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第三讲
勾股定理应用
【基础训练】
一、单选题
1．（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方，池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为尺，则可列方程为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用勾股定理建立方程即可得．
【详解】
解：如图，由题意得：尺，尺，尺，尺，，
则在中，由勾股定理得：，即，
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理、列一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题关键．
2．一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用勾股定理计算出门框对角线长，再与薄木板的宽比较即可．
【详解】
门框的对角线长为米．
∵米．
∴只有A选项的薄木板的宽小于，即只有A选项的薄木板可以通过．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的实际应用．利用勾股定理计算出门框对角线的长是解答本题关键．
3．学习勾股定理后，老师布置的课后
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为
1m，则学校教学楼的高度为（ ）21教育网
A．11
m
B．13
m
C．14
m
D．15
m
【答案】C
【分析】
根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为，可得，，，利用勾股定理可求出．
【详解】
解：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
设学校教学楼的高度为，则，，，
左图，根据勾股定理得，绳长的平方，
右图，根据勾股定理得，绳长的平方，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
4．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面的一棵大树在距地面5米的C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量树尖B与树桩A相距12米，则大树折断前高为（ ）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．13米
B．17米
C．18米
D．22米
【答案】C
【分析】
在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．
【详解】
解：Rt△ABC中，AC=5米，AB=12米，
由勾股定理，得：米，
∴树的高度为：AC+BC=18米，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
解：两棵树的高度差为，间距为，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
6．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12cm
B．10cm
C．13cm
D．11cm
【答案】B
【分析】
要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求出所需结果．
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
解：如图，将长方体展开，连接A、B′，
则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm），
A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，
所以AB′＝10
cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面展开?最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，构造直角三角形运用勾股定理解决．
7．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝80m
所以DE＝AC?AD?EC＝80?20?10＝50m
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．
8．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得，又量得，，则A、B两点之间的距离为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10m
B．
C．12m
D．13m
【答案】C
【分析】
根据勾股定理计算直角三角形的直角边即可．
【详解】
解：，，，
，
故选：C．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理，熟记9，15，12勾股数．
9．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．13
海里
B．16
海里
C．20
海里
D．26
海里
【答案】D
【分析】
根据方位角可知两船所走的方向正好构
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了24海里，10海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】
解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了12×2=24（海里），5×2=10（海里），
根据勾股定理得：（海里）
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
10．如图，已知正方形A的面积为25，正方形C的面积为169，那么正方形B的面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．144
B．169
C．25
D．194
【答案】A
【分析】
结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母C所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
【详解】
解：根据题意知正方形的C面积为169，正方形A的面积为25，
则字母B所代表的正方形的面积=169-25=144．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
11．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5m
B．12m
C．13m
D．18m
【答案】C
【分析】
直接利用勾股定理即可得．
【详解】
由题意得：
则
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．
12．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
已知图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度，即为圆的半径．以对角线长度为半径作圆与数轴交于点，则点表示的数即为1加上对角线的长度．
【详解】
解：根据勾股定理，求得正方形的对角线的长度为为：，再以为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为：．
故选：．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的运用，数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出正方形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离均为半径．
13．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．7米
B．8米
C．9米
D．12米
【答案】C
【分析】
根据勾股定理求AC的长，从而求木杆折断前的高度．
【详解】
解：由题意可知，AB=4，BC=3
∴在Rt△ABC中，
∴木杆在折断前的高度为4+5=9米
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查勾股定理解直角三角形，正确理解题意进行计算是解题关键．
14．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20cm
B．50cm
C．40cm
D．45cm
【答案】C
【分析】
如图，AC为圆桶底面直径，所以AC＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)24cm，CB＝32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．
【详解】
解：如图，AC为圆桶底面直径，
∴AC＝24cm，CB＝32cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝＝40cm．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．
15．下列各组数中，不能满足勾股定理的逆定理的是（
）
A．3，4，5
B．1，2，
C．7，24，25
D．8，25，27
【答案】D
【分析】
直接利用勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】
解：A、32+42=52，即满足勾股定理的逆定理，故本选项错误；
B、，即满足勾股定理的逆定理，故本选项错误；
C、72+242=252，即满足勾股定理的逆定理，故本选项错误；
D、82+252≠272，即不满足勾股定理的逆定理，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了对勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
16．一个长方形抽屉长16厘米，宽12厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．20厘米
B．18厘米
C．22厘米
D．24厘米
【答案】A
【分析】
利用勾股定理进行计算即可．
【详解】
解：这根木棒最长为：厘米，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（ ）米．
A．10m
B．15m
C．18m
D．20m
【答案】C
【分析】
根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长．
【详解】
解：∵52+122=169，
∴=13，
∴13+5=18（米）．
∴树折断之前有18米．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用．培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．21
cnjy
com
18．
如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B?恰好碰到地面，经测量AB=2，则树高为（ ）米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1+
B．1+
C．2-1
D．3
【答案】A
【分析】
根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案．
【详解】
解：由题意得：在直角△ABC中，
AC2+AB2=BC2，
则12+22=BC2，
∴BC=，
∴树高为：（1+）m．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．
19．如图，一棵大树在离地面9米高的处断裂，树顶落在距离树底部12米的处（米），则大树断裂之前的高度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9米
B．10米
C．21米
D．24米
【答案】D
【分析】
根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
由题意可得:,
AB+BC=15+9=24．
故选D．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用,关键在于熟练掌握勾股定理的公式．
20．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门才自动打开，则人头顶离感应器的距离（
）
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A．1米
B．1.5米
C．2米
D．2.5米
【答案】B
【分析】
作DE⊥AB,算出AE,DE的长度,利用勾股定理算出AD即可．
【详解】
过点D作DE⊥AB交AB于E,则EB=CD=1.6,DE=BC=1.2．
∴AE=AB－EB=2.5－1.6=0.9．
∴AD=
故选B．
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【点睛】
本题考查勾股定理的应用,关键在于合理利用辅助线和勾股定理．
21．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1长=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面尺，则下面所列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【详解】
解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
22．如图是一个三级台阶
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（
）
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A．6
B．8
C．9
D．15
【答案】D
【分析】
此类题目只需要将其展开便可直观
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】
解：如图，将台阶展开，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2＋BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．
23．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由题意得当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度为最小，即为12，当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度为最大，根据勾股定理可进行求解．
【详解】
解：由题意得：
当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度为最小，即为12，
当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度为最大，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴，
∴在Rt△ABC中，，
∴吸管在罐内部分a的长度的范围是，
故选A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（
）千米．
A．26
B．18
C．13
D．32
【答案】A
【分析】
根据题意可知两次航向的方向构成了直角．然后根据题意知两次航行的路程即是两条直角边，根据勾股定理就能计算AC的长．
【详解】
解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，
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∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，
根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，
∴AC2＝242＋102，
∴AC＝26km．
故选：A．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的关键．
25．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，断落的木杆与地面形成角，则木杆原来的长度是（ ）
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A．8米
B．米
C．16米
D．24米
【答案】B
【分析】
根据题意可知该木杆折断后与地面形成一个等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出结果
．
【详解】
如图，根据题意可知为等腰直角三角形，且米，．
∴米．
∴在中，米
．
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故木杆原来的长度为米．
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的实际应用．根据题意判断出木杆折断后与地面形成的三角形是等腰直角三角形是解答本题的关键．
26．如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20
B．24
C．25
D．26
【答案】D
【分析】
将题中图案展开后，连接AC，利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求．
【详解】
解：展开如图得新矩形，连接AC，则其长度至少增加2MN，宽度不变，由此可得：
，
根据勾股定理有：
故选D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．
27．如图，有两棵树分别用线段AB和CD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6米
B．8米
C．10米
D．12米
【答案】C
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC，
由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m，
在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，
故小鸟至少飞行10m．
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
28．用梯子登上20m高的建筑物，为了安全要使梯子的底面距离建筑物15m，至少需要（
）m长的梯子．
A．20
B．25
C．15
D．5
【答案】B
【分析】
可依据题意作出简单的图形，结合图形利用勾股定理进行求解，即可．
【详解】
解：如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AC＝20m，BC＝15m，
∴在Rt△ABC中，AB=m，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
29．《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？（备注：1丈尺）这个问题的答案是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4尺
B．4.5尺
C．4.55尺
D．5尺
【答案】C
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设原处还有x尺的竹子，则斜边为（10?x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10?x）尺，
根据勾股定理得：x2＋32＝（10?x）2，
解得：x＝4.55
故选C．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
30．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2km
B．4km
C．10
km
D．14
km
【答案】B
【分析】
直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键．
31．满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ）
A．，，
B．
C．
D．，
【答案】C
【分析】
根据三角形内角和公式和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【详解】
A、
符合勾股定理的逆定理，故A选项是直角三角形，不符合题意；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故B选项是直角三角形，不符合题意；
C、根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，故C选项不是直角三角形，符合题意；
D、根据三角形内角和定理，求得各角分别为90°，40°，50°，故D选项是直角三角形，不符合题意．
故选：C
【点睛】
.本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．www.21-cn-jy.com
32．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9海里
B．10海里
C．11海里
D．12海里
【答案】B
【分析】
由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【详解】
解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB=90°，
又∵OA=8海里，OB=6海里，∴AB=（海里）．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理的应用，正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
33．如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．天
B．天
C．天
D．天
【答案】A
【分析】
由题意知：则，在直角中，已知，根据勾股定理即可求，据此即可求得答案．
【详解】
解：∵，
∴.
在中，，，
∴，
∴隧道凿通需要（天），
∴天才能把隧道凿通．
故选：．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解本题的关键是正确的计算的长度．
34．下列各组数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（
）
A．2，3，4
B．3，4，5
C．4，5，6
D．5，6，7
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：A、22+32≠42，故不能构成直角三角形；
B、32+42＝52，故能构成直角三角形；
C、42+52≠62，故不能构成直角三角形；
D、52+62≠72，故不能构成直角三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
35．如图，梯子AB靠在墙上
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．小于1m
B．大于1m
C．等于1m
D．小于或等于1m
【答案】A
【分析】
在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．
【详解】
解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169，
在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2．
∵AB＝A′B′，
∴A′O2＋OB′2＝169，
∴OB′＝=，
∴BB′＝OB?OB′＝12?＜1．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
36．《九章算术》内容丰富，与实际生活
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A．x2＝（x﹣1）2+102
B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+12
D．（x+1）2＝x2+12
【答案】A
【分析】
利用数形结合的思想，画出图形，依题意找
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)出等量关系，依题意BA=10尺，CD=1尺，AC=BD，，在RtΔABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2即x2=102+(x-1)2．
【详解】
如图所示，依题意BA=10尺，CD=1尺，AC=BD，
设木杆长x尺，AC=x尺，则BC=（x-1）尺，在RtΔABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2即
x2=102+(x-1)2．
故选择：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查勾股定理的应用问题，掌握勾股定理，会利用数形结合思想进行分析，用未知数表示相应的线段，利用勾股定理构造方程是解题关键．
37．在高5m，长13m
的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．13m
B．5m
C．12m
D．17m
【答案】D
【分析】
地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理可求得BC的长，即可求解．21cnjy.com
【详解】
由勾股定理，，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则地毯总长为12+5=17（m），
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
38．将一根的细木棍放入长，宽，高分别为，，的长方体盒子中，则细木棍露在外面的最短长度为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】B
【分析】
根据题意得到木棒露在外面的最短情况，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：按如图所示的方法放置细木棒，露在盒子外面的部分才最短．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，
得，
此时露在盒子外面的部分为．
故选B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
39．如图，数轴上点，分别对应实数1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的实数是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意求出BC，根据勾股定理求出AC，得到AM的长，根据数轴的性质解答．
【详解】
∵，且，
∴，
∴，
又∵点表示的数为1，
∴点表示的数为．
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理和数轴上点表示的数，解题关键是理解题意并进行正确的计算．
40．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
已知ab＝14可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.
【详解】
由题意得：大正方形的面积为，
又小正方形边长为，，
，
，
，
．
故小正方形边长为．
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
二、填空题
41．如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为__________米（用含a，b的代数式表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
设AB=x米，则有AC=（x+a）米，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】
解：设AB=x米，则有AC=（x+a）米，根据勾股定理得：
，
解得：
∴，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
42．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________
cm．【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】13
【分析】
根据题意画出图形，两次运用勾股定理即可得出结果．
【详解】
解：如图所示：
BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，
连接BD、AD，
在Rt△BCD中，BD==5（cm），
在Rt△ABD中，AD==13（cm）．
故吸管插在盒内部分的长度h的最大值为13cm．
故答案为：13．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
43．如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】36米
【分析】
先根据大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形利用勾股定理求出折断部分的长，进而可得出结论．
【详解】
解：∵大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，即△ABC是直角三角形，
∴BC=，
∵AB=10米，AC=24米，
∴（米），
∴大树的高度=AB+BC=26+10=36（米）．
故答案为：36米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长，再由大树的高度=AB+BC即可得出结论．
44．《九章算术》是我国传统数学中重要的著
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为__________．（1丈=10尺，1尺=10寸）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
设长方形门的宽尺，则高是（）尺，根据勾股定理即可列得方程．
【详解】
设长方形门的宽尺，则高是（）尺，
根据题意得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．
45．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯______m．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】17
【分析】
地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【详解】
解：根据勾股定理，楼梯水平长度为=12米，
则红地毯至少要12+5=17米长，
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
三、解答题
46．一架云梯AB斜靠在墙上，梯子顶端距墙脚的距离AC＝24米，梯子底端距墙脚的距离BC＝7米．
（1）
求梯子的长度．
（2）
如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向也滑动4米吗？
为什么？
【答案】（1）25米；（2）梯子底部在水平方向滑动了8米
【分析】
（1）直接根据勾股定理求出AC的长即可；
（2）根据梯子的顶端下滑了4米可求出CE的长，再由勾股定理求出CD的长，进而可得出AD的长．
【详解】
解：（1）由题意可得：
AC=24米，BC=7米，∠ACB=90°，
∴AB==25米，
∴梯子的长度为25米；
（2）如图，在Rt△CDE中，
∵CD=AC-4=24-4=20米，DE=25米，
∴CE==15米，
∴BE=CE-BC=15-7=8（米）．
答：梯子底部在水平方向滑动了8米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
47．如图，一个直径为12cm的杯
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度．21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】10cm
【分析】
设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+2）cm，可求杯子半径为
6cm，根据勾股定理构造方程x2+62=（x+2）2，解方程即可．21·cn·jy·com
【详解】
解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+2）cm，
∵杯子的直径为12cm，
∴杯子半径为6cm，
∴x2+62=（x+2）2，
∴x2+36=x2+4x+4，
∴x=8，
∴8+2=10cm．
答：筷子长度为10cm．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形，利用勾股定理构造方程．
48．如图，某工厂A到直线公路l的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】千米
【分析】
根据题意利用勾股定理易得BD长，设AC=CD=x，根据勾股定理列方程求解．
【详解】
解：由题意可得：AB=3，AD=5
∴在Rt△ABD中，
设AC=CD=x，则BC=4-x
在Rt△ABC中，，解得：x=
∴物品中转站与车站之间的距离CD的长为千米
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的难点是构造已知长度的线段所在的直角三角形，利用勾股定理求解．21·世纪
教育网
49．下图是某“飞越丛林”俱乐部
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD=1米，AD=15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米
．
【分析】
延长FC交AB于点G，设BG=x米，在Rt△BGC中利用勾股定理可求x，进而可得AB的正确长度
【详解】
解：如图，延长FC交AB于点G
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则CG⊥AB，AG=CD=1米，GC=AD=15米
设BG=x米，则BC=(26－1－x)米
在Rt△BGC中，
∵
∴
解得
∴
BA=BG＋GA=8+1=9（米）
∴
小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形
50．如图，为测量某写字楼的高度，小明在点测得点的仰角为30°，朝写字楼方向前进，到达点，再次测得点的仰角为60°，试求写字楼的高度．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
【详解】
解：由题意，知，，
∴．
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
答：写字楼的高度为．
【点睛】
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
51．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）梯子距离地面的高度为米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米．
【分析】
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】
解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO米；
（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米，
根据勾股定理：OB′＝2米，
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
52．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）梯子的长是多少？
（2）求小巷的宽．
【答案】（1）2.5米；（2）2.7米
【分析】
（1）先利用勾股定理求出梯子AB
的长度，
（2）由（1）知梯子AB
的长度，利用勾股定理求出BD的长，即可得到答案.
【详解】
（1）在中，
∵，米，米，
∴．
∴（米）．
答：梯子的长是2.5米
（2）在中，
∵，米，，
∴，
∴．
∵，
∴米．
∴米．
答：小巷的宽度为2.7米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
53．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】这辆小汽车超速
【分析】
先根据勾股定理求出BC的距离，再根据速度=路程时间求出小汽车的速度，从而可知道是否超速．
【详解】
解：根据题意，得AC=30m，AB=50m，∠C=90°，
在Rt△ACB中，
，
∴小汽车的速度；
∴这辆小汽车超速．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键．
54．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以72千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为多少？（补充知识：在直角三角形中，所对的直角边是斜边长的一半）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】处受噪音影响的时间为16秒．
【分析】
首先过点A作AC⊥MN，求出最短距离A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C的长度，然后在MN上取点B、D，使AB=AD=200，根据勾股定理得出BC和CD的长度，即可求出BD，然后计算出时间即可．
【详解】
解：如图：过点A作AC⊥MN，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米<200米，
在MN上取点B、D，使AB=AD=200，当火车在BD上时A处产生噪音影响，
∵AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，
即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
答：处受噪音影响的时间为16秒．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，解本题要点在于找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．
55．如图，长为的橡皮筋放置在数轴上，固定和，然后把中点沿与垂直方向向上拉升至点，求橡皮筋被拉长了多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2cm．
【分析】
根据勾股定理分别计算AD、BD的长，再求AD、BD的和，最后减去AB的长即可．
【详解】
是AB的中点，
，
橡皮筋被拉长了：26-24=2cm
答：橡皮筋被拉长了2cm．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
56．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子的，则梯子比较稳定．现有一长度为6
m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到多高？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】它的顶端能达到米高．
【分析】
先根据勾股定理求出直角边的长度，再求出答案即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
BC=AB=
由勾股定理得
答：它的顶端能达到米高．
【点晴】
本题考查了估算无理数大小，勾股定理的应用，理解勾股定理
是解此题的关键．
57．如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】旗杆第二次是在离地面米处断裂的
【分析】
如解图所示，利用勾股定理求出AB，即可求出旗杆的长，然后设OC=xm，则CD=（24－x）m，利用勾股定理列出方程即可求出结论．
【详解】
解：如下图所示
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意可知：OA=，OB=，OD=
∴AB==
∴旗杆的长为OA＋AB=24m
设OC=xm，则CD=（24－x）m
∵
∴
解得：
答：旗杆第二次是在离地面米处断裂的．
【点睛】
此题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解直角三角形是解题关键．
58．如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．
（1）求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远；
（2）当BD=8m，且AB=CD时，AC的长是多少米；
（3）如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2米，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少米？
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【答案】（1）米；（2）米；（3）米．
【分析】
（1）由，
利用勾股定理求出OB的长即可；
（2）由
利用勾股定理可求出OC的长，进而可求出AC的长；
（3）首先根据题意画出图形，利用勾股定理求出的长，再利用，从而可得答案．
【详解】
解：（1）由，
这个梯子的底端距墙的垂直距离有米．
（2）
所以AC的长是米．
（3）如图，由题意得：梯子侧移到，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
,
所以梯子的顶端向上滑动的距离是米．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解以及熟练运用勾股定理是解题的关键．
59．一架梯子长米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？
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【答案】（1）梯子的顶端距地面有2.4米；（2）梯子的底部在水平方向不是滑动了米
【分析】
（1）根据Rt△ABC的勾股定理求出AB的长度，从而得出答案；
（2）根据题意得出A′C′和A′B的长度，然后根据勾股定理求出BC`的长度，从而得出答案．
【详解】
解：（1）根据题意可得：AC=2.5米，BC=0.7米，∠ABC=90°，
∴AB=米，
答：梯子的顶端距地面有2.4米；
（2）梯子的底部在水平方向不是滑动了米，理由如下
根据题意可得：A′C′=2.5米，A′B=2.4-0.4=2米，
∴BC′=米，则CC′=1.5-0.7=0.8米，
即梯子的底端在水平方向滑动0.8米，不是0.4米．
【点睛】
本题主要考查的就是直角三角形勾
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)股定理的应用问题，属于简单题型．在解决这个问题的时候首先要明白直角三角形中有哪些线段，然后找出已知的线段和未知的线段，从而利用勾股定理得出线段的长度．www-2-1-cnjy-com
60．如图，笔直的公路上A、B两点相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？21教育名师原创作品
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【答案】收购站E应建在离A点10km处．
【分析】
根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE＝CE，再根据勾股定理即可得出AE＝BC＝10km．
【详解】
解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE．
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB﹣AE=（25﹣x）．
∵DA=15km，CB=10km，
∴x2+152=（25﹣x）2+102，
解得：x=10，
∴AE=10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
【点睛】
本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可，列出方程是解题关键．
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精品试卷·第
2
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（共
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第三讲
勾股定理应用
【基础训练】
一、单选题
1．（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方，池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为尺，则可列方程为（
）21教育名师原创作品
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A．
B．
C．
D．
2．一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（
）
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A．
B．
C．
D．
3．学习勾股定理后，老师布置的课后作业
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为
1m，则学校教学楼的高度为（ ）21
cnjy
com
A．11
m
B．13
m
C．14
m
D．15
m
4．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)棵大树在距地面5米的C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量树尖B与树桩A相距12米，则大树折断前高为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．13米
B．17米
C．18米
D．22米
5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
6．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（ ）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12cm
B．10cm
C．13cm
D．11cm
7．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
8．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得，又量得，，则A、B两点之间的距离为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10m
B．
C．12m
D．13m
9．如图，一轮船以12海里/时的速度从港
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．13
海里
B．16
海里
C．20
海里
D．26
海里
10．如图，已知正方形A的面积为25，正方形C的面积为169，那么正方形B的面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．144
B．169
C．25
D．194
11．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5m
B．12m
C．13m
D．18m
12．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
13．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．7米
B．8米
C．9米
D．12米
14．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20cm
B．50cm
C．40cm
D．45cm
15．下列各组数中，不能满足勾股定理的逆定理的是（
）
A．3，4，5
B．1，2，
C．7，24，25
D．8，25，27
16．一个长方形抽屉长16厘米，宽12厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（
）
A．20厘米
B．18厘米
C．22厘米
D．24厘米
17．如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（ ）米．
A．10m
B．15m
C．18m
D．20m
18．
如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B?恰好碰到地面，经测量AB=2，则树高为（ ）米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1+
B．1+
C．2-1
D．3
19．如图，一棵大树在离地面9米高的处断裂，树顶落在距离树底部12米的处（米），则大树断裂之前的高度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9米
B．10米
C．21米
D．24米
20．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门才自动打开，则人头顶离感应器的距离（
）
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A．1米
B．1.5米
C．2米
D．2.5米
21．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1长=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面尺，则下面所列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
22．如图是一个三级台阶，它的每一级的长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．8
C．9
D．15
23．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
24．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（
）千米．
A．26
B．18
C．13
D．32
25．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，断落的木杆与地面形成角，则木杆原来的长度是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8米
B．米
C．16米
D．24米
26．如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20
B．24
C．25
D．26
27．如图，有两棵树分别用线段AB和CD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6米
B．8米
C．10米
D．12米
28．用梯子登上20m高的建筑物，为了安全要使梯子的底面距离建筑物15m，至少需要（
）m长的梯子．
A．20
B．25
C．15
D．5
29．《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？（备注：1丈尺）这个问题的答案是（ ）
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A．4尺
B．4.5尺
C．4.55尺
D．5尺
30．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（
）
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A．2km
B．4km
C．10
km
D．14
km
31．满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ）
A．，，
B．
C．
D．，
32．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
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A．9海里
B．10海里
C．11海里
D．12海里
33．如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（ ）
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A．天
B．天
C．天
D．天
34．下列各组数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（
）
A．2，3，4
B．3，4，5
C．4，5，6
D．5，6，7
35．如图，梯子AB靠在墙上，梯
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．小于1m
B．大于1m
C．等于1m
D．小于或等于1m
36．《九章算术》内容丰富
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A．x2＝（x﹣1）2+102
B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+12
D．（x+1）2＝x2+12
37．在高5m，长13m
的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（
）
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A．13m
B．5m
C．12m
D．17m
38．将一根的细木棍放入长，宽，高分别为，，的长方体盒子中，则细木棍露在外面的最短长度为（
）．21cnjy.com
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A．8
B．7
C．6
D．5
39．如图，数轴上点，分别对应实数1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的实数是（
）．
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A．
B．
C．
D．
40．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（
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A．
B．
C．
D．
二、填空题
41．如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为__________米（用含a，b的代数式表示）．21
cnjy
com
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42．如图，是一种饮料的包装盒，长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________
cm．【版权所有：21教育】
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43．如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高_____．
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44．《九章算术》是我国传统
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为__________．（1丈=10尺，1尺=10寸）
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45．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯______m．
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三、解答题
46．一架云梯AB斜靠在墙上，梯子顶端距墙脚的距离AC＝24米，梯子底端距墙脚的距离BC＝7米．
（1）
求梯子的长度．
（2）
如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向也滑动4米吗？
为什么？
47．如图，一个直径为12
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度．21教育网
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48．如图，某工厂A到直线公路l的距离A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．21·世纪
教育网
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49．下图是某“飞越丛林”俱乐部新
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD=1米，AD=15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．www-2-1-cnjy-com
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50．如图，为测量某写字楼的高度，小明在点测得点的仰角为30°，朝写字楼方向前进，到达点，再次测得点的仰角为60°，试求写字楼的高度．
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51．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？
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52．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．
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（1）梯子的长是多少？
（2）求小巷的宽．
53．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
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54．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以72千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为多少？（补充知识：在直角三角形中，所对的直角边是斜边长的一半）
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55．如图，长为的橡皮筋放置在数轴上，固定和，然后把中点沿与垂直方向向上拉升至点，求橡皮筋被拉长了多少？【出处：21教育名师】
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56．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子的，则梯子比较稳定．现有一长度为6
m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到多高？21·cn·jy·com
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57．如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？
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58．如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．
（1）求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远；
（2）当BD=8m，且AB=CD时，AC的长是多少米；
（3）如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2米，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少米？
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59．一架梯子长米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？
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60．如图，笔直的公路上A、B两点相距25k
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)m，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？2·1·c·n·j·y
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