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第三讲
立方根
【提升训练】
一、单选题
1．下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据算术平方根、立方根的定义计算即可
【详解】
A、负数没有平方根，故错误
B、表示计算算术平方根，所以，故错误
C、，故正确
D、，故错误
故选：C
【点睛】
本题考查算术平方根、立方根的计算，熟知任何数都有立方根、负数没有平方根是关键
2．以下计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
可以先求出的值，再求它的算术平方根；一个数的立方根只有一个；先算出的值，再添加号；负数的偶数次方等于正数．
【详解】
A．=25，，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，，符合题意；
D．，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握各自的定义是解题的关键．
3．的算术平方根等于（
）
A．9
B．
C．3
D．
【答案】C
【分析】
根据立方根、算术平方根的定义求解即可．
【详解】
解：因为，
所以=9，
因此的算术平方根就是9的算术平方根，
又因为9的算术平方根为3，即，
所以的算术平方根是3，
答案：C．
【点睛】
本题考查了立方根、算术平方根的定义，理解立方根、算术平方根的意义是得出答案的关键．
4．已知x为实数，且＝0，则x2+x﹣3的平方根为（ ）
A．3
B．﹣3
C．3和﹣3
D．2和﹣2
【答案】C
【分析】
根据立方根的性质得到x﹣3＝2x+1，求出x的值代入计算即可．
【详解】
解：∵x为实数，且＝0，
∴x﹣3＝2x+1，
解得：x＝﹣4，
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，
∴＝±3，
故选：C．
【点睛】
此题考查了求一个数的平方根，以及立方根的性质：互为相反数的立方根也互为相反数．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．（﹣2）3的立方根是﹣2
B．0.4的算术平方根是0.2
C．的立方根是4
D．16的平方根是4
【答案】A
【分析】
根据立方根的定义及平方根的定义依次判断即可得到答案．
【详解】
解：A．（﹣2）3的立方根是﹣2，故本选项符合题意；
B.0.04的算术平方根是0.2，故本选项不符合题意；
C.
的立方根是2，故本选项不符合题意；
D.16的平方根是±4，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查立方根的定义及平方根的定义，熟记定义是解题的关键．
6．若a2＝16，＝2，则a+b的值为（ ）
A．12
B．4
C．12或﹣4
D．12或4
【答案】D
【分析】
根据平方根和立方根的意义求出a、b即可．
【详解】
解：∵a2＝16，
∴a＝±4，
∵＝2，
∴b＝8，
∴a+b＝4+8或﹣4+8，
即a+b＝12或4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根以及有理数加法，解题关键是明确平方根和立方根的意义，准确求出a、b的值，注意：一个正数的平方根有两个．www-2-1-cnjy-com
7．下列说法错误的是（
）
A．中的可以是正数、负数、零
B．中的不可能是负数
C．数的平方根一定有两个，它们互为相反数
D．数的立方根只有一个
【答案】C
【分析】
按照平方根和立方根的性质判断即可．
【详解】
A.
中的可以是正数、负数、零，正确，不符合题意；
B.
中的不可能是负数，正确，不符合题意；
C.
0的平方根只有0，故原说法错误，符合题意；
D.
数的立方根只有一个，正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根的性质，解题关键是掌握平方根和立方根的性质．
8．给出下列四个说法：①一个数的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是±2．其中，正确的是（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
A．①②
B．①②③
C．②③
D．③
【答案】D
【分析】
分别根据算术平方根的定义、立方根的定义及平方根的定义对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
解：①∵（±1）2＝1，∴一个数的平方等于1，那么这个数就是1，故①错误；
②∵42＝16，∴4是16的算术平方根，故②错误，
③平方根等于它本身的数只有0，故③正确，
④8的立方根是2，故④错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了立方根，平方根和算术平方根的定义，熟知算术平方根的定义、立方根的定义及平方根的定义是解答此题的关键．【版权所有：21教育】
9．下列说法中正确的是（ ）
A．的平方根是
B．的算术平方根是C．与相等
D．的立方根是
【答案】C
【分析】
根据平方根，立方根，算术平方根的定义解答即可．
【详解】
A．的平方根为，故选项错误；
B．的算术平方根是，故选项错误；
C．，故选项正确；
D．的立方根是，故选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握是解题关键．
10．下列说法不正确的是（
）
A．的立方根是
B．的系数是
C．对顶角相等
D．若，则点是线段的中点
【答案】D
【分析】
依次根据立方根、单项式、对等角和中点的定义去判断即可．
【详解】
解：A.
的立方根是，正确，不符合题意；
B.
的系数是，正确，不符合题意；
C.对顶角相等，正确，不符合题意；
D.
在同一条直线上，若，则点是线段的中点，原说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查立方根、单项式、对等角和中点的定义．注意D选项中要在同一条直线上．
11．已知，且，则的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．1或
【答案】C
【分析】
根据平方根的定义及立方根的定义求出，利用法确定a=4，b=-3，代入a+b计算即可．
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴a=4，b=-3，
∴a+b=4-3=1，
故选：C．
【点睛】
此题考查平方根的定义及立方根的定义，绝对值的性质，有理数的加减法，正确理解平方根的定义及立方根的定义求出a及b的值是解题的关键．21教育网
12．下列说法中：①立方根等于本身的是,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（
）21cnjy.com
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】
根据平方根和立方根的性质，以及无理数的性质判断选项的正确性．
【详解】
解：立方根等于本身的数有：，1，0，故①正确；
平方根等于本身的数有：0，故②错误；
两个无理数的和不一定是无理数，比如和的和是0，是有理数，故③错误；
实数与数轴上的点一一对应，故④正确；
是无理数，不是分数，故⑤错误；
从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑥正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查平方根和立方根的性质，无理数的性质，解题的关键是熟练掌握这些概念．
13．下列各式计算正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据平方根的性质、立方根的性质依次化简即可判断．
【详解】
A、，故该项不符合题意；
B、，故该项不符合题意；
C、，故该项符合题意；
D、，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查平方根的性质、立方根的性质化简，熟记各性质是解题的关键．
14．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4
B．±＝4
C．＝－4
D．＝－3
【答案】D
【分析】
根据平方根、算术平方根的性质及立方根的性质分别计算，即可求出答案．
【详解】
解：A、=4，故A错误．
B、±=±4，故B错误．
C、=4，故C错误．
D、＝－3，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根的性质及立方根的性质，解题的关键是正确理解相关性质，本题属于基础题型．
15．已知x，y为实数，且，则yx的立方根是(
)
A．
B．－2
C．－8
D．±2
【答案】B
【分析】
根据算术平方根的非负性及平方的非负性求得x=3，y=-2，代入求出，根据立方根的性质即可得到答案．21
cnjy
com
【详解】
∵，且，
∴x-3=0，y+2=0，
∴x=3，y=-2，
∴，
∵-8的立方根是-2，
∴yx的立方根是-2，
故选：B．
【点睛】
此题考查算术平方根的非负性、平方的非负性，求一个数的立方根，正确掌握算术平方根的非负性及平方的非负性求出x、y的值是解题的关键．21教育名师原创作品
16．一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（
）倍．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
根据正方体的体积公式解答．
【详解】
解：设原来正方体的棱长为a，则原来正方体的体积为，
由题意可得现在正方体的体积为，
∵，
∴现在正方体的棱长为3a，
故选：B．
【点睛】
本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及正方体的体积计算方法是解题关键．
17．下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据算术平方根的定义，立方根的定义以及平方根的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A.，故本选项不合题意；
B.，正确；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根，立方根以及算术平方根的定义，熟记相关定义是解题的关键．
18．若的平方根是a，的立方根是b，则的值是（
）
A．9
B．
C．6
D．
【答案】A
【分析】
根据平方根、立方根的定义求出a、b，再代入计算．
【详解】
解：∵的平方根是a，即a为9的平方根，
∴．
∵的立方根是b，即b为8的立方根，
∴，
∴当，时，；
当，时，．
故选：A．
【点睛】
此题考查平方根的定义，立方根的定义，乘方运算，正确求出a与b的值是解题的关键．
19．若，，，则a，b，c的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据乘方运算，可得平方根、立方根，根据绝对值，可得绝对值表示的数，根据正数大于负数，可得答案．
【详解】
解：∵，，，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数比较大小，先化简，再比较，解题的关键是掌握乘方运算，绝对值的化简．
20．在实数，，，，，…（相邻两个3之间依次增加一个2）中，无理数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
先将可以化简的化简，再依据无理数的形式去判断即可，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
【详解】
解：，则是有理数．
实数，，，，，…（相邻两个3之间依次增加一个2）中无理数是，，…（相邻两个3之间依次增加一个2）．
故选C．
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
21．在实数﹣，0，，中，是无理数的是（ ）
A．﹣
B．0
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
在实数﹣，0，，中，是无理数的是﹣，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
22．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（ ）
A．287.2
B．28.72
C．13.33
D．133.3
【答案】C
【分析】
把变形为，进一步即可求出答案．
【详解】
解：．
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了立方根的定义，正确变形、熟练掌握立方根的概念是关键．
23．下列各式中,正确的是(
)
A．=±4
B．±=4
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项正确；
D、，此项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键．
24．下列实数，3.14，，1.010010001…（从左到右，每两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【答案】C
【分析】
根据无理数的定义、算术平方根与立方根逐个判断即可得．
【详解】
小数点后的是无限循环的，属于有理数，
属于有理数，
是无理数，
则无理数为，共有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数、算术平方根与立方根，熟记各定义是解题关键．
25．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据算术平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、的被开方数小于0，没有意义，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项错误；
D、，此项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、立方根是解题关键．
26．实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【分析】
根据数轴可得a>0，b<0，然后根据加法法则可得a＋b＜0，然后根据平方根的性质和绝对值的性质及立方根化简即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：由数轴可得：a>0，b<0，
∵|a|<|b|，
∴a＋b＜0，
∴
=
=2a
故选A．
【点睛】
此题考查的是平方根的化简和绝对值的化简及开立方根，掌握利用数轴判断各字母的符号、加法法则、平方根的性质和绝对值的性质是解题关键．21·cn·jy·com
27．设均为实数，且，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据算术平方根的定义得出A是一个非负数，且m-3≥0，推出3-m≤0，得出B≤0，即可得出答案，
【详解】
解：∵
∴A是一个非负数，且m-3≥0，
∴m≥3，
∵，
∵3-m≤0，
即B≤0，
∴A≥B，
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，平方根和立方根，实数的大小比较等知识点，题目比较好，但有一定的难度．
28．下列各式计算正确的是（ ）
A．=-1
B．=
±2
C．=
±2
D．±=3
【答案】A
【分析】
根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．
【详解】
解：∵-1，=
2，=
2，±=±3，
故只有A计算正确；
故选:A．
【点睛】
本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．
29．下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【分析】
根据绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、，则与不是相反数，此项不符题意；
B、与不是相反数，此项不符题意；
C、，则与互为相反数，此项符合题意；
D、，则与不是相反数，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义，熟记各运算法则和定义是解题关键．
30．下列等式成立的是（ ）
A．＝1
B．＝2
C．＝6
D．＝3
【答案】A
【分析】
分别根据算术平方根、立方根的定义逐一判断即可．
【详解】
A．书写规范，故本选项符合题意；
B.算术平方根只能是正数不能是负数，故本选项不合题意；
C.立方根与被开方数符号一致，故本选项符合题意；
D.33=27，27的立方根才等于3，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根与立方根的定义，熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键．
31．－的平方的立方根是（
）
A．4
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据题意列出代数式，然后再进行计算即可．
【详解】
解：由题意得：．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了平方和立方根，弄清题意、根据题意列出代数式是解答本题的关键．
32．实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（
）
A．
B．
C．0
D．
【答案】A
【分析】
先根据数轴上点的坐标特点确定a，b的符号，再去绝对值符号和开立方根，化简即可．
【详解】
由图可知：，
且，
∴，，
原式
．
故选：A．
【点睛】
考查了数轴，解答此题时可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．www.21-cn-jy.com
33．下列命题中，①81的平方根是9；②的平方根是±2；③?0.003没有立方根；④?64的立方根为±4；⑤，其中正确的个数有（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】
根据平方根的定义对①②进行判断；根据立方根的定义对③④进行判断；根据命题的定义对⑤进行判断．
【详解】
解：81的平方根是±9，所以①错误；
的平方根是±2，所以②正确；
-0.003有立方根，所以③错误；
?64的立方根为-4，所以④错误；
不符合命题定义，所以⑤正错误．
故选：A．21
cnjy
com
【点睛】
本题考查了立方根和平方根的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
34．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（
）
A．28.72
B．0.2872
C．13.3
D．0.1333
【答案】C
【分析】
根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】
解：∵≈1.333，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了立方根，如果一个数扩大1000倍，它的立方根就扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍．
35．下列语句正确的是（
）
A．是5的平方根
B．带根号的数都是无理数
C．的立方根是2
D．的算术平方根2
【答案】D
【分析】
根据平方根的意义求出，即可判断A；举一个反例根据无理数的意义即可判断B；根据立方根的意义求出，即可判断C；求出的值，根据算术平方根的意义即可判断D．
【详解】
解：是625的平方根，∴A选项错误；
=2，所以是有理数不是无理数，∴B选项错误；
=2，2的立方根是，∴C选项错误；
=4，4的算术平方根是2，∴D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了对无理数，平方根，算术平方根，立方根等知识点的理解和运用，关键是考查学生能否根据这些定义求出数的平方根、立方根、算术平方根．
36．下列运算中结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据立方根的定义、积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】
解：A．，该项结果不正确；
B．，该项结果不正确；
C．，该项结果正确；
D．，该项结果不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查立方根的定义、积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
37．下列叙述中，①1的立方根为±1；②4的平方根为±2；③－8立方根是－2；④的算术平方根为．正确的是（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】D
【分析】
分别求出每个数的立方根、平方根和算术平方根，再判断即可．
【详解】
∵1的立方根为1，∴①错误；
∵4的平方根为±2，∴②正确；
∵?8的立方根是?2，∴③正确；
∵的算术平方根是，∴④正确；
正确的是②③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根和立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．
38．有一个数值转换器，流程如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当输入的x值为64时，输出的y值是（
）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】
依据运算程序进行计算即可．
【详解】
解：=8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是．
故选：B．
【点睛】
本题考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
39．下列说法中，正确的是（
）
A．=±5
B．-42的平方根是±4
C．64的立方根是±4
D．0.01的算术平方根是0.1
【答案】D
【分析】
根据平方根、算术平方根及立方根的定义逐一判断即可得答案．
【详解】
A.=5，故该选项错误，不符合题意，
B.-42=-16，负数没有平方根，故该选项错误，不符合题意，
C.64的立方根是4，故该选项错误，不符合题意，
D.
0.01的算术平方根是0.1，故该选项正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平方根、算术平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；（2）一个正数或0只有一个算术平方根；（3）一个数的立方根只有一个．2·1·c·n·j·y
40．下列说法中，正确的个数是（
）．
（）的立方根是；（）的算术平方根是；（）的立方根为；（）是的平方根．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
根据立方根的意义，可知，故（）对；
根据算术平方根的性质，可知的算术平方根是，故（）错；
根据立方根的意义，可知的立方根是，故（）对；
根据平方根的意义，可知是的平方根．故（）对；
故选C.
二、填空题
41．已知，则____________．
【答案】16
【分析】
把移项到等号右边，等式两边同时开3次方，得到，求出的值，代入计算得数即可．
【详解】
解：
移项得
即
开三次方得
解得．
把代入，
．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了立方根的实际应用，已知字母的值求代数式的值，运用开立方根的方法求出的值是解题关键．
42．已知与互为相反数，则的值是____．
【答案】
【分析】
首先根据与互为相反数，可得+=0，进而得出，然后用含的代数式表示，再代入求值即可．
【详解】
解：∵与互为相反数，
∴+=0，
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算以及相反数，根据相反数的概念求得与之间的关系是解题关键．
43．的相反数是__；的倒数是__；2的平方根是__；9的算术平方根是__；实数8的立方根是__．
【答案】；
3；
±；
3；
2．
【分析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积是1的两个数互为倒数，平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义解答．
【详解】
解：﹣的相反数是；
∵3×＝1，
∴的倒数是3；
2的平方根是±；
∵32＝9，
∴9的算术平方根是3；
∵23＝8，
∴实数8的立方根是2．
故答案为：，3，±，3，2．
【点睛】
本题考查了实数的性质，主要涉及到相反数的定义，倒数的定义，平方根、算术平方根以及立方根的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键．
44．若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的算术平方根是______．
【答案】4
【分析】
首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入-n+2m，求出这个值的算术平方根即可．
【详解】
解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)-15，
∴m+3+2m-15=0，
解得：m=4，
∵n的立方根是-2，
∴n=-8，
把m=4，n=-8代入-n+2m=8+8=16，
所以-n+2m的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m、n值，然后再求-n+2m的算术平方根．
45．以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数1.70所表示的准确数的范围是；③的平方根是；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法有：_____．（请填写序号）
【答案】②
【分析】
根据有理数、近似数字、平方根、立方根等概念即可判断．
【详解】
解：①正有理数、负有理数和零统称为有理数，故原说法错误；
②根据四舍五入可知，近似数1.70所表示的准确数的范围是，说法正确；
③的平方根是，原说法错误；
④立方根是它本身的数是0和±1，原说法错误；
故答案为：②．
【点睛】
本题考查学生对概念的理解，解题的关键是正确理解有理数、近似数字、平方根、立方根等概念，本题属于基础题型．2-1-c-n-j-y
三、解答题
46．求出下列等式中x的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先根据等式的性质化为，再根据平方根的定义即可求解；
（2）先根据等式的性质得到，再化为，根据立方根的定义即可求解．
【详解】
解：（1）；
，
；
（2），
，
，
．
【点睛】
本题考查了根据平方根、立方根的定义解方程，熟知平方根，立方根的定义，理解解方程就是将方程转化为“”的形式是解题的关键．
47．计算：．
【答案】
【分析】
根据开平方的运算法则及开立方的法则分别计算，再进行加减计算即可．
【详解】
解：原式=0.5+2-=．
【点睛】
本题考查了开平方的运算法则及开立方的法则，正确运用运算法则及运算顺序是解题的关键．
48．根据条件求值．
（1）求代数式的值，其中；
（2）已知的一个平方根是3,的立方根是3，求的平方根．
【答案】（1）；（2）±3
【分析】
（1）直接将a和b的值代入计算；
（2）根据平方根和立方根的定义求出a和b的值，代入计算，再求出a+2b的平方根．
【详解】
解：（1）∵，
∴
=
=；
（2）由题意可得：
2a-1=9，3a+6b=27，
解得：a=5，b=2，
∴a+2b=9，
∴a+2b的平方根为±3．
【点睛】
本题考查了代数式求值，平方根、立方根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
49．求下列各式中x的值：
（1）﹣25＝0；
（2）﹣27＝0．
【答案】（1）＝3，＝﹣2；（2）x＝2．
【分析】
（1）先移项，再根据平方根的定义开平方即可得；
（2）先移项，再根据立方根的定义开立方可得关于x的方程，解之可得．
【详解】
解：（1）∵﹣25＝0，
∴＝25，
∴2x﹣1＝±5，
则2x＝1±5，
即＝3，＝﹣2；
（2）∵﹣27＝0，
∴＝27，
∴x+1＝3，
解得x＝2．
【点睛】
本题考查了平方根，立方根，熟记定义是解题的关键．
50．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）按照有理数混合运算的顺序和法则进行计算即可；
（2）先算乘方、立方根、算术平方根、绝对值，再进行计算即可；
【详解】
解：（1）
（2）
【点睛】
本题考查了有理数和实数计算，解题关键是熟练掌握相关知识，按照法则正确计算和准确计算立方根、算术平方根、绝对值．21·世纪
教育网
51．已知a的平方等于4，b的算术平方根等于4，c的立方等于8，d的立方根等于8，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求的值．
【答案】（1）a＝±2，b＝16，c＝2，d＝512；（2）6或2
【分析】
（1）结合题意，根据乘方、算数平方根、立方根的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据有理数混合运算以及算数平方根的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵a2＝4，
∴a＝±2
，
∴b＝16
∵c3＝8，
∴c＝2
，
∴d＝512；
（2）当a＝2时，
当a＝-2时，
∴的值为6或2．
【点睛】
本题考查了乘方、算数平方根、立方根、有理数混合运算的知识；解题的关键是熟练掌握乘方、算数平方根、立方根的性质，从而完成求解．
52．一个正数的平方根分别是2a+5和2a-1，b-30的立方根是-3，求：
（1）求a，b的值，
（2）求a+b的算术平方根．
【答案】（1）a＝-1，b＝3；（2）
【分析】
（1）根据平方根、立方根的性质，通过求解一元一次方程，即可求出a、b的值；
（2）结合（1）的结论，将a与b的值代入a+b中计算，即可得到答案．
【详解】
（1）由题意可知：，
解得：a＝-1，b＝3；
（2）∵
∴的算术平方根是．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、算数平方根、一元一次方程的性质，从而完成求解．
53．计算：
【答案】．
【分析】
先算平方根、立方根、乘方和绝对值，再加减．
【详解】
解：，
=，
=．
【点睛】
本题考查了乘方、立方根、平方根和绝对值的混合运算，解题关键是熟练应用相关法则，准确进行运算．
54．求下列各式中x的值．
（1）2x2＝72；
（2）（x+1）3+3＝﹣61．
【答案】（1）x＝6或x＝﹣6；（2）x＝﹣5
【分析】
（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；
（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．
【详解】
解：（1）2x2＝72
x
2＝36，
故x＝±6，
则x＝6或x＝﹣6；
（2）（x+1）3+3＝﹣61
（x+1）3＝﹣64，
x+1＝﹣4
∴x＝﹣5．
【点睛】
此题主要考查了立方根和平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
55．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2），8．
【分析】
（1）先计算算术平方根和立方根，在加减即可；
（2）先按整式运算法则化简，再代入求值．
【详解】
解：（1）原式
（2）原式
把代入，原式．
【点睛】
本题考查了立方根和算术平方根，整式的化简求值，解题关键是熟练运用二次根式和整式运算法则进行计算．
56．已知2x＋3的算术平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，求x﹣2y＋10的平方根．
【答案】±9
【分析】
根据立方根与算术平方根的定义得到5x＋y＋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2＝27，2x＋3＝25，则可计算出x＝11，y＝﹣30，然后计算x﹣2y＋10后利用平方根的定义求解．
【详解】
解：因为2x＋3的算术平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，
∴
解得：，
∴x﹣2y＋10＝81，
∴x﹣2y＋10的平方根为：．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根，平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
57．计算：
【答案】
【分析】
先计算平方、立方根、绝对值，再加减即可．
【详解】
解：
＝
＝
＝
【点睛】
本题考查了实数的计算，解题关键是准确的计算立方根、算术平方根和乘方，明确绝对值的意义．
58．计算：
（1）；
（2）求x值：．
【答案】（1）0；（2）．
【分析】
（1）先求算术平方根、立方根、0指数，再计算；
（2）方程两边除以4，再开方即可．
【详解】
解：（1）
=4-3-1
=0
（2），
系数化为1得，，
开方得，．
【点睛】
本题考查了算术平方根、立方根和0指数，解题关键是熟练的运用相关知识求值，并准确计算，注意：一个正数的平方根有两个．
59．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2；（2）0．
【分析】
（1）先计算乘方，再计算乘法和减法，即可得到答案；
（2）由算术平方根和立方根进行化简，即可得到答案．
【详解】
解：（1）原式；
（2）．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，算术平方根，立方根，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
60．本学期第四章《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．
运算
求一个数的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算．
求一个数的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算
性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数：的平方根是；负数没有平方根．
正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数．
表示方法
正数的平方根可以表示为“”
一个数的立方根可以表示为“”
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
（类比探索）
（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
．
（2）探究性质：
①的四次方根是 ；②的四次方根是 ；
③的四次方根是 ；④的四次方根是 ；
⑤的四次方根是 ；⑥ （填“有"或"“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
；
（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ．
（拓展应用）
（1） ；
（2） ；
（3）比较大小： ．
【答案】【类比探索】（1）依次为：±1，±2，±3；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根；（2）①；②；③；④；⑤；⑥没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根；（3）类比、分类讨论、从特殊到一般等．【拓展应用】（1）；（2）；（3）．【出处：21教育名师】
【分析】
（1）先计算填表，在类比平方根，立方根的定义，即可给四次方根下定义；
（2）根据四次方根的定义求解，类比平方根，立方根的的性质即可得到四次方根的性质特征；
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，利用四次方根的定义求解，再计算并比较两个数的四次方，进而得出答案．
【详解】
（1）类比平方根，立方根的定义，当时，当时，当时，所以填表如下：
结合上述表格,类比平方根和立方根的定义，则四次方根的定义为：一般地，如果一个数的四次方根等于，那么这个数叫做的四次方根，这就是说，如果，那么叫做
的四次方根．
（2）根据四次方根的定义计算：
①的四次方根是；②的四次方根是；③的四次方根是；④的四次方根是；⑤的四次方根是；⑥没有四次方根；
类比平方根，立方根的性质可得四次方根的性质为：一个正数由两个四次方根，他们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根．
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，
【拓展应用】
根据四次方根的定义计算得：
（1）；
（2）
（3），，，
【点睛】
本题考查了方根的定义，类比平方根，立方根的定义和性质，学习四次方根，解题关键是在求四次方根时，注意正数的四次方根有2个，它们互为相反数．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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第三讲
立方根
【提升训练】
一、单选题
1．下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．以下计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
3．的算术平方根等于（
）
A．9
B．
C．3
D．
4．已知x为实数，且＝0，则x2+x﹣3的平方根为（ ）
A．3
B．﹣3
C．3和﹣3
D．2和﹣2
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．（﹣2）3的立方根是﹣2
B．0.4的算术平方根是0.2
C．的立方根是4
D．16的平方根是4
6．若a2＝16，＝2，则a+b的值为（ ）
A．12
B．4
C．12或﹣4
D．12或4
7．下列说法错误的是（
）
A．中的可以是正数、负数、零
B．中的不可能是负数
C．数的平方根一定有两个，它们互为相反数
D．数的立方根只有一个
8．给出下列四个说法：①一个数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是±2．其中，正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．①②
B．①②③
C．②③
D．③
9．下列说法中正确的是（ ）
A．的平方根是
B．的算术平方根是C．与相等
D．的立方根是
10．下列说法不正确的是（
）
A．的立方根是
B．的系数是
C．对顶角相等
D．若，则点是线段的中点
11．已知，且，则的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．1或
12．下列说法中：①立方根等于本身的是,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（
）21cnjy.com
A．3
B．4
C．5
D．6
13．下列各式计算正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
14．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4
B．±＝4
C．＝－4
D．＝－3
15．已知x，y为实数，且，则yx的立方根是(
)
A．
B．－2
C．－8
D．±2
16．一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（
）倍．
A．2
B．3
C．4
D．5
17．下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
18．若的平方根是a，的立方根是b，则的值是（
）
A．9
B．
C．6
D．
19．若，，，则a，b，c的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
20．在实数，，，，，…（相邻两个3之间依次增加一个2）中，无理数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
21．在实数﹣，0，，中，是无理数的是（ ）
A．﹣
B．0
C．
D．
22．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（ ）
A．287.2
B．28.72
C．13.33
D．133.3
23．下列各式中,正确的是(
)
A．=±4
B．±=4
C．
D．
24．下列实数，3.14，，1.010010001…（从左到右，每两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（
）21教育网
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
25．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
26．实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．0
27．设均为实数，且，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
28．下列各式计算正确的是（ ）
A．=-1
B．=
±2
C．=
±2
D．±=3
29．下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
30．下列等式成立的是（ ）
A．＝1
B．＝2
C．＝6
D．＝3
31．－的平方的立方根是（
）
A．4
B．
C．
D．
32．实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（
）
A．
B．
C．0
D．
33．下列命题中，①81的平方根是9；②的平方根是±2；③?0.003没有立方根；④?64的立方根为±4；⑤，其中正确的个数有（
）21·cn·jy·com
A．1
B．2
C．3
D．4
34．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（
）
A．28.72
B．0.2872
C．13.3
D．0.1333
35．下列语句正确的是（
）
A．是5的平方根
B．带根号的数都是无理数
C．的立方根是2
D．的算术平方根2
36．下列运算中结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
37．下列叙述中，①1的立方根为±1；②4的平方根为±2；③－8立方根是－2；④的算术平方根为．正确的是（
）www.21-cn-jy.com
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
38．有一个数值转换器，流程如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当输入的x值为64时，输出的y值是（
）
A．4
B．
C．2
D．
39．下列说法中，正确的是（
）
A．=±5
B．-42的平方根是±4
C．64的立方根是±4
D．0.01的算术平方根是0.1
40．下列说法中，正确的个数是（
）．
（）的立方根是；（）的算术平方根是；（）的立方根为；（）是的平方根．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
41．已知，则____________．
42．已知与互为相反数，则的值是____．
43．的相反数是__；的倒数是__；2的平方根是__；9的算术平方根是__；实数8的立方根是__．
44．若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的算术平方根是______．
45．以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数1.70所表示的准确数的范围是；③的平方根是；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法有：_____．（请填写序号）2·1·c·n·j·y
三、解答题
46．求出下列等式中x的值：
（1）；
（2）．
47．计算：．
48．根据条件求值．
（1）求代数式的值，其中；
（2）已知的一个平方根是3,的立方根是3，求的平方根．
49．求下列各式中x的值：
（1）﹣25＝0；
（2）﹣27＝0．
50．计算：
（1）
（2）
51．已知a的平方等于4，b的算术平方根等于4，c的立方等于8，d的立方根等于8，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求的值．
52．一个正数的平方根分别是2a+5和2a-1，b-30的立方根是-3，求：
（1）求a，b的值，
（2）求a+b的算术平方根．
53．计算：
54．求下列各式中x的值．
（1）2x2＝72；
（2）（x+1）3+3＝﹣61．
55．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
56．已知2x＋3的算术平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，求x﹣2y＋10的平方根．
57．计算：
58．计算：
（1）；
（2）求x值：．
59．计算：
（1）；
（2）．
60．本学期第四章《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．
运算
求一个数的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算．
求一个数的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算
性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数：的平方根是；负数没有平方根．
正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数．
表示方法
正数的平方根可以表示为“”
一个数的立方根可以表示为“”
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
（类比探索）
（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
．
（2）探究性质：
①的四次方根是 ；②的四次方根是 ；
③的四次方根是 ；④的四次方根是 ；
⑤的四次方根是 ；⑥ （填“有"或"“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
；
（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ．
（拓展应用）
（1） ；
（2） ；
（3）比较大小： ．
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精品试卷·第
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