第三讲 勾股定理应用(考点讲解)（含答案）

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第三讲
勾股定理应用
【学习目标】
1.掌握勾股定理的证明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；
3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.
【知识结构】
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【考点总结】
一、长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离
长方体(或正方体)是立体
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．21教育网
重点长方体表面上两点间最短距离
因为长方体的展开图不止一种情况，故
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．
二、圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离
圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．2-1-c-n-j-y
三、生活中两点间的最短距离
用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．21
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四、如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题
利用勾股定理及其逆定理解决生活中的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．【来源：21cnj
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m】
解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：
(1)把立体图形展成平面图形；
(2)确定点的位置；
(3)确定直角三角形；
(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．
五、勾股定理与方程相结合的应用
方程思想是一种重要的数学思想．所
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【出处：21教育名师】
【例题讲解】
【类型】一、勾股定理及逆定理的简单应用
例1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．
解：设第三边为．
当为斜边时，由勾股定理得．
所以．
当为直角边时，由勾股定理，得．
所以．
所以这个三角形的第三边为10或．
【点拨】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．
【训练】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．
解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
由勾股定理，得．
∴
．
同理．
∴
．
①当∠ACB＞90°时，BC＝BD－CD＝9－5＝4．
∴
△ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32．
②当∠ACB＜90°时，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14．
∴
△ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42．
综上所述：△ABC的周长为32或42．
例2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．
求证：．
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【点拨】欲证的等式中出现了AM2、BM2、CM2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD⊥AB．
证明：过点C作CD⊥AB于D．
∵
AC＝BC，CD⊥AB，
∴
AD＝BD．
∵
∠ACB＝90°，
∴
CD＝AD＝DB．
∴
在Rt△CDM中，，
∴
．
【点拨】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．21世纪教育网版权所有
【训练】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.
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解：如图，作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝CM,
则在Rt△ABM中：
……①
在Rt△ADM中：
……②
由①－②得：
＝
（MC＋DM）?BD＝CD·BD
【类型】二、勾股定理及逆定理的综合应用
例3、
如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．
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【思路提示】根据勾股定理求出BE2、EF2、BF2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
解：△BEF是直角三角形，
理由是：∵在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，
∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，
∵由勾股定理得：BE2=A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，BF2=BC2+CF2=42+32=25，
∴BE2+EF2=BF2，
∴∠BEF=90°，
即△BEF是直角三角形．
【点拨】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.
【训练】如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝，AE⊥BC于E，求AE的长．21cnjy.com
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解：连接AD．
∵
DF是线段AB的垂直平分线，
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∴
AD＝BD＝，∴
∠BAD＝∠B＝22.5°
又∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，
∴
∠DAE＝45°，∴
AE＝DE
由勾股定理得：，
∴
，∴
．
例4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．21·cn·jy·com
(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)www.21-cn-jy.com
(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的关系并加以证明．2·1·c·n·j·y
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解：设Rt△ABC的三边BC、CA、AB的长分别为，则．
(1)
；
(2)
．证明如下：
显然，，，，
所以．
【总结点拨】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等．
例5、如果ΔABC的三边分别为，且满足，判断ΔABC的形状.
解：由，得
：
　　　　　
　　　　∴
　　　　∵
　　　　∴
　　　　∵
,
　　　　∴
.
　　　　由勾股定理的逆定理得：△ABC是直角三角形.
【总结点拨】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.
【类型】三、勾股定理的实际应用
例6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?
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【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【来源：21·世纪·教育·网】
解：如图②③所示．
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因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB的长度．
在图②中，由勾股定理，得．
在图③中，由勾股定理，得．
因为130＞100，所以图③中的AB的长度最短，为10，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10．
【总结点拨】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．
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【训练】
我国古代有这样一道数学
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？21·世纪
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解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，
∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，
∴AB==25（尺）．
答：葛藤长为25尺．
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