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期末综合训练（4）
考试时间建议：150分钟；考试满分：150分
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)下列各组图形中不一定相似的有（ ）
①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥两个等腰直角三角形．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【解析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．
【解答】①两个矩形，对应角相等，但边的比不一定相等，故不一定相似；
②两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似；
③两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
④两个等边三角形，角都是60°，故相似；
⑤两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；
⑥两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似．
所以共有①③⑤3个不一定相似，故选B．
2．(本题3分)如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（
???）
A．4
B．3
C．2
D．
【答案】B
【解析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD//
y
轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为，列出方程，求解得出答案.
【解答】把x=1代入得：y=1,
∴A(1,1),把x=2代入得：y=,
∴B(2,
),
∵AC//BD//
y轴,
∴C(1,k),D(2,)
∴AC=k-1,BD=-，
∴S△OAC=（k-1）×1,
S△ABD=
(-)×1,
又∵△OAC与△ABD的面积之和为，
∴（k-1）×1＋
(-)×1=，解得：k=3;
故答案为B.
【点评】:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.
3．(本题3分)如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（
）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．2：3
【答案】B
【解析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比．
【解答】解：如图，过O作，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又，
设，又，
，
故选B．
【点评】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
4．(本题3分)小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点
B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是
A．＋1
B．＋1
C．2.5
D．
【答案】B
【解析】根据翻折变换的性质得出AB=BE，∠AEB=∠EAB=45°，∠FAB=67.5°，进而得出tan∠FAB=tan67.5°=得出答案即可．
【解答】∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，
∴AB=BE，∠AEB=∠EAB=45°，
∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，
∴AE=EF，∠EAF=∠EFA=22.5°
∴∠FAB=67.5°，
设AB=x，
则AE=EF=
故选B.
【点评】解题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
5．(本题3分)中，如果各边长度都扩大倍，则锐角的各个三角函数值（
）
A．不变化
B．扩大2倍
C．缩小
D．不能确定
【答案】A
【解析】根据锐角三角函数定义得出sinA=，cosA=，tanA=，△ABC的各边长度都扩大2倍得出sinA==，cosA==，tanA==，即可得出变化后锐角A的各个三角函数值还不变．
【解答】解：如图：
∵设AC=b，BC=a，AB=c，
则sinA=，cosA=，tanA=，
∴△ABC的各边长度都扩大2倍得：sinA==，cosA==，tanA==，即Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的各个三角函数值不变化，
故选A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，注意：sinA=，cosA=，tanA=．
6．(本题3分)如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，≈1.73)(
)
A．3.5m
B．3.6m
C．4.3m
D．5.1m
【答案】D
【解答】如图，设CD＝xm，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝30°，∴（m）．在Rt△ECD中，∵∠DEC＝60°，∴（m）．∵AE＝4m，∴，解得．
∴（m）．故选D．
7．(本题3分)已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x（
）
A．有最大值，最大值为
B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为
D．有最小值，最小值为
【答案】B
【解答】∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），∴N点的坐标为（﹣a，b）．
又∵点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上，
∴，即．∴二次函数y=﹣abx2+（a+b）x为．
∵二次项系数为＜0，∴函数有最大值，最大值为y=．故选B．
8．(本题3分)反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系是（ ）
A．x1＞x2
B．x1=x2
C．x1＜x2
D．不确定
【答案】A
【解答】∵反比例函数y=?的图象上有
(,?2),(,?3)两点，
∴每个分支上y随x的增大而增大，∵?2>?3，∴>，
故选A.
9．(本题3分)如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】首先根据勾股定理求出PB的长，然后根据锐角三角函数的定义，
tanα=即可求值．
【解答】解：过点P作PB⊥x轴于点B，
∵点P的横坐标为3，sinα=，
∴OB=3，设PB=4x，OP=5x
在Rt△OPB中，由勾股定理得：32+（4x）2=（5x）2
解得：x=1，
∴PB=4，tanα==
故选C.
【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
10．(本题3分)铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋.则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A．6
m
B．12
m
C．8
m
D．10
m
【答案】D
【解析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．
【解答】把y=0代入y=-x2+x+得：
-x2+x+=0，
解之得：x1=10，x2=-2．
又x＞0，解得x=10．
故选D．
11．(本题3分)如图,平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x+3交x轴于点B,C,交y轴于点A,点P(x,y)是抛物线上的一个动点,连接PA,AC,PC,记△ACP面积为S.当y≤3时,S随x变化的图象大致是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解方程得B（2,0），C（6,0），易得点A的坐标为（0,3），利用对称性得到抛物线与直线
y=3的另一交点坐标（8,3），利用待定系数法可求出直线AC的解析式为y=,过点P作PD∥y轴交AC于D，如图，设点P的坐标为（x,）,则点D的坐标为（x,）,讨论：当0≤x≤6时，S=；当6【解答】当y=0时，，解得=2，=6，
∴点B的坐标为（2,0），点C的坐标为（6,0）；
当x=0时，y=,则点A的坐标为（0,3），抛物线的对称轴为直线x=4，点A关于直线x=4的对称点为（8,3），利用待定系数法可求出直线AC的解析式为y=-,过点P作PD∥y轴交AC于D，如图，
设点P的坐标为（x,）,则点D的坐标为（x,）,当0≤x≤6时，
∴DP=
，
∴S=
,
当6∴DP=
，
∴S=，
故选B.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax?+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x
轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.
12．(本题3分)根据图中①所示的程序，得到了y与x的函数图象图中②，若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P、Q．连结OP、OQ，则下列结论正确的是（
）
A．OPQ的面积为4.5?
B．x<0时，y=?
C．x>0时，y随x的增大而增大?
D．∠POQ不能等于90°
【答案】A
【解析】先利用图中的程序写出x＜0和x＞0时的函数关系式，可对②作出判断；利用反比例函数的系数k的几何意义可得△OPQ的面积，可对①作出判断；利用反比例函数的性质可判断③的正误，用反证法利用三角形相似可判断④的正误．
【解答】解：由图①所示的程序，可得y与x的函数解析式为y=．
∴S△OPM=，
S△OQM=
∴S△OPQ=S△OPM+S△OQM=4.5，故A正确；
当x＜0时，y=,故B错误；
当x＞0时，在反比例函数y=的图象上，y随x的增大而减小，故C错误；
分别过点P、Q作PA⊥x轴于A，QB⊥x轴于B．则∠OAP=∠OBQ=90°∴∠AOP+∠APO=90°
假设∠POQ=90°
，则有∠AOP+∠BOQ=180°-∠POQ=90°
∴∠BOQ=∠APO
又∵∠OAP=∠OBQ=90°
∴△AOP∽△BQO
∴
∵
PQ∥x轴
∴AP=BQ=PQ=a（a＞0）
∴设P
,Q∴PA=BQ=a，
OA=，
OB=,
∴
,
整理,得,
∴a值存在
∴∠POQ=90°成立．故D错误．
故答案为：A．
【点评】本题考查反比例函数、三角形相似和反证法的综合应用，在得到函数解析式的基础上灵活应用反比例函数性质和三角形相似的判定和性质是解题关键．
二、填空题(共24分)
13．(本题3分)若，则=________．
【答案】
【解析】由可得a与b的等量关系式，然后直接求解即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
【点评】本题主要考查比的性质，关键是根据题意得到a与b的等量关系式．
14．(本题3分)如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为__________．
【答案】1：9
【解析】
分析：根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9，问题得解．
详解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=1：9．
故答案为1：9．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
15．(本题3分)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2BC=4，点P为AB边中点，点E为AC边上不与端点重合的一动点，将△ADP沿着直线PD折叠得△PDE，若DE⊥AB，则AD的长度为_____
．
【答案】或
【解析】分类讨论：①当点E在直线AC上方时，设DM=x，先证明△AMD∽△ACB，得出AM=2x，勾股定理表达出AD及ME，求出AB，表达出MP，根据tan∠E==列出方程解答；②当点E在直线AC上方时，设DN=y，表达出AD，AN，以及PN，EN，根据tan∠E==列出方程解答即可．
【解答】分类讨论如下：①当点E在直线AC上方时，如图1，设DM=x．
∵∠A=∠A，∠AMD=∠C，
∴△AMD∽△ACB，∴AM：MD=AC：BC=2，
∴AM=2x，
在Rt△AMD中，AM=2x，DM=x，
∴AD==，
∴DE=AD=，
∴ME=，
在Rt△ACB中，AC=4，BC=2，
∴AB==，
∴AP=AB=，
∴MP=
∵∠E=∠A，
∴tan∠E==，即：，解得：，
∴AD==；
②当点E在直线AC上方时，如图2，设DN=y．
∵DN=y，同①可得AD=，AN=2y，
∵AP=，
∴PN=，EN=，
∵tan∠E==，
∴，解得：，∴AD==；
故答案为：或．
【点评】本题考查了折叠问题，涉及了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，画出图形，分类讨论，利用数形结合思想进行解答．
16．(本题3分)某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB=62m，根据这个兴趣小组测得的数据，则蒲宁之珠的高度CD约为_________m．（sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整数）
【答案】189．
【解答】试题分析：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，∴AD=CD，∵AD=AB+BD，∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=，∴BD=，∴AB=AD﹣BD=CD﹣=62，∴CD≈189（m）．故答案为189．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
17．(本题3分)函数y＝中，若x＞1，则y的取值范围为________，若x＜3，则y的取值范围为________．
【答案】0＜y＜6
y＜0或y＞2
【解析】根据反比例函数的增减性确定y的取值范围即可．
【解答】解：∵y＝中k＝6＞0，
∴在每一象限内y随着x的增大而减小，
当x＝1时y＝6，当x＝3时y＝2，
∴当x＞1，则y的取值范围为0＜y＜6，当x＜3时y的取值范围为y＜0或y＞2?
故答案为：0＜y＜6；y＜0或y＞2．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，根据函数解析式画出图象是关键．
18．(本题3分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，BC=2，DA=3，则△ABC与△DCA的面积比为______．
【答案】4∶9
【解析】求出△CBA∽△ACD，得出，得出△ABC与△DCA的面积比=．
【解答】∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°，
∴△CBA∽△ACD，
，
∵，
∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．
故答案为4：9．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是利用△ABC与△DCA的面积比等于相似比的平方．
19．(本题3分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=
，则sinA=________．
【答案】
【解析】结合图形运用三角函数定义求解．
【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=
，
∴sinA=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
20．(本题3分)已知△ABC的三个顶点为A(-1，1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，将△ABC向右平移m(m>0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=
的图象上，则m的值为________．
【答案】
【解析】根据中点的坐标和平移的规律，利用点在函数图像上，可解出m的值.
【解答】△ABC的三个顶点为A（-1,1），B（-1,3），C（-3,3）
∴AB的中点（-1,2），BC的中点（-2,0），AC的中点（-2，-1）
∴AB边的中点平移后为（-1+m，2），AC中点平移后为（-2+m，-1）
∵△ABC某一边中点落在反比例函数上
∴2（-1+m）=3或-1×（-2+m）=3
m=2.5或-1（舍去）.
故答案是：.
【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
三、解答题(共90分)
21．(本题8分)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，
在近岸取点Q和S，
使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，
确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．
如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，
求河的宽度PQ．
?
【答案】90米
【解析】根据相似三角形的性质得出
,
进而代入求出即可．
【解答】解答：根据题意得出：QR∥ST
，
则△PQR∽△PST
，
故，
∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，
∴，
解得：PQ=90（m），
∴河的宽度为90米．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR∽△PST是解题关键．
22．(本题8分)已知：如图，△ABC∽△ADE，
∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．
?
【答案】∠ADE=95°
【解析】由△ABC∽△ADE，∠C=40°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠ADE的度数．
【解答】∵△ABC∽△ADE，
∠C=40°，
∴∠AED=∠C=40°．
在△ADE中，
∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45°
即40°+∠ADE+45°=180°，
∴∠ADE=95°．
【点评】此题考查了相似三角形的性质与三角形内角定理．题目比较简单，注意相似三角形的对应角相等．
23．(本题8分)如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
【答案】（1）2；y=，n=；OG=．
【解答】（1）∵点E（4，n）在边AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，
∵tan∠BOA=，
∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2；
（2）根据（1），可得点B的坐标为（4，2），
∵点D为OB的中点，
∴点D（2，1）
∴=1，
解得：k=2，
∴反比例函数解析式为y=，
又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，
∴=n，
解得n=；
（3）如图，设点F（a，2），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴=2，
解得a=1，
∴CF=1，
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，
在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2﹣t）2+12，
解得t=，
∴OG=t=．
24．(本题8分)如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
【答案】x为1.2m.
【解析】内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可．
【解答】当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
解得x=1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
【点评】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
25．(本题8分)如图，某涵洞的截面是抛物线的一部分，现水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，求涵洞所在抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
试题分析：根据抛物线的顶点是原点，那么可设为y＝ax2,由CO和AB的长,那么B的坐标应该是（0.8，－2.4）,利用待定系数法即可解决.
试题解析：设这条抛物线的解析式为y＝ax2，
由题意可知，抛物线过点（0.8，－2.4），
可得
：－2.4＝a×0.82，
解之得：，
∴这条抛物线的解析式为．
26．(本题8分)如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．
【答案】．
【解析】在Rt△ACD中，利用三边关系即可得到AD的长，在Rt△BCD中，根据正切函数求出邻边BD后，相加求和即可．
【解答】由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB于点D，∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．
在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠A=30°，
∴AD=CD=，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，
∴DB===．
∴AB=AD+BD=+=．
答：建筑物A、B间的距离为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，找准直角三角形，灵活运用相关知识是解题的关键．
27．(本题10分)交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的液体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数，为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间的部分数据如下表：
速度v（千米/小时）
…
5
10
20
32
40
48
…
流量q（辆/小时）
…
550
1000
1600
1792
1600
1152
…
（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是________（只需填上正确答案的序号）①
q=90v+100?
②
q=???③
q=-2v?+120v
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（3）已知q，v，k满足
q=vk，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题：
①市交通运行监控平台显示，当
12≤v<18时道路出现轻度拥堵，试分析当车流密度k在什么范围时，该路段出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值
【答案】（1）③;(2)30,1800;(3)
①84＜k≤96;
②米.
【解析】（1）设q与v的函数关系式为q=av2+bv,依题可得二元一次方程组求出q与v的函数关系式，即可得出答案.
（2）由（1）得到的二次函数关系式，根据其图像性质即可求出答案.
（3）①根据q=vk即可得出v=-k+60代入12≤v＜18即可求出k的范围.
②根据v=30时，q最大=1800，再将v值代入v=-k+60求出k=60，从而得出d.
【解答】（1）设q与v的函数关系式为q=av2+bv,依题可得：
,
解得,
∴q=-2v2+120v.
故答案为③.
（2）解：∵q=-2v2+120v=-2（v-30）2+1800.
∴当v=30时，q最大=1800.
（3）解：①∵q=vk,
∴k===-2v+120.
∴v=-k+60.
∵12≤v＜18,
∴12≤-k+60＜18.
解得：84＜k≤96.
②∵当v=30时，q最大=1800.
又∵v=-k+60,
∴k=60.
∴d=
.
∴流量最大时d的值为米.
考点：1、一次函数的应用，2、二次函数的最值，3、待定系数法求二次函数解析式
28．(本题10分)已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；
（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）把b=2和点代入抛物线的解析式，求出c的值，进行配方即可得出顶点坐标
（Ⅱ）根据点和）点在抛物线上和得出点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．过点作轴，垂足为，则点，再根据D、E两点坐标得出为等腰直角三角形，得出，再根据已知条件，，从而求出b的值
（Ⅲ）根据点在抛物线上得出点在第四象限，且在直线的右侧；取点，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，得出，此时的值最小；过点作轴于点，则点．再根据得出m与b的关系，然后根据两点间的距离公式和
的最小值为，列出关于b的方成即可
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线经过点，
∴．即．
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为．
∵点在抛物线上，
∴．
由，得，，
∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．
如图，过点作轴，垂足为，则点．
∴，．得．
∴在中，．
∴．
由已知，，
∴．
∴．
（Ⅲ）∵点在抛物线上，
∴．
可知点在第四象限，且在直线的右侧．
考虑到，可取点，
如图，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，
有，得，
则此时点满足题意．
过点作轴于点，则点．
在中，可知．
∴，．
∵点，
∴．解得．
∵，
∴．
∴．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、勾股定理、等腰三角形的性质与判定等知识，关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
29．(本题10分)如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
【答案】5米
【解答】解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴由相似得，8米高旗杆DE的影子为：12米．
∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12－3－1=8（米）．∴GM=MH=4米．，
∵MN=2米，∴．
设小桥所在圆的半径为r米，
∴，解得：r=5．
答：小桥所在圆的半径为5米．
由已知根据根据得出旗杆高度，从而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半径即可．
30．(本题12分)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交X轴正半轴于点B，交y轴
正半轴于点C，直线BC的解析式为y=kx+3（k≠0
），∠ABC=45°，
（1）求b、c的值；
（2）点P在第一象限的抛物线上，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线BC于点M、N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点E为抛物线的顶点，连接EC、EP、AP，AP交y轴于点D，连接DM，若∠DMB=90°，求四边形CMPE的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）在y=kx+3中，令x=0，即可求得C的纵坐标，然后根据△OBC是等腰直角三角形求得B的坐标，利用待定系数法求得b和c的值；
（2）首先求得直线BC的解析式，则可求得P和N的纵坐标，则PN的长即可求得，然后根据△PMN是等腰直角三角形即可表示出MN的长；
（3）延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K，过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM，在直角△OAD和直角△KAP中，利用三角函数即可列方程求得t的值，再根据S四边形CMPE=S△ECM+S△EMP求解．
【解答】解：（1）在y=kx+3中，令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），
∵直角△OBC中，∠ABC=45°，
∴OB=OC=3，即B的坐标是（3，0）．
根据题意得：，
解得：；
（2）二次函数的解析式是y=﹣x2+2x+3，
设BC的解析式是y=mx+n，
则，
解得，
则直线BC的解析式是y=﹣x+3，△OBC是等腰直角三角形．
把x=t代入y=﹣x2+2x+3得y=﹣t2+2t+3，即P的纵坐标是﹣t2+2t+3，
把x=t代入y=﹣x+3，得y=﹣t+3，即N的纵坐标是﹣t+3．
则PN=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
则d=PN，即d=-t2+3t；
（3）延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K．
A的坐标是（﹣1，0），P的坐标是（t，﹣t2+2t+3），
∵在直角△PAK中，tan∠PAK==3﹣t，
在直角△AOD中，tan∠DAO=，
∴3﹣t=，
∴OD=3﹣t，
∴CD=3﹣（3﹣t）=t．
∵△CMD是等腰直角三角形，
∴MH=CD=t．
∵PH=MH+PM，
∴t=t+（﹣t2+3t）．
∴t=或0（舍去）．
∴PM=﹣（）2+3×=，
PM=，
CM=，
PK=．
∵二次函数的解析式是y=﹣x2+2x+3的顶点E的坐标是（1，4）．
∴点E到PM的距离是4﹣=，
过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM．
∵EQ=QC=1，
∴△EQC和△HMC都是等腰直角三角形，
∴EC=，
∠ECM=90°，
∴S四边形CMPE=S△ECM+S△EMP=××+××=．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，在（3）中正确求得t的值是解题的关键．
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期末综合训练（4）
考试时间建议：150分钟；考试满分：150分
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)下列各组图形中不一定相似的有（ ）
①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥两个等腰直角三角形．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2．(本题3分)如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（
???）
A．4
B．3
C．2
D．
3．(本题3分)如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（
）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．2：3
4．(本题3分)小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点
B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是
A．＋1
B．＋1
C．2.5
D．
5．(本题3分)中，如果各边长度都扩大倍，则锐角的各个三角函数值（
）
A．不变化
B．扩大2倍
C．缩小
D．不能确定
6．(本题3分)如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，≈1.73)(
)
A．3.5m
B．3.6m
C．4.3m
D．5.1m
7．(本题3分)已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x（
）
A．有最大值，最大值为
B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为
D．有最小值，最小值为
8．(本题3分)反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系是（ ）
A．x1＞x2
B．x1=x2
C．x1＜x2
D．不确定
9．(本题3分)如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝( )
A．
B．
C．
D．
10．(本题3分)铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋.则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A．6
m
B．12
m
C．8
m
D．10
m
11．(本题3分)如图,平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x+3交x轴于点B,C,交y轴于点A,点P(x,y)是抛物线上的一个动点,连接PA,AC,PC,记△ACP面积为S.当y≤3时,S随x变化的图象大致是(
)
A．
B．
C．
D．
12．(本题3分)根据图中①所示的程序，得到了y与x的函数图象图中②，若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P、Q．连结OP、OQ，则下列结论正确的是（
）
A．OPQ的面积为4.5?
B．x<0时，y=?
C．x>0时，y随x的增大而增大?
D．∠POQ不能等于90°
二、填空题(共24分)
13．(本题3分)若，则=________．
14．(本题3分)如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为__________．
15．(本题3分)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2BC=4，点P为AB边中点，点E为AC边上不与端点重合的一动点，将△ADP沿着直线PD折叠得△PDE，若DE⊥AB，则AD的长度为_____
．
16．(本题3分)某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB=62m，根据这个兴趣小组测得的数据，则蒲宁之珠的高度CD约为_________m．（sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整数）
17．(本题3分)函数y＝中，若x＞1，则y的取值范围为________，若x＜3，则y的取值范围为________．
18．(本题3分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，BC=2，DA=3，则△ABC与△DCA的面积比为______．
19．(本题3分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=
，则sinA=________．
20．(本题3分)已知△ABC的三个顶点为A(-1，1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，将△ABC向右平移m(m>0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=
的图象上，则m的值为________．
三、解答题(共90分)
21．(本题8分)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，
在近岸取点Q和S，
使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，
确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．
如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，
求河的宽度PQ．
?
22．(本题8分)已知：如图，△ABC∽△ADE，
∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．
?
23．(本题8分)如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
24．(本题8分)如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
25．(本题8分)如图，某涵洞的截面是抛物线的一部分，现水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，求涵洞所在抛物线的解析式．
26．(本题8分)如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．
27．(本题10分)交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的液体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数，为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间的部分数据如下表：
速度v（千米/小时）
…
5
10
20
32
40
48
…
流量q（辆/小时）
…
550
1000
1600
1792
1600
1152
…
（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是________（只需填上正确答案的序号）①
q=90v+100?
②
q=???③
q=-2v?+120v
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（3）已知q，v，k满足
q=vk，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题：
①市交通运行监控平台显示，当
12≤v<18时道路出现轻度拥堵，试分析当车流密度k在什么范围时，该路段出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值
28．(本题10分)已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；
（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．
29．(本题10分)如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
30．(本题12分)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交X轴正半轴于点B，交y轴
正半轴于点C，直线BC的解析式为y=kx+3（k≠0
），∠ABC=45°，
（1）求b、c的值；
（2）点P在第一象限的抛物线上，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线BC于点M、N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点E为抛物线的顶点，连接EC、EP、AP，AP交y轴于点D，连接DM，若∠DMB=90°，求四边形CMPE的面积．
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