得解．
【详解】
∵AE平分∠BAC，∠1=30°，
∴∠CAE=∠1=30°，
∴∠DAE=∠CAE-∠2=10°，
∴∠BAD=∠1+∠DAE=40°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B=180°-∠BAD-∠ADB=50°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（
）
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A．48°
B．54°
C．64°
D．78°
【答案】B
【分析】
根据△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则依据轴对称的性质，两三角形对应边对应角都相等得出∠C，再根据三角形内角和定理即可求得∠B．
【详解】
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∵∠A=78°，∠C′=48°，
∴∠C=48°，
∴∠B=180°-∠A
-∠C=54°．
故选：B．
【点睛】
本题考查轴对称的性质和三角形内角和定理．理解轴对称图形，对应角相等是解题关键．
6．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．118°
C．100°
D．90°
【答案】B
【分析】
在△ABC中利用三角形内角和定理可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论．
【详解】
解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠CED＝＝99°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键．
7．如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（
）
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A．32°
B．30°
C．28°
D．26°
【答案】C
【分析】
根据翻折的性质可得，再利用三角形外角的性质表示出，然后根据角的和差整理即可得解．
【详解】
解：如图，由翻折的性质得，
∴，
∴在△ADE中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
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【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，三角形外角的性质，理解折叠前后对应角相等是解题关键．
8．如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（ ）
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A．
B．90°﹣
C．α﹣90°
D．2α﹣180°
【答案】D
【分析】
设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，利用平行线的性质，三角形内角和定理构建方程组即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵，
∴，，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180°①，
根据平行线的性质和翻折的性质可得：，，
∴，
∵γ+y＝2∠B，
同理可得出：β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．
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【点睛】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．
【详解】
解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD，
∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，
∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，
同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，
∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，
∴∠BCD5+∠CBD5=155°，
∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
10．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点分别是边上的点，将沿着折叠压平，与重合，若，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】
∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠AED=1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)80°-50°=130°，
∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，
∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×130°=100°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．
11．如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【答案】A
【分析】
根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．
【详解】
解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，
∴
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，
=180°-2(∠DBC+∠BCD)
∵∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)，
∴∠A=180°-2(180°-∠BDC)
∴∠BDC=90°+
∠A，
∴∠A=2(110°-90°)=40°．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．
12．如图，的一边上有一动点E，连结，在射线上任取一点D，连结，分别作的角平分线，交于点F，则下列关系式正确的是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
判断选项、选项，需假设选项正确，即，再根据角平分线的性质，即可证明得出，此时选项也正确，故选项、选项都不对．对于选项、选项，令与交点为，根据三角形内角和为即可证明选项正确，选项错误．
【详解】
当时，，
则，
∵、平分、，
则，
故选项、选项不对．
令与交点为，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
故，
则选项正确，选项错误．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选：．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，以及三角形内角和为，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
13．如图，在中，，
是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（
）
①的面积是的面积的一半；②；③；④．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③④
B．①②
C．①③
D．①④
【答案】C
【分析】
根据三角形的面积公式进行判断①，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根据等腰三角形的判定判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据三角形的内角和定理求出∠FAG=∠ACB，再判断④即可．
【详解】
解：∵BE是AC边的中线，
∴AE=CEAC，
∵△ABE的面积×AE×AB，△ABC的面积×AC×AB，
∴△ABE的面积等于△ABC的面积的一半，故①正确；
根据已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB，
∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG，故③正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，
∴∠FAG=∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB，
∴∠FAG=2∠FCB，故④错误；
即正确的为①③，
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
14．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．80°
B．82°
C．84°
D．86°
【答案】A
【分析】
根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．
【详解】
解：∵∠BAC＝105°，
∴∠2＋∠3＝75°①
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②
把②代入①得：3∠2＝75°，
∴∠2＝25°．
∴∠DAC＝105°?25°＝80°．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．21·cn·jy·com
15．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28，∠E＝95，∠EAB＝20，则∠BAD等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．75
B．57
C．55
D．77
【答案】D
【分析】
先根据全等三角形的对应角相等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=57°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠B=∠D=28°，
又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，
∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，
∵∠EAB=20°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若，则∠A的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【答案】C
【分析】
利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∵△CDB′是由△CDB翻折得到，
∴∠CB′D＝∠B，
∵∠CB′D＝∠A＋∠ADB′＝∠A＋20°，
∴∠A＋∠A＋20°＝90°，
解得∠A＝35°．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．如图，在中，，，平分，，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】C
【分析】
根据三角形内角和求出∠ABC的度数，再根据角平分线和平行线的性质求角．
【详解】
解：在中，
∠ABC=180°-∠A-∠B=180°-55°-65°=60°，
∵平分，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，
∵，
∴=∠CBD=30°，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和、角平分线的意义和平行线的性质，准确识图并能熟练应用三角形内角和、角平分线和平行线的性质是解题关键．
18．下列命题是真命题的个数为（
）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②三角形的内角和是180°．
③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．
④相等的角是对顶角．
⑤两点之间，线段最短．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
首先判断所给命题的真假，再选出正确的选项．
【详解】
解：∵两条直线被第三条直线所截，两直线平行，内错角相等，
∴①错误；
∵三角形的内角和是180°，∴②正确；
∵在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行，∴③正确；
∵相等的角可以是对顶角，也可以是内错角、同位角等等，∴④错误；
∵连接两点的所有连线中，线段最短，∴⑤正确；
∴真命题为②③⑤，
故选B
．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，根据所学知识判断一个命题条件成立的情况下，结论是否一定成立来判断命题是真命题还是假命题是解题关键．
19．如图，中，将沿翻折，若，，则多少度（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．60°
B．75°
C．85°
D．90°
【答案】C
【分析】
根据折叠前后对应角相等可得，，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得、，再次运用平角的定义即可求得．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵将沿翻折，
∴，，
∵D是线段AB上的点，，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．
20．如图，在中，是角平分线，是高，已知，，那么的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．72°
B．75°
C．70°
D．60°
【答案】A
【分析】
利用角平分线的定义和三角形内角和定理，余角即可计算．
【详解】
由图可知，
∵AD是角平分线．
∴，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义和三角形的内角和定理以及余角．根据题意找到角之间的数量关系是解答本题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．50°
C．60°
D．30°
【答案】B
【分析】
由SAS证明△BDE≌△CFD，得出∠BDE=∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．
【详解】
解：在△BDE与△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS）；
∴∠BDE=∠CFD，
∴∠EDF=180°-（∠BDE+∠CDF）=180°-（∠CFD+∠CDF）=180°-（180°-∠C）=50°；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．一个三角形的三个内角中（
）
A．至少有一个等于90°
B．至少有一个大于90°
C．不可能有两个大于89°
D．不可能都小于60°
【答案】D
【分析】
根据三角形的内角性质、三角形的内角和定理逐项判断即可得．
【详解】
A、反例：锐角三角形的三个内角均小于，此项错误；
B、反例：锐角三角形的三个内角均小于，此项错误；
C、反例：一个三角形的三个内角分别为，此项错误；
D、因为三角形的内角和等于，所以不可能都小于，此项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
23．如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．25°
B．30°
C．40°
D．55°
【答案】C
【分析】
先求出，由折叠得，得出=．
【详解】
∵，，
∴，
由折叠得，
∴=，
故选：C．
【点睛】
此题考查三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
24．如图，点P是内一点，连结PB、PC，，，，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据三角形内角和定理可求出∠ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+∠ACB的度数，根据角的和差关系可得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和定理求出∠BPC的度数即可．
【详解】
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°，
∴∠PBC+∠1+∠PCB+∠2=100°，
∵∠1=25°，∠2=40°，
∴∠PBC+∠PCB=100°-25°-40°=35°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-35°=145°，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180°；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
25．如图，中，点在上，，，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．122°
B．114°
C．132°
D．108°
【答案】C
【分析】
连接AD，由轴对称可得：∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAC=，即可求得=2∠BAC=．
【详解】
连接AD，由轴对称可得：∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC，
∵，，
∴∠BAC=，
∴∠DAB+∠DAC=，
∴=2∠BAC=，
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)．
【点睛】
此题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握轴对称的性质得到∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC是解题的关键．
26．在中，，则是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【分析】
根据三角形内角和定理直接解答即可．
【详解】
解：∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
解得∠C=90°，故是直角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°是解题的关键．
27．将沿折叠，使点与点重合，得到如图所示的情形，如果此时，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得；然后根据折叠的性质可得，最后根据三角形的外角的性质求解即可．
【详解】
解：∵
，，
∴．
由折叠的性质，得．
又，
∴．
故选．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
28．如图，、是的角平分线，、相交于点，，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC＋∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数．
【详解】
解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝∠ABC＋∠ACB＝（∠ABC＋∠ACB），
∵∠A＝60°，
∴∠OBC＋∠OCB＝（180°?60°）＝60°，
∴∠BOC＝180°?（∠OBC＋∠OCB）＝180°?60°＝120°．
故选：B．
【点睛】
本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键．
29．如图，在中，，点为边上一动点，将沿着直线对折．若，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
依据角的和差关系即可得到∠DBC的度数，再根据折叠的性质即可得到∠ABE的度数．
【详解】
∵∠ABD=18°，∠ABC=90°，
∴∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DBC=∠ABC-∠DBC=90°-18°=72°，
由折叠可得∠DBE=∠DBC=72°，
∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=72°-18°=54°，
故选：C．21教育名师原创作品
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
30．如图，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=45°，∠C=73°，则∠DAE的度数是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．22°
B．16°
C．14°
D．23°
【答案】C
【分析】
根据∠DAE=∠DAC-∠CAE，只要求出∠DAC，∠CAE即可．
【详解】
解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∠B=45°，∠C=73°，
∴∠BAC=62°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAC=31°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE=90°-73°=17°，
∴∠DAE=31°-17°=14°，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
二、填空题
31．如图，平分，平分，与交于，若，，则的度数为________．
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【答案】60°
【分析】
根据三角形内角和定理可求得∠DBC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而求得∠A的度数．【出处：21教育名师】
【详解】
解：连接BC．
∵∠BDC=120°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-120°=60°，
∵∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠GCB=180°-90°=90°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD=∠ABD+∠ACD=30°，
∴∠ABD+∠ACD=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠A=180°-120°=60°．
故答案为：60°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．
32．如图，△ABC≌△ADE，①若△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC周长为24，AD=6，AE=9，则BC=______；②若∠BAD=42°，则∠EFC=______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】9
42°
【分析】
①根据全等三角形对应边相等可得AB=AD，AC=AE，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解；
②根据全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，再求出∠CAE=∠BAD，然后根据三角形的内角和定理可得∠EFC=∠CAE．
【详解】
解：①∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD=6，AC=AE=9，
∵△ABC周长为24，
∴BC=24-6-9=9；
②∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠CAE=∠BAD=42°，
∴∠EFC=∠CAE=42°．
故答案为：9；42°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
33．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于_______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】80°
【分析】
根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4），再利用三角形的内角和定理得∠3+∠4＝∠B+∠C，即可解决问题．
【详解】
解：根据平角的定义和折叠的性质，得
∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．
又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C，
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°，
∴∠1+∠2＝80°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故答案为：80°．
【点睛】
本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
34．如图，在中，，，，，求的度数____________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】27°
【分析】
根据三角形的内角和可求出∠BCD的度数，然后根据角度的关系求出∠DBC的度数；
【详解】
∵
∠ABC=57°，∠BAD=71°，∠DAC=30°，∠ACD=11°，
∴∠BCD=180°-57°-71°-30°-11°=11°，
∵
，
解得
，
∴∠DBC=27°，
故答案为：27°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和的知识点以及角的关系进而求出角度的问题，需要熟练掌握．
35．如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】25°
【分析】
根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．
【详解】
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，
∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，
∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，
∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，
∴∠A＝2∠E，
∵∠A＝50°，
∴∠E＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
三、解答题
36．如图，在中，是的高线，是的角平分线，已知．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的大小．
（2）若是的角平分线，求的大小．
【答案】（1）10°；（2）110°
【分析】
（1）先根据角平分线，得到∠EAC，根据高的定义得到∠ADC，从而得到∠C=40°，则有∠DAC=50°，可得∠DAE；
（2）根据角平分线的定义分别得到∠BAG和∠ABG，根据三角形内角和定理得到结果．
【详解】
解：（1）∵AE是△ABC的平分线，∠BAC=80°，
∴∠EAC=∠BAC=40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∠C=40°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=50°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=10°；
（2）∵∠C=40°，∠BAC=80°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠BAC=60°，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∠ABG=∠ABC=30°，
∴∠AGB=180°-∠BAE-∠ABG=110°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的高，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相应定理，得到相关角的度数．21cnjy.com
37．已知，在直角三角形中，，是上一点，且．
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（1）如图1，求证：；
（2）如图2，将沿所在直线翻折，点落在边上，记为点．
①若，求的度数；
②试求与的关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①22°；②∠A′CB=90°-2∠B
【分析】
（1）根据直角三角形中两锐角互余得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠A+∠B=90°，而∠ACD=∠B，则∠A+∠ACD=90°，所以∠ADC=90°，然后根据垂直的定义得CD⊥AB；
（2）①先得到∠ACD=34°，∠BCD=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)56°，再根据折叠的性质得∠A′CD=∠ACD=34°，然后利用∠A′CB=∠BCD-∠A′CD求解；
②同①的方法，进行分类讨论即可．
【详解】
解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）①∵∠B=34°，
∴∠ACD=34°，
∴∠BCD=90°-34°=56°，
∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边上，记为A′点，
∴∠A′CD=∠ACD=34°，
∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=56°-34°=22°；
②∵∠B=∠ACD，则∠BCD=90°-∠ACD，
∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边上，记为A′点，
∴∠A′CD=∠ACD=∠B，
∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=90°-∠B-∠B=90°-2∠B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．www.21-cn-jy.com
38．如图所示．在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，∠B=66°，∠C=54°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．
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【答案】（1）30°；（2）60°
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质求出∠BAD的度数；
（2）根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=30°；
（2）∵∠CAD=∠BAC=30°，又DE⊥AC，
∴在Rt△ADE中，∠EAD=30°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=60°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
39．（1）如图1，在△ABC纸片
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，点D在边AC上，点E在边AB上，沿DE折叠，当点A落在CD上时，∠DAE与∠1之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；
（2）若折成图2时，即点A落在△ABC内时，请找出∠DAE与∠1，∠2之间的关系式并说明理由．
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【答案】(1)
∠1=2∠DAE．理由见解析；（2）∠1+∠2=2∠EAD，理由见解析．
【分析】
（1）如图1中，延长BE交CD于R．利用翻折不变以及三角形外角的性质解决问题即可．
（2）如图2中，延长BE交CD的延长线于T，连接AT．利用翻折不变性以及三角形外角的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）结论：∠1=2∠DAE．
理由：如图1中，延长BE交CD于R．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由翻折可知，∠EAD=∠R，
∵∠1=∠EAD+∠R，
∴∠1=2∠EAD．
（2）结论：∠1+∠2=2∠EAD．
理由：如图2中，延长BE交CD的延长线于T，连接AT．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由翻折可知，∠EAD=∠ETD，
∵∠1=∠EAT+∠ETA，∠2=∠DAT+∠DTA，
∴∠1+∠2=∠EAT+∠ETA+∠DAT+∠DTA=∠EAD+∠ETD=2∠EAD．
【点睛】
此题考查了翻折不变性和三角形的外角性质，难度不大，但要注意图形特点，找到隐含条件．
40．如图，已知AB∥DE，求证：∠A＋∠ACD＋∠D＝360°．（请你至少使用两种方法证明）
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【答案】证明见解析．
【分析】
根据平行线的性质解答即可．
【详解】
证明：方法一，如图1，过点C作CF∥AB，
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∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠A+∠ACF=180°，∠D+∠DCF=180°，
∴∠A+∠ACF+∠DCF+∠D=360°，
即∠A+∠ACD+∠D=360°；
方法二，如图2，连接AD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB∥DE，
∴∠BAD+∠ADE=180°，
∵∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠CAD+∠ACD+∠ADE+∠ADC=360°，
即∠A+∠ACD+∠D=360°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
41．如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变，求出∠C的度数．
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【答案】不变，45°
【分析】
根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
【详解】
解：∵∠ABY＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴∠4＝∠ABY＝（90°+∠OAB）＝45°+∠OAB，
即∠4＝45°+∠1，
又∵∠4＝∠C+∠1，
∴∠C＝45°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题目要注意：①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
42．在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．
已知：如图，．
求证：_____________________．
证明：如图，在边上取点，过点作交于点，过点作交于点．
∵，
∴，（依据：_____________________）．
∵，
∴．
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【答案】；两直线平行，同位角相等；见解析．
【分析】
结合平行线的性质进行推理证明．
【详解】
解：已知：如图，．
求证：．
证明：在边上取点，过点作交于点，过点作交于点．
∵，
∴，（依据：两直线平行，同位角相等）．
∵，
∴，．
∴
∵
∴
即三角形内角和等于180°
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质正确添加辅助线进行推理论证是解题关键．
43．如图，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．
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【答案】46°
【分析】
先根据补角的定义求出∠EDF的度数，再由三角形外角的性质求出∠AFC的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．21
cnjy
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【详解】
解：∵∠BDF＝130°，
∴∠EDF＝180°﹣130°＝50°．
∵∠E＝30°，
∴∠AFC＝30°+50°＝80°．
∵∠C＝54°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠AFC＝180°﹣54°﹣80°＝46°．
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
44．如图，在中，于点，
交于点，于点，交
于点．
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（1）求证：；
（2）若，，求
的度数．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【分析】
（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：，
，
，，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
45．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=22°，∠C=78°，求∠EAD的度数．
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【答案】28°
【分析】
由已知的两个角可在△ABC中求出∠BAC的度
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数，由AD⊥BC可求得∠BAD的度数，
根据AE是角平分线，可求得∠BAE的度数，因而可求得结果．
【详解】
∵∠B=22°，∠C=78°
∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°
∵AE是△ABC的角平分线
∴∠BAE=∠BAC=40°
又∵AD⊥BC
∴∠BDA=90°
∴∠BAD=90°﹣∠B=68°
∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=68°﹣40°=28°
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线的概念及高的概念，这里关键是求出∠
BAC的度数．
46．如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．
（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝
（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝
°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝
°．
∴AD∥BC（
）．
（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）∠ACB＝64°
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠CAD＝2∠2，利用等式的性质易得∠BAD＝116°，由平行线的判定定理可得结论；
（2）由垂直的定义可得∠AEB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝90°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，利用角平分线的性质和三角形的内角和定理可得结果．
【详解】
解：（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，
∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定等知识，熟知相关定义、定理是解题关键．
47．将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
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【答案】（1）平行，理由见解析；（2）∠1+∠2＝2∠B，理由见解析
【分析】
（1）AB与DF平行．根据翻折可得出∠DFC＝∠C，结合∠B＝∠C即可得出∠B＝∠DFC，从而证出AB∥DF；
（2）连接GC，由翻折可得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)出∠DGE＝∠ACB，再根据三角形外角的性质得出∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，通过角的运算即可得出∠1+∠2＝2∠B．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：（1）AB与DF平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝2∠B．
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【点睛】
本题考查了平行线的判定以及翻折
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得性质，解题的关键是：（1）找出∠B=∠DFC；（2）根据三角形外角的性质利用角的计算求出∠1+∠2=2∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角是关键.
48．在中，与的平分线相交于点．
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（1）如图①，如果，求的度数；
（2）如图②，作外角，的角平分线，且交于点，试探索，之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段，交于点若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）的度数是90°或60°或120°
【分析】
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q=90°∠A，求出∠E=∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【详解】
（1）∵，
∴，
又∵点是和的平分线的交点，
∴，
∴；
（2）∵外角，的角平分线交于点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴
，
∴
；
（3）延长BC至F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=∠ABC+∠MBC
=（∠ABC+∠A+∠ACB）
=90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
49．如图，在中，平分，．若，，求的度数．
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【答案】20°
【分析】
由题意，先求出，然后得到，即可求出答案．
【详解】
解：如图：
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平分
于点
．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及余角的定义，解题的关键是正确的求出角的度数进行计算．2-1-c-n-j-y
50．如图，，，与交于点，点在线段上，，，．
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（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据，得出，然后利用SAS即可证明三角形全等；
（2）由（1）可知，由题意知，即可得出
的度数，然后由求值即可；
【详解】
解：（1）证明：，，
．
在和中，
．
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（2），，
，
．
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的内角和，正确理解知识点是解题的关键；
51．如图，中，为上一点，，的角平分线交于点．
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（1）求证：；
（2）为上一点，当平分且时，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）150°．
【分析】
（1）由角平分线定义得∠ABE=∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF=∠AFE；
（2）由角平分线定义得∠AFE=∠GFE，进而得∠AEF=∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．【版权所有：21教育】
【详解】
解：（1）平分，
，
（2）平分，
∵
．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决问题．
52．如图，在中，P是，的角平分线的交点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若，求的度数；
（2）有位同学在解答（1）后得出的规律，你认为正确吗？请说明理由．
【答案】（1）130°；（2）正确，理由见解析．
【分析】
(1)
在△ABC内，由三角形内角和定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可求得∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义可求得∠PBC+∠PCB，在△PBC中由三角形内角和可求得∠BPC；
(2)
由(1)
的过程可证明其正确.
【详解】
解：（1），得到∠ABC+∠ACB=100°
，
BP，CP分别平分，，
，
．
（2）我认为正确．理由如下：
BP，CP分别平分，，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握三角形内角和为180°是解题的关键，注意整体思想的应用.
53．如图，已知，，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）先求出∠ACB＝∠ECD，再利用“ASA”证明△ABC≌△EDC，然后根据“全等三角形对应边相等”证得结论；21
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（2）根据△ABC≌△EDC，可得，再结合三角形内角和等于180°，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，即
在和中
∴（ASA），
∴
（2）解：∵
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，求出相等的角∠ACB＝∠ECD是解题的关键．
54．如图，平分，平分．试确定和的数量关系．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据角平分线定义可得，，根据，即可求得∠D与∠A的数量关系．
【详解】
解：在中，，
在中，，
∵，，
∴
，
∴．
【点睛】
本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质、定理是解题的关键．
55．如图，在五边形ABCDE中，∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数
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【答案】∠P=25°．
【分析】
延长ED，BC相交于点G．由四边形内角和可求∠G=50°，由三角形外角性质可求∠P度数．
【详解】
解：延长ED，BC相交于点G．
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在四边形ABGE中，
∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E）=50°，
∴∠P=∠FCD-∠CDP=（∠DCB-∠CDG）
=∠G=×50°=25°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线性质，外角的性质，熟练运用外角的性质是本题的关键．
56．如图所示，在中，，平分交于点，平分交于点.
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（1）求的度数.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据角平分线性质可得∠PAB+∠PBA＝45°，即可解题；
（2）由(1)可知，可得，然后根据三角形外角性质得出，即可求解；
【详解】
解：（1）∵且，
∴，
∵、分别平分、，
∴
∵
∴
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（2）∵，
∴
∵，且
∴
∵分别平分，
∴
即
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及推论,角平分线的定义及三角形外角的性质,难度适中.
57．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落到点A′，若∠C＝125°，∠A＝20°，求∠BD
A′的度数.www-2-1-cnjy-com
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【答案】110°
【分析】
利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求出∠BDE，∠A′DE，即可解决问题．
【详解】
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝20°，∠C＝125°，
∴∠B＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝35°，∠BDE＋∠B＝180°，
∴∠BDE＝180?∠B＝180°?35°＝145°，
∵△ADE沿DE折叠成△A′DE，
∴∠A′DE＝∠ADE＝35°，
∴∠BDA′＝∠BDE?∠A′DE＝145°?35°＝110°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，翻折变换的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质，属于中考常考题型．
58．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=
，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【详解】
解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF=，
∵，
∴，
∴；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=（38°+42°）=40°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
59．已知：如图，，，．
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（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】
（1）先证明∠BAC=∠DAE，即可根据SAS证得结论；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据全等三角形的性质得到答案．
【详解】
（1）∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC．
即∠BAC=∠DAE．
在△ABC和△ADE中
,
∴；
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
60．中，是的角平分线，是的高．
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（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，试说明、、的数量关系．
【答案】（1）11°；（2）∠DAE＝（∠C-∠B）
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理，可求
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC-∠EAC，即可得出；
（2）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC-∠EAC，即可得出；
【详解】
解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC＝39°，
∵AE是BC边上的高，
在直角△AEC中，
∵∠EAC＝90°-∠C＝90°﹣62°＝28°，
∴∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝39°﹣28°＝11°；
（2）∵∠BAC＝180°-∠B-∠C，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC＝90°-（∠B+∠C），
∵AE是BC边上的高，
在直角△AEC中，
∵∠EAC＝90°-∠C，
∴∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝90°-（∠B+∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．
61．如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，∠ABC＝∠ACE．
（1）求证：AB//CE；
（2）猜想：若∠A＝50°，求∠E的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）25°
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠ECD=∠ACE，得到∠ABC=∠ECD，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算，得到答案．
【详解】
（1）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACE，
∴∠ABC＝∠ECD，
∴AB∥CE；
（2）∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝25°．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角性质及平行线的判定、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
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精品试卷·第
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