2021—2022学年北师大版数学九年级上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
2.4
用因式分解法求解一元二次方程
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
新课导入
将下列各题因式分解am+bm+cm=______________；
a2-b2=_____________；a2±2ab+b2=___________；
因式分解的方法：______________________________.
m(a+b+c)
(a+b)(a-b)
(a±b)2
提取公因式法，
公式法
合作探究
问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得，可得方程
x2
=
3x
由方程
x2
=
3x
，得
x2
-
3x
=
0
因此
x1
=
0，
x2
=
3.
所以这个数是0或3.
小颖的思路：
小明的思路：
方程
x2
=
3x
两边
同时约去x，得
x
=
3
.
所以这个数是3.
合作探究
小亮的思路：
由方程
x2
=
3x
,得
x2
-
3x
=
0
即
x
(x
-
3)
=
0
于是
x
=
0
,
或
x
-
3
=
0.
因此
x1
=
0
,
x2
=
3
所以这个数是0或3
小亮想：如果a·b=
0，
那么
a=0
或
b=0
问题：他们做得对吗？为什么？
新课讲授
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
移项-----化方程为一般形式；
化积-----把方程的左边分解为两个一次因式的积；
转化-----令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程；
求解-----解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
典例精析
例1、解下列方程：
（1）5x2
=
4x
;
（2）x
–
2
=
x
(x
-
2).
解：5x2
-
4x
=
0,
x
(5x
-
4)
=
0.
∴x
=
0
或
5x
–
4
=0.
∴
x1
=
0
，x2=
.
解：(x
-
2)
–
x
(x
-
2)
=
0,
(x
-
2)
(1
-
x)
=
0.
∴
x
–
2
=
0
或
1
–
x
=
0.
∴
x1
=
2
，
x2=1.
合作探究
(1)
x2-4=0;
(2)
(x+1)2-25=0.
解：
(x+2)(x-2)=0,
∴
x+2=0
或
x-2=0.
∴
x1=-2，
x2=2.
你能用分解因式法解下列方程吗？
解：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴
x+6=0
或
x-4=0.
∴
x1=-6，x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法?
你是否还有其它方法来解?
典例精析
例2、用适当的方法解方程：
（1）3x(x
+
5)=
5(x
+
5)；
（2）(5x
+
1)2
=
1；
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
解：化简
(3x
-5)
(x
+
5)
=
0.
即
3x
-
5
=
0
或
x
+
5
=
0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方,得
5x
+
1
=
±1.
解得,
x
1=
0，x2
=
典例精析
（3）x2
-
12x
=
4
;
（4）3x2
=
4x
+
1；
分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.
解：配方，得
x2
-
12x
+
62
=
4
+
62，
即
(x
-
6)2
=
40.
开平方，得
x-6=
解得
x1=
6
+
，
x2=
6-
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般形式
3x2
-
4x
+
1
=
0.
∵
Δ=b2
-
4ac
=
28
>
0，
∴
∴
，
合作探究
一元二次方程主要有四种解法，它们的理论依据及适用范围如下表:
方法
理论依据
适用方程
关键步骤
直接开平方法
平方根的意义
(x-m)2=n(n≥0)
开平方
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
配方
公式法
配方法
所有一元二次方程
代入求根公式
因式分解法
若两个因式的积为0，那么这两个因式至少有一个为0
一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的积的方程
分解因式
典例精析
例3、用因式分解法解下列方程:
(1)x2+2
013x-2
014=0
(2)x2-2
013x-2
014=0
解：
(x-1)(x+2
014)=0
∴
x-1=0或x+2
014=0,
∴
x1=1，x2=-2
014.
解：(x-2
014)(x+1)=0
∴x-2
014=0或x+1=0
∴x1=2
014，x2=-1.
(3)x2
-
(+)x+
=0.
解：(x-
)(x-
)=0
∴
x-
=0或x-
=0
∴
x1=
，x2=
?
用因式分解法可解形如x2-(a+b)x+ab=0(a，b为常数)的一元二次方程
随堂练习
1．方程x2+x=0的解是?(　　)
A.
x=±1　????
B.
x=0
C.
x1=0，x2=-1　????
D.
x=1
C
2.经计算，整式x+1与x-4的积为x2-3x-4，则一元二次方程x2-3x-4=0的根为(　　)
A.
x1=-1，x2=-4　?
B.
x1=-1，x2=4
C.
x1=1，x2=4　??
D.
x1=1，x2=-4
B
随堂练习
3．解下列方程:
①2x2-18=0；②9x2-12x-1=0；③2x2+4x+2=0；④2(5x-1)2=3(5x-1).
较简便的方法是?(　　)
A.依次为：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B.依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C.①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D.①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
D
随堂练习
4.用因式分解法解下列方程
(1)x2-7x-18=0
(2)2(x-3)=5x(x-3)
解：将原方程化为(x+2)(x-9)=0
∴
x+2=0或x-9=0
∴
x1=-2，x2=9.
解：将原方程化为5x(x-3)-2(x-3)=0
即(x-3)(5x-2)=0,
∴x-3=0或5x-2=0
∴x1=3，x2=.
随堂练习
(3)(y-3)(y+2)=6
(4)(5x-2)2=3.
解：将原方程化为y2-y-12=0
即(y-4)(y+3)=0
∴
y-4=0或y+3=0
∴
y1=4，y2=-3.
解：将原方程化为(5x-2)2-()2=0
即(5x-2+
)(5x-2-
)=0
∴5x-2+
=0或5x-2-
=0
∴x1=
，x2=
.
随堂练习
5.
阅读下面材料:
把方程x2-4x+3=0写成x2-4x+4-4+3=0，(x-2)2-12=0.
因式分解，得(x-2+1)(x-2-1)=0，(x-1)(x-3)=0.
发现：(-1)+(-3)=-4，(-1)×(-3)=3.
结论：方程x2-(p+q)x+pq=0可变形为(x-p)(x-q)=0.
应用上面的解题方法解下列方程：
(1)x2+5x+6=0；(2)x2-7x+10=0；(3)x2-5x-6=0；(4)x2+3x-4=0.
解：(1)方程变形为(x+2)(x+3)=0，∴x1=
-2，x2=
-3.
(2)方程变形为(x-2)(x-5)=0，∴x1=2，x2=5.
(3)方程变形为(x-6)(x+1)=0，∴x1=6，x2=
-1.
(4)方程变形为(x+4)(x-1)=0，∴x1=
-4，x2=1.
课堂小结
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
移项-----化方程为一般形式；
化积-----把方程的左边分解为两个一次因式的积；
转化-----令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程；
求解-----解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.