中小学教育资源及组卷应用平台
第三讲
平行的判定
【提升训练】
一、单选题
1．下列命题中，真命题的是（
）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．相等的角是对顶角
C．同位角相等
D．直角三角形两个锐角互补
【答案】A
【分析】
利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
C、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；
D、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义，难度不大．
2．在下列命题中，为真命题的是（
）
A．相等的角是对顶角
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．同旁内角互补
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】B
【分析】
根据对顶角、平行公理的推论、平行线的判定、同旁内角逐项判断即可得．
【详解】
A、相等的角不一定是对顶角，此项是假命题；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，此项是真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，此项是假命题；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此项是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
3．下列命题中真命题的个数（
）
①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；④的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】
根据无理数、平行公理、邻补角、算术平方根、实数与数轴、平行线的判定逐个判断即可得．
【详解】
①无理数包括正无理数和负无理数，此命题是假命题；
②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此命题是真命题；
③和为的两个角不一定互为邻补角，此命题是假命题；
④的算术平方根是，此命题是假命题；
⑤实数和数轴上的点一一对应，此命题是假命题；
⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此命题是假命题；
综上，真命题的个数是1个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了无理数、平行公理、邻补角、实数与数轴等知识点，熟练掌握各定义与公理是解题关键．
4．有下列命题：①两点之间，线段最短；②相等的角是对顶角；③当a≥0时，|a|=a；④内错角互补，两直线平行．其中是真命题的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
根据线段公理、对顶角、绝对值运算、平行线的判定逐个判断即可得．
【详解】
①两点之间，线段最短，是真命题；
②相等的角不一定是对顶角，是假命题；
③当时，，即非负数的绝对值等于它本身，是真命题；
④内错角相等，两直线平行，是假命题；
综上，真命题的个数是2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段公理、对顶角、绝对值运算、平行线的判定，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．
5．如图，已知，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】C
【分析】
利用得到对应边和对应角相等可以推出①③，根据对应角相等、对应边相等可推出②④⑦，再根据全等三角形面积相等可推出⑤，正确；根据已知条件不能推出⑥．
【详解】
解：①∵
∴故①正确；
②∵
∴即：，故②正确；
③∵
∴；
∴即：，故③正确；
④∵
∴；
∴，故④正确；
⑤∵
∴，故⑤正确；
⑥根据已知条件不能证得，故⑥错误；
⑦∵
∴；
∴，故⑦正确；
故①②③④⑤⑦，正确的6个．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解答此题的关键．
6．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
【答案】D
【解析】
因为∠DAM和∠CBM是直线AD和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC被直线AB的同位角,因为∠DAM＝∠CBM根据同位角相等,两直线平行可得AD∥BC，所以D选项错误,故选D.
7．如图，下列条件：①；②；③；④，其中能判断直线的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．②④
B．③④
C．②③
D．①④
【答案】A
【分析】
根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
解：①由∠1=∠2不能得到l1∥l2，故本条
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)件不合题意；
②∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③由∠6+∠4=180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
④∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
8．如图，下列判断中错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．由∠A+∠ADC=180°得到AB∥CD
B．由AB∥CD得到∠ABC+∠C=180°
C．由∠1=∠2得到AD∥BC
D．由AD∥BC得到∠3=∠4
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质与判定，逐一判定．
【详解】
A．由∠A+∠ADC=180°得到AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），正确；
B．由AB∥CD得到∠ABC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；
C．由∠1=∠2得到AD∥BC（内错角相等，两直线平行），正确；
D．由AD∥BC得到∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），所以此选项错误．
故选：D．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质．解题时注意内错角与同旁内角的确定，关键是找到哪两条直线被第三条直线所截构造的内错角与同旁内角．
9．如图，下列能判断AB∥CD的条件有
（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①∠B+∠BCD=180°
②∠1
=
∠2
③∠3
=∠4
④∠B
=
∠5
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
判断平行的条件有：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，依次判断各选项是否符合．
【详解】
①∠B+∠BCD=180°，则同旁内角互补，可判断AB∥CD；
②∠1
=
∠2，内错角相等，可判断AD∥BC，不可判断AB∥CD；
③∠3
=∠4，内错角相等，可判断AB∥CD；
④∠B
=
∠5，同位角相等，可判断AB∥CD
故选：C
【点睛】
本题考查平行的证明，注意②中，∠1和∠2虽然是内错角关系，但对应的不是AB与CD这两条直线，故是错误的．
10．下列命题中，真命题是（
）
A．过一点且只有一条直线与已知直线平行
B．两个锐角的和是钝角
C．一个锐角的补角比它的余角大90°
D．同旁内角相等，两直线平行
【答案】C
【分析】
根据平行线的公理及判定、角的定义和补角和余角的定义可逐一判断．
【详解】
解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；
B、两个锐角的和不一定是钝角，如20°+20°=40°，是假命题；
C、一个锐角的补角比它的余角大90°，是真命题；
D、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的公理及性质，掌握平行线的公理及判定、角的定义和补角和余角的定义是关键．
11．如图，将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中能得出AD∥BC的条件个数是（
??)
①∠2=∠4：②∠2+∠3=180°；③∠1=∠6：④∠4=∠5
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】
分别利用同旁内角互补两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行得出答案即可．
【详解】
①
∵∠2=∠4，
∴AD∥BC（同位角相等两直线平行），符合题意；
②∵∠2+∠3=180°，∠5+∠3=180°，
∴∠5=∠2，
∴GF∥HE，
因为GF和HE是由DF和CE折叠得到的，
∴FD∥EC，即AD∥EC，符合题意；
③∠1=∠6，由折叠性质知∠1=∠FEC，
∴∠6=∠FEC，
∴AD∥BC，符合题意：
④由折叠的性质知,
∠GFE=∠DFE，
∴∠DFE=∠5+∠6，
∵∠6+∠DFE=180°，
∴∠5+2∠6=180°，
∵∠4=∠5，
∴∠4+2∠6=180°，
又∵∠4+2∠1=180°，
∴∠6=∠1=∠FEC，
∴AD∥BC，符合题意.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故答案为：D.
【点睛】
此题考查了平行线的判定，平行线的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．www-2-1-cnjy-com
12．下列命题中的假命题是（
）
A．两直线平行，内错角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同旁内角相等
D．平行于同一条直线的两直线平行
【答案】C
【分析】
根据平行线的判定方法和性质对各选项的真假进行判断．
【详解】
A、两直线平行，内错角相等，所以A选项为真命题；
B、同位角相等，两直线平行，所以B选项为真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补角，所以C选项为假命题；
D、平行于同一条直线的两直线平行，所以D选项为真命题．
故选C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．21
cnjy
com
13．有下列命题：①对顶角相等：②垂直于同一条直线的两直线垂直；③平行于同一条直线的两直线平行；④内错角相等.其中假命题有(
)
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
【答案】C
【分析】
根据对顶角的性质、平行线的判定和性质定理判断即可．
【详解】
解：对顶角相等，①是真命题；
垂直于同一条直线的两直线平行，②是假命题；
平行于同一条直线的两直线平行，③是真命题；
两直线平行，内错角相等，④是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断和平行线的判定和性质，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．【来源：21cnj
y.co
m】
14．下列四个图形中∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是( )
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】B
【分析】
根据两条直线被第三条所截，如果同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【详解】
A选项中，∠1和∠2为对顶角，不能判断，此选项错误；
B选项中，根据∠1=∠2，且∠1和∠2的对顶角是同位角，可以得出，此选项正确；
C选项中，直线AB和直线CD被直线AC所截的同位角不是∠1和∠2，不能判断，此选项错误；
D选项中，∠1和∠2是内错角，可以得出，不能判断，此选项错误.
故选项B.
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行判定的前提条件必须是三线八角.
15．如图，已知∠1=68°，要使AB∥CD，则具备的另一个条件可以是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠2=112°
B．∠2=122°
C．∠2=68°
D．∠3=112°
【答案】A
【分析】
欲使AB∥CD，在图中发现AB、CD被一直线所截，且已知∠1=68°，故可按同旁内角互补，两直线平行补充条件．
【详解】
要使AB∥CD，
∴只要∠1+∠2=180°．
∵∠1=68°，
∴∠2=180°-68°=112°，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了判定两直线平行的问题，可围绕
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．21世纪教育网版权所有
16．下列命题中，逆命题不正确的是（
）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．对顶角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
【答案】B
【分析】
首先写出各个命题的逆命题，然后利用平行线的判定，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】
解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确，故本选项错误；
B、逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故本选项正确；
C、逆命题是：若一个三角形两锐角互余，则为直角三角形，正确，故本选项
误；
D、逆命题是：若一个三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方则为直角三角形，正确，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查写一个命题的逆命题的方法及利用平行线的判定，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，注意要分清命题的条件与结论，难度适中．
17．如图，直线、与直线相交，给出下列条件：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①；②；③；④．能判断的是（
）．
A．①②④
B．①③④
C．①②③④
D．①③
【答案】B
【分析】
直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【详解】
：①∵∠1=∠2，
∴a∥b，故此
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)选项正确；
②∠3=∠5无法得出a∥b，故此选项错误；
③∵∠4+∠7=180°，
∴a∥b，故此选项正确；
④∵∠5+∠3=180°，
∴∠2+∠5=180°，
∴a∥b，故此选项正确；
综上所述，正确的有①③④．
故选：B．【来源：21·世纪·教育·网】
【点睛】
此题考查平行线的判定，正确把握平行线的几种判定方法是解题关键．
18．如图.在不等边△ABC中，PM⊥AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，垂足为M，PN⊥AC，垂足为N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，下列结论.①AN=AM，②QP∥AM，③△BMP≌△QNP，其中正确的是（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②
C．②③
D．①
【答案】B
【分析】
利用“HL”证明△APM和△APN全
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等，根据全等三角形对应边相等可得AN=AM；全等三角形对应角相等可得∠PAM=∠PAN，再根据等边对等角可得∠PAN=∠APQ，从而得到∠PAM=∠APQ，然后根据内错角相等，两直线平行可得QP∥AM；欲证△BMP和△QNP全等，须得BP=PQ=AQ，从而得到AC=BC，而此条件无法得到，所以，两三角形不一定全等．
【详解】
∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴∠AMP=∠ANP=90°，
在Rt△APM和Rt△APN中，
∴Rt△APM≌Rt△APN(HL)，
∴AN=AM，故①正确；
∠PAM=∠PAN，
∵PQ=QA，
∴∠PAN=∠APQ，
∴∠PAM=∠APQ，
∴QP∥AM，故②正确；
假设△BMP≌△QNP，
则BP=PQ，
∵PQ=QA，
∴BP=PQ=AQ，
又∵QP∥AM，
∴AC=BC，
此条件无法从题目得到，
所以，假设不成立，故③错误.
综上所述，正确的是①②.
故选B.
【点睛】
本题主要考察角平分线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定.
19．如图，已知中，
，，，则三个结论：①
；②
；③中( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．全部正确
B．①和②正确
C．仅①正确
D．①和③正确
【答案】B
【分析】
易证Rt△ARP≌Rt△ASP，可得AS=AR，∠RAP=∠1，再根据∠1=∠2，即可求得，即可解题.
【详解】
解：在Rt△ARP和Rt△ASP中，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL）
∴∠RAP=∠1，，
故①正确；
∵∠1=∠2
∴∠RAP=∠2
∴，故②正确；
∵△BRP和△QSP中，只有一个条件PR=PS，没有其余条件可以证明，
故③错误；
故选B
【点睛】
本题考查三角形全等的判定及性质，还涉及了平行线的判定，熟练掌握各个性质定理是解题关键.
20．如图，下列条件：中能判断直线的有(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；
②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；
③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；
④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；
⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
21．如图所示，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠1＝∠4
B．∠3＝∠4
C．∠2+∠3＝180°
D．∠1+∠D＝180°
【答案】A
【分析】
根据各选项中角的关系及平行线的判定定理，分别分析判断AD、BC是否平行即可．
【详解】
A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），但不能判定AD∥BC；
B、∵∠3＝∠4，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；
C、∵∠2+∠3＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
D、∵∠1+∠D＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．2·1·c·n·j·y
22．如图，若与互补，与互补，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等角的补角相等得到∠1=∠3，然后根据内错角相等，两直线平行进行判断．
【详解】
因为与互补，与互补，
所以，
所以（内错角相等，两直线平行）.
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
23．如图，下列选项中，不能判断直线的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，分别进行分析即可．
【详解】
解：A、∠2=∠1，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意；
B、根据内错角相等，两直线平行，可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
C、根据同位角相等，两直线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平行，可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行，可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
24．如图,有以下四个条件：①∠B+∠BCD=180°,②∠1=∠2,③∠3=∠4,④∠B=∠5.其中不能判定AB∥CD的条件是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
【详解】
①∵∠B+∠BDC=180?，
∴AB∥CD；
②∵∠1=∠2，
∴AD∥BC；
③∵∠3=∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B=∠5，
∴AB∥CD；
∴能得到AB∥CD的条件是①③④．
故选B
【点睛】
此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理
25．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF，下列结论错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠C＝∠B
B．DF∥AE
C．∠A+∠D＝90°
D．CF＝BE
【答案】C
【解析】
【分析】
根据HL证明Rt△CFD≌Rt△BEA，利用全等三角形的性质即可一一判断．
【详解】
∵CE＝BF，
∴CE﹣EF＝BF＝EF，
∴CF＝BE，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△CFD和Rt△BEA中，
，
∴Rt△CFD≌Rt△BEA（HL），
∴∠C＝∠B，∠D＝∠A，
∴CD∥AB，故A，B，D正确，
∵∠C+∠D＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，故C错误，
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．如图，已知点E在BC的延长线上，则下列条件中不能判断AB∥CD的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠B＝∠DCE
B．∠BAD+∠D＝180°
C．∠1＝∠4
D．∠2＝∠3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【详解】
A、根据同位角相等，两直线平行即可证得，故选项错误；
B、根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得，故选项错误；
C、根据内错角相等，两直线平行即可证得，故选项错误；
D、∠2和∠3是AD和BC被AC所截形成的角，因而不能证明AB∥CD，故选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理，正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
27．如图，下列条件：①∠1=∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2；②∠4=∠5；③∠2+∠5=180°；④∠1=∠3；⑤∠6=∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【答案】C
【分析】
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
解：①∵∠1=∠2，不能判定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
l1∥l2，故本小题错误；
②∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；
③∵∠2+∠5=180°，不能判定l1∥l2，故本小题错误；
④∵∠1=∠3，∴
l1∥l2，故本小题正确；
⑤∵∠6=∠1+∠2=∠3+∠2，∴∠1=∠3
∴l1∥l2，故本小题正确．
故选C．21教育网
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题关键．
28．能判定直线的条件是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；依据平行线的判定方法得出结论．
【详解】
解：A．由∠1＝58°，∠3＝59°，不能判定直线a∥b；
B．由∠2＝118°，∠3＝59°，不能判定直线a∥b；
C．由∠2＝118°，∠4＝119°，不能判定直线a∥b；
D．由∠1＝61°，∠4＝119°，可得∠3＝∠1＝61°，能判定直线a∥b；
故选D．
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
29．下列图形中，由∠1=∠2，能得到AB//CD的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】B
【详解】
分析：利用平行线的判定方法判断即可．
详解：如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选B．
点睛：本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．
30．在下面的四个图形中,已知∠1=∠2,那么能判定AB∥CD的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
若∠1=∠2，则下列四个图形中，能够判定AB∥CD的是A，
故选A
．
31．如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠A=∠CDE；④∠A+∠ADC=180°．其中，能推出AB∥DC的条件为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①④
B．②③
C．①③
D．①③④
【答案】D
【详解】
解：①∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故本选项正确；
②∵∠3=∠4，∴BC∥AD，故本选项错误；
③∵∠A=∠CDE，∴AB∥CD，故本选项正确；
④∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD，故本选项正确．
故选D.
二、填空题
32．如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤.其中能够得到AB//CD的条件是_______.(只填序号)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】①②⑤
【分析】
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可
【详解】
解：①∵∠1=∠B，∴AB∥CD，故本
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小题正确；
②∵∠2=∠5，∴AB∥CD，故本小题正确；
③∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故本小题错误；
④∵∠1=∠D，∴AD∥BC，故本小题错误；
⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD，故本小题正确．
故答案为①②⑤．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．21·世纪
教育网
33．如图，已知CE⊥AB，垂足
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为点E，DF⊥AB，垂足为点F，AF=BE，AC=BD，则下列结论：①Rt△AEC≌Rt△BFD；②∠C+∠B=90°；③AC∥BD；④∠A=∠D．
其中正确的结论为____．（填序号）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】①②③
【分析】
由CE⊥AB，DF⊥AB可得△ACE和△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BDF都是直角三角形；进而结合AC=BD，可以证明出△ACE≌△BDF；从上面的全等三角形可以得出其中相等的边和角，即可以判断题中正确的选项.
【详解】
∵CE⊥AB，DF⊥AB
∴△ACE和△BDF都是直角三角形
∵AF=BE，EF公用
∴AE=BF
∵AE=BF，AC=BD，△ACE和△BDF都是直角三角形
∴Rt△AEC≌Rt△BFD
即①正确；
∵Rt△AEC≌Rt△BFD
∴∠CAB=∠ABD
故④错误；
∵在△AEC中，CE⊥AB
∴∠ACE+∠CAB=90°
∵∠ACE+∠CAB=90°，∠CAB=∠ABD
∴∠ACE+∠ABD=90°
故②正确；
∵∠CAB=∠ABD
∴AC∥BD
故③正确.
故答案为：①②③.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握判定定理与相关性质是解题的关键．
34．学习近平行线后，学霸君想出了
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知学霸君画平行线的依据可以是___________
（把下列所有正确结论的序号都填在横线上）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，两直线平行.
【答案】②③④
【解析】
【分析】
理解折叠过程，根据直线平行条件即可解答.
【详解】
由图可知，虚线与其他折痕垂直，根据折后角的关系可得同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，所以选②③④.
故答案为②③④
【点睛】
考查平行线的判定，理解折叠过程是解答本题的关键.
35．完成下面的证明过程．
已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．
证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，
∴∠1＝∠C(__________________)，
∴AB∥CD(________________________)．
【答案】互余的定义；互余的定义；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】
因为∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．得出∠C=∠1，从而证得AB∥CD．
【详解】
证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(互余的定义)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_互余的定义)，
∴∠1＝∠C(同角的余角相等)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
【点睛】
此题考查的知识点是平行线的判定，同角的余角相等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题
36．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：BC∥EF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
先根据AF=DC，可推得AF-CF=D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C-CF，即AC=DF；再根据已知AB=DE，BC=EF，根据全等三角形全等的判定定理SSS，即可证明△ABC≌△DEF，然后利用全等三角形的性质求解．21·cn·jy·com
【详解】
证明：∵AF=DC，
∴AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠ACB=∠DFE
又∵∠ACB+∠BCD=180°
；∠DFE+∠EFA=180°
∴∠BCD=∠EFA
∴BC∥EF
【点睛】
本题考查了全等三角形全等的判定和性质，熟练掌握各判定定理正确推理论证是解题的关键．
37．如图，已知，点、在线段上．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）线段与的数量关系是：_________，判断该关系的数学根据是：
（用文字表达）；
（2）判断与之间的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）相等（或写），全等三角形的对应边相等；（2），见详解
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可解答
（2）根据两个三角形全等得，然后根据等角的补角相等，得出，根据平行的判定条件：内错角相等，两直线平行即可证明
【详解】
（1）∵
∴AD=BC
根据全等三角形的对应边相等
故答案为：相等（或写）
全等三角形的对应边相等
（2）猜想：．
理由：
∵，
∴，
∵∠ADB=180°－∠ADF
∠CBD=180°－∠CBE
∴，
∴
故答案为
【点睛】
本题考察全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，以及平行四边形的判定条件：内错角相等，两直线平行，熟练掌握性质和判定是解题的关键
38．如图，分别与、交于点G、H，，．若，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见详解
【分析】
根据平行线的判定与性质进行推理论证即可．
【详解】
证明：∵∠2＋∠AHC＝180°，
∴∠AHC＝180°?∠2＝180°?125°＝55°，
∴∠AHC＝∠1＝55°，
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠ABD＝∠C?（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠F（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠ABD＝∠D（两直线平行，内错角相等），
∴∠C＝∠D（等量代换）；
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
39．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，FB＝CE，AB∥ED．求证：AC∥FD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠DFE，可得结论．
【详解】
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥FD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
40．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC，见解析
【分析】
根据同角的补角相等，和平行线的判定定理即可作出判断．
【详解】
解：EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC．
理由：∵∠EOD＋∠OBF＝180°，
又∠EOD＋∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝∠OBF，
∴EC∥BF；
∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵EC∥BF，
∴∠ECB＝∠CBF，
∴∠DBC＝∠CBF，
又∵∠DBC＝∠G，
∴∠CBF＝∠G，
∴DG∥BF；
∵EC∥BF，DG∥BF，
∴DG∥EC．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质定理及补角定理是解题关键．
41．如图，已知在中，是外角的平分线，是的平分线．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据角平分线的性质和三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形的外角性质即可求证；
（2）由∠A=2∠E，∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE得∠ABE=∠E，从而AB∥CE．21cnjy.com
【详解】
证明：（1）∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，，
∴，．
∵是外角的平分线，是的平分线，
∴，，
∴
．
（2）由（1）可知．
∵，，
∴，
即，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
42．如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析．
【分析】
根据可知，又根据∠A=∠D，BE=CF可以判定，即可求证；
【详解】
∵，∴，
∵，∴，
∴在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出，注意全等三角形的对应边相等；
43．如图，已知，，，垂足分别为点，，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：≌；
（2）求证：．
【答案】（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）根据HL证明两个三角形全等即可．
（2）利用全等三角形的性质证明∠A=∠D即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴≌（HL）．
（2）∵≌，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
44．如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
求证：(1)△DCA≌△EBC；
(2)ADCE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】详见解析
【分析】
（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出得到，证出即可；
【详解】
（1）证明：点是的中点，
；
在与中，
，
，
（2）证明：，
，
．
【点睛】
该题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决问题的关键．
45．已知：如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，AB=CD，AEBC，DFBC，E，F是垂足，CE=BF，求证：AB//CD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
由AE⊥BC，DF⊥BC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得出∠AEB=∠DFC=90°，再由CE=BF，AB=DC得Rt△AEB≌Rt△DFC，即可得∠B=∠C，即可得出结论．
【详解】
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°．
∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，
在Rt△AEB和Rt△DFC中，，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB∥CD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决问题的关键．
46．如图，∠1=70°，∠2
=70°.
说明：AB∥CD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】详见解析.
【分析】
根据对顶角相等得到∠1=∠3，推出∠2=∠3，根据平行线的判定即可推出答案．
【详解】
如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°,
又∵∠2
=70°，
∴∠3=∠2=70°,
∴
AB
∥CD.
【点睛】
考查对平行线的判定，对顶角的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用平行线的判定进行证明是解题的关键．21
cnjy
com
47．已知：如图，AB=DE，A=D，AC=DF．求证：AC∥DF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
由边角边证得△ABC≌△DEF，得到∠ACB=∠DFE，由同位角相等两直线平行即可得证.
【详解】
证明：在△ABC和△DEF中，
，
所以△ABC≌△DEF（SAS），
所以∠ACB=∠DFE，
所以AC∥DF.
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质，要牢固掌握并灵活运用这些知识．
48．如图，在四边形ABCD中，ADBC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2．
（1）求证：EFBD；
（2）若DB平分∠ABC，∠A＝130°，求∠2的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）25°
【分析】
（1）由AD∥BC知∠1＝∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)3，结合∠1＝∠2得∠3＝∠2，据此即可得证；
（2）由AD∥BC、∠A＝130°知∠ABC＝50°，再根据平分线定义及BD∥EF知∠3＝∠2＝25°，由三角形的内角和定理可得答案．
【详解】
（1）证明：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2（等量代换）．
∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：∵AD∥BC（已知），
∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A＝130°（已知），
∴∠ABC＝50°．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠3＝∠ABC＝25°．
∴∠2＝∠3＝25°
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平行线的判定定理，和应用角平分线求角的度数，注意二者在做题中的区别．
49．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．
（1）试判断B′E与DC的位置关系；
（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）E//DC；（2）∠AEB=65°
【分析】
（1）先由折叠性质可知，再由∠D=90°可得，进而求解即可；
（2）先运用平行线的性质可得，再由折叠的性质可得，进而求解即可．
【详解】
（1）E∥DC
由折叠可知∠AE=∠B=90°
∵∠D=90°
∴∠AE=∠D
∴E∥DC
（2）∵B′E∥DC
∴∠EB=∠C=130°
由折叠可知∠AEB=∠AE，
∴∠AEB=∠EB=×130°=65°
故答案为：65°
【点睛】
本题主要是折叠的性质以及平行线的判定和性质，根据折叠的性质，找到折叠后相等的角和边；同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等．
50．已知：在△ABC中，∠B=∠C，AE是△ABC外角∠DAC的角平分线．求证：AE∥BC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析．
【分析】
因为AE是△ABC外角，根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)据外角定理，所以得到∠DAC=∠B+∠C，即∠DAC=2∠B，又因为AE是∠DAC的角平分线，所以得到∠DAE=∠EAC，即∠DAC=2∠DAE，等量代换即可得到∠DAE=∠B，即可求证AE//BC．
【详解】
证明：如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AE是△ABC外角
∴∠DAC=∠B+∠C
∵AE是∠DAC的角平分线
∴∠1=∠2=∠DAC
∴∠1+∠2=∠B+∠C
∵∠B=∠C
∴2∠B=2∠1
∴∠B=∠1
∴AE∥BC
【点睛】
本题主要考查了外角定理、角平分线的定义以及平行线的证明，能够找到角之间的关系并得到同位角相等是解决本题的关键．
51．如图，已知B，D在线段AC上，且AD＝CB，BF＝DE，∠AED＝∠CFB＝90°
求证：（1）△AED≌△CFB；
（2）BE∥DF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】
（1）根据HL证明Rt△AED≌Rt△CFB得出结论；
（2）证明△DBE≌△BDF，则∠DBE＝∠BDF，可得出结论．
【详解】
（1）∵∠AED＝∠CFB＝90°，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL）；
（2）∵△AED≌△CFB，
∴∠BDE＝∠DBF，
在△DBE和△BDF中,
，
∴△DBE≌△BDF（SAS），
∴∠DBE＝∠BDF，
∴BE∥DF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
52．如图，已知，点是边上的一点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在的右侧作（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】
（1）首先以相同的半径分别过O、P两点画弧
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)EF、MN；然后以线段EF为半径，以M点为圆心画弧，与弧MN交于点N，最后根据不重合的两点确定一条直线的性质，过点P、N做射线PC，∠APC即为所要求作的角；
（2）由（1）知所作的新角与∠AOB大小相等，且为同位角，所以直线与直线的位置关系一定是平行．
【详解】
解：（1）如图，就是所要求作的角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）直线与直线的位置关系为：
理由如下：
由（1）作图可得：,
∴．
【点睛】
本题主要考查了尺轨作图，具体为作一个角等于已知角，及用同位角相等判定两直线平行的知识．
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）63°；（2）见解析
【分析】
（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝90°﹣∠A＝54°，由邻补角定义得出∠CBD＝126°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝63°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣63°＝27°，再根据∠F＝27°，即可得出BE∥DF．
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，
∴∠CBD＝126°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝63°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，
∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．
又∵∠F＝27°，
∴∠F＝∠CEB＝27°，
∴DF∥BE
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
54．如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，EF＝DC，求证：CD∥EF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
先根据SSS判定△AEF≌△BCD，再根据全等三角形对应角相等，得出∠AFE＝∠BDC，进而得出CD∥EF．
【详解】
解：∵A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，
∴AF＝BD，
在△AEF和△BCD中，
，
∴△AEF≌△BCD（SSS），
∴∠AFE＝∠BDC，
∴CD∥EF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、平行线的性质以及判定定理是解题的关键．
55．如图，，，，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
在中，即已知，又可以求出的大小，只要能得到，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论.
【详解】
证明：在中，，，
∴，
又∵，
∵，
解得：.
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）.
【点睛】
本题首先利用三角形内角和定理和与的关系求出的度数，然后再利用平行线的判定方法得证.
56．如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．求证AD∥BC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】详见解析.
【分析】
根据角平分线的定义求出∠ADC＝2∠1，∠B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD＝2∠2，然后求出∠ADC+∠BCD＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行，从而得出AD∥BC．
【详解】
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AD∥BC．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义的运用，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．21教育名师原创作品
57．如图，直线AB、CD交直线MN于点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E、F，过AB上的点H作HG⊥MN于点G，若∠EHG＝27°，∠CFN＝117°，判断直线AB、CD是否平行？并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】平行，理由见解析
【分析】
根据垂直定义及外角性质求∠AEF的度数，通过∠AEF与∠CFN的关系判断直线AB、CD的位置关系.
【详解】
结论：AB∥CD．
理由：∵HG⊥MN，
∴∠HGE＝90°，
∵∠AEF＝∠HGE+∠EHG＝90°+27°＝117°，∠CFN＝117°，
∴∠CFN＝∠AEF，
∴AB∥CD．
【点睛】
本题考查平行线的判定方法，通过外角性质求得∠AEF的度数是解答此题的关键.
58．如图，点C，F，E，B在一条直线上，，，.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）写出与之间的关系，并证明你的结论.
【答案】（1）见详解；（2）且.
【分析】
（1）根据平行线的判定方法，即可得证；
（2）根据三角形全等的判定方法，可知，，进而，得∠C=∠B，推出且.
【详解】
（1）∵，
∴，即，
∴
（2）∵，
∴，即，
又∵，，
∴
（SAS），
∴∠C=∠B，，
∴且.
【点睛】
本题主要考查平行线的判定定理以及三角形全等的判定定理和性质定理，找到图形中的全等三角形，是解题的关键.【出处：21教育名师】
59．如图，点C、E分别在直线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF.小华的想法对吗？为什么？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】对，理由见解析.
【分析】
通过全等三角形得到内错角相等，得到两直线平行，进而得到同旁内角互补.
【详解】
解：∵O是CF的中点，
∴CO＝FO(中点的定义)
在△COB和△FOE中
，
∴△COB≌△FOE(SAS)
∴BC＝EF,∠BCO＝∠F
∴AB∥DF(内错角相等，两直线平行)
∴∠ACE和∠DEC互补(两直线平行，同旁内角互补)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了三角形的全等的判定和性质；做题时用了两直线平行内错角相等，同旁内角互补等知识，要学会综合运用这些知识．
60．如图，直线、被所截，且，、分别是、的平分线，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析
【分析】
根据平行线的性质由AB∥CD得到，再根据角平分线的定义得到，，则，然后根据平行线的判定即可得到结论．
【详解】
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）．
又、分别是、的平分线（已知），
∴（角平分线定义），
（角平分线定义）．
∴（等量代换），
即（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
61．如图，，平分，平分，，则与平行吗？若平行，试证明；若不平行，请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】平行．证明见解析
【分析】
根据BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，得出，，再根据∠DBF=∠F，得出∠ECB=∠F，即可证出EC∥DF．www.21-cn-jy.com
【详解】
平行．证明如下：
∵平分，平分（已知），
∴，
（角平分线定义）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】
此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第三讲
平行的判定
【提升训练】
一、单选题
1．下列命题中，真命题的是（
）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．相等的角是对顶角
C．同位角相等
D．直角三角形两个锐角互补
2．在下列命题中，为真命题的是（
）
A．相等的角是对顶角
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．同旁内角互补
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
3．下列命题中真命题的个数（
）
①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；④的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行．【出处：21教育名师】
A．4
B．3
C．2
D．1
4．有下列命题：①两点之间，线段最短；②相等的角是对顶角；③当a≥0时，|a|=a；④内错角互补，两直线平行．其中是真命题的有（ ）21·世纪
教育网
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图，已知，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．个
B．个
C．个
D．个
6．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
7．如图，下列条件：①；②；③；④，其中能判断直线的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．②④
B．③④
C．②③
D．①④
8．如图，下列判断中错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．由∠A+∠ADC=180°得到AB∥CD
B．由AB∥CD得到∠ABC+∠C=180°
C．由∠1=∠2得到AD∥BC
D．由AD∥BC得到∠3=∠4
9．如图，下列能判断AB∥CD的条件有
（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①∠B+∠BCD=180°
②∠1
=
∠2
③∠3
=∠4
④∠B
=
∠521cnjy.com
A．1
B．2
C．3
D．4
10．下列命题中，真命题是（
）
A．过一点且只有一条直线与已知直线平行
B．两个锐角的和是钝角
C．一个锐角的补角比它的余角大90°
D．同旁内角相等，两直线平行
11．如图，将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中能得出AD∥BC的条件个数是（
??)
①∠2=∠4：②∠2+∠3=180°；③∠1=∠6：④∠4=∠5
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．3
D．4
12．下列命题中的假命题是（
）
A．两直线平行，内错角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同旁内角相等
D．平行于同一条直线的两直线平行
13．有下列命题：①对顶角相等：②垂直于同一条直线的两直线垂直；③平行于同一条直线的两直线平行；④内错角相等.其中假命题有(
)【版权所有：21教育】
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
14．下列四个图形中∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是( )
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
15．如图，已知∠1=68°，要使AB∥CD，则具备的另一个条件可以是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠2=112°
B．∠2=122°
C．∠2=68°
D．∠3=112°
16．下列命题中，逆命题不正确的是（
）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．对顶角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
17．如图，直线、与直线相交，给出下列条件：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①；②；③；④．能判断的是（
）．
A．①②④
B．①③④
C．①②③④
D．①③
18．如图.在不等边△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC中，PM⊥AB，垂足为M，PN⊥AC，垂足为N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，下列结论.①AN=AM，②QP∥AM，③△BMP≌△QNP，其中正确的是（
）21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②
C．②③
D．①
19．如图，已知中，
，，，则三个结论：①
；②
；③中( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．全部正确
B．①和②正确
C．仅①正确
D．①和③正确
20．如图，下列条件：中能判断直线的有(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
21．如图所示，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠1＝∠4
B．∠3＝∠4
C．∠2+∠3＝180°
D．∠1+∠D＝180°
22．如图，若与互补，与互补，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
23．如图，下列选项中，不能判断直线的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
24．如图,有以下四个条件：①∠B+∠BCD=180°,②∠1=∠2,③∠3=∠4,④∠B=∠5.其中不能判定AB∥CD的条件是(
)21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①
B．②
C．③
D．④
25．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF，下列结论错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠C＝∠B
B．DF∥AE
C．∠A+∠D＝90°
D．CF＝BE
26．如图，已知点E在BC的延长线上，则下列条件中不能判断AB∥CD的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠B＝∠DCE
B．∠BAD+∠D＝180°
C．∠1＝∠4
D．∠2＝∠3
27．如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠4=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠5；③∠2+∠5=180°；④∠1=∠3；⑤∠6=∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（ ）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
28．能判定直线的条件是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．，
B．，
C．，
D．，
29．下列图形中，由∠1=∠2，能得到AB//CD的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
30．在下面的四个图形中,已知∠1=∠2,那么能判定AB∥CD的是( )
A．
B．
C．
D．
31．如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠A=∠CDE；④∠A+∠ADC=180°．其中，能推出AB∥DC的条件为（ ）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①④
B．②③
C．①③
D．①③④
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
32．如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤.其中能够得到AB//CD的条件是_______.(只填序号)www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
33．如图，已知CE⊥AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，垂足为点E，DF⊥AB，垂足为点F，AF=BE，AC=BD，则下列结论：①Rt△AEC≌Rt△BFD；②∠C+∠B=90°；③AC∥BD；④∠A=∠D．2-1-c-n-j-y
其中正确的结论为____．（填序号）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
34．学习近平行线后，学霸君想出了过已知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知学霸君画平行线的依据可以是___________
（把下列所有正确结论的序号都填在横线上）21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，两直线平行.21
cnjy
com
35．完成下面的证明过程．
已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．
证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，
∴∠1＝∠C(__________________)，
∴AB∥CD(________________________)．
三、解答题
36．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：BC∥EF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
37．如图，已知，点、在线段上．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）线段与的数量关系是：_________，判断该关系的数学根据是：
（用文字表达）；
（2）判断与之间的位置关系，并说明理由．
38．如图，分别与、交于点G、H，，．若，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
39．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，FB＝CE，AB∥ED．求证：AC∥FD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
40．如图，△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
41．如图，已知在中，是外角的平分线，是的平分线．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）若，求证：．
42．如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
43．如图，已知，，，垂足分别为点，，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：≌；
（2）求证：．
44．如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
求证：(1)△DCA≌△EBC；
(2)ADCE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
45．已知：如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，AB=CD，AEBC，DFBC，E，F是垂足，CE=BF，求证：AB//CD．21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
46．如图，∠1=70°，∠2
=70°.
说明：AB∥CD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
47．已知：如图，AB=DE，A=D，AC=DF．求证：AC∥DF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
48．如图，在四边形ABCD中，ADBC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2．
（1）求证：EFBD；
（2）若DB平分∠ABC，∠A＝130°，求∠2的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
49．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）试判断B′E与DC的位置关系；
（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
50．已知：在△ABC中，∠B=∠C，AE是△ABC外角∠DAC的角平分线．求证：AE∥BC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
51．如图，已知B，D在线段AC上，且AD＝CB，BF＝DE，∠AED＝∠CFB＝90°
求证：（1）△AED≌△CFB；
（2）BE∥DF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
52．如图，已知，点是边上的一点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在的右侧作（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
54．如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，EF＝DC，求证：CD∥EF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
55．如图，，，，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
56．如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．求证AD∥BC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
57．如图，直线AB、CD交直线MN于点E
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、F，过AB上的点H作HG⊥MN于点G，若∠EHG＝27°，∠CFN＝117°，判断直线AB、CD是否平行？并说明理由．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
58．如图，点C，F，E，B在一条直线上，，，.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）写出与之间的关系，并证明你的结论.
59．如图，点C、E分别在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF.小华的想法对吗？为什么？【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
60．如图，直线、被所截，且，、分别是、的平分线，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
61．如图，，平分，平分，，则与平行吗？若平行，试证明；若不平行，请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
