2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.6应用一元二次方程课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
第2章
一元二次方程
2.6
应用一元二次方程
学习目标
1．掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性．
2．理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题．
新课导入
1、列一元二次方程解应用题的步骤可归结为：
审、设、列、解、验、答
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，
∠B，
∠C的对边，则有_______________.
a2+b2=c2
合作探究
一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
（1）梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
8m
10m
A
B
C
D
E
解：设AD=x，则BE=x.
在中，由勾股定理得：
在Rt△CDE中，
即：
解得：(舍去
)，
所以，梯子下滑2米时，梯子底端滑动的距离和底端滑动距离相等.
合作探究
（2）如果梯子的长度是13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
12m
13m
A
B
C
D
E
解：假设能相等.
设AD=y，则BE=y.
在中，由勾股定理得：
在Rt△CDE中，
即：
解得：(舍去
)，
所以，梯子下滑7米时，梯子底端滑动的距离和底端滑动距离相等.
新课讲授
8m
10m
A
B
C
D
E
实际问题
数学问题
转化
典例精析
例1、如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
F
A
B
C
D
E
北
东
(1)小岛D和小岛F相距多少海里?
解：连接DF.
∵AD=CD，BF=CF.
∴DF是△ABC的中位线.
∴DF//AB，
且
典例精析
(2)已知军舰的速度是补给船速度的2倍，军舰在由B到C航行的途中与补给船相遇于E处，设相遇时补给船航行了x海里，求EF的长.
F
A
B
C
D
E
北
东
解：由题意，得：DE=x,
∴
AB+BE=2x.
又∵
∴
EF=AB+BF-(AB+BE)=300-2x
典例精析
F
A
B
C
D
E
北
东
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：∵
AB⊥BC，AB//DF，
∴
DF⊥BC.
在Rt△DEF中，由勾股定理可得：
整理，得：
解得：
(舍).
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.
合作探究
列方程解应用题的常见类型1：
几何问题
①解题时注意联系图形中有关的几何定理、面积和体积公式;
②不容易直接解决的问题可考虑添加辅助线;
③重视数形结合的思想方法
典例精析
例2、如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题.
(1)依据规律在第6个图形中，黑色瓷砖有______块，白色瓷砖有_______块；
(2)某学校教室要装修，每间教室面积为68
m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面，按照此图案进行装修，瓷砖无需切割，恰好完成铺设.已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室铺设瓷砖共需要多少元?
典例精析
解:　(1)28；42.
通过观察图形可知，当n=1时，黑色瓷砖有8块，白色瓷砖有2块；
当n=2时，黑色瓷砖有12块，白色瓷砖有6块；
当n=3时，黑色瓷砖有16块，白色瓷砖有12块，
则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4(n+1)，白色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n(n+1)，
当n=6时，黑色瓷砖有4×(6+1)=28块，白色瓷砖有6×(6+1)=42块.
典例精析
(2)设按第n个图案进行装修，根据题意，得
0.52×n(n+1)+0.5×0.25×4(n+1)=68，
解得n1=15，n2=-18(不合题意，舍去)，
则白色瓷砖的块数为n(n+1)=240，
黑色瓷砖的块数为4(n+1)=64，
所以每间教室铺设瓷砖共需要20×240+10×64=5
440元.
答:每间教室铺设瓷砖共需要5
440元.
典例精析
例3、如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动，Q从点B开始沿BC边向C点以2
cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积等于8
cm2?
解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8
cm2，其中0由题意可得
·2x(6-x)=8，
解得x1=2，x2=4.
经检验,x1=2，x2=4均是原方程的解.
答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8
cm2.
随堂练习
1.将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2
m，其邻边减少了3
m，剩余一块面积为20
m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是?(　　)
A.7
m　　
B.8
m　
　C.9
m　
　D.10
m
A
随堂练习
2.如图，把小圆形场地的半径增加5
m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为?(　　)
A.
5
m　　
B.
(5+)m
C.
(5+3)m　　
D.
(5+5)m
D
随堂练习
3.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多?(　　)
A.12步　???
?B.24步　??
??C.36步　
????D.48步
A
随堂练习
4.一个矩形周长为56厘米.
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少?
(2)能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由.
解：(1)设矩形的长为x厘米，则其邻边长为(28-x)厘米，
依题意有x(28-x)=180，
解得x1=10(舍去)，x2=18，
28-x=28-18=10.
答：长为18厘米，宽为10厘米.
随堂练习
4.一个矩形周长为56厘米.
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少?
(2)能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由.
解：(2)设矩形的长为x厘米，则宽为(28-x)厘米，依题意有
x(28-x)=200，
即x2-28x+200=0，
则Δ=(-28)2-4×200=784-800=-16<0，原方程无解，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形.
随堂练习
5.海关缉私艇在某处发现其正北方向30海里处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，海关缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度前去拦截，问：至少经过多长时间能赶上可疑船只?
解：如图，设海关缉私艇在O处发现可疑船只在A处，经过x小时后海关缉私艇在B处拦截到可疑船只.
依题意得，OA=30海里，AB=60x海里，OB=75x海里，
由OB2=OA2+AB2可得：(75x)2=302+(60x)2，
解得x1=，x2=-
(不合题意，舍去).
答：海关缉私艇至少经过小时能赶上可疑船只.
A
B
O
北
课堂小结
一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意；
设：设出未知数；
列：用代数式表示等量关系，列出方程；
解：解分式方程；
检：必须检验根的正确性与合理性；
答：写出答案.