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23.1：锐角的三角函数
1．在中，，，，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
2．、、的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
3．在中，，，（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5
，BC=3，则tanB的值是（
）
A．
B．
C．
D．
5．在中，，下列式子中最大的一个是（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°．若sinA=
，
则cosA等于（ ）
A．
B．
C．
D．1
8．已知sinαcosα=，且0°<α<45°，则sinα－cosα的值为(
)
A．
B．－
C．
D．±
9．三棱柱的三视图如图所示，已知中，，．若的长为，则是（
）
A．
B．
C．
D．
10．、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（????????）
A．
B．
C．
D．
11．已知，则________．
12．计算________；若，则________．
13．锐角满足，利用计算器求时，依次按键，则计算器上显示的结果是________．
14．sin60°的相反数是________．
15．计算：________．
16．________．
17．________．
18．下图所示的网格是正方形网格，________．（填“”，“”或“”）
19．在Rt△ABC中，∠ACB=90，sinB=，则cosB=
；若，则=
．
20．已知部分锐角三角函数值：，，，，计算________．（提示：）
21．在中，，，，求的长．
22．如图，海中有两个小岛、，某渔船在海中的处测得小岛位于东北方向上，且相距海里，该渔船自西向东航行一段时间到达处，此时测得小岛恰好在点的正北方向上，且相距75海里，又测得点与小岛相距海里．
（1）求的值；
（2）求小岛、之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
23．如图，一艘渔船正以海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
24．阅读下面的材料：
（1）锐角三角函数概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，称sinA=，sinB=是两个锐角∠A，∠B的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即sin90°=1，也就是sinC==1．
由sinA=，可得c=；由sinB=，可得c=，
而c=，
，于是就有；
（2）其实，对于任意的锐角△ABC，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性．
证明：如图1作AD⊥BC于D则在Rt△ABD中，sinB=，
∴AD=c?sinB，∴S△ABC=a?AD=ac?sinB，
在Rt△ACD中，sinC=，∴AD=b?sinC．
∴S△ABC=a?AD=ab?sinC．同理可得S△ABC=bc?sinA．
因此有S△ABC=ac?sinB=ab?sinC=bc?sinA．
也就是=ac?sinB=ab?sinC=bc?sinA．
每项都除以abc，得，故．
请你根据对上面材料的理解，解答下列问题：
（1）在锐角△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，c=2，求b；
（2）求问题（1）中△ABC的面积；
（3）求sin75°的值（以上均求精确值，结果带根号的保留根号）
25．大刚在学习解直角三角形时发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，大刚同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=7，求AF的长．
26．如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点．
（1）求证：；
（2）当平分时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
27．如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证；
（2）连接FC，求的值；
（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，，，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
图1
图2
28．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，、是的中线，于点，像这样的三角形均称为“中垂三角形”．
（特例探究）
（1）如图1，当，时，_____，______；
如图2，当，时，_____，______；
（归纳证明）
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；
（拓展证明）
（3）如图4，在中，，，、、分别是边、的中点，连结并延长至，使得，连结，当于点时，求的长．
29．（定义）
如图1，在Rt△ABC中，点M，N分别在直角边AC，BC上，若AM2+BN2＝MN2，则称线段MN为Rt△ABC的“勾股线”．
（运用）
（1）如图1，MN为Rt△ABC的“勾股线”，AC＝6，BC＝4，AM＝2，求CN的长；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上，试用没有刻度的直尺和圆规作出Rt△ABC的一条“勾股线”PQ（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（3）如图3，EF是Rt△ABC的“勾股线”，BF＝AE，CF＝AE，D是斜边AB上一点，且AD＝BD，连接DF．求tan∠DFE的值．
30．在中，、、的对边分别为、、，且满足等式和，求的值.
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精品试卷·第
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23.1：锐角的三角函数
1．在中，，，，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由锐角三角函数的定义求解.
【解答】如图所示：
＝＝.
故选B.
【点评】考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是余弦的定义(邻边与斜边的比值)．
2．、、的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用计算器分别计算47度角的正弦值，余弦值，正切值再比较即可得出答案．
【解答】解：，，
∴，
故选：．
【点评】本题考查了同角的三角函数值，不是特殊角时可借助计算器．
3．在中，，，（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】画出直角三角形，根据正弦的定义和勾股定理，写出三边比例关系，再由余弦的定义求出．
【解答】解：如图，
∵，
∴设，，
在中，由勾股定理可得，
∴
．
故选．
【点评】本题考查正弦和余弦的定义，解题的关键是画出图象结合勾股定理求出三边比例关系，并根据正弦和余弦的定义求值．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5
，BC=3，则tanB的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】分析：根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．
详解：∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∴cosA==．
故选D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．在中，，下列式子中最大的一个是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据以及0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，得出tanA＞sinA，cotA＞cosA即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt中，∠C=90°，
∴0°＜∠A＜90°，
∵，
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴tanA＞sinA，
∵
∴cotA＞cosA，
故：tanA+cotA＞sinA+cosA，
tanA+cotA＞tanA+cosA，
tanA+cotA＞cotA+sinA，
则式子中最大的一个是tanA+cotA．
故选：．
【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数的增减性，根据0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，得出tanA＞sinA，cotA＞cosA是解题关键．
6．下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据特殊角三角函数值,
可得答案.
【解答】解：A.
sin
-sin
=，故A符合题意;
B.,故B不符合题意;
C.,
故
C不符合题意;
D.,故D不符合题意;
故选:
A.
【点评】本题主要考查三角函数的定义及运算，注意运算的准确性.
7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°．若sinA=
，
则cosA等于（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
所以∠A=30°，
所以cosA=，
故选A.
8．已知sinαcosα=，且0°<α<45°，则sinα－cosα的值为(
)
A．
B．－
C．
D．±
【答案】B
【解析】由题意把已知条件两边都乘以2，再根据sin2α+cos2α=1，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出cosα与sinα的取值范围，从而得到sinα-cosα＜0，最后开方即可得解．
【解答】解：∵sinαcosα=，
∴2sinα?cosα=，
∴sin2α+cos2α-2sinα?cosα=1-
，
即（sinα-cosα）2=，
∵0°＜α＜45°，
∴＜cosα＜1，0＜sinα＜，
∴sinα-cosα＜0，
∴sinα-cosα=
－．
故选：B．
【点评】本题考查同角的三角函数的关系，利用好sin2α+cos2α=1，并求出sinα-cosα＜0是解题的关键．
9．三棱柱的三视图如图所示，已知中，，．若的长为，则是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作于，根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：作于，
由题意得，
在中，，，
，
.
故选．
【点评】此题主要考查了由三视图的知识，以及锐角三角函数的知识，根据已知得出ED=AB是解题关键．
10．、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（????????）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据锐角三角函数的增减性先判断解答．、大小，再进而判定其他类型三角函数值大小即可．
【解答】解：∵
、都是锐角，且，
∴
，
∴
，，．
故选：
【点评】本题考查了三角函数的增减性，熟知各类三角函数的增减性是解题关键．
11．已知，则________．
【答案】
【解析】根据一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，从而可得答案．
【解答】解：∵
，
∴
．
故答案为．
【点评】本题考查的是互为余角的两个角的三角函数之间的关系，掌握互余的两角的三角函数关系是解题的关键．
12．计算________；若，则________．
【答案】5
【解析】将特殊角的三角函数值代入计算；设斜边为，一条直角边为，根据勾股定理求出另外一条直角边的长度，即可求出的值．
【解答】解：；
设斜边为，一条直角边为，
则另一条直角边的长度为：，
则．
故答案为：；．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系、勾股定理，熟练掌握特殊三角函数的值是解题的关键．
13．锐角满足，利用计算器求时，依次按键，则计算器上显示的结果是________．
【答案】60°
【解析】根据题意输入计算器，结合特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：依次按键，显示的是的值，即的度数为°．
故答案为：．
【点评】本题考查了用计算器根据三角函数值求角的度数，特殊角的三角函数值，熟知操作方法，牢记特殊角的三角函数值是解题关键．
14．sin60°的相反数是________．
【答案】
【解析】
∵sin60°=，的相反数是-，
∴sin60的相反数是-．
故答案为-．
15．计算：________．
【答案】
【解析】把特殊角是三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式
.
故答案为：.
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确熟练记忆是关键．
16．________．
【答案】5
【解析】将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题关键．
17．________．
【答案】1
【解析】首先根据幂运算的性质：，，进行整理；再根据互为余角的正切值互为倒数即可计算．
【解答】解：．
故答案为：1
【点评】本题考查了幂的运算法则和互余两角三角函数的关系，熟练掌握法则的运用是解题的关键
18．下图所示的网格是正方形网格，________．（填“”，“”或“”）
【答案】>
【解析】构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小.
【解答】解：如下图所示，
是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为
另：此题也可直接测量得到结果．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键.
19．在Rt△ABC中，∠ACB=90，sinB=，则cosB=
；若，则=
．
【答案】；15°．
【解答】解：根据sin2B+cos2B=1，sinB=
所以cosB=；
因为
所以
根据特殊角三角函数值可得，所以=15°．
20．已知部分锐角三角函数值：，，，，计算________．（提示：）
【答案】
【解析】根据互余两角三角函数的关系：即可求解．
【解答】解：∵
，
∴
．
故答案为:．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系，深刻理解三角函数的定义是解题关键．
21．在中，，，，求的长．
【答案】
【解析】根据正切定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切可得，再代入进行计算即可．
【解答】解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
【点评】本题考查了解直角三角形知识，理解正切的定义是解题关键．
22．如图，海中有两个小岛、，某渔船在海中的处测得小岛位于东北方向上，且相距海里，该渔船自西向东航行一段时间到达处，此时测得小岛恰好在点的正北方向上，且相距75海里，又测得点与小岛相距海里．
（1）求的值；
（2）求小岛、之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【答案】（1）；（2）75海里．
【解析】（1）如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得海里，再根据正弦三角函数的定义即可得；
（2）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得海里，从而可得海里，再在中，利用勾股定理可得海里，然后在中，利用勾股定理即可得．
【解答】（1）如图，过点D作于点E，
由题意得：，海里，海里，海里，
是等腰直角三角形，
海里，
；
（2）如图，过点D作于点F，则四边形BEDF是矩形，
海里，
海里，
在中，海里，
在中，（海里），
故小岛、之间的距离为75海里．
【点评】本题考查了方位角、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正弦三角函数等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和矩形是解题关键．
23．如图，一艘渔船正以海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
【答案】（1）小岛C到航线AB的距离为16海里；（2）这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能；渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．
【解析】（1）作CD⊥AB于D，由题意得出∠CAB＝∠ACB＝30°，从而得出AB＝CB＝，在Rt△BCD中，求得CD的长即可．
（2）利用勾股定理得出MD的长进而得出答案．
【解答】（1）作CD⊥AB交AB于点D，如图1所示
由题意可知：∠CAB＝90°-60°＝30°，∠CBD＝90°-30°＝60°
∴∠ACB＝∠CBD-∠CAB＝30°
∴∠CAB＝∠ACB
∵∴AB＝CB＝＝
在Rt△CBD中
∴小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能
设M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示：
即CM＝CN＝20
∵CD⊥AB
∴DM＝DN
在Rt△CMD中
DM＝
∴MN＝2DM＝24
∴可穿过危险区的时间为：小时
即分钟
∴渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．
【点评】本题考查了方位角、勾股定理、等腰三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌方位角、握勾股定理、等腰三角形、三角函数的性质，从而完成求解．
24．阅读下面的材料：
（1）锐角三角函数概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，称sinA=，sinB=是两个锐角∠A，∠B的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即sin90°=1，也就是sinC==1．
由sinA=，可得c=；由sinB=，可得c=，
而c=，
，于是就有；
（2）其实，对于任意的锐角△ABC，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性．
证明：如图1作AD⊥BC于D则在Rt△ABD中，sinB=，
∴AD=c?sinB，∴S△ABC=a?AD=ac?sinB，
在Rt△ACD中，sinC=，∴AD=b?sinC．
∴S△ABC=a?AD=ab?sinC．同理可得S△ABC=bc?sinA．
因此有S△ABC=ac?sinB=ab?sinC=bc?sinA．
也就是=ac?sinB=ab?sinC=bc?sinA．
每项都除以abc，得，故．
请你根据对上面材料的理解，解答下列问题：
（1）在锐角△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，c=2，求b；
（2）求问题（1）中△ABC的面积；
（3）求sin75°的值（以上均求精确值，结果带根号的保留根号）
【答案】（1）b=；（2）△ABC的面积=；（3）sin75°=
【解析】（1）根据阅读材料得到，则，可计算出b=；
（2）作AD⊥BC于D，如图，在Rt△ABD中，利用余弦的定义得cosB=cos60°=，可计算出BD=1，在Rt△ADC中，根据等腰直角三角形的性质得AD=CD=AC=，所以BC=BD+CD=+1，然后根据三角形面积公式计算得到△ABC的面积=；
（3）先根据三角形内角和定理得到∠A=180°﹣∠B﹣∠C=75°，再根据阅读材料得到△ABC的面积=bcsinA，即×2×sin75°=，可计算出sin75°=．
【解答】解：（1）∵，
∴=，
∴b=；
（2）作AD⊥BC于D，如图，
在Rt△ABD中，cosB=cos60°=，
∴BD=1，
在Rt△ADC中，AD=CD=AC=×，
∴BC=BD+CD=+1，
∴△ABC的面积=××（+1）=；
（3）∵∠B=60°，∠C=45°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=75°，
∴△ABC的面积=bcsinA，
∴××2×sin75°=，
∴sin75°=．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
25．大刚在学习解直角三角形时发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，大刚同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=7，求AF的长．
【答案】AF
=7﹣
【解析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC=7，∠A=30°，
AC=，
则EF=AC=7，
∵∠E=45°，
∴FC=EF?sinE=，
∴AF=AC﹣FC=7﹣．
【点评】
本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
26．如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点．
（1）求证：；
（2）当平分时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的长为11或或．
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，根据相似三角形的性质证明结论；
（2）证明，根据平行线的性质得到，证明，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；
（3）分点在的延长线上、点在线段上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，即
解得，，
∴，
解得，；
（3）解：作于，
∵，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
当点在的延长线上，时，，
∴，解得，，
∴，
当时，，
∴，
解得：，
∴；
当时，，
∴，解得，，
∴；
当点在线段上时，为钝角，
∴只有，则，
∴，
解得，，不合题意，
∴是等腰三角形时，的长为11或或．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角函数、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
27．如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证；
（2）连接FC，求的值；
（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，，，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
图1
图2
【答案】（1）见解析；（2）；（3）是定值，．
【解析】（1）证明，问题得证；
（2）过F作，垂足为M，证明，得到，求出；
（3）过F作，垂足为M，证明，，设，得到，求得，问题得解．
【解答】（1）∵正方形ABCD和正方形AEFG中
∴，，．
∴
∴
∴
（2）过F作，垂足为M，则有，
∴
即
又
∴
∴，
又，
∴
在中，∴
（3）过F作，垂足为M，则有，
∴
即
同理可证：
又
∴，
∴，
设，则，
∴，
，即
∴
即的值为定值
【点评】本题考查是正方形的性质，矩形的性质，求三角函数，相似等知识，综合性较强，解题关键根据题意，每一步都为后续解题提供条件或思路．
28．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，、是的中线，于点，像这样的三角形均称为“中垂三角形”．
（特例探究）
（1）如图1，当，时，_____，______；
如图2，当，时，_____，______；
（归纳证明）
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；
（拓展证明）
（3）如图4，在中，，，、、分别是边、的中点，连结并延长至，使得，连结，当于点时，求的长．
【答案】（1），，，；（2），证明见解析；（3）．
【解析】(1)由三角函数的性质得到
根据三角形中位线的性质,得到EF//AB．
,由平行线分线段成比例可得，可求得PE、PE的长，再由勾股定理得到结果;由三角函数的性质得到
根据三角形中位线的性质,得到EF//AB．
，由平行线分线段成比例可得，可求得PE、PE的长再由勾股定理得到结果;
(2)
设，，则，，利用勾股定理用x、y、z分别表示出：、、，再用x、y、z分别表示出，，由
即可得出答案；
（3）连结，过点作交于点，交于点，可得四边形是平行四边形，可得是中垂三角形，即可知：，代入（2）中结论可求得
【解答】(1)解:如图，连接EF
∵，，
∴
∵、是的中线，是交点
∴
∴
∴
∵
∴由勾股定理可得：
∴
如图连接EF
∵，，
∴，
∵、是的中线，是交点
∴
∴
∴，
∵
∴由勾股定理可得：，
∴，
故答案为：，，，．
（2）,理由如下：
设，，则，
∵
∴
∴，
∴
即
（3）连结，过点作交于点，交于点，
∵，
∴
∵是的中点
∴是的中点
∵，是，的中点
∴，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形
∴是的中点
∴是中垂三角形
∵，，
∴，
有（2）中结论可知：
∴
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、勾股定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
29．（定义）
如图1，在Rt△ABC中，点M，N分别在直角边AC，BC上，若AM2+BN2＝MN2，则称线段MN为Rt△ABC的“勾股线”．
（运用）
（1）如图1，MN为Rt△ABC的“勾股线”，AC＝6，BC＝4，AM＝2，求CN的长；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上，试用没有刻度的直尺和圆规作出Rt△ABC的一条“勾股线”PQ（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（3）如图3，EF是Rt△ABC的“勾股线”，BF＝AE，CF＝AE，D是斜边AB上一点，且AD＝BD，连接DF．求tan∠DFE的值．
【答案】（1）CN＝；（2）见解析；（3）2
【解析】（1）由“勾股线”定义和勾股定理，列出方程，即可求解；
（2）构造一个以AP和BQ的长为直角边，以PQ为
斜边的直角三角三角形即可．以P为圆心，PA为半径画弧，交AB于E，作BE的垂直平分线交BC于Q，连接PQ，可证得△PEQ为直角三角形，则PQ为所求；
（3）过点A作AH∥BC，交FD的延长线于H，连接EH，通过证明△AEH∽△CFE，可得，∠AEH＝∠CFE，可证∠FEH＝90°，即可求解．
【解答】解：（1）∵AC＝6，AM＝2，
∴CM＝4，
∵MN2＝CM2+CN2，AM2+BN2＝MN2，
∴CM2+CN2＝AM2+BN2，
∴16+CN2＝4+(4﹣CN)2，
∴CN＝；
（2）如图2，以P为圆心，PA为半径画弧，交AB于E，作BE的垂直平分线交BC于Q，连接PQ，则PQ为所求．
（3）如图3，过点A作AH∥BC，交FD的延长线于H，连接EH，
设AE＝a，则BF＝a，CF＝a，
∵EF是Rt△ABC的“勾股线”，
∴EF2＝AE2+BF2＝4a2，
∴EF＝2a，
∴CE＝＝＝a，
∵AH∥BC，
∴，∠C+∠HAC＝90°，
∴∠HAC＝∠C＝90°，
∵AD＝BD，
∴AH＝BF＝a，
∵＝2，＝＝2，
∴＝2，
又∵∠HAC＝∠C＝90°，
∴△AEH∽△CFE，
∴，∠AEH＝∠CFE，
∵∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠AEH+∠CEF＝90°，
∴∠FEH＝90°，
∴tan∠DFE＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
30．在中，、、的对边分别为、、，且满足等式和，求的值.
【答案】
【解析】由，可得：
，根据勾股定理的逆定理，可推出∠C=90°，则，根据求出.
【解答】解：∵
∴.
∴∠C=90°.
∵，
∴
设a=3x,c=5x,则根据勾股定理可求得b=4x.
∴=
=
.
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角函数的定义,掌握相关知识是解题的关键.
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精品试卷·第
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