2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
2.5
一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1．掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．
2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数．
3．会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值．
新课导入
如何用判别式
b2
-
4ac
来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程：
ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0)
b2
-
4ac
>
0
时，方程有两个不相等的实数根.
b2
-
4ac
=
0
时，方程有两个相等的实数根.
b2
-
4ac
<
0
时，方程无实数根.
合作探究
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
x2－2x－5＝0
2x2－3x＋1＝0
6x2＋x－2＝0
1
1
2
－4
－3
－4
－5
1＋
1－
合作探究
如何证明以上发现的规律呢？
证明：当Δ≥
0
时，由求根公式得：
新课讲授
一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知
能得出以下结果：
典例精析
例1、已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是________，m的值是_______.
解：设方程的另一个根为x1,
则x1·1=3，即x1=3,
则-m=1+3,
解得m=-4.
3
-4
典例精析
例2、已知方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为α，β，不解方程求下列各式的值.
(1)α2+β2
；
(2)α3β+αβ3
；
(3)；(4)(α-1)(β-1).
解：∵α，β是方程x2+3x-1=0的两个实数根，∴α+β=-3，αβ=-1.
(1)
α2+β2
=(α+β)2-2αβ=(-3)2-2×(-1)=11.
(2)
α3β+αβ3
=αβ(α2+β2
)=(-1)×11=-11.
(3)
=
=
=-11.
(4)(α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1=(-1)-(-3)+1=3.
合作探究
常见的涉及一元二次方程两根的代数式的重要变形:
(1)x12+
x22
=(x1+x2)2-2x1x2
(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
(3)
(4)
(5)(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2
(6)|x1-x2|=.
典例精析
例3、已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值.
解：设方程的两个根为x1，x2，由根与系数的关系，得
x1+x2=k-1，x1·x2=k+1.
∵
x12+
x22
=4，即(x1+x2)2-2x1x2=4,
∴(k-1)2-2(k+1)=4，即k2-4k-5=0，∴k=5或k=-1.
当k=5时，b2-4ac=[-(k-1)]2-4(k+1)=-8<0，不符合题意，舍去；
当k=-1时，b2-4ac=[-(k-1)]2-4(k+1)=4>0.
∴k的值为-1.
随堂练习
1.
关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1，则nm的值为
(　　)
A.-8　??
??B.8　?
???C.16　?
???D.-16
C
2.
已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根，则的值等于(　　)
A.?
　???
?B.
?　???
?C.
?　??
??D.
?
D
随堂练习
3.
已知关于x的一元二次方程x2-kx-4=0的一个根为2，则另一个根是
(　　)
A.4　???
?B.1　?
???C.2　???
?D.-2
D
4.
以3、-2为根，且二次项系数为1的一元二次方程是______________.
x2-x-6=0
随堂练习
5.设x1，x2是方程3x2-2x-2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值:
(1)(x1-4)(x2-4)
；
(2)
x13x24
+
x14x23；
(3)
(x1+
)(x2+
)
.
解：根据题意知x1+x2=
，x1x2=
-
.
(1)(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=
-
-4×
+16=
.
(2)
x13x24
+
x14x23
=
x13x23(x2+x1)=×
=
-
.
(3)
(x1+
)(x2+
)
=x1x2+
+
+
=-
+
-
=-
.
随堂练习
6.已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+2=0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+
x22
=10，求实数m的值.
解：(1)∵方程x2-2(m+1)x+m2+2=0有实数根,
∴Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+2)=8m-4≥0，解得m
≥
.
(2)∵方程x2-2(m+1)x+m2+2=0的两实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=2(m+1)，x1·x2=m2+2，
∴
x12+
x22
=(x1+x2)2-2x1·x2=[2(m+1)]2-2(m2+2)=2m2+8m=10，
解得m1=-5(舍去)，m2=1，∴实数m的值为1.
课堂小结
一元二次方程的
根与系数的关系
如果方程ax2
+
bx
+
c
=
0（a≠0）有两个实
数根x1，x2，那么x1
+
x2=
，x1
x2
=
关系
应用
1.应用利用根与系数的关系求代数式的值.
2.已知方程一根，利用根与系数的关系求方
程的另一根或字母系数的值.
3.判别式及根与系数的关系的综合应用.