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23.2：解直角三角形及其应用
1．如图，为了测量学校操场上旗杆的高度，在距旗杆米的处用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】A
【解析】根据锐角三角函数关系得出tan30°=进而求出BC的长，即可得出答案．
【解答】根据题意得出：AC=24m，∠A=30°，
则tan30°==,
解得：BC=8.
故选A.
【点评】考查了解直角三角中仰角问题，根据已知得出AC=24m，∠A=30°再利用锐角三角函数求出是解题关键．
2．如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，当小球向下滚动了米时，则小球下降的高度是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】C
【解析】根据余弦的定义求出BC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图可知，
在Rt△ABC中，cosα＝，即，
解得：BC＝2，
由勾股定理得，AC＝＝1.5（米），
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，如果它把一物体从地面送到离地面9米高的地方，那么该物体所经过的路程是( )
A．18米
B．4.5米
C．9米
D．9米．
【答案】D
【解析】如图，斜坡AB的坡度为1：2，可求出AC的长，再利用勾股定理求解即可.
【解答】∵斜坡AB的坡度为1：2，
∴AC=2BC=18米，
∴AB=米.
故选D.
【点评】此题主要考查坡度的意义，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度h和水平宽l的比，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示坡角，可知坡度与坡角的关系是．
4．在中，，，，则边长为（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解析】首先根据特殊角的三角函数值求得的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得和的长后即可求得线段的长．
【解答】解：∵，
∴，
当为钝角三角形时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴；
当为锐角三角形时，如图，
，
故选．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确余弦定理的内容、利用锐角三角函数解答．
5．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（
）
（参考数据：，，）
A．12.6米
B．13.1米
C．14.7米
D．16.3米
【答案】B
【解析】延长AB交地面于点H，作CM⊥DE，
易得CM=1.6，DM=1.2，再由tan58°=，求得AH长即可得.
【解答】延长AB交地面于点H，作CM⊥DE，则四边形BHMC是矩形，
∴HM=BC=1，BH=CM，
∵，i=CM：DM，
∴DM=0.75CM，
∵DM2+CM2=CD2，，
∴CM=1.6，DM=1.2，
∴HE=HM+DM+DE=1+1.2+7=9.2，
在Rt△AHE中，∠AEB=58°，∴tan58°=，
即=1.6，
∴AH=14.72，
∴AB=AH-BH=14.72-1.6=13.12≈13.1（米），
故选B.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，从图中提取相关信息是解题的关键.
6．如果中，，，则下列最确切的结论是（
）
A．是直角三角形
B．是等腰三角形
C．是等腰直角三角形
D．是锐角三角形
【答案】C
【解析】直接利用三角形内角和定理结合特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
故选：．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，正确得出∠A的度数是解题关键．
7．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为(
)
A．
B．12
C．
D．
【答案】A
【解析】作三角形的高AD，在直角△ABD中，利用三角函数即可求得AD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】作AD⊥BC于点D，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABD=180°-120°=60°，
在直角△ABD中，AD=AB?sin60°=6×=3，
在△ABC的面积是：BC?AD=×8×3=12，
故选A．
【点评】本题考查了三角形的面积公式以及三角函数，正确求得三角形的高是关键．
8．某河坝横截面如图，堤高米，迎水坡米，则迎水坡的坡度为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】首先根据勾股定理求出水平距离，再根据坡度垂直距离水平距离计算即可解答．
【解答】解：∵堤高米，迎水坡米，
∴，
∴迎水坡的坡度是．
故选．
【点评】此题考查了坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．注意不要与坡角相混淆，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=hl=tanα．同时考查了勾股定理．
9．将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是（
）
A．cm
B．cm
C．cm
D．2cm
【答案】B
【解析】首先作QH⊥PA，垂足为H，则QH=2cm，易证得△APQ为等边三角形，然后利用三角函数即可求得PQ的长．
【解答】如图，作QH⊥PA，垂足为H，则QH=2cm，
由平行线的性质，得∠DPA=∠BAC=l0°，
由折叠的性质，得∠DPQ+∠APQ=180°，
即∠DPA+∠APQ+∠APQ=180°，60°+2∠APQ=180°，
∴∠APQ=60°，
又∵∠PAQ=∠BAC=60°，
∴△APQ为等边三角形，
在Rt△PQH中，
sin∠HPQ=
PQ==
故选B.
【点评】此题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的三角函数问题.
10．如图，在高米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需（
）
A．米
B．米
C．米
D．无法确定
【答案】C
【解析】地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，因此根据勾股定理求出直角三角形两直角边即可．
【解答】解：已知直角三角形的高是米，根据三角函数得到：水平的直角边是，
则地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，
则地毯的长是米．
故选．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
11．如图，甲船从港出发，沿北偏东方向航行到达港，乙船从港出发，沿西北方向航行到达港，则________．
【答案】
【解析】首先作出辅助线构造直角三角形，进而利用锐角三角函数关系得出DC，AD，EC，BE的长，进而得出答案．
【解答】
过点C作CD⊥AM，CE⊥BN，垂足分别为D，E，
由题意可得：D.
E.?C在一条直线上，
∵∠DAC=60,∠EBC=45，AC=1000m，BC=2000m，
∴AD=ACcos60?=500(m),DC=ACsin60=500
(m)，
EC=BE=×2000=1000
(m)，
∴=
?
?
=(500+1000)×(500+1000)?×500×500?×1000×1000
=250000(+)().
故答案为.
【点评】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题.
12．如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是____米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）
【答案】12
【解答】由题意得，BC=8，
AB=BC·tan∠ACB=8·tan56°≈8×1.483≈12（米）．
故答案为：12．
13．如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB垂直于视线AD，AB＝20米，AE＝30米，则这块宣传牌CD的高度为________．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）．
【答案】5.4米．
【解答】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，∵∠AFB=90°，∠BAF=180°﹣60°﹣90°=30°，
∴BF=AB=10，AF=BF=，
∴BG=AF+AE=+30．
在Rt△BGC中，∵∠BGC=90°，∠CBG=45°，
∴CG=BG=+30．
Rt△ADE中，∵∠AED=90°，∠DAE=60°，AE=30，
∴DE=AE=，
∴CD=CG+GE﹣DE=+30+10﹣≈5.4．
故答案为5.4米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
14．如图，一艘轮船以海里/小时速度从南向北航行，当航行至处时，测得小岛在轮船的北偏东度的方向处，航行一段时间后到达处，此时测得小岛在轮船的南偏东度的方向处．若海里，则轮船航行的时间为________．
【答案】．
【解答】如图，作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠A=45°，∠B=60°，
在Rt△BDC中，∵BC=40，
∴BD=20海里，CD=海里，
在Rt△ADC中，∵∠A=45°，
∴CD=AD=，
∴AB=BD+AD=（20+）海里，
∵轮船的航行速度为20海里/小时，
∴航行时间为（20+）÷20=（）小时，
故答案为（）小时．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝________.
【答案】60°
【解析】根据三角形的面积求得AC的长，然后根据tan∠A=，即可求得∠A的度数．
【解答】如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，若△ABC的面积为,
∴S=,
∴AC=,
∵tan∠A=
,
∴∠A=60°．
故答案是：60°．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值以及锐角三角函数关系，正确记忆相关数据是解题关键．
16．在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的，如图，有一物体在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，物体的影长为米，在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为时，则物体的影长为________米；（结果保留根号）
【答案】
【解析】在中，依据正切函数求得的长，在中根据等角对等边即可求得．
【解答】解；在中，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴（米）
故答案为．
【点评】本题考查了学生利用三角函数解决实际问题的能力以及等腰三角形的性质．这就要求学生把实际问题转化为直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．
17．如图，在高度是米的小山处测得建筑物顶部处的仰角为，底部处的俯角为，则这个建筑物的高度________米．（结果可保留根号）
【答案】
【解析】作AE⊥CD于点E，则△AED和△ABD都是等腰直角三角形，即可求得DE的长，然后在直角三角形中利用三角函数求得CE的长，进而求得CD的长．
【解答】作AE⊥CD于点E，
在直角△ABD中，∠ADB=45°，
∴DE=AE=BD=AB=24（米），
在直角△AEC中，CE=AE?tan∠CAE=24×=8（米）．
则CD=（24+8）米．
故答案为（24+8）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
18．年月日，作为第八届西博会的一个项目，横渡钱塘江游泳比赛在时隔年后再次举行，起点设在杭州之江度假村旁，横渡直线距离米．在实际比赛中，岁的高中生小张以约分钟的成绩摘得男子成年组冠军，但由于水流的影响，小张偏离了横渡直线约，那么，小张该次比赛的游泳速度为________米/秒．（精确到，参考数据：；；）
【答案】
【解析】根据横渡距离以及角可以运用三角函数定义求出实际游泳的距离，除以时间即为速度．
【解答】解：如图，，，到用时分钟．
过点作于点．
∵，，
∴．
∵到用时分钟即秒，
设速度为米/秒，
∴，
∴米/秒．
【点评】此题主要考查学生对方向角的掌握情况且应该注意单位的换算做到单位同一，难易程度适中．
19．如图，把一台电视机（底面为矩形）放置于墙角的电视柜（其桌面为矩形）上，若，电视机长厘米，则的长为________厘米．
【答案】
【解析】根据矩形的性质得出∠DAG=60°进而利用锐角三角函数关系得出DG的长．
【解答】∵矩形ABCD，∠BAF=30°，
∴∠DAG=60°，
∵AD=62厘米，
∴DG的长为：DG=ADsin60°=62×=31（cm）．
故答案为31．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，得出DG=ADsin60°是解题关键．
20．等腰梯形上底为，高为，底角的正弦值为，下底长为________．
【答案】
【解析】作于，于，根据等腰梯形的性质就可以得出就可以求出，然后根据三角函数求得，，从而求出的值．
【解答】解：作于，于，
∴，
∴．
∵四边形是等腰梯形，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
在和中，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用等腰梯形的性质是关键．
21．为了建设绿色郑州，改善城市生态环境，郑州市绿化部门计划在一块梯形空地上种植草皮，梯形空地如图所示，已知，，，，．如果这种草皮每平方米造价元，则购买这种草皮需多少钱？（参考数据：）
【答案】购买这种草皮需约元．
【解析】过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形．设，在中，．在中，．，可得关于的方程，求得的值，再根据梯形的面积公式得到的值，再乘以每平方米造价即可求解．
【解答】解：如图，
过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形．
设，在中，．
在中，．
∵，
∴，
∴．
∴．
（元）．
故购买这种草皮需约元．
【点评】考查了解直角三角形的应用，解答有关梯形的问题，往往通过作高，把梯形问题转化为直角三角形和特殊四边形的问题来解决，然后用三角函数知识和方程的知识进行求解，这是中考常见的题型．
22．如图，在东西方向的海岸线上有、两个港口，甲货船从港沿北偏东的方向以海里/小时的速度出发，同时乙货船从港沿西北方向出发，小时后相遇在点处，问乙货船每小时航行多少海里？
【答案】乙货船每小时航行海里．
【解析】先作于点，根据甲货船从港沿北偏东的方向以海里/小时的速度出发，求出和，从而得出的值，根据乙货船从港沿西北方向出发，求出，得出的值，即可求出答案．
【解答】解：作于点，
∵甲货船从港沿北偏东的方向以海里/小时的速度出发，
∴，，
∴．
∵乙货船从港沿西北方向出发，
∴，
∴，
∴乙货船每小时航行海里/小时，
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．
23．地球半径约为，同步卫星运行到地球表面上点的正上方点时，＝，从同步卫星上能拍摄到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与点的距离大约是多少？（结果保留小数点后一位）
【答案】最远点与点的距离大约是．
【解析】首先利用已知画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出的度数，进而利用弧长公式求出即可．
【解答】解：从同步卫星上拍摄到的地球上最远的点是切点，
如图，是的切线，是直角三形，
∵，
∴
，
∴
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用锐角三角函数关系得出∠FOT的度数是解题关键．
24．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）
【答案】（1）山坡高度为400米；
（2）山CF的高度约为541米．
【解答】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；
（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．
试题解析：（1）作BH⊥AF于H，如图，
在Rt△ABH中，∵sin∠BAH=，
∴BH=800?sin30°=400，
∴EF=BH=400米．
答：AB段山坡的高度EF为400米；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，
∴CE=200?sin45°=100，
∴CF=CE+EF=（100+400）（米）．
答：山峰的高度CF为（100+400）米.
25．某“综合与实践”小组开展了测量本校对面山上一座古塔高度的实活动，他们制订了方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该山脚的一块平地上，选择两个不同测点，分别测量山顶和塔顶的俯角，以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量俯角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了三次并取它们的平均值为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题
测量山上塔的高度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图
说明：线段表示山高，表示塔的高，测量角度的仪器的高度，端点B，C，D，A，E在同一竖直平面内，点D，C，B共线，点D，A，E共线．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
第三次
平均值
的度数
63.6°
63.3°
63.3°
63.4°
的度数
29.9°
29.8°
30.3°
30°
的度数
44.9°
45.3°
44.8°
__________
A，E之间的距离
50.1m
49.8m
50.1m
__________
…
…
任务一：三次测量的度数平均值是__________；A，E之间的距离的平均值是__________m．
任务二，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出塔的高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：，，，，）
【答案】任务一：45°，50；任务二：塔的高度约为42.3m
【解析】任务一：三次测,∠BED的度数平均值利用平均数公式三数之和除以3，A，E之间的距离的平均值利用平均数公式三数之和除以3即可
任务二：中，，知BD=ED=50+AD，在中，，利用正切BD=2AD，可先求出AD，再求DE及BD，最后在中，
，知，再求BC=BD-CD即可．
【解答】解：任务一：∠BED的度数平均值==45?，A，E之间的距离的平均值==50，
任务一：45°；50．
任务二：∵在中，，
∴
∴①．
∵在中，，
∴，BD=2AD②，
由①与②得50+AD=2AD，AD=50，
∴ED=BD=100，
∵在中，，
∴
∴．
BC=BD-CD=100-．
∴．
答：塔的高度约为42.3m．
【点评】本题考查综合与实践”小组测量问题，由于测得的数据较多，会处理有用的信息，抓住三角函数的本质是边与边的关系，处理好有用信息的先后应用，顺序是先在中，找到
ED=50+AD，在中，利用正切得BD=2AD，组成二元方程组可先求出AD，
DE及BD，最后在中，
，知，再求BC=BD-CD．
26．如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是和，如果斑马线的宽度米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离约是多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1米）
【答案】1.2米
【解析】如图，过点作，垂足为点，先求出，，在中，，得出，在中，，得出，即可得出，求解即可．
【解答】如图，过点作，
垂足为点，
根据题意，得，，
在中，，
即，
∴，
在中，，
即，
∴，
∴，
解得
所以，轿车车头与斑马线的距离约是1.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题关键．
27．如图，在东西方向的海面线上，有，两艘巡逻船和观测点（，，在直线上），两船同时收到渔船在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船，北偏西和北偏东方向，巡逻船和渔船相距120海里，渔船在观测点北偏东方向．（说明：结果取整数．参考数据：，．）
（1）求巡逻船与观测点间的距离；
（2）已知观测点处45海里的范围内有暗礁．若巡逻船沿方向去营救渔船有没有触礁的危险？并说明理由．
【答案】（1）76海里；（2）没有触礁的危险，理由见解析
【解析】（1）作．根据直角三角形性质求AE，CE,AB，再证．所以．
（2）作．证BF=DF，由BF2+DF2=BD2可求解.
【解答】解：（1）作．
因为渔船分别在巡逻船，北偏西和北偏东方向，
所以∠CAE=60°,
∠CBE=45°
所以∠ACE=30°,
∠ACB=180°-60°-45°=75°;
所以（海里），（海里）．
所以．
因为渔船在观测点北偏东方向．
所以∠CDE=75?
所以∠CDE=∠ACB,
所以．
所以．
即．
解得，．
∴海里．
（2）没有触礁的危险．
作．
因为∠CBD=45°
所以BF=DF
所以BF2+DF2=BD2
即DF2+DF2=762
可求得．
∵，
∴没有触礁的危险．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．
28．如图，在上海世博会场馆通道建设中，建设工人将坡长为（），坡角为（）的斜坡通道改造成坡角为（）的斜坡通道，使坡的起点从点处向左平移至点处，求改造后的斜坡通道的长．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】改造后斜坡通道的长约为．
【解析】Rt△ABC中，AB=10米，sin∠BAC=sin20°30′≈0.35，BC=AB?sin∠BAC=10×0.35=3.5米．Rt△BDC中，BC=3.5米，sin∠D=sin12°30′≈0.21，BD=BC÷sin∠D=3.5÷0.21≈16.7米．
【解答】由题意，得．
在中，，故．
故改造后斜坡通道的长约为．
【点评】本题首先在Rt△ABC中，根据坡角∠BAC的正弦函数求出BC的长；进而可在Rt△BDC中，根据坡角∠D的正弦函数求出坡面BD的长．
29．如图，长度为5的动线段AB分别与坐标系横轴、纵轴的正半轴交于点A、点B，点O和点C关于AB对称，连接CA、CB，过点C作x轴的垂线段CD，交x轴于点D
(1)移动点A，发现在某一时刻，△AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似，求这一时刻点C的坐标；
(2)移动点A，当时求点C的坐标．
【答案】(1)点的坐标为；(2)．
【解析】（1）根据轴对称的性质得：AB是OC的垂直平分线，由垂直平分线的性质得：OB=BC，OA=AC，△AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似，存在两种情况：
①当∠ABO=∠CBD时，②当∠ABO=∠BCD时，根据角的关系分别计算点C的坐标即可；
（2）先根据三角函数定义求OB=，OA=2，利用面积法得OG和OC的长，根据等角的三角函数可知：OG=2BG，证明△BGO∽△CDO，列比例式可得结论．
【解答】(1)连接，交于，
∵点和点关于对称，
是的垂直平分线，
，
，
，
和以点为顶点的三角形相似，存在两种情况：
①当时，，
，
，
，
，
；
②当时，，
，
轴，
轴，此种情况不成立；
综上所述，和以点为顶点的三角形相似，这一时刻点的坐标为；
(2)，
设，则，
，
或(舍)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质、三角函数、等腰三角形的性质及相似三角形的性质，解题的关键是△AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似时分不同情况解决问题．
30．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：
（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；
（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；
（3）测得测倾器的高度CF=DG=1．5米，并测得CD之间的距离为288米；
已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB（取1．732，结果保留整数）
【答案】411米．
【解答】试题分析：首先分析图形，构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，从而可求出答案．
试题解析：设AH=x米，在RT△EHG中，∵∠EGH=45°，∴GH=EH=AE+AH=x+12，∵GF=CD=288米，∴HF=GH+GF=x+12+288=x+300，在RT△AHF中，∵∠AFH=30°，∴AH=HF?tan∠AFH，即x=（x+300）?，解得x=150（+1）．∴AB=AH+BH≈409．8+1．5=411（米）．
答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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精品试卷·第
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23.2：解直角三角形及其应用
1．如图，为了测量学校操场上旗杆的高度，在距旗杆米的处用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
2．如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，当小球向下滚动了米时，则小球下降的高度是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
3．已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，如果它把一物体从地面送到离地面9米高的地方，那么该物体所经过的路程是( )
A．18米
B．4.5米
C．9米
D．9米．
4．在中，，，，则边长为（
）
A．
B．
C．或
D．或
5．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（
）
（参考数据：，，）
A．12.6米
B．13.1米
C．14.7米
D．16.3米
6．如果中，，，则下列最确切的结论是（
）
A．是直角三角形
B．是等腰三角形
C．是等腰直角三角形
D．是锐角三角形
7．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为(
)
A．
B．12
C．
D．
8．某河坝横截面如图，堤高米，迎水坡米，则迎水坡的坡度为（
）
A．
B．
C．
D．
9．将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是（
）
A．cm
B．cm
C．cm
D．2cm
10．如图，在高米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需（
）
A．米
B．米
C．米
D．无法确定
11．如图，甲船从港出发，沿北偏东方向航行到达港，乙船从港出发，沿西北方向航行到达港，则________．
12．如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是____米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）
13．如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB垂直于视线AD，AB＝20米，AE＝30米，则这块宣传牌CD的高度为________．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）．
14．如图，一艘轮船以海里/小时速度从南向北航行，当航行至处时，测得小岛在轮船的北偏东度的方向处，航行一段时间后到达处，此时测得小岛在轮船的南偏东度的方向处．若海里，则轮船航行的时间为________．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝________.
16．在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的，如图，有一物体在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，物体的影长为米，在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为时，则物体的影长为________米；（结果保留根号）
17．如图，在高度是米的小山处测得建筑物顶部处的仰角为，底部处的俯角为，则这个建筑物的高度________米．（结果可保留根号）
18．年月日，作为第八届西博会的一个项目，横渡钱塘江游泳比赛在时隔年后再次举行，起点设在杭州之江度假村旁，横渡直线距离米．在实际比赛中，岁的高中生小张以约分钟的成绩摘得男子成年组冠军，但由于水流的影响，小张偏离了横渡直线约，那么，小张该次比赛的游泳速度为________米/秒．（精确到，参考数据：；；）
19．如图，把一台电视机（底面为矩形）放置于墙角的电视柜（其桌面为矩形）上，若，电视机长厘米，则的长为________厘米．
20．等腰梯形上底为，高为，底角的正弦值为，下底长为________．
21．为了建设绿色郑州，改善城市生态环境，郑州市绿化部门计划在一块梯形空地上种植草皮，梯形空地如图所示，已知，，，，．如果这种草皮每平方米造价元，则购买这种草皮需多少钱？（参考数据：）
22．如图，在东西方向的海岸线上有、两个港口，甲货船从港沿北偏东的方向以海里/小时的速度出发，同时乙货船从港沿西北方向出发，小时后相遇在点处，问乙货船每小时航行多少海里？
23．地球半径约为，同步卫星运行到地球表面上点的正上方点时，＝，从同步卫星上能拍摄到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与点的距离大约是多少？（结果保留小数点后一位）
24．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）
25．某“综合与实践”小组开展了测量本校对面山上一座古塔高度的实活动，他们制订了方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该山脚的一块平地上，选择两个不同测点，分别测量山顶和塔顶的俯角，以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量俯角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了三次并取它们的平均值为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题
测量山上塔的高度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图
说明：线段表示山高，表示塔的高，测量角度的仪器的高度，端点B，C，D，A，E在同一竖直平面内，点D，C，B共线，点D，A，E共线．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
第三次
平均值
的度数
63.6°
63.3°
63.3°
63.4°
的度数
29.9°
29.8°
30.3°
30°
的度数
44.9°
45.3°
44.8°
__________
A，E之间的距离
50.1m
49.8m
50.1m
__________
…
…
任务一：三次测量的度数平均值是__________；A，E之间的距离的平均值是__________m．
任务二，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出塔的高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：，，，，）
26．如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是和，如果斑马线的宽度米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离约是多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1米）
27．如图，在东西方向的海面线上，有，两艘巡逻船和观测点（，，在直线上），两船同时收到渔船在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船，北偏西和北偏东方向，巡逻船和渔船相距120海里，渔船在观测点北偏东方向．（说明：结果取整数．参考数据：，．）
（1）求巡逻船与观测点间的距离；
（2）已知观测点处45海里的范围内有暗礁．若巡逻船沿方向去营救渔船有没有触礁的危险？并说明理由．
28．如图，在上海世博会场馆通道建设中，建设工人将坡长为（），坡角为（）的斜坡通道改造成坡角为（）的斜坡通道，使坡的起点从点处向左平移至点处，求改造后的斜坡通道的长．（结果精确到，参考数据：，，）
29．如图，长度为5的动线段AB分别与坐标系横轴、纵轴的正半轴交于点A、点B，点O和点C关于AB对称，连接CA、CB，过点C作x轴的垂线段CD，交x轴于点D
(1)移动点A，发现在某一时刻，△AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似，求这一时刻点C的坐标；
(2)移动点A，当时求点C的坐标．
30．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：
（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；
（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；
（3）测得测倾器的高度CF=DG=1．5米，并测得CD之间的距离为288米；
已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB（取1．732，结果保留整数）
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