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期末综合训练（3）
考试时间建议：150分钟；考试满分：150分
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
2．(本题3分)如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B、C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM、ON、MN.下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③AN2＋CM2＝MN2；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是.其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．(本题3分)如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法中错误的是（ ）
A．ac＜0
B．2a+b=0
C．4a+2b+c＞0
D．对于任意x均有
4．(本题3分)如图，抛物线经过点，且对称轴为直线.有四个结论：①；②；③；④若，则时的函数值小于时的函数值.其中正确的结论是（
）
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
5．(本题3分)如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：??①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
6．(本题3分)如图，中，，，，过点作于，过点作于，过点作于，这样继续作下去，线段（为正整数）等于（
）.
A．
B．
C．
D．
7．(本题3分)如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
8．(本题3分)若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
9．(本题3分)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．(本题3分)对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．(本题3分)如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
12．(本题3分)如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（
）
A．3
B．
C．4
D．
二、填空题(共30分)
13．(本题3分)若反比例函数的图象经过点A（﹣2，m），则m＝_____．
14．(本题3分)如图：点是的斜边上不与、重合的一定点，过点作直线截，使截得的三角形与原相似，这样的直线共有________条．
15．(本题3分)如图，已知中，，，，、分别是、上的动点，，与关于直线对称，若是直角三角形，则的长为___．
16．(本题3分)二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是_____．
17．(本题3分)如图，点、、…在反比例函数的图象上，点、、……在反比例函数的图象上，，且，则（为正整数）的纵坐标为______．（用含的式子表示）
18．(本题3分)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，sinC=，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于M，分别以B、M为圆心，以大于BM长为半径作弧，两弧相交于点N，射线AN与BC相交于D，则AD的长为_____．
19．(本题3分)如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
20．(本题3分)如图，在中，，D、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为_______．
21．(本题3分)如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过
______m.
22．(本题3分)如图，平面坐标系xoy中，B（12，4），C（8，0），OABC，OA=BC，过点A作反比例函数y=（k0），图象交BC于点D，连结OD，则S△OCD=__．
三、解答题(共84分)
23．(本题8分)某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形其边长分别为多少时面积最大请将他们的探究过程补充完整．
(1)列函数表达式：若矩形的周长为8,设矩形的一边长为x,面积为y,则有y=_________．
(2)上述函数表达式中，自变量x的取值范围是____________;
(3)列表：
x
...
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
...
y
...
1.75
3
3.75
4
3.75
3
m
...
写出m=__________;
(4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象；
(5)结合图象可得:x=_______时，矩形的面积最大：
写出该函数的其它性质(一条即可)：_______________________________________.
24．(本题8分)计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0
25．(本题8分)如图，在直角坐标系xOy中有一梯形ABCO，顶点C在x正半轴上，A、B两点在第一象限；且AB∥CO，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．点P在x轴上，从点（﹣2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动；同时，过点P作直线l，使直线l和x轴向正方向夹角为30°．设点P运动了t秒，直线l扫过梯形ABCO的面积为S扫．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t＝2秒时，求S扫的值；
（3）求S扫与t的函数关系式，并求出直线l扫过梯形ABCO面积的时点P的坐标．
26．(本题8分)如图，直线y=2x﹣6与反比例函数的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
27．(本题8分)
如图，矩形ABCD，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP．已知动点M、N运动了x秒．
（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值；
（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．
28．(本题8分)如图所示，在直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于点，是的中点；一次函数的图象经过、两点，并交轴于点若
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请指出在轴的右侧，当时的取值范围，当＜时的取值范围．
29．(本题8分)已知正比例函数（a＜0）与反比例函数的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为4．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）在坐标系中画出它们的图象（可不列表）；
（3）利用图像直接写出当x取何值时，．
30．(本题8分)如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）．
（1）求a值及A，B两点坐标；
（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；
（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．
31．(本题8分)阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB?r1+AC?r2＝AB?h，∴r1+r2＝h
（1）理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：．
（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于
；
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．
32．(本题12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．
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精品试卷·第
2
页
（共
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期末综合训练（3）
考试时间建议：150分钟；考试满分：150份
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】根据正切的定义即可得到结果．
由图可知tan，
故选A.
2．(本题3分)如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B、C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM、ON、MN.下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③AN2＋CM2＝MN2；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是.其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】①由正方形的性质得出CD=BC，∠BCD=90°，证出∠BCN=∠CDM，由ASA即可得出结论；
②由①得CM=BN，根据∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB证明△OCM≌△OBN得OM=ON，∠COM=∠BON，进而证明∠DOM=∠CON，再根据DO=CO可证△CON≌△DOM（SAS）；
③根据AB=BC，CM=BN得BM=AN，在Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，从而AN2+CM2=MN2；
④先证明四边形BMON的面积是定值1，根据△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2-x，得△MNB的面积=x（2-x）=-x2+x，求出△MNB的面积最大值，从而得出结论.
【解答】∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BON，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，
∴AN2+CM2=MN2，故③正确；
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2-x，
∴△MNB的面积=x（2-x）=-x2+x=，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1-=，故④正确；
综上所述，正确结论的个数是4个，
故选D．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．
3．(本题3分)如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法中错误的是（ ）
A．ac＜0
B．2a+b=0
C．4a+2b+c＞0
D．对于任意x均有
【答案】C
【解析】由抛物线开口向上得到a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则ac＜0；由于抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-=1，所以2a+b=0；由于x=2时，y＜0，则4a+2b+c＜0；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质得当x=1时，y的最小值为a+b+c，所以ax2+bx+c≥a+b+c，即ax2+bx≥a+b．
【解答】A、∵抛物线开口向上，
∴a＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，所以ac＜0，所以A选项的说法正确；
B、∵抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x==1，所以2a+b=0，所以B选项的说法正确；
C、∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，所以C选项的说法错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x=1时，y的最小值为a+b+c，∴对于任意x均有ax2+bx+c≥a+b+c，即ax2+bx≥a+b，所以D选项的说法正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
4．(本题3分)如图，抛物线经过点，且对称轴为直线.有四个结论：①；②；③；④若，则时的函数值小于时的函数值.其中正确的结论是（
）
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
【答案】D
【解析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线与x轴的交点有两个对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对③进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对④进行判断．
【解答】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（3，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（-1，0），
∴a-b+c=0，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴横坐标是1-m的点的对称点的横坐标为1+m，
∵若m＞n＞0，
∴1+m＞1+n，
∴x=1-m时的函数值小于x=1+n时的函数值，故④正确．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．(本题3分)如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：??①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】D
【解析】直接由判断①；把A点坐标代入抛物线y1=a（x+2）2-3求出a值判断②；由x=0求得y2，y1作差后判断③；由二次函数的对称性求出B，C的坐标，进一步验证2AB=3AC判断④．
【解答】解：对于①，，∴无论x取何值，y2的值总是正数正确；
对于②，∵抛物线y1=a（x+2）2-3过点A（1，3），则3=a（1+2）2-3，解得，②错误；
对于③，，当x=0时，，③错误；
对于④，∵抛物线y1=a（x+2）2-3与交于点A（1，3），∴可求得B（-5，3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC，④正确．
故选D．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了二次函数的性质，属中档题．
6．(本题3分)如图，中，，，，过点作于，过点作于，过点作于，这样继续作下去，线段（为正整数）等于（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据三角形的正弦定理、余弦定理的公式可以求得、、、
D3
D4……，然后归纳这个数列的规律，可以得到的长度.
【解答】，，；
，，
；
，，；
，，；
根据规律可知，
.
【点评】本题综合考查三角形的正弦定理公式和数列的规律.
7．(本题3分)如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】C
【解析】根据三角形内角和定理、翻折及等腰三角形判定，依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，再进一步证明△ABC≌△EBC，得到BE=BA．延长BC交AE于F，由CE=CA，BE=BA，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知BC是线段AE的垂直平分线，，即∠AFC=90°，在Rt△AFC中解直角三角形得AF=，在Rt△AFB中，∠ABC=45°，解直角三角形得AB=AF=，进而得到BE的长.
【解答】解：在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=15°，
∴∠ACB=120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，得△ACD，
∴∠ACE=∠ACB=120°，∠DAE=∠DAC=∠BAC=15°，即∠CAE=30°，
在△ACE中，∠CEA=180°-∠ACE-∠CAE=30°，
∴AC=EC，
又∵∠ECB=360°-∠ACE-∠ACB=120°，
在△EBC和△ABC中，
∴△EBC≌△ABC，
∴BE=BA.
如下图，延长BC交AE于F，
∵CE=CA，BE=BA，
∴BC是线段AE的垂直平分线，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，AC=，
∴AF=AC·cos∠CAF=.
在Rt△AFB中，∠ABC=45°，
∴AB=AF=，
∴BE=AB=.
故选：C.
【点评】本题考查三角形内角和定理、翻折、等腰三角形判定、解直角三角形及全等三角形等，准确判断出直线BC是线段AE的垂直平分线是解题的关键.
8．(本题3分)若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，把点、、代入，则
，
消去c，则得到，
解得：，
∴抛物线的对称轴为：，
∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，
∴；
故选：D．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．
9．(本题3分)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
【解答】解：，
该抛物线顶点坐标是，，
将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，，
，
，
，
，
点，在第四象限；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
10．(本题3分)对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
【解答】解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴＞0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=-2时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于（a≠0）的两根为，则．
11．(本题3分)如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】D
【解析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．
【解答】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG
∴∠EAB=∠GAD
∴①正确
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴AD=DC，AG=FG
∴AC=AD，AF=AG
∴，
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴
∴②正确
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
∴
即
又∵AF=AE
∴
∴③正确
④由②知
又∵四边形ABCD为正方形，
AC为对角线
∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC
∴④正确
故选：D．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．
12．(本题3分)如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（
）
A．3
B．
C．4
D．
【答案】B
【解答】考点：一次函数图象上点的坐标特征；三角形的外角性质；等腰直角三角形；解直角三角形．
分析：根据直线y=x+b的斜率是1可知∠BCA=45°；然后利用已知条件∠a=75°、外角定理可以求得∠BAC=30°；最后在直角三角形ABO中利用特殊角的三角函数来求OB即b的值即可．
解：∵直线的解析式是y=x+b，
∴OB=OC=b，则∠BCA=45°；
又∵∠α=75°=∠BCA+∠BAC=45°+∠BAC（外角定理），
∴∠BAC=30°；
而点A的坐标是（5，0），
∴OA=5，
在Rt△BAO中，∠BAC=30°，OA=5，
∴tan∠BAO==，
∴BO=，即b=．
故答案是B．
二、填空题(共30分)
13．(本题3分)若反比例函数的图象经过点A（﹣2，m），则m＝_____．
【答案】
【解析】将点A坐标代入解析式可求m的值．
【解答】解：将点A（﹣2，m）代入反比例函数得，
m＝．
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
14．(本题3分)如图：点是的斜边上不与、重合的一定点，过点作直线截，使截得的三角形与原相似，这样的直线共有________条．
【答案】
【解析】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似，根据这个知识点作线即可.
【解答】当过点M的直线平行于AB和AC时，所截的三角形与△ABC相似，当过M的直线垂直于AC时也相似，所以这样的直线共有三条.
【点评】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似.
15．(本题3分)如图，已知中，，，，、分别是、上的动点，，与关于直线对称，若是直角三角形，则的长为___．
【答案】或
【解析】分三种情况：①当∠PAD＝90，由平行四边形的性质得出CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，证明△ABP∽△CBA，得出，求出BP＝，由轴对称的性质即可得出结果；
②∠APD＝90，当点P与C重合时，得出该情况不成立；
③当点P与C不重合时，∠APD＝90，作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，根据三角形面积及勾股定理求出BF＝．
【解答】分三种情况：
①当∠PAD＝90，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAD＝90°，
∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90，
∴AC＝＝4，
∵∠B＝∠B，
∴△ABP∽△CBA，
∴，即，
解得：BP＝，
∵EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，
∴BF＝PF＝BP＝；
②当∠APD＝90时，点P与C重合时，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴∠APD＝∠ACD＝∠BAC＝90，
∵E在AB上，E和A重合，而AB≠AC，
则△BEF与△PEF关于直线EF不对称，
∴该情况不存在；
③当点P与C不重合时，∠APD＝90，如图3所示：
作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，
∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90，
∴AC＝＝4，
∴AF=
∴BF＝=；
综上所述，若△APD是直角三角形，则BF的长为
或；
故答案为：或．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
16．(本题3分)二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是_____．
【答案】②③④
【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，
∴ab＜0，故①错误；
②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∴a+b﹣1＝0，故②正确；
③∵a+b﹣1＝0，
∴a﹣1＝﹣b，
∵b＜0，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，故③正确；
④∵抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），
∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，
∵抛物线与x轴的交点为（1，0），
∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为﹣，故④正确；
故答案为②③④．
【点评】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y＝a+b+c，然后根据图象判断其值．
17．(本题3分)如图，点、、…在反比例函数的图象上，点、、……在反比例函数的图象上，，且，则（为正整数）的纵坐标为______．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】先证明是等边三角形，求出的坐标，作高线，再证明是等边三角形，作高线，设，根据，解方程可得等边三角形的边长和的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点、、…在轴的上方，纵坐标为正数，点、、……在轴的下方，纵坐标为负数，可以利用来解决这个问题．
【解答】过作轴于，
∵，，
是等边三角形，
，
，
和，
过作轴于，
∵，
是等边三角形，
设，则，
中，，
，
∵，
解得：（舍），，
，
，
即的纵坐标为；
过作轴于，
同理得：是等边三角形，
设，则，
中，，
，
∵，
解得：（舍），；
，
，
即的纵坐标为；
…
（为正整数）的纵坐标为：；
故答案为；
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．
18．(本题3分)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，sinC=，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于M，分别以B、M为圆心，以大于BM长为半径作弧，两弧相交于点N，射线AN与BC相交于D，则AD的长为_____．
【答案】
【解析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，设AE=DE=AF=DF=x，则BE=6﹣x，CF=8﹣x，依据∠B=∠FDC，∠BDE=∠C，可得△BDE∽△DCF，依据相似三角形对应边成比例，即可得到AE的长，进而得出AD的长．
【解答】如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由题可得：AD平分∠BAC，∠BAC=90°，∴四边形AEDF是正方形，∴DE=DF，∠BAD=45°=∠ADE，∴AE=DE=AF=DF．
∵∠BAC=90°，AB=6，sinC，∴BC=10，AC=8，设AE=DE=AF=DF=x，则BE=6﹣x，CF=8﹣x．
∵∠B=∠FDC，∠BDE=∠C，∴△BDE∽△DCF，∴，即，解得：x，∴AE，∴Rt△ADE中，ADAE．
故答案为．
【点评】本题考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质，正确运用相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
19．(本题3分)如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
【答案】
【解析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．
【解答】如解图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴∽
∴
∴，
设为，则，由勾股定理得，
又∵，
∴，
则，
∵且，
∴∽，
∴，
即，
解得，
∴．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点评】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．
20．(本题3分)如图，在中，，D、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为_______．
【答案】4或2
【解析】分当点F在点D右侧时，当点F在点D左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.
【解答】解：如图，当点F在点D右侧时，
过点F作FM∥DG，交直线BC于点M，过点B作BN⊥DE，交直线DE于点N，
∵D，E分别是AB和AC中点，AB=，
∴DE∥BC，BD=AD=，∠FBM=∠BFD，
∴四边形DGMF为平行四边形，
则DG=FM，
∵DG⊥BF，BF=3DG，
∴∠BFM=90°，
∴tan∠FBM==tan∠BFD，
∴，
∵∠ABC=45°=∠BDN，
∴△BDN为等腰直角三角形，
∴BN=DN=，
∴FN=3BN=9，DF=GM=6，
∵BF==，
∴FM==，
∴BM=，
∴BG=10-6=4；
当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥DE，交直线DE于N，过点B作BM∥DG，交直线DE于M，延长FB和DG，交点为H，
可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG为平行四边形，
∴BG=MD，BM=DG，
∵BF=3DG，
∴tan∠BFD=，
同理可得：△BDN为等腰直角三角形，BN=DN=3，
∴FN=3BN=9，
∴BF=，
设MN=x，则MD=3-x，FM=9+x，
在Rt△BFM和Rt△BMN中，
有，
即，
解得：x=1，即MN=1，
∴BG=MD=ND-MN=2.
综上：BG的值为4或2.
故答案为：4或2.
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理，难度较大，解题的关键是根据题意画出图形，分清情况.
21．(本题3分)如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过
______m.
【答案】1.2
【解答】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，
设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，
求得a=-，
即抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-2），
令x=1，解得y=1.5，
船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.
故答案为：1.2.
22．(本题3分)如图，平面坐标系xoy中，B（12，4），C（8，0），OABC，OA=BC，过点A作反比例函数y=（k0），图象交BC于点D，连结OD，则S△OCD=__．
【答案】
【解析】根据两点间的距离公式求出．根据OA∥BC，OA=BC，可判定四边形OABC是平行四边形，于是AB∥OC，AB=OC．由，B（12，4），可设A（x，4），根据OA=BC=4列方程，求出x，得到A（4，4），OC=AB=8，C（8，0）．利用待定系数法求出k=4×4=16，得出直线BC的解析式为y=x﹣8．将两函数解析式联立求出交点D（4+4，﹣4+4），进而求出S△OCD．
【解答】∵B（12，4），C（8，0），
∴．
∵OA∥BC，OA=BC，
∴四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC．
设A（x，4），
∵OA=BC=4，
∴x2+42=32，
∴x=±4（负值舍去），
∴A（4，4），AB=12﹣4=8，
∴OC=AB=8，C（8，0）．
∵点A在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴k=4×4=16．
设直线BC的解析式为y=ax+b，
则，解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣8．
将y=x﹣8代入，
整理，得x2﹣8x﹣16=0，
解得x=4±4，
当x=4+4时，y=﹣4+4，
∴D（4+4，﹣4+4），
∴S△OCD=×8×（﹣4+4）=﹣16+16．
故答案为﹣16+16．
【点评】
本题考查了两点间的距离公式，平行四边形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，两函数交点坐标的求法，三角形的面积等知识，综合性较强．求出直线BC与反比例函数的解析式是解题的关键．
三、解答题(共84分)
23．(本题8分)某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形其边长分别为多少时面积最大请将他们的探究过程补充完整．
(1)列函数表达式：若矩形的周长为8,设矩形的一边长为x,面积为y,则有y=_________．
(2)上述函数表达式中，自变量x的取值范围是____________;
(3)列表：
x
...
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
...
y
...
1.75
3
3.75
4
3.75
3
m
...
写出m=__________;
(4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象；
(5)结合图象可得:x=_______时，矩形的面积最大：
写出该函数的其它性质(一条即可)：_______________________________________.
【答案】（1）-x2+4x；（2）0【解析】（1）根据矩形的周长=2（长+宽），矩形的面积=长×宽，即可列出函数表达式；
（2）根据y=-x2+4x，-x2+4x＞0即可得出答案；
（3）把x=3.5代入解析式计算即可得；
（4）根据表格中的坐标描点画图即可；
（5）结合图象可得x=2时，y有最大值，再根据函数的解析式及图象写出一条性质即可.
【解答】（1）∵矩形的周长=2（长+宽），矩形的面积=长×宽，
又∵矩形的周长为8，面积为y，矩形的一边长为x，
∴由题意：y=x（4-x）=-x2+4x；
（2）∵y=-x2+4x，
∴x＞0，且-x2+4x＞0，
又∵-x2+4x＞0解得x＞0，x＜4，
则自变量x的取值范围是0＜x＜4；
（3）x=3.5时，y=1.75，
∴m=1.75；
（4）函数图象如图所示：
（5）∵y=-（x-2）2+4，
∴x=2时，y有最大值，
性质：当0＜x＜2时，y随x的增大而增大．（答案不唯一）.
【点评】本题考查二次函数的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
24．(本题8分)计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0
【答案】3
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】原式＝4﹣2+﹣+1＝3
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．(本题8分)如图，在直角坐标系xOy中有一梯形ABCO，顶点C在x正半轴上，A、B两点在第一象限；且AB∥CO，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．点P在x轴上，从点（﹣2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动；同时，过点P作直线l，使直线l和x轴向正方向夹角为30°．设点P运动了t秒，直线l扫过梯形ABCO的面积为S扫．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t＝2秒时，求S扫的值；
（3）求S扫与t的函数关系式，并求出直线l扫过梯形ABCO面积的时点P的坐标．
【答案】（1）（1，），（4，）；（2）；（3）；P的坐标为（5﹣2，0）．
【解析】（1）两底的差的一半就是A的横坐标；过A、B作x轴的垂线，在构建的直角三角形中根据OA的长及两底的差便可求出梯形的高即A点的纵坐标．得出A点坐标后向右平移3个单位就是B点的坐标．
（2）当t＝2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD＝2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，由此可求出△ADO的面积及直线l扫过的面积．
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①当P在原点左侧，即当0≤t＜2时，重合部分是个三角形，如果设直线l与AO，AB分别交于E，F，可根据△AEF∽△AOD，用相似比求出其面积．即可得出S，t的函数关系式．
②当P在O点右侧（包括和O重合），而F点在B点左侧时，即当2≤t＜3时，扫过部分是个梯形，可根据梯形的面积计算方法即可得出直线l扫过部分的面积．也就能得出S，t的函数关系式．
③当P点在C点左侧（包括和C点重合），F点在B点右侧（包括和B点重合），即当3≤t≤7时，扫过部分是个五边形，可用梯形ABCO的面积减去△MPC的面积来得出S，t的函数关系式．
【解答】（1）过A作AD⊥OC于D，过B作BE⊥OC于E，则ADEB是矩形．
∵ADEB是矩形，∴AD=BE=3．
∵AO=BC，∴△AOD≌△BCE，∴OD=CE=（OC－AB）÷2=1．
∵AO=2，∴AD==，∴A（1，）．
∵OE=OD+DE=1+3=4，BE=AD=，∴B（4，）．
∵BC=2EC，∴∠EBC=30°，∴∠OCB=60°．
（2）当t＝2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD＝2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，∴S扫==．
（3）分三种情况讨论：①当0≤t＜2时，如图1，△AEF∽△AOD，，∴S扫t2；
②当2≤t＜3时，如图2，S扫＝S△AOD+S□DOPF（t﹣2），∴S扫；
③当3≤t≤7时，如图3，过B作直线EB∥直线l交OC于E．
∵∠BEC=30°，∠OCB=60°，∴∠CBE=90°，∴EC=2BC=4，∴S△CEB=，CP=7－t．
∵MP∥BE，∴，∴S△CPM＝，∴S扫＝4S△CPM＝4，∴S扫t2
综上所述：
．
∵t2，∴t2﹣14t+41＝0，t1＝7﹣2，t2＝7+27（舍），∴P的坐标为（5﹣2，0）．
【点评】本题考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用等知识点．主要考查了学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
26．(本题8分)如图，直线y=2x﹣6与反比例函数的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k=8，B（3，0）；（2）存在，C（5，0）
【解析】
解：（1）∵点A（4，2）在反比例函数的图象上，
∴把（4，2）代入反比例函数，得k=8．
把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3．
∴B点坐标是（3，0）．
（2）存在．
假设存在，设C点坐标是（a，0），则
∵AB=AC，∴，即（4﹣a）2+4=5．
解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去）．
∴点C的坐标是（5，0）．
（1）先把（4，2）代入反比例函数解析式，易求k，再把y=0代入一次函数解析式可求B点坐标．
（2）假设存在，设C点坐标是（a，0），然后利用勾股定理可得
，
解方程，即得a=3或a=5，其中a=3和B点重合，舍去，故C点坐标可求．
27．(本题8分)
如图，矩形ABCD，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP．已知动点M、N运动了x秒．
（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值；
（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）x=1或或
【解析】（1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．
（2）三角形MPA中，底边AM的长为3-x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．
（3）本题要分三种情况：①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN，PQ=AB-PN根据勾股定理即可求出x的值．③MA=PA，不难得出AP=BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．
【解答】（1）解：（1）∵PN⊥BC，
∴∠PNC=∠B=90°，
∴PN∥AB，
∴△PNC∽△ABC，
∴
∴
∴
（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，则PQ=QN-PN=4-=
依题意，可得：AM=3-x
∵0≤x≤1.5
即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着的增大而增大．∴当x=1时，S有最大值
，S最大值＝．
（3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：
①若PM＝PA，
∵PQ⊥MA
∴MQ＝QA＝x，
又DM＋MQ＋QA＝AD
∴3x=3，即x=1
②若MP＝MA，则MQ＝3-2x，PQ＝，MP＝MA＝3-x
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：
∴，解得：（x=0不合题意，舍去）
③若AP＝AM，由题意可得：AP=，AM＝3-x，∴=3-x，解得：
综上所述，x=1，或，或时，△MPA是等腰三角形．
28．(本题8分)如图所示，在直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于点，是的中点；一次函数的图象经过、两点，并交轴于点若
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请指出在轴的右侧，当时的取值范围，当＜时的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：；(2)
在轴的右侧，当＞时，0＜x＜4,
当＜时,x＞4.
【解析】(1)需求A点坐标,由=4,点D(0,-2),可求A的横坐标;由C是OB的中点,可得OD=AB求出A点纵坐标,从而求出反比例函数解析式;根据A、D两点坐标可求一次函数解析式;
(2)观察图象知,在交点A的左边,>，在A点右边＜.
【解答】(1)如图：
作AE⊥y轴于E,
=4,OD=2，ODAE=4
AE=4，
AB⊥OB,C为OB的中点,
∠DOC=∠ABC=90,OC=BC,∠OCD=∠BCA
RtΔDOC≌RtΔABC
AB=OD=2
A(4,2)
将A(4,2)代入中,得k=8,
反比例函数的解析式为:
将A(4,2)和D(0,-2)代入,
得，解得：，
一次函数的解析式为:
（2）观察图象知,在交点A的左边,>，此时0＜x＜4
在A点右边＜，此时x＞4.
当>时，0＜x＜4；当当＜时，x＞4.
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的性质，熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法;通过观察图象解不等式时,从交点看起,函数图象在上方的函数值大.
29．(本题8分)已知正比例函数（a＜0）与反比例函数的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为4．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）在坐标系中画出它们的图象（可不列表）；
（3）利用图像直接写出当x取何值时，．
【答案】（1）正比例函数：反比例函数：
（2）见解析
（3）或时
【解析】（1）因为两函数图象一个公共点的纵坐标为4，所以令两函数值为4，组成方程组解答即可；
（2）根据解析式描出关键点，连线即可；
（3）由图象即可直接得到时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵交点纵坐标为4，
∴
解得a1＝－5，a2＝5（舍去）
∴正比例函数：y＝－2x；
反比例函数：y＝?；
（2）已知正比例函数y＝－2x过(0，0)，(1，－2)，连接两点即可．
已知反比例函数y＝?
过(1，－8)(2，－4)(4，－2)，(8，－1)；
(－1，8)(－2，4)(－4，2)(－8，1)顺次连接各点即可；
（3）由图可知y1＞y2时，
在第二象限内，x＜－2；
在第四象限内，0＜x＜2．
当时，x＜－2或0＜x＜2时，y1＞y2．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点,还考查了利用列表法作函数图象，而数形结合求x的取值范围考查了同学们的观察力．
30．(本题8分)如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）．
（1）求a值及A，B两点坐标；
（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；
（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（1，0），B（4，0）．（2）m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．M′（，-2）
【解析】(1)把点C坐标代入抛物线解析式即可求出a,令y=0可得抛物线与x轴的交点坐标.
(2)根据题意可知,当点P在圆外部的抛物线上运动时,∠CPD为锐角,由此即可解决问题.
(3)存在.如图2中,将线段C'A平移至D'F,当点D'与点H重合时,四边形AC'D'E的周长最小,求出点H坐标即可解决问题.
【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x-）2+经过点C（0，-2），
∴-2=a（0-）2+，
∴a=-，
∴y=-（x-）2+，
当y=0时，-（x-）2+=0，
∴x1=4，x2=1，
∵A、B在x轴上，
∴A（1，0），B（4，0）．
（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-（x-）2+，
∴C、D关于对称轴x=对称，
∵C（0，-2），
∴D（5，-2），
如图1中，连接AD、AC、CD，则CD=5，
∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），
∴AC=，AD=2，
∴AC2+AD2=CD2，
∴∠CAD=90°，
∴CD为⊙M的直径，
∴当点P在圆外部的抛物线上运动时，∠CPD为锐角，
∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．
（3）存在．如图2中，将线段C′A平移至D′F，则AF=C′D′=CD=5，
∵A（1，0），
∴F（6，0），
作点E关于直线CD的对称点E′，
连接EE′正好经过点M，交x轴于点N，
∵抛物线顶点（，），直线CD为y=-2，
∴E′（，-），
连接E′F交直线CD于H，
∵AE，C′D′是定值，
∴AC′+ED′最小时，四边形AC′D′E的周长最小，
∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥E′F，
则当点D′与点H重合时，四边形AC′D′E的周长最小，
设直线E′F的解析式为y=kx+b，
∵E′（，-），F（6，0），
∴可得y=x-，
当y=-2时，x=，
∴H（，-2），∵M（，-2），
∴DD′=5-=，
∵-=，
∴M′（，-2）
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，及二次函数与圆、四边形的综合，综合性大，需综合运用所学知识求解.
31．(本题8分)阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB?r1+AC?r2＝AB?h，∴r1+r2＝h
（1）理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：．
（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于
；
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）r1+r2+…+rn＝（为定值）．
【解析】（1）已知BE＝BC，采用面积分割法，S△BFE＋S△BCF＝S△BEC得出三角形高的数量关系．
（2）连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，而这几个三角形的底相等，故可得出高的关系．
（3）问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长为底，边心距为高，可求正n边形的面积，然后由P点向正n多边形，又可把正n边形分割成n过三角形，以边长为底，以r1r2…rn为高表示面积，列出面积的等式，可求证r1＋r2＋…＋rn为定值．
【解答】（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝90°，
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
∴AD＝
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC．
∴AB?r1+BC?r2+AC?r3＝BC×AD，
∵BC＝AC＝AB，
∴r1+r2+r3＝AD．
∴r1+r2+r3＝
（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝2．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，
∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形，
∴PE＝AH，PF＝BE，PG＝HD，PH＝AE，
∴PE+PF+PG+PH＝AH+BE+HD+AE＝AD+AB＝4．
故答案为4．
（3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，
∴S正n边形＝×2×r×n．r＝，
∵S正n边形＝×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn，
∴×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn＝×n，
∴r1+r2+…+rn＝nr＝（为定值）．
【点评】本题主要利用面积分割法，求线段之间的关系，解题的关键是熟知面积法的应用、时三角函数的应用．
32．(本题12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．
【答案】（1）b＝﹣3a+1；（2）B（﹣4a，4）；（3）a＝﹣1或a＜﹣
【解析】（1）将点(3，3)代入解析式即可求解；
（2）把y=4代入y=x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求出B点坐标；
（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况进行讨论，即可得到结论．
【解答】解：（1）将点(3，3)代入y＝ax2+bx，得：9a+3b＝3,
∴b＝-3a+1；
（2）令x+4a+4＝4，得x＝-4a，
∴B(-4a，4)，
（3）∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵A(1，4)，B(-4a，4)，
∴点A、B所在的直线为y＝4，
由（1）得b＝1-3a，
则抛物线可化为：y＝ax2+（1-3a）x，
当抛物线与线段AB恰有一个公共点时，分两种情况讨论：
①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点且抛物线的顶点在点A、B之间时，
则或，
方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，
即（1﹣3a）2+16a＝0，
解得a1＝，a2＝，
当a1＝时，（不符合题意），
当a2＝﹣1时，，则1≤≤-4a成立，
②当抛物线经过点A时，
即当x＝1，y＝4时，a+1-3a＝4，
解得a＝；
∴a＜时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，
综上所述，当a＝-1或a＜-时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数和一次函数图象上的点的坐标特征，解决本题的关键是理解抛物线与线段AB恰有一个公共点的含义．
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精品试卷·第
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