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第五讲
实数
【提升训练】
一、单选题
1．定义运算：m☆n＝．例如：4☆2＝．若关于x的方程5☆x＝6－4x，则代数式3－2x＋10x2的值为（
）
A．－11
B．10
C．11
D．17
【答案】D
【分析】
根据题目中的新定义运算法则可得，5☆x=，即可得＝6－4x，整理为，再把3－2x＋10x2变形为，代入求值即可．
【详解】
根据题目中的新定义运算法则可得，
5☆x=，
∴＝6－4x，
∴，
∴3－2x＋10x2=
=3+2×7=17．
故选D．
【点睛】
本题考查了新定义运算及求代数式的值，正确理解题目中所给的新定义运算法则是解决问题的关键．
2．下列实数中，分数是（
）
A．π
B．
C．
D．－1.2
【答案】D
【分析】
根据实数的分类，算术平方根的定义，立方根的定义计算后判断即可
【详解】
∵π是无理数，
∴A项不符合题意；
∵是无理数，
∴B项不符合题意；
∵是无理数，
∴C项不符合题意；
∵－1.2是分数，
∴D项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了实数的分类，算术平方根，立方根，无理数，熟练掌握实数的分类，并能准确判断是解题关键．
3．如图，A、B、C、D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是（
）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【答案】C
【分析】
先估算出﹣1的范围，再根据点的位置得出即可．
【详解】
解：∵32＝9，3.52＝12.25，
∴3＜＜3.5，
∴2＜﹣1＜2.5，
∴四个点中最适合表示的是点C，
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小和数轴，能估算出的范围是解此题的关键．
4．已知实数，则a在数轴上对应的点可能是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】C
【分析】
判断出﹣1的取值范围，即可推得它在数轴上对应的点可能是哪个．
【详解】
解：∵2﹣1＜﹣1＜3﹣1，
∴1＜﹣1＜2，
∴﹣1在数轴上对应的点可能是点C．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．21cnjy.com
5．定义运算：若am＝b
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（ ）21·世纪
教育网
A．﹣1
B．2
C．1
D．44
【答案】A
【分析】
先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log5125=3，log381=4，再计算出所求式子的值即可．
【详解】
解：∵53=125，34=81，
∴log5125=3，log381=4，
∴log5125﹣log381，
＝3﹣4，
＝﹣1，
故选：A．
【点睛】
本题考查新定义对数函数运算，仔细阅
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)读题目中的定义，找出新定义运算的实质，掌握新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理解新定义就是乘方的逆运算．
6．如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间（ ）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0到1之间
B．1到2之间
C．2到3之间
D．3到4之间
【答案】C
【分析】
求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【详解】
解：∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=，
∴AC=AB=，
∴OC=，
∴点C的横坐标为：，
∵3＜＜4，
∴2＜＜3，
∴点C横坐标的取值范围是2到3之间．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长．
7．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则；④若，则或．其中正确结论的序号是（
）
A．②④
B．②③
C．①④
D．①③
【答案】D
【分析】
利用题中的新定义计算分别计算四个结论，得到结果，即可做出判断．
【详解】
解：①，故原结论正确；
②∵，
∴，故原结论不正确；
③，
∴，
，
∵，
∴若，则，故原结论正确；
④∵，
∴，
∴或，故原结论不正确．
故选：D
【点睛】
此题考查了新定义运算，整式的混合运算等知识，熟练掌握新定义并根据题意灵活应用是解本题的关键．
8．四则运算符号有+，-，×，÷，现引入两个新运算符号∨，∧，合称“六则运算”．的运算结果是和中较大的数，的运算结果是和中较小的数．下列等式不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分和两种情况逐一判断各个选项即可．
【详解】
解：A.
当时，原式；当时，原式，此选项成立，不符合题意；
B.
当时，，原式；
当时，，原式，此选项成立，不符合题意；
C.反例，当，时，即
，此选项不成立，符合题意；
D.
当时，，此时；
当时，，此时，此选项成立，不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题是新定义题，掌握四则运算法则是解题的关键．
9．若实数p，q，m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则绝对值最小的数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．p
B．q
C．m
D．n
【答案】C
【分析】
根据，并结合数轴可知原点在q和m之间，且离m点最近，即可求解．
【详解】
解：∵
结合数轴可得：，
即原点在q和m之间，且离m点最近，
∴绝对值最小的数是m，
故选：C．
【点睛】
本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．
10．已知T1=，T2=，T3=，，Tn=，其中为正整数．设Sn=T1+T2+T3++Tn，则S2021值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据数字间的规律探索列式计算
【详解】
解：由题意可得：T1=，
T2=，
T3=
∴Tn=
∴T2021=
∴S2021=T1+T2+T3++T2021
=
=
=
=
=
=
=
故选：A．
【点睛】
本题考查实数数字类的规律探索，探索规律，准确计算是解题关键．
11．已知实数满足，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵
∴，，
∴，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和有理数的计算，解题关键是理解非负数的性质，求出字母的值．
12．已知一列数a1，a2，a3…
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)an中，a1＝0，a2＝2a1+1，a3＝2a2+1，…，an+1＝2an+1，则a2021﹣a2020的个位数字是（ ）21教育名师原创作品
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【分析】
根据题意，进行一定数量的计算，从中寻找数字的循环规律，确定计算结果．
【详解】
解：由题意可得，
…，
∴
…，
由上可得，从第二式子开始，个位数字依次以2，4，8，6循环出现，
∵（2021﹣2）÷4＝2019÷4＝504…3，
∴的个位数字是8，
故选：A．
【点睛】
本题考查了数列中的数字规律，根据已知，先进行适当的计算，从中寻找规律是解题的关键．
13．下列计算中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据实数的相关运算和性质逐项判断即可．
【详解】
解：A.
，原选项错误，不符合题意；
B.
，原选项错误，不符合题意；
C.
，原选项错误，不符合题意；
D.
，原选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了立方根、平方根和实数的性质，解题关键是熟练掌握实数的相关运算，准确进行判断．
14．设实数a，b，c，满足，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据ac＜0可知，a，c异号，再根据a＞b＞c，以及，即可确定a，?b，c在数轴上的位置，而|x?a|＋|x＋b|＋|x?c|表示x到a，?b，c三点的距离的和，根据数轴即可确定．
【详解】
解：∵ac＜0，
∴a，c异号，
∵a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
又∵，
∴b＞0，
∴
a＞b＞0＞c＞-b
又∵|x?a|＋|x＋b|＋|x?c|表示x到a，?b，c三点的距离的和，
当x在c时，|x?a|＋|x＋b|＋|x?c|最小，
最小值是a与?b之间的距离，即a+b
故选：C．
【点睛】
本题考查了绝对值函数的最值问题，解决的关键是根据条件确定a，?b，c之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题，有一定难度．
15．下列各数中最大的是（
）
A．0.78
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先把所给的每个数都化成小数；然后根据实数大小比较的方法判断即可．
【详解】
解：，，，
，
，
所给的数中最大的是．
答案：．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【版权所有：21教育】
16．[x]表示不大于x的最大整数，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)例如[2.1]＝2，[－0.5]＝－1，则下列说法正确的是
（ ）
A．[2x]＝2[x]
B．[－x]＝－[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y]
D．设函数y＝x－[x]，则0≤y＜1
【答案】D
【分析】
运用举反例法证明其错误，计算判断．
【详解】
当x=0.5时，[2x]＝[2×0.5]=[1]=1，2[x]=2×[0.5]=2×0=0，不相等，
∴A的说法不正确；
当x=
-1.5时，[－x]＝[1.5]=1，－[x]=-
[-1.5]=-（-2）=2，不相等，
∴B的说法不正确；
当x=
1.5，y=2.7时，[x＋y]=
[1.5＋2.7=
[4.2]=4，[x]＋[y]=
[1.5]+
[2.7]=1+2=3，
∴[x＋y]＞[x]＋[y]，
∴C的说法不正确；
[x]表示不大于x的最大整数，∴x－[x]表示的x的小数部分，∴D正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了最大整数的新定义问题，准确理解新定义是解题的关键．
17．在﹣，﹣，0，1四个数中，最大的数是（ ）
A．1
B．0
C．﹣
D．﹣
【答案】A
【分析】
根据实数大小比较判断即可；
【详解】
∵1＞0＞﹣＞﹣，
∴最大的数是1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了实数比大小，准确分析计算是解题的关键．
18．在下列实数中，无理数是（ ）
A．3
B．
C．0
D．﹣
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义判断即可．
【详解】
∵3是有理数，
∴选项A不符合题意，
∵是无理数，
∴选项B符合题意，
∵0是有理数，
∴选项C不符合题意，
∵﹣是有理数，
∴选项D不符合题意，
故选B．
【点睛】
本题考查了有理数，无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
19．把所有正奇数从小到
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)大排序，按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…现有等式Am＝(i，j)表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝(2，3)，则A89＝（ ）
A．(6，7)
B．(7，8)
C．(7，9)
D．(6，9)
【答案】C
【分析】
先计算出89是第45个数，然后判断第45个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可；
【详解】
∵89是第个数，
设89在第组，则
1+3+5+7+...+(2n-1)≥45，
当时，1+3+5+7+9+11=36；
当时，1+3+5+7+9+11+13=49；
故第45个数在第7组；；
第49个数为：2×49-1=97，
第7组的第一个数为：2×37-1=73，
第7组一共有：2×7-1=13个数，
则89是个数，
故A89
=(7，9)，
故选：C．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题；
20．数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于的是（ ）
A．点C和点D
B．点B和点C
C．点A和点C
D．点A和点B
【答案】A
【分析】
先估算出的范围，结合数轴可得答案．
【详解】
解：∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，
∴两点之间的距离最接近于的是点C和点D．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
21．如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和，则点C对应的实数是（
）
A．1﹣
B．﹣2
C．﹣
D．2﹣
【答案】D
【分析】
根据数轴上两点之间距离的计算方法，以及中心对称的意义，列方程求解即可．
【详解】
解：∵A、B两点对应的实数分别是1和，
∴AB＝﹣1，
又∵点C与点B关于点A对称，
∴AC＝AB，
设点C所表示的数为c，则AC＝1﹣c，
∴1﹣c＝﹣1，
∴c＝2﹣，
故选：D．
【点睛】
本题考查数轴表示数的意义和方法，理解中心对称的性质和数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键．
22．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
按照题目给出的信息进行操作计算即可．
【详解】
解：，
∴对121只需进行3次操作后变为1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根的运算和无理数的估算，解决本题的关键是明确[x]表示不大于x的最大整数．
23．在实数中，最小的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先化简各数，再根据实数比较大小即可．
【详解】
解：∵
，，
∴最大，
∵，
∴＞，
∵＜2，
∴＞，
故最小的数是，
故选：C．
【点睛】
本题考查实数的比较大小，解题关键是化简各数，准确的按照实数比较大小的方法进行比较．
24．计算的结果是（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】D
【分析】
根据平方根的性质、零指数幂、负整数指数幂进行计算即可．
【详解】
解：原式＝
＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根的性质、零指数幂、负整数指数幂，属于基础题，熟练掌握相关概念及性质是解决本题的关键．
25．下列说法其中错误的个数（
）
①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】
根据实数与数轴的关系，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义去判断即可．
【详解】
解：①实数和数轴上的点是一一对应的，原说法正确；
②无理数不一定是开方开不尽的数，原说法错误；
③16的平方根是，用式子表示应该是，原说法错误；
④因为负数有立方根，原说法错误；
⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．原说法正确．
∴错误的说法有3个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴与实数的关系，无理数，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义，熟记关系和各自的定义是解题的关键．
26．自然数a，b，c，d满足＝1，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
只有a、b、c、d自然数都相等的时候，等式才成立，可得：a＝b＝c＝d＝2，即可求解．
【详解】
解:＝1，只有a、b、c、d自然数都相等的时候，等式才成立，
∴a＝b＝c＝d＝2；
．
故选：D．
【点睛】
本题考查新定义下的实数运算，熟练掌握“当且仅当a=b=c=d=2时，”是解题关键．
27．下列说法正确的是（
）
A．是有理数
B．5的平方根是
C．2＜＜3
D．数轴上不存在表示的点
【答案】C
【分析】
根据无理数的意义，开平方，被开方数越大算术平方根越大，实数与数轴的关系，可得答案．
【详解】
解：A、是无理数，故A错误；
B、5的平方根是，故B错误；
C、＜＜，∴2＜＜3，故C正确；
D、数轴上存在表示的点，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数的意义、实数与数轴的关系利用被开方数越大算术平方根越大是解题关键．
28．在下列数中，是无理数的是（ ）
A．2.1313313331…（两个1之间依次多一个3）
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据无理数的定义判断即可．
【详解】
解：A.
2.1313313331…（两个1之间依次多一个3）是无理数，符合题意；
B.
是有限小数，不是无理数，不符合题意；
C.
是分数，不是无理数，不符合题意；
D.
，是整数，不是无理数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，解题关键是熟记无理数是无限不循环小数．
29．如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近﹣的是（ ）
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
【答案】B
【分析】
根据无理数的估值方法进行判断即可；
【详解】
∵≈-3.16，
∴
点N最接近，
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握知识点是解题的关键；
30．如图，在数轴上作长、宽分别为2和1的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长方形，以原点为圆心，长方形对角线的长为半径画弧，与数轴相交于点A．若点A对应的数字为a，则下列说法正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．a>-2.3
B．a<-2.3
C．a=-2.3
D．无法判断
【答案】A
【分析】
先利用勾股定理求出长方形对角线OB的长，即为OA的长，然后根据在原点的左边求出数轴上的点所对应的实数为，再根据判断出即可得答案．
【详解】
解：如图，连接OB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
长方形对角线的长OB，
，
点在原点的左边，
点所对应的实数为，
又∵，
∴，
∴，即．
故选A．
【点睛】
本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理、比较无理数大小，求出是解题的关键．
31．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可．
【详解】
解：当时，，，不合题意；
当时，，当时，，不合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．
32．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．5
D．
【答案】B
【分析】
根据已知进行计算，并判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】
解：∵25的算术平方根是5，5不是无理数，
∴再取5的平方根，而5的平方根为，是无理数，
∴输出值y＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查实数分类及计算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．
33．从，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中，且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有，则S的最大值（ ）
A．10
B．6
C．5
D．4
【答案】C
【分析】
找出的值，结合对于任意的和都有，即可得出的最大值．
【详解】
∵，，，，，，
∴共有5个不同的值，
又∵对于任意的和都有，
∴的最大值为5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，找出共有几个不同的值是解题的关键．
34．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中
①若abc0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；
④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc0，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④
【答案】D
【分析】
①根据乘法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；
②根据加法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；
③根据两点距离公式可判断；
④分情况讨论：B、C都在点O的右侧；B、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C都在点O的左侧；B、C在点O的两侧且点A在点C的右侧；B、C在点O的两侧且点A在O、C之间（不与O重合）；
B、C在点O的两侧且点A在O、B之间（不与O重合）；
B、C在点O的两侧且点A在B右侧时；逐一画出图形进行判断，据此可解．
【详解】
解：①若abc0，则a，b，c不可能都小于0，至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故①正确；21教育网
②若a+b+c＝0，因为a，b，c不能都为0，则a，b，c中至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故②正确；21·cn·jy·com
③若a+c＝2b，则a-
b＝b-
c，点B为线段AC的中点，故③正确；
④如图1,
B、C都在点O的右侧,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OB﹣OC＝BC，
AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc0，
如图2,
B、C都在点O的左侧,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OB﹣OC＝BC，
AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc0，
如图3,
B、C在点O的两侧时，若点A在点C的右侧，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图4,
B、C在点O的两侧时，若点A在O、C之间（不与O重合），
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图5,
B、C在点O的两侧时，若点A在O、B之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图6,
B、C在点O的两侧时，若点A在B右侧时，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
综上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则B、C在点O的同一侧，所以b和c同号，即
bc0，故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴的有关知识及实数的运算法则，掌握运算法则及数形结合思想是解题关键．
35．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（ ）
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
【答案】D
【分析】
分①若原点的位置为A点时，②若原点的位置
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为B点或C点时，③若原点的位置为D点时，结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项．
【详解】
解：根据数轴可知，
①若原点的位置为A点时，x＞0，则，，，
∴，舍去；
②若原点的位置为B点或C点时，，
则或，，
∴，舍去；
③若原点的位置为D点时，
则
，
∴，符合条件，
∴最有可能是原点的是D点，
故选：D．
【点睛】
本题考查实数与数轴，有理数的加法法则，化简绝对值．熟记有理数的加法法则是解题关键．
36．观察下列等式：
，
，
，
…
将以上等式相加得到
．
用上述方法计算：其结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由上述规律可知，
，，，同理
，然后将各式相加后即可求解．
【详解】
由题意可知：
=．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是实数的计算规律，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)此题为积化和差题型，有一定的难度，弄明白了计算规律就容易求解．能够理解题意，看懂运算规律，并能运用规律求解是前提，解决此类题型的关键是会裂项相消．
37．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．②④
C．①④
D．①③
【答案】D
【分析】
根据运算规则即可求解．
【详解】
解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．【出处：21教育名师】
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
38．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】
根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断．
【详解】
解：①∵6＝1×6＝2×3，
∴F（6）＝，故本小题正确；
②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，
∴F（16）＝＝1，故本小题正确；
③∵n2﹣n＝n（n﹣1），
∴F（n2﹣n）＝＝1﹣，故本小题正确；
④∵n是一个完全平方数，
∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，
∴F（n）＝1，故本小题正确．
综上所述，说法正确的个数是4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键．
39．求1＋2＋22＋23＋…＋220
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)20的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由题意可知S＝
1＋2020
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S的值．
【详解】
解：设S＝
1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①
则2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②
由②－①得：
2019S＝20202021－1
∴．
故答案为：C．
【点晴】
本题主要考查探索数与式的规律，有理数的加减混合运算．
40．有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以，再加3”的运算.现在输入一个，通过第1次运算的结果为，再把输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果（
）
A．越来越接近4
B．越来越接近于－2
C．越来越接近2
D．不会越来越接近于一个固定的数
【答案】C
【分析】
先根据算法得出，再分别求出的运算式子，然后归纳类推出一般规律，最后利用有理数乘方的性质即可得．
【详解】
根据算法得：（且为整数）
变形为
则
归纳类推得：
由题意得：
则
即
当n无限大时，无限趋近于0
则
即当运算次数不断增加时，运算结果越来越接近2
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方、与实数运算相关的规律型问题，理解新算法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
二、填空题
41．如图所示的网格是正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形网格，A，B，C，D
是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC
______
S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】＞
【分析】
在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．
【详解】
=3，
，
故填：＞．
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积．
42．比较大小：______－3，______（填“”或“”）
【答案】>
<
【分析】
把-3改写成，再与进行比较；根据，分别计算出结果再进行比较即可．
【详解】
解：∵-3=，-25>-27，
∴>-3；
∵，
∴<
∴<
故答案为：>，<．
【点睛】
本题考查了实数大小的比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2·1·c·n·j·y
43．观察下列等式：，，，…．按照此规律，则第个式子是____________．
【答案】
【分析】
根据等式规律，得到结论即可．
【详解】
解：，
，
，
…．
不难发现，每一项的分母都是6，分子都是n
，
∴．
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合运算，以及数字的变化规律，找准规律是关键．
44．计算：_______．
【答案】
【分析】
根据零指数幂，绝对值计算即可．
【详解】
解：原式＝1﹣2
＝﹣1.
故答案为：﹣1.
【点睛】
本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，熟练零指数幂的条件和计算结果，灵活进行绝对值的化简是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
45．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】，
【分析】
根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．
【详解】
解：∵正方形的面积为5，
∴圆的半径为，
∴点A表示的数为，点Ｂ表示的数为．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键．
三、解答题
46．阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中，公差为．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为__________，第5项是__________．
（2）如果一个数列，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：
．
所以
，
，
，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：．
（3）是不是等差数列的项？如果是，是第几项？
（4）如果一个数列是等差数列，且公差为d，前n项的和记为，请用含，n，d的代数式表示，_________．
【答案】（1）5
；25；（2）；（3）是；第1346项；（4）
【分析】
（1）根据题目中的材料，可以得到等差数列5，10，15，…的公差d和第5项的值；
（2）根据题目中推导，可以得到等差数列的通项公式；
（3）根据题意和题目中的数据，利用（2）中的结论，可以得到等差数列…，的公差和通项公式，从而可以求得4040是等差数列…，的第几项．
（4）把分别相加，然后即可得到答案．
【详解】
解：（1）由题意可得，
d=1510=5，
第5项是：15+5+5=25，
故答案为：5，25；
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：
a2a1=d，a3a2=d，a4a3=d，…，anan-1=d，…．
∴a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，
……
由此，该等差数列的通项公式为：an=a1+（n1）d，
故答案为：n1；
（3）4040是等差数列…的第1346项，
理由：等差数列…，
∴d=，
∴an=，
令，
解得，n=1346，
即4040是等差数列，…的第1346项．
（4）由题意，
∵是等差数列，且公差为d，前n项的和记为，
∴，
∴
=
=
=；
故答案为：．
【点睛】
本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，明确什么是等差数列，利用等差数列的知识解答．21
cnjy
com
47．定义；任意两个数a、b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
（1）若，直接写出a、b的“如意数”_______；
（2）若，求a、b的“如意数”c，并比较b与c的大小；
（3）已知，且a、b的“如意数”，则_______（用含x的式子表示）．
【答案】（1）5；（2）c=1-x2，b≥c；（3）-x3-3x2+3
【分析】
（1）将已知a、b的值直接代入c=a+b-ab即可；
（2）将已知a、b的值直接代入c=a+b-ab，利用作差法比较b、c的大小；
（3）将c、a的值代入c=a+b-ab即可求b．
【详解】
解：（1）将a=2，b=-3代入c=a+b-ab，
∴c=2-3+6=5；
（2）将a=2，b=x2+1代入c=a+b-ab，
∴c=2+x2+1-2（x2+1）=1-x2，
∵b-c=x2+1-1+x2=2x2≥0，
∴b≥c；
（3）由c=a+b-ab，a=2，
∴x3+3x2-1=2+b-2b=2-b，
∴b=-x3-3x2+3；
故答案为：-x3-3x2+3．
【点睛】
本题考查整式的运算；熟练掌握整式的加法与减法运算法则，代数式的求值方法是解题关键．
48．计算：．
【答案】
【分析】
先根据零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，绝对值求出每一部分的值，再代入求出即可．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，绝对值的应用，能正确根据运算法则进行计算是解题的关键．【来源：21cnj
y.co
m】
49．先阅读下面材科，再完成任务：
材料一：我们可以将任意三位数记为，（其中分别表示该数的百位数字，十位数字和个位数字，且）．显然．21
cnjy
com
材料二：若一个三位数的百位数字，十位数字和个位数字均不为，则称之为原始数，比如就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出个新的原始数，比如由可以产生出这个新原始数，将这个数相加，得到的和1332称为由原始数生成的终止数．
任务：
（1）分别求出由下列两个原始数生成的终止数：；
（2）若由一个原始数生成的终止数为求满足条件的所有原始数．
【答案】（1）由原始数生成的终止数为；由原始数生成的终止数为；（2）．
【分析】
先写出每个数产生的原始数，相加得到它们的终止数．
终止数为的原始数一定是个三位数，可根据各个原始数的和与终止数相等，得到原始数各个数位的数字和，然后写出满足条件的所有原始数．
【详解】
解：由可以产生出这个新原始数，
将这个数相加，得
所以由原始数生成的终止数为；
由可以产生出这个新原始数，
将这个数相加，得
所以由原始数生成的终止数为．
若原始数为
可以产生出的个新原始数，它们是
将它们相加：因为终止数为
所以，
所以．
所以满足条件的原始数有：．
【点睛】
本题考查了数的十进制，写原始数，算终止数，属于新定义类问题．掌握原始数的得到规律，找到各个数位间的数字关系是解决本题的关键．
50．阅读理解：对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：．
（1）填空：__________
（2）求证：当能被3整除时，一定能被6整除：
【答案】（1）162；（2）见解析
【分析】
（1）直接利用材料提供的方法计算即可得出结论；
（2）先判断出是3的倍数，再表示出，，最后判断即可得出结论．
【详解】
解：（1）根据题意得，，
故答案为：162；
（2）证明：设两位数为，是正整数），三位数为，，是正整数），
能被3整除，
是3的倍数，
根据题意，
，
，是正整数，
是6的倍数，
是3的倍数，
是6的倍数，
是6的倍数，
即一定能被6整除．
【点睛】
此题主要考查了数的整除问题，理解材料提供的计算方法是解本题的关键．
51．计算：．
【答案】
【分析】
直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
52．已知七个实数，，4，5.3，，0，，其中三个数已在数轴上分别用点A、B、C表示．
（1）点A表示数_______，点B表示数______，点C表示数______．
（2）在数轴上精确地表示出剩下的4个数（提示：注意观察正方形的面积），并将轴上精确地表示所有的数用“＜”连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴______<_______<_______<_______<_______<_______<_______<
（3）将上列各数分别填入相应括号的横线上：
整数：{___________________}
分数：{___________________}
无理数：{___________________}
【答案】（1）0，π，5.3；（2）数轴表示见解析，；（3）见解析
【分析】
（1）根据各点在数轴上的位置，结合数的大小填写即可；
（2）结合正方形的边长，在数轴上表示其他数，再按照从左往右的顺序排列各数；
（3）根据实数的分类填写．
【详解】
解：（1）由图可知：
点A表示数是0，点B表示数是π，点C表示数是5.3；
（2）如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
用“＜”连接为：；
（3）整数：{4，，0，...}
分数：{，5.3，...}
无理数：{，，...}
【点睛】
本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，实数的分类，实数的大小比较，知识点较多，比较基础，要熟练掌握．
53．阅读下列材料解决问题：
材料一：完全平方数是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数．例如，是一个完全平方数．
材料二：对一个四位数，我们可以记为，即，若一个四位数的千位数字与百位数字相同，十位与个位数字相同，记为，我们称之为和谐四位数．
（1）已知是使成为完全平方数的最小正整数，则 ；
（2）试证明任意一个和谐四位数都是的倍数；
（3）若有和谐四位数是一个完全平方数，请求出符合条件的数．
【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）7744
【分析】
（1）对12进行分解，即可得到n为3时，12n成为完全平方数的最小正整数；
（2）将用整式表示出来，再对整式进行因式分解即可；
（3）由题意易知100x+y要被11整除，且，可得x+
y=11，再对x、y逐一进行检验即可．
【详解】
解：（1）∵n是使12n成为完全平方数的最小正整数，
12=2×2×3，
∴n=3．
（2）∵，
∴任意一个和谐四位数都是的倍数．
（3）∵四位数是一个完全平方数，是一个完全平方数，
能被整除，
．
能被整除，而，
只有，经检验，
故这个四位数为．
【点睛】
考查了完全平方数以及倍数，解题的关键熟练掌握完全平方数、“和谐四位数”的定义．
54．定义新运算：对于任意，，都有，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如：
（1）求的值．
（2）化简．
【答案】（1）27；（2）
【分析】
（1）先根据新定义运算的运算顺序运算即可；
（2）先用乘法分配律算乘法，再合并同类项即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴
=
=27；
（2）
=
=．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，理解新定义运算顺序并正确运用运算法则进行计算是解此题的关键．
55．计算：．
【答案】
【分析】
分别计算乘方、零指数幂、立方根和化简绝对值，再计算乘法、最后计算加法和减法．
【详解】
解：原式=
=
=．
【点睛】
本题考查实数的混合运算．主要考查乘方、零指数幂、立方根和化简绝对值，能分别正确计算是解题关键．
56．（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）-2x2+2xy；（2）
【分析】
（1）先利用完全平方公式、多项式乘多项式运算法则展开化简，再合并同类项计算即可；
（2）分别进行负整数指数幂运算、有理数的乘方运算、零指数幂运算、绝对值运算即可求解．
【详解】
解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
【点睛】
本题主要考查整式的混合运算、实数的混合运算
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，涉及完全平方公式、多项式乘多项式、负整数指数幂、零指数幂、绝对值性质等知识点，熟记公式，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键．
57．阅读材科，完成以下相应问题：
材料一：一个整数能被3整除的条件是其各个数位上的数字之和能被3整除．一个整数能被6整除的条件是该数字是能被3整除的偶数．www-2-1-cnjy-com
材料二：将一个四位数（其中均不相同且均不为零）进行千位与百位数字互换，得到，再将的百位与十位数字互换得到．我们称数字为数字的“连续顺位置换数”．如，则，进而．
（1）当时，_______；当______时，是能被6整除的最大的“连续顺位置换数”；
（2）记，求被90整除所得商数最大时，能被6整除的所有整数．
【答案】（1）2314；7986；（2）9126．
【分析】
（1）按照定义求解；根据是能被6整除的最大的“连续顺位置换数”，先确定，后利用定义逆推得到m；
（2）根据定义，数的表示法确定商最大时的数字，根据能被6整除，确定整数m．
【详解】
（1）当时，
则，进而，
故答案为：2314；
∵是能被6整除的最大的“连续顺位置换数”，
∴=9876，
∴，
∴；
故答案为：7986．
（2）设（其中均不相同且均不为零）则，
∴，
∴
，
∴
=，
∵a，b，c互不相等，且不为0，且所得商数最大
∴b=1，c=2，a=9，
∴m可以是9123或9124或9125或9126或9127或9128，
∴能被3整除的m可以是9123或9126，
∵m能被6整除,
∴m为9126．
【点睛】
本题考查了新定义问题，理解定义的内涵是解题的关键．
58．计算并观察下列各式：
（1）；
；
；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格．
（
）；
（3）利用该规律计算
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）直接根据前2个式子即可得出答案；
（2）根据规律直接可得出答案；
（3）首先通过对所求的变形，先乘以，再乘以，从而利用规律解题即可．
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）解：根据此规律，得
．
【点睛】
本题主要考查平方差公式的扩展迁移，找出规律是解题的关键．
59．实数a，b，c，d，e在数轴上的位置如图所示．a是最小的自然数，b是最大的负整数，c和d是互为相反数，e表示的数是．www.21-cn-jy.com
（1）用“＞”或“＜”填空：b
0，c
e，b+c
0；
（2）求代数式：|b﹣e|+|d+c|×2019+的值．
【答案】（1）＜，＜，＞；（3）+1
【分析】
（1）确定a、b的值，即确定原点，根据各个点在数轴上的位置，进行判断即可；
（2）求出b-e＜0，c+d=0，a=0，再化简代入求值即可．
【详解】
解：（1）∵a是最小的自然数，b是最大的负整数，c和d是互为相反数，
∴a＝0，b＝﹣1，c+d＝0，
由实数a，b，c，d，e在数轴上的位置可知，d＜b＜0＜c＜e，
∴b＜0，c﹣e＜0，b+c＞0，
故答案为：＜，＜，＞；
（2）由（1）可得，b﹣e＜0，c+d＝0，a＝0，
∴|b﹣e|+|d+c|×2019+＝﹣（b﹣e）+0+0＝e﹣b＝﹣（﹣1）＝+1，
【点睛】
本题考查数轴表示数的意义和方法，实数的大小比较，确定原点的位置，以及各个数在数轴上的位置是正确判断的前提．
60．计算：
（1）﹣﹣（﹣1）2020；
（2）|﹣2|﹣﹣．
【答案】（1）0；（2）2﹣
【分析】
（1）直接利用算术平方根以及立方根、有理数的乘方运算法则分别计算得出答案；
（2）直接利用算术平方根以及立方根、绝对值的性质分别计算得出答案．
【详解】
解：（1）原式＝5﹣4﹣1＝0；
（2）原式＝2﹣﹣3﹣（﹣3）
＝2﹣．
【点睛】
本题考查了乘方、平方根、算术平方根、绝对值的性质，解题的关键是正确的进行化简．
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第五讲
实数
【提升训练】
一、单选题
1．定义运算：m☆n＝．例如：4☆2＝．若关于x的方程5☆x＝6－4x，则代数式3－2x＋10x2的值为（
）www.21-cn-jy.com
A．－11
B．10
C．11
D．17
2．下列实数中，分数是（
）
A．π
B．
C．
D．－1.2
3．如图，A、B、C、D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是（
）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
4．已知实数，则a在数轴上对应的点可能是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
5．定义运算：若am＝b，则lo
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)gab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（ ）21教育网
A．﹣1
B．2
C．1
D．44
6．如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0到1之间
B．1到2之间
C．2到3之间
D．3到4之间
7．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则；④若，则或．其中正确结论的序号是（
）
A．②④
B．②③
C．①④
D．①③
8．四则运算符号有+，-，×，÷，现引入两个新运算符号∨，∧，合称“六则运算”．的运算结果是和中较大的数，的运算结果是和中较小的数．下列等式不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．若实数p，q，m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则绝对值最小的数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．p
B．q
C．m
D．n
10．已知T1=，T2=，T3=，，Tn=，其中为正整数．设Sn=T1+T2+T3++Tn，则S2021值是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知实数满足，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知一列数a1，a2，a3…an中，a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1＝0，a2＝2a1+1，a3＝2a2+1，…，an+1＝2an+1，则a2021﹣a2020的个位数字是（ ）21世纪教育网版权所有
A．8
B．6
C．4
D．2
13．下列计算中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
14．设实数a，b，c，满足，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
15．下列各数中最大的是（
）
A．0.78
B．
C．
D．
16．[x]表示不大于x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的最大整数，例如[2.1]＝2，[－0.5]＝－1，则下列说法正确的是
（ ）21·世纪
教育网
A．[2x]＝2[x]
B．[－x]＝－[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y]
D．设函数y＝x－[x]，则0≤y＜1
17．在﹣，﹣，0，1四个数中，最大的数是（ ）
A．1
B．0
C．﹣
D．﹣
18．在下列实数中，无理数是（ ）
A．3
B．
C．0
D．﹣
19．把所有正奇数从小到大
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)排序，按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…现有等式Am＝(i，j)表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝(2，3)，则A89＝（ ）【出处：21教育名师】
A．(6，7)
B．(7，8)
C．(7，9)
D．(6，9)
20．数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于的是（ ）
A．点C和点D
B．点B和点C
C．点A和点C
D．点A和点B
21．如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和，则点C对应的实数是（
）2·1·c·n·j·y
A．1﹣
B．﹣2
C．﹣
D．2﹣
22．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1
B．2
C．3
D．4
23．在实数中，最小的是（
）
A．
B．
C．
D．
24．计算的结果是（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
25．下列说法其中错误的个数（
）
①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．
A．0
B．1
C．2
D．3
26．自然数a，b，c，d满足＝1，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
27．下列说法正确的是（
）
A．是有理数
B．5的平方根是
C．2＜＜3
D．数轴上不存在表示的点
28．在下列数中，是无理数的是（ ）
A．2.1313313331…（两个1之间依次多一个3）
B．
C．
D．
29．如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近﹣的是（ ）
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
30．如图，在数轴上作长、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)宽分别为2和1的长方形，以原点为圆心，长方形对角线的长为半径画弧，与数轴相交于点A．若点A对应的数字为a，则下列说法正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．a>-2.3
B．a<-2.3
C．a=-2.3
D．无法判断
31．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
32．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．5
D．
33．从，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中，且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有，则S的最大值（ ）
A．10
B．6
C．5
D．4
34．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中
①若abc0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；
④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc0，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④
35．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（ ）
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
36．观察下列等式：
，
，
，
…
将以上等式相加得到
．
用上述方法计算：其结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
37．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．②④
C．①④
D．①③
38．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
39．求1＋2＋22＋23＋…＋22020的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（
）
A．
B．
C．
D．
40．有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以，再加3”的运算.现在输入一个，通过第1次运算的结果为，再把输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果（
）21
cnjy
com
A．越来越接近4
B．越来越接近于－2
C．越来越接近2
D．不会越来越接近于一个固定的数
二、填空题
41．如图所示的网格是正方形网格，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，B，C，D
是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC
______
S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
42．比较大小：______－3，______（填“”或“”）
43．观察下列等式：，，，…．按照此规律，则第个式子是____________．
44．计算：_______．
45．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为__________．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
46．阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：．21cnjy.com
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中，公差为．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为__________，第5项是__________．
（2）如果一个数列，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：
．
所以
，
，
，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：．
（3）是不是等差数列的项？如果是，是第几项？
（4）如果一个数列是等差数列，且公差为d，前n项的和记为，请用含，n，d的代数式表示，_________．
47．定义；任意两个数a、b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
（1）若，直接写出a、b的“如意数”_______；
（2）若，求a、b的“如意数”c，并比较b与c的大小；
（3）已知，且a、b的“如意数”，则_______（用含x的式子表示）．
48．计算：．
49．先阅读下面材科，再完成任务：
材料一：我们可以将任意三位数记为，（其中分别表示该数的百位数字，十位数字和个位数字，且）．显然．
材料二：若一个三位数的百位数字，十位数字和个位数字均不为，则称之为原始数，比如就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出个新的原始数，比如由可以产生出这个新原始数，将这个数相加，得到的和1332称为由原始数生成的终止数．
任务：
（1）分别求出由下列两个原始数生成的终止数：；
（2）若由一个原始数生成的终止数为求满足条件的所有原始数．
50．阅读理解：对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：．
（1）填空：__________
（2）求证：当能被3整除时，一定能被6整除：
51．计算：．
52．已知七个实数，，4，5.3，，0，，其中三个数已在数轴上分别用点A、B、C表示．
（1）点A表示数_______，点B表示数______，点C表示数______．
（2）在数轴上精确地表示出剩下的4个数（提示：注意观察正方形的面积），并将轴上精确地表示所有的数用“＜”连接．21·cn·jy·com
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∴______<_______<_______<_______<_______<_______<_______<【版权所有：21教育】
（3）将上列各数分别填入相应括号的横线上：
整数：{___________________}
分数：{___________________}
无理数：{___________________}
53．阅读下列材料解决问题：
材料一：完全平方数是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数．例如，是一个完全平方数．
材料二：对一个四位数，我们可以记为，即，若一个四位数的千位数字与百位数字相同，十位与个位数字相同，记为，我们称之为和谐四位数．
（1）已知是使成为完全平方数的最小正整数，则 ；
（2）试证明任意一个和谐四位数都是的倍数；
（3）若有和谐四位数是一个完全平方数，请求出符合条件的数．
54．定义新运算：对于任意，，都有，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如：
（1）求的值．
（2）化简．
55．计算：．
56．（1）计算：；
（2）计算：．
57．阅读材科，完成以下相应问题：
材料一：一个整数能被3整除的条件是其各个数位上的数字之和能被3整除．一个整数能被6整除的条件是该数字是能被3整除的偶数．21教育名师原创作品
材料二：将一个四位数（其中均不相同且均不为零）进行千位与百位数字互换，得到，再将的百位与十位数字互换得到．我们称数字为数字的“连续顺位置换数”．如，则，进而．
（1）当时，_______；当______时，是能被6整除的最大的“连续顺位置换数”；
（2）记，求被90整除所得商数最大时，能被6整除的所有整数．
58．计算并观察下列各式：
（1）；
；
；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格．
（
）；
（3）利用该规律计算
59．实数a，b，c，d，e在数轴上的位置如图所示．a是最小的自然数，b是最大的负整数，c和d是互为相反数，e表示的数是．2-1-c-n-j-y
（1）用“＞”或“＜”填空：b
0，c
e，b+c
0；
（2）求代数式：|b﹣e|+|d+c|×2019+的值．
60．计算：
（1）﹣﹣（﹣1）2020；
（2）|﹣2|﹣﹣．
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