第三讲 勾股定理应用(提升训练)(原卷版+解析版)

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第三讲
勾股定理应用
【提升训练】
一、单选题
1．《九章算术》是我国古代数学
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（
）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2
D．x2＝（x﹣4）2＋22
【答案】A
【分析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
2．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．海里
B．海里
C．40海里
D．海里
【答案】D
【分析】
过作于，解直角三角形求出和，即可解决问题．
【详解】
解：过作于，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在中，，海里，
∴（海里），（海里），
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理列方程解答．
【详解】
解：设折断处离地面的高度为尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：，
故选：D．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意得到直角三角形确定三边的关系式是解题的关键．
4．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6米
B．8米
C．10米
D．12米
【答案】D
【分析】
根据勾股定理计算即可；
【详解】
如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题可知：，，
∴，
∴米；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
5．如图所示，将一根长为24cm的筷子，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．0＜h≤11
B．11≤h≤12
C．h≥12
D．0＜h≤12
【答案】B
【分析】
根据题意画出图形，先找出h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
此时，AB＝＝＝13cm，
∴h＝24﹣13＝11cm．
∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度．
6．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】
解：ABCD是长方形纸片，
∴AB=CD=3，
，
∴，
∴BF=4，
∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，
解得，x=
，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．
7．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（　　）
A．2m
B．2.5cm
C．2.25m
D．3m
【答案】A
【分析】
设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．
【详解】
解：在直角△ABC中，AC＝1.5m．AB﹣BC＝0.5m．
设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2＝AB2，
∴1.52+x2＝（x+0.5）2，
解得：x＝2．
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键．
8．下列各组数据，不能作为直角三角形的三边长的是（　　　）
A．5、6、7
B．6、8、10
C．1.5、2、2.5
D．、2、
【答案】A
【分析】
利用勾股定理的逆定理计算判断即可．
【详解】
∵≠，
∴5、6、7不能作为直角三角形的三边长，
∴选项A错误；
∵=，
∴6、8、10能作为直角三角形的三边长，
∴选项B正确；
∵=，
∴1.5、2、2.5能作为直角三角形的三边长，
∴选项C正确；
∵=，
∴、2、能作为直角三角形的三边长，
∴选项D正确；
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握逆定理并进行准确计算是解题的关键．
9．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．厘米
B．10厘米
C．厘米
D．8厘米
【答案】B
【分析】
把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.
【详解】
把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，
作点A的对称点B，
连接PB，
则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，
根据勾股定理，得PB=10，
故选B.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.
10．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．
【详解】
①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16?12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长==5cm，高为12cm，
由勾股定理可得：杯里面管长=＝13cm，则露在杯口外的长度最短为16?13＝3（cm），
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．
11．如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（　　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．13cm
B．8cm
C．7cm
D．15cm
【答案】C
【分析】
根据勾股定理求出杯子内的筷子长度，即可得到答案．
【详解】
解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：=13cm，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13=7（cm）．
故选：C．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
12．一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（
）
A．5米
B．7米
C．8米
D．9米
【答案】C
【分析】
如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB，求出AB即可解决问题．
【详解】
解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米，
∴（米），
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确画出图形，运用勾股定理解决问题．
13．如图所示，在长方形中，，若将长方形沿折叠，使点C落在边上的点F处，则线段的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．10
【答案】C
【分析】
设要求的线段的长为x，根据翻折的性质得到DF的长，并根据勾股定理求出AF的长，在直角三角形BEF中将三边用含有x的式子进行表示，并用勾股定理求解即可.
【详解】
解：如图所示：
设长为x，，
（翻折），
，
根据勾股定理可得：
，
，
，
∴在中，
，
，
，
，
，
长为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选C.
【点睛】
本题主要考察勾股定理得应用，利用轴对称的性质和勾股定理在直角三角形BEF中建立三边长的等量关系，形成方程求解即可得到CE的长.www.21-cn-jy.com
14．在ABC中，AB=12cm，
BC=16cm，
AC=20cm，
则斜边上的高是（
）
A．9.6cm
B．12cm
C．10cm
D．8cm
【答案】A
【分析】
经判断可知三角形为直角三角形，根据直角三角形面积公式进行计算．
【详解】
解：∵122+162=202，
即AC2=AB2+BC2，
故三角形ABC是直角三角形，且BC，AB是直角边．
故△ABC的面积是?×12×16=96（cm2），
则斜边上的高为：=9.6．
故选A．
【点睛】
考查了勾股定理和根据直角三角形面积公式进行计算的能力．
15．如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（
　
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【分析】
将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短，利用勾股定理从而可得答案．
【详解】
解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为12cm，
则BC=cm．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
又因为AC=8cm，
所以：．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm．
故选：．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的实际应用，两点之间线段最短，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形利用勾股定理是解题的关键．
16．如图，长方体的长为20cm，宽为15c
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)m，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．cm
B．25cm
C．cm
D．16cm
【答案】B
【分析】
分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)结AB，如图1；把上面展开到正面上，连结AB，如图2；把侧面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．
【详解】
把上面展开到左侧面上，连结AB，如图1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
AB＝（cm）
把上面展开到正面上，连结AB，如图2，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
AB＝（cm）；
把侧面展开到正面上，连结AB，如图3，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
AB＝（cm）．
∵＞＞25
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面展开?最短路径问题：先
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
17．如图，在长方体盒子上有一只蚂蚁从顶点出发，要爬行到顶点去找食物，已知长方体的长、宽、高分别为4、1、2，则蚂蚁走的最短路径长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．5
C．
D．7
【答案】B
【分析】
如图（见解析），根据长方体的展开图分三种情况讨论，然后分别利用勾股定理求解即可得．
【详解】
根据长方体的展开图，分以下三种情况：
（1）如图1，最短路径；
（2）如图2，最短路径；
（3）如图3，最短路径；
因为，
所以蚂蚁走的最短路径长为5，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，根据长方体的展开图分情况讨论是解题关键．
18．如图，小巷左右两侧是竖直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3.2m
B．3.5m
C．3.9m
D．4m
【答案】C
【分析】
如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案．
【详解】
解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，
∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+0.72＝6.25，
∴BD2＝5.76，
∵BD＞0，
∴BD＝2.4米，
∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．
故选：C．
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【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先画出三角形，根据勾股定理和题目设好的未知数列出方程．
【详解】
解：如图，根据题意，，，
设折断处离地面的高度是x尺，即，
根据勾股定理，，即．
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查勾股定理的方程思想，解题的关键是根据题意利用勾股定理列出方程．
20．如图，数轴上点A所表示的数是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
结合题意，根据勾股定理，可计算得到A点到-1的距离，从而得到点A表示的数．
【详解】
结合题意，根据勾股定理得：
A点到-1的距离
∴A所表示的数
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理、数轴的知识；解题的关键是熟练掌握数轴和勾股定理的性质，从而完成求解．
21．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（
）
A．1，2，3
B．2，3，4
C．3，4，6
D．1，，2
【答案】D
【分析】
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．
【详解】
解：A、12+22=5≠32，故不符合题意；
B、22+32=13≠42，故不符合题意；
C、32+42=25≠62，故不符合题意；
D、12+=4=22，符合题意.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，简便的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．【来源：21·世纪·教育·网】
22．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为和，则小正方形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】
根据直角三角形的两直角边长分别为和，可计算出正方形的边长，从而得出正方形的面积.
【详解】
解：3和5为两条直角边长时，
小正方形的边长=5-3=2，
∴小正方形的面积22=4；
综上所述：小正方形的面积为4；
故答案选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其应用，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
23．为了庆祝国庆，八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（
）
A．0.6米
B．0.7米
C．0.8米
D．0.9米
【答案】B
【解析】
试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理得：梯脚与墙角距离：=0.7（米）．
故选B．
24．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2.5米
B．2.6米
C．2.7米
D．2.8米
【答案】C
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
AB==2.5（米），
∴A′B=2.5米，
在Rt△A′BD中，
BD==2（米），
∴BC+BD=2+0.7=2.7（米），
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
25．如图，小巷左右两侧是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2
米，则小巷的宽度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1.5
米
B．2.2
米
C．2.4
米
D．2.5
米
【答案】B
【分析】
先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【详解】
如图，在中，
∵，米，米，
∴．
在中，
∵，米，，
∴，
∴，
又∵，
∴米，
∴米．
故选B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
26．《九章算术》是我国古代一部著名
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（
）
A．5.45尺
B．4.55尺
C．5.8尺
D．4.2尺
【答案】B
【分析】
设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可.
【详解】
解：设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：
AC2＋BC2＝AB2，
即：x2＋32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
故选：B.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查了勾股定理，正确理解题意构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键.
27．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】
如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：=+=，
解得：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
28．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部（
）处．
A．5m
B．7m
C．7.5m
D．8m
【答案】D
【分析】
首先设树顶端落在离树底部xm，根据勾股定理可得62+x2=（16-6）2，再解即可．
【详解】
设树顶端落在离树底部xm，由题意得：
62+x2=（16-6）2，
解得：x1=8，x2=-8（不符合题意，舍去）．
所以，树顶端落在离树底部8m处．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
29．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC=9尺，BC=3尺，则AC等于（
）尺．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3.5
B．4
C．4.5
D．5
【答案】B
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面AC=x尺，则斜边为AB=（9-x）尺，根据勾股定理得：
解得：x=4，
∴AC=4尺．
故选：B．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
30．如图，等边的边长为8．P，Q分别是边上的点，连结，交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），则点O经过的路径长为．其中正确的（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①④
C．①②
D．①③④
【答案】B
【分析】
第①个选项直接找到对应的条件，利用S
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AS证明全等即可；第②③结论都有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；第四个结论要先判断判断轨迹(通过对称性)在来计算路径长．2-1-c-n-j-y
【详解】
①在三角形△BAP和△ACQ中：
则△BAP≌△ACQ
(SAS)
；①正确；
②如图1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
题中AQ=BP，存在两种情况：
在的位置，∠AOB=120°，
在的位置，∠AOB的大小无法确定；②错误；
③本问与AP=CQ这个条件无关，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
P还是会有两个位置即：、，
当在时，
作BE⊥AC于E点，则E为AC中点，
∵AB=8，AE=
，
∴
，
又BP=7，
∴,
∴CP=CE+PE=5，
当在时，同理解△BCP，得CP=
CE-PE=3；故③错；
④由题可得：AP=BQ，由对称性可得O的运动轨迹为△ABC中AB边上的中垂线
则∵AB=8，
∴BC=AB=8，
则AB边上的中垂线的长为：
∴运动轨迹路径长为；④正确；
∴正确的为①④；
故选：B．
【点睛】
此题考查了三角形全等，利用等边三角形的性质找出相应的全等条件是关键，还考查了等边三角形是周对称图形这一性质．21世纪教育网版权所有
31．如图，长方体的长为15cm，宽为10c
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)m，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）cm．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．25
B．20
C．24
D．10
【答案】A
【分析】
分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)结AB；把右侧面展开到正面上，连结AB，；把向上的面展开到正面上，连结AB；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．
【详解】
把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵
∴
∴需要爬行的最短距离为25cm
故选：A．
【点睛】
本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
32．刘徽是我国三国时期杰出的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数学大师，他的一生是为数学刻苦探究的一生，在数学理论上的贡献与成就十分突出，被称为“中国数学史上的牛顿”．刘徽精编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的，这本著作是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．《周髀算经》
B．《九章算术》
C．《孙子算经》
D．《海岛算经》
【答案】D
【分析】
运用《九章算术注》相关知识即可直接解答．
【详解】
解：由于《九章算术注》是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，该书第一卷的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，故本书的名称是《海岛算经》．
故答案为D．
【点睛】
本题主要考查了数学常识，了解一定的数学史以及数学著作是解答本题的关键．
33．如图，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图所示依次叠在③上，已知四边形EMNC与四边形MPQN的面积分别为9与7，则斜边BC的长为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．9
C．10
D．16
【答案】C
【分析】
设等边三角形△EBC，△ABD，△ACF的面积分别是S3，S2，S1，AC=b，BC=a，AB=c，根据勾股定理得到c2+b2=a2，根据等式的性质得到c2+b2=a2．根据等边三角形的面积公式得到S3=a2，S2=c2，S1=b2，根据已知条件列方程即可得到结论．
【详解】
解：如图，设等边三角形△EBC，△ABD，△ACF的面积分别是S3，S2，S1，AC=b，BC=a，AB=c，
∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90度，
∴c2+b2=a2，
∴c2+b2=a2．
∵S3=a2，S2=c2，S1=b2，
∴S3﹣S2=（a2﹣c2）=b2=9，S3﹣S1=a2﹣b2=（a2﹣b2）=c2=+=，
∴b=6，c=8，
即AB=8，AC=6，
∴BC===10，
故选：C．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，利用勾股定理求值是关键．
34．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如)向外延长1倍得到点，，，，并连结得到图2.已知正方形与正方形的面积分别为和，则图2中阴影部分的面积是(　　)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由正方形与正方形的面积分别为和,可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为，则在中，由勾股定理可求出，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．
【详解】
∵正方形与正方形的面积分别为和，
∴，，
设四个直角三角形的较短边为，
则在中，，，
由题意根据勾股定理得，，即，
∴，（舍去），即，
∴，
，
，
∴图2中阴影部分的面积是：
，
故选：．
【点睛】
本题考查有关勾股定理的应用．解决此题的关键是根据勾股定理求出四个直角三角形的较短边．
35．如图，透明的圆柱形玻璃容器(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4
cm
的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4
cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15
cm，则该圆柱底面周长为（
）cm．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9
B．10
C．18
D．20
【答案】C
【分析】
将容器侧面展开，建立A关于上边沿的对
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．
【详解】
解：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
将容器侧面展开，作A关于EF的对称点，连接，则即为最短距离，
根据题意：，，
．
所以底面圆的周长为9×2=18cm.
故选：C．
【点睛】
本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
36．2019年10月1日，中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　）
A．10m
B．11m
C．12m
D．13m
【答案】B
【分析】
根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【详解】
设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，
根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，
右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，
∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题.
37．如图有一圆柱，高为8cm，底面直径为4cm，在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想吃上底面与A相对的B点处的食物，需爬行的最短路程大约为(取)(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10cm
B．12cm
C．14cm
D．20cm
【答案】A
【分析】
首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】
将此圆柱展成平面图得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵圆柱的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），
∴AC=8cm，BC==4π=6(cm)
∴AB==10（cm）．
答：它需要爬行的最短路程为10cm．
故选:A
【点睛】
本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．
38．如图是一块长、宽、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．cm
B．cm
C．cm
D．9cm
【答案】C
【解析】
【分析】
本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．【版权所有：21教育】
【详解】
解：如图1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是3时，需要爬行的路径的长==cm；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是4时，需要爬行的路径的长==cm；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，需要爬行的路径的长==cm.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
所以要爬行的最短路径的长cm.
故选C.
【点睛】
本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.2·1·c·n·j·y
39．某航空公司经营中有A、B、C、D这四
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（　　）
A．1400元
B．1500元
C．1600元
D．1700元
【答案】B
【解析】
【分析】
这家公司所规定的机票价格与往返城市间的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直线距离成正比，不妨把两地价格看为是两点间的距离，则由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一条直线上，利用勾股定理即可解出BD的长，即是B﹣D的机票价格．
【详解】
把两地价格看为是两点间的距离，
则AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．
∵16002+12002=20002，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB是直角，
∵2500＝1600+900，
即AD=AC+CD，
∴A，C，D在一条直线上，
∴∠BCD是直角，
∴BD=＝＝1500，
即B﹣D的机票价格为1500元.
故选B.
【点睛】
本题考查了两点间的距离、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB为直角是解题的关键.
40．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．28
C．20
D．
【答案】C
【解析】
分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
详解：如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
连接A′B,则A′B即为最短距离，
A′B=
(cm)
故选C.
点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键.
二、填空题
41．如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么_____°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】90
【分析】
由题意设出网格边长，根据勾股定理分别表示出，再利用勾股定理逆定理可得结论．
【详解】
解：设正方形网格边长为a，
由勾股定理求得，
∴
∴为直角三角形，
即
故答案为：90．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，表示出各边的平方是解答本题的关键．
42．如图，在离水面高度为8米的岸上，有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】9．
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】
在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
43．有一个水池，水面是一个边长为1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为_____尺．
【答案】13
【分析】
找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】
解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度（尺，
答：芦苇长13尺．
故答案为：13．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
44．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】12米
【分析】
设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．
【详解】
解：设旗杆的高度为米，根据题意可得：
，
解得：，
答：旗杆的高度为12米．
故答案为：12米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
45．如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A爬到另一顶点M，已知AB＝AD＝2，BF＝3．这只蚂蚁爬行的最短距离_____．【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】5
【分析】
把这个长方体表面分别沿CB、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ND、DC展开，将点A和点M放在同一平面内，在同一平面内A、M两点间线段最短，根据勾股定理计算，找出最短距离即可．
【详解】
解：如图1，将长方体沿CB展开，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当蚂蚁经图中长方体右侧表面爬到M点，则，
如图2，将长方体沿ND展开，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当蚂蚁经图中长方体左侧面爬到M点，则，
如图3，将长方体沿DC展开，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当蚂蚁经图中长方体上侧面爬到M点，则，
比较以上三种情况，一只蚂蚁从顶点A爬到顶点M，那么这只蚂蚁爬行的最短距离是5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查最短路径问题，用勾股定理构造图形解决问题，学会分析从不同方向展开长方体表面，灵活运用勾股定理进行计算是解题关键．
三、解答题
46．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
【答案】（1）米；（2）见解析，米
【分析】
（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，连接AB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
47．如图，红星村A和幸福村B在一条小河的同侧，它们到河岸的距离，分别为1和3，又知道的长为3，现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）请在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹）；
（2）求铺设水管的最省总费用．
【答案】（1）见解析；（2）100000元．
【分析】
（1）延长AC到F，使CF＝AC，连接BF，交CD于E，则E为所求；
（2）过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，求出BN，NC长，根据勾股定理求出BF，即可得出答案．
【详解】
解：（1）延长AC到F，使CF＝AC，连接BF，交CD于E，
∵AC⊥CD，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝FE＋BE＝BF，
则在CD上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）如上图，过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，
∴BN＝CD＝3km，CN＝BD＝3km，
∵AC＝CF＝1km，
∴NF＝4km，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝km，
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝5km，
∴铺设水管的最最省总费用是：20000×5＝100000（元）．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质及勾
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)股定理，掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识是解题的关键，此类题目重点培养学生的动手操作能力和计算能力．
48．如图，学校操场边有一块
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；（2）AE＝m．
【分析】
（1）先根据勾股定理的逆定理可证明△ACD是直角三角形，根据面积和可得结论；
（2）利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝9，AB＝4，
∴AC＝=，
∵AD＝7，CD＝4，
∴，
∴∠D＝90°，
∴这块空地ABCD的面积＝
=
=
=2+14，
答：这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；
（2）∵=，
∴4×＝9×AE，
∴AE＝m．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
49．如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点B处，且，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树处的A处，另一只猴子乙先爬到项D处后再沿缆绳滑到A处．己知两只猴子所经过的路程相等，设为．求这棵树高有多少米?21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】7.5米
【分析】
已知BC，要求CD求BD即可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA=BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．
【详解】
解：设BD为x米，且存在BD+DA=BC+CA，
即BD+DA=15，DA=15-x，
∵∠C=90°，
∴AD2=AC2+DC2，
∴（15-x）2=（x+5）2+102，
∴x=2.5，
∴CD=5+2.5=7.5，
答：树高7.5米．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出BD+DA=BC+CA的等量关系并根据直角△ACD求BD是解题的关键．
50．已知某开发区有一块四边形的空地AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
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【答案】7200元．
【分析】
依题意，需要求得四边形的面积才能求得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
【详解】
连接BD，
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在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，
＝；
所以需费用36×200＝7200（元）．
【点睛】
本题考查一般四边形面积、勾股定理逆定理等，关键在对一般四边形进行分割为特殊三角形进行求解．
51．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知，，，，，求这块地的面积．
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【答案】．
【分析】
连接AC，勾股定理计算AC=，应用勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，计算两个直角三角形的面积差即可．
【详解】
解：连接AC
∵
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
AC=
=5，
在△ABC中，
∴，
△ABC
是直角三角形，
∴
=
=24．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．21cnjy.com
52．如图，一根长10米的木棒（AB），斜
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)靠在与地面（ON）垂直的墙（OM）上，OA＝8．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求OB的长；
（2）当AA′＝2米时，求BB′的长．
【答案】（1）6米；（2）2米
【分析】
（1）由勾股定理，已知直角三角形任意两边可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)以求第三边，代入公式即可求；
（2）先求出OA'的长，再利用勾股定理求出OB'的长，最后将OB'与OB相减即可．
【详解】
解：（1）由题意可知AB=10，AO=8，∠AOB=90°，在Rt△AOB中，
OB=（米），
答：OB的长为6米；
（2）由题意可知A'B'=AB=10米，AA'=2米，
∴A'O=AOAA'=8-2=6（米），
在Rt△A'OB'中，OB'=(米)，
∴BB'=OB'OB=8-6=2（米），
答：BB'的长为2米．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及其实际应用，要求学生能根据已知条件判断出是否能应用勾股定理，因此牢记勾股定理的公式以及应用条件是解决本题的关键．21教育名师原创作品
53．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟；
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
【详解】
解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝=50（m），
∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【点睛】
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.
54．如图，在中，，，是上一点，，．
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（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析；（2）的长为．
【分析】
(1)计算△BCD各边的平方，看是否满足勾股定理的逆定理，依此判断直线的位置关系；
(2)用方程思想，表达勾股定理计算即可.
【详解】
（1）证明：，，
，
，
；
（2）设，则，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在中，，
，
，
解得，
的长为．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理，逆定理并灵活运用是解题的关键.
55．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？
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【答案】（1）7米；（2）不是
【分析】
（1）利用勾股定理直接求出边长即可；
（2）梯子的顶端下滑了4米，则米，利用勾股定理求出b的值，判断是否梯子的底部在水平方向也滑动了4米．
【详解】
（1）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意得此时a＝24米，c＝25米，由勾股定理得，
∴（米）；
（2）不是，
如果梯子的顶端下滑了4米，此时米，米，
由勾股定理，（米），
（米），
即梯子的底部在水平方向滑动了8米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解直角三角形的方法．
56．已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90?，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．
（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．
（2）如图1，求证：．
（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）见解析；（3）2
【分析】
（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=2，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得；
（2）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；
（3）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证．
【详解】
（1）解：在Rt△ABC中，
∵，
∴，
∴在Rt△ABD中，．
（2）证明：如图，过C点作CF⊥CD交DB的延长线于点F．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠ACB=∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠BCF，
∵∠CAD+∠CBD=360°－(∠ACB+∠ADB)=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠CAD=∠CBF，
又∵CA=CB，
∴△CAD≌△CBF(ASA)，
∴CD=CF，AD=BF，
∴，
∵DF=DB+BF=DB+DA，
∴．
（3）解：如图，过C点作CF⊥CD交AD与F点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠ACB=∠DCF=90°，即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90°+∠CDA，∠CDB=∠CDA+∠ADB=90°+∠CDA，
∴∠AFC=∠CDB，
又∵CA=CB，
∴△CAF≌△CBD(AAS)，
∴CF=CD，AF=BD，
∴△CDF是等腰直角三角形，
又∵CE⊥AD，
∴E为DF中点，
∵AD=6，AF=BD=2，
∴FD=AD－AF=4，
∴．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.21·cn·jy·com
57．八年级1班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得BD的长度为8米：(注：BD⊥CE)
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米?
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）风筝的高度CE为16.6米；（2）往回收线7米．
【分析】
（1）在中应用勾股定理求得CD，然后利用CE=CD+1.6求解即可；
（2）根据题意得到示意图，且根据第（1）问求得DF，然后在中使用勾股定理即可求得BF，最终利用BC-BF即可求解．21
cnjy
com
【详解】
（1）在中，根据勾股定理得：
（米）
∴CE=CD+1.6=15+1.6=16.6（米）
∴CE=16.6（米）
（2）根据题意得到下图：
∵CD=15
∴FD=CD-9=15-9=6（米）
∴在中，由勾股定理得：
∴BC-BF=17-10=7（米）
∴应该往回收线7m．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，其中第（2）问一定要注意收线时，人的位置不动，要和梯子滑落问题做好区分．
58．（问题探究）
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；
（问题解决）
(3)如图③，A、B两地相距600km,A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)21·世纪
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）AM=(480?)km．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE；
（2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时AM+MC最小，进而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案．
【详解】
解：(1)如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点，
∴∠BAD=30?，
∵EF⊥AB，
∴EF=AE；
(2)如图②,作CN⊥AB,垂足为点N,交AD于点M,此时AM+MC最小，最小为CN的长。
∵△ABC是边长为2的正△ABC，
∴CN=BCsin60?=2×=
∴MN+CM=12AM+MC=
即AM+MC的最小值为
(3)如图③,作BD⊥AC,垂足为点D,在AC异于点B的一侧作∠CAN=30
作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求。
在Rt△ABD中,AD=(km)
在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30?,得MD=BDtan30?=(km)，
所以AM=(480?)km．
【点睛】
此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键．
59．如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．
（1）求的度数；
（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？
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【答案】（1）135°；（2）被监控到的道路长度为米.
【分析】
（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，则∠CAD=90°，即可得到答案；
（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得到DF=DA=100，则只要求出AF的长度，即可得到答案.
【详解】
解：（1）∵，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，∠CAB=45°，
∵，
在△ACD中，有
，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴；
（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由轴对称的性质，得DF=DA=100，AE=EF，
由（1）知，∠BAD=135°，
∴∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，
在Rt△ADE中，有，
解得：，
∴；
∴被监控到的道路长度为米.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用轴对称的性质和勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算.
60．如图①，是用3根相同火柴棒拼成的一个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角图形，记为一个基本图形，将此基本图形不断的复制，使得相邻的两个基本图形的边重合，这样得到图②，图③…
（1）观察以上图形，图④中所用火柴棒的根数为_________，
猜想：在图n中，所用火柴棒的根数为_________（用n表示）；
（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（，），则=_________；的坐标为_________.
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【答案】(1)9,
2n+1;（2）1；（2014，2）.
【解析】
【分析】
（1）按照图中火柴的个数填表即可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)当三角形的个数为：1、2、3、4时，火柴棒的个数分别为：3、5、7、9，由此可以看出当三角形的个数为n时，三角形个数增加n-1个，那么此时火柴棒的个数应该为：3+2（n-1）=2n+1，得出答案；
（2）如图，作O1A⊥x轴，连接OO1，由等边三角形的性质以及勾股定理可求得y1=1，从而可得O1的坐标为（，1），继而求得O2的坐标为（2，2），同理可得O3的坐标为（3，1），O4的坐标为（4，2），由此发现规律即可得O2014的坐标为（2014，2）．
【详解】
（1）观察以上图形，图④中所用火柴棒的根数为9，
猜想：在图n中，所用火柴棒的根数为2n+1（用n表示），
故答案为9，2n+1；
（2）将图n放在直角坐标系中，其中第一个基本图形的中心的坐标为（，)，
如图，作O1A⊥x轴，连接OO1，则有AO=，∠AOO1=30°，
∴OO1=2O1A，
又OA2+O1A2=O1O2，
∴OO1=2，O1A=1，
∴y1=1，
∴的坐标为（，1)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
按图示的辅助线，可得O1B=O1C=O1A=2，OC=2OA=2，O2C=2，
∴的坐标为（2，2），
同理，的坐标为（3，1），的坐标为（4，2），
…，
∴的坐标为（2014，2），
故答案为：
1；（2014，2）.
【点睛】
本题考查了图形变化类，本题解题关键根据第一问的结果总结规律是得到规律：三角形的个数每增加一个，火柴棒的个数增加2根，然后由此规律解答．
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精品试卷·第
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第三讲
勾股定理应用
【提升训练】
一、单选题
1．《九章算术》是我国古代数学的重
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（
）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2
D．x2＝（x﹣4）2＋22
2．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（
）
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A．海里
B．海里
C．40海里
D．海里
3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（
）
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A．6米
B．8米
C．10米
D．12米
5．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．0＜h≤11
B．11≤h≤12
C．h≥12
D．0＜h≤12
6．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（
）．
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A．
B．
C．
D．
7．一根竹竿插到水池中离岸边1.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（　　）www.21-cn-jy.com
A．2m
B．2.5cm
C．2.25m
D．3m
8．下列各组数据，不能作为直角三角形的三边长的是（　　　）
A．5、6、7
B．6、8、10
C．1.5、2、2.5
D．、2、
9．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（
）
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A．厘米
B．10厘米
C．厘米
D．8厘米
10．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（
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A．
B．
C．
D．
11．如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（　　　）www-2-1-cnjy-com
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A．13cm
B．8cm
C．7cm
D．15cm
12．一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（
）
A．5米
B．7米
C．8米
D．9米
13．如图所示，在长方形中，，若将长方形沿折叠，使点C落在边上的点F处，则线段的长为（
）
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A．
B．
C．
D．10
14．在ABC中，AB=12cm，
BC=16cm，
AC=20cm，
则斜边上的高是（
）
A．9.6cm
B．12cm
C．10cm
D．8cm
15．如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（
　
）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．8
C．10
D．12
16．如图，长方体的长为20cm，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)宽为15cm，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．cm
B．25cm
C．cm
D．16cm
17．如图，在长方体盒子上有一只蚂蚁从顶点出发，要爬行到顶点去找食物，已知长方体的长、宽、高分别为4、1、2，则蚂蚁走的最短路径长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．5
C．
D．7
18．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3.2m
B．3.5m
C．3.9m
D．4m
19．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
20．如图，数轴上点A所表示的数是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
21．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（
）
A．1，2，3
B．2，3，4
C．3，4，6
D．1，，2
22．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为和，则小正方形的面积为（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．3
C．2
D．1
23．为了庆祝国庆，八年级（1）班的同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（
）
A．0.6米
B．0.7米
C．0.8米
D．0.9米
24．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2.5米
B．2.6米
C．2.7米
D．2.8米
25．如图，小巷左右两侧
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2
米，则小巷的宽度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1.5
米
B．2.2
米
C．2.4
米
D．2.5
米
26．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（
）
A．5.45尺
B．4.55尺
C．5.8尺
D．4.2尺
27．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
28．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部（
）处．
A．5m
B．7m
C．7.5m
D．8m
29．古代数学的“折竹抵地”问题：“今
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC=9尺，BC=3尺，则AC等于（
）尺．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3.5
B．4
C．4.5
D．5
30．如图，等边的边长为8．P，Q分别是边上的点，连结，交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），则点O经过的路径长为．其中正确的（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①④
C．①②
D．①③④
31．如图，长方体的长为15
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）cm．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．25
B．20
C．24
D．10
32．刘徽是我国三国时期杰出的数学大师
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，他的一生是为数学刻苦探究的一生，在数学理论上的贡献与成就十分突出，被称为“中国数学史上的牛顿”．刘徽精编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的，这本著作是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．《周髀算经》
B．《九章算术》
C．《孙子算经》
D．《海岛算经》
33．如图，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图所示依次叠在③上，已知四边形EMNC与四边形MPQN的面积分别为9与7，则斜边BC的长为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．9
C．10
D．16
34．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如)向外延长1倍得到点，，，，并连结得到图2.已知正方形与正方形的面积分别为和，则图2中阴影部分的面积是(　　)21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
35．如图，透明的圆柱形玻璃
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4
cm
的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4
cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15
cm，则该圆柱底面周长为（
）cm．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9
B．10
C．18
D．20
36．2019年10月1日，中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　）
A．10m
B．11m
C．12m
D．13m
37．如图有一圆柱，高为8cm，底面直径为4cm，在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想吃上底面与A相对的B点处的食物，需爬行的最短路程大约为(取)(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10cm
B．12cm
C．14cm
D．20cm
38．如图是一块长、宽、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．cm
B．cm
C．cm
D．9cm
39．某航空公司经营中有A、B、C、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（　　）
A．1400元
B．1500元
C．1600元
D．1700元
40．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．28
C．20
D．
二、填空题
41．如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么_____°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
42．如图，在离水面高度为8米
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
43．有一个水池，水面是一个边长为10尺的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为_____尺．
44．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度______．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
45．如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A爬到另一顶点M，已知AB＝AD＝2，BF＝3．这只蚂蚁爬行的最短距离_____．【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
46．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
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（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
47．如图，红星村A和幸福村B在一条小河的同侧，它们到河岸的距离，分别为1和3，又知道的长为3，现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）请在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹）；
（2）求铺设水管的最省总费用．
48．如图，学校操场边有一块四边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．21·cn·jy·com
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
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49．如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点B处，且，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树处的A处，另一只猴子乙先爬到项D处后再沿缆绳滑到A处．己知两只猴子所经过的路程相等，设为．求这棵树高有多少米?21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
50．已知某开发区有一块
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
51．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知，，，，，求这块地的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
52．如图，一根长10米的木棒（AB），斜靠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在与地面（ON）垂直的墙（OM）上，OA＝8．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．21cnjy.com
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（1）求OB的长；
（2）当AA′＝2米时，求BB′的长．
53．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
54．如图，在中，，，是上一点，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）求的长．
55．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
56．已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90?，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．
（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．
（2）如图1，求证：．
（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
57．八年级1班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得BD的长度为8米：(注：BD⊥CE)
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米?
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
58．（问题探究）
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；
（问题解决）
(3)如图③，A、B两地相距600km,A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
59．如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．
（1）求的度数；
（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
60．如图①，是用3根相同火柴
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)棒拼成的一个三角图形，记为一个基本图形，将此基本图形不断的复制，使得相邻的两个基本图形的边重合，这样得到图②，图③…
（1）观察以上图形，图④中所用火柴棒的根数为_________，
猜想：在图n中，所用火柴棒的根数为_________（用n表示）；
（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（，），则=_________；的坐标为_________.
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精品试卷·第
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