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第22章：相似性（综合练习）
一、单选题
1．如图，已知，那么下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，直线与交于点，且与，，分别交于点，，，，，，则下列比例式不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知两个相似三角形的面积比为，周长和是，则这两个三角形的周长分别是（
）
A．和
B．和
C．和
D．和
4．如图，，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，已知△ABC中，P是边AC上的一点，连接BP，以下条件不能判定△ABP∽△ACB的是（
）
A．∠ABP=∠C
B．∠APB=∠ABC
C．=
D．=
6．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论不正确的是（
）
A．AB2＝BCBD
B．AB2＝ACBD
C．ACBD＝ABAD
D．ABAC＝ADBC
7．如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，身高为米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影由向走去，当走到点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得米，米，则树的高度为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
9．在三条线段，，中，的一半等于的四分之一长，也等于的六分之一长，那么这三条线段的和与的比等于（
）
A．
B．
C．
D．
10．若△ABC∽△A′B′C′，则相似比k等于（
）.
A．A′B′：AB
B．∠A：∠A′
C．S△ABC：S△A′B′C′
D．△ABC周长：△A′B′C′周长
11．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为( )
A．4
B．5
C．6
D．8
12．如图，在平行四边形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE：CE=2：5，途接DE交AB于F，则△ADF与△BEF的面积之比为（ ）
A．9：4
B．4：9
C．3：2
D．25：4
13．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝6，
DB＝7，则BC的长是（???）
A．???????
B．???????
C．
D．
14．若3x=2y，则x：y的值为（
）
A．2：3
B．3：2
C．3：5
D．2：5
15．如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是（ ）
A．△AED与△ACB
B．△AEB与△ACD
C．△BAE与△ACE
D．△AEC与△DAC
16．如图，在菱形ABCD中，点E为边AD的中点，且∠ABC=60°，AB=6，BE交AC于点F，则AF=（
）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
17．若ad=bc，则下列各式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
18．王大伯要做一张如图所示的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1=0.5m，最下面一级踏板的长度A7B7=0.8m．则A3B3踏板的长度为（ ）
A．0.6m
B．0.65m
C．0.7m
D．0.75m
19．已知：如图中，，且，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
20．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
21．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为3，则△BCD的面积为（ ）
A．12
B．9
C．6
D．3
22．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②OM=ON；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
23．如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：
，把矩形ABCD对折，使CD与AB重合，得折痕EF，把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90°，得到矩形A′BF′E′，连结E′B，交A′F′于点M，连结AC，交EF于点N，连结AM，MN，若矩形ABCD面积为8，则△AMN的面积为（??
）
A．4
?????
B．4??????
C．2????
D．1
24．下列说法不正确的是（
）
A．含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的
B．所有的矩形是相似的
C．所有边数相等的正多边形是相似的
D．所有的等边三角形都是相似的
二、填空题
25．如图所示，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足________条件时，有△ABC∽△AED．
26．已知，，且，则________．
27．假期，爸爸带小明去A地旅游．小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500
000的地图上测得所居住的城市距A地32
cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km.
28．已知：???，若，??，则与???的相似比为________，它们的面积比为________．
29．若，且对应高线的比为，则它们的面积比为________．
30．若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6，与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12
cm，那么△A′B′C′的最大边长是________．
31．如图，两条直线被第三条直线所截，DE=，EF=，AB=1，则AC=_____．
32．已知：如图，在中，，，垂足是，，BD=1．则______．
33．如图，
，DE=2AE，CF=2BF，且DC=5，AB=8，则EF=________．
34．函数的图象如图所示，观察图象，使成立的的取值范围是________．
?
35．已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中心变换得到的，如图，已知，，则位似中心点的坐标是________．
36．如图，已知平行四边形中，过点的直线与相交于点、与相交于点、与的延长线相交于点，若，，则________.
37．如图，五边形与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为．若五边形ABCDE的，面积为20cm2，那么五边形的面积为____cm2．
38．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，延长AE与BC延长线交于点F，则FC：FB=_____．
39．如图，个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，分别为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，，的面积为，则________．（用含的式子表示）
40．点是的边上一点，过点的直线与的边界的另一个交点为，则使与相似的直线可能有________（把正确的结论的代号都填上）．
①条；②条；③条；④条．
三、解答题
41．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
42．如图，和是否相似？为什么？
43．如图，若，和相交于点，和相交于点，，，，求．
44．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△，求△中的第三边长．
45．中，为上的一点，，是上一点，，求，的值．
46．如图，，且．
梯形与梯形是否位似？如果位似，求出它们的相似比，如果不位似，说明理由；
若．求梯形的面积．
47．正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE
（1）以DE为一边做格点△DEF与△ABC相似；
（2）直接写出△DEF的面积．
48．如图，经过的顶点，，，交于．
求证：；
连结，如果，，求的长．
49．如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：．
?
50．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=18cm，高AD=12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求矩形EFGH的周长．
51．如图，在△ABC中，A，B两点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．
52．在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形“，如图，△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（﹣1，2）．
（1）点B的坐标为
，△ABC的面积为
；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，放大后点A、B的对应点分别为A1、B1，点B1在第一象限；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则放大后点P的对应点P1的坐标为
．
53．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
54．（1）已知，求的值；
（2）已知2x=3y=4z，求的值．
55．如图所示，，分别是正方形的边，上的点，且，以为边作正方形，与交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若是的中点，求证：为的中点；
（3）连接，设，，，在（2）的条件下，判断是否成立？并说明理由．
56．如图，已知与是位似图形，求证：．
57．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
58．已知实数x、y、z满足，试求的值.
59．如图，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴上，点在射线上，且．垂直轴于点．
点坐标为________，点坐标为________．
操作：将一足够大的三角板的直角顶点放在射线或射线上，一直角边始终过点，另一直角边与轴相交于点．问是否存在这样的点，使以点，，为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
60．如图，中，，，分别是，的中点，作且使，平分．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）求证：．
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精品试卷·第
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第22章：相似性（综合练习）
一、单选题
1．如图，已知，那么下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；根据上述分析，一一判断即可.
【解答】根据平行线分线段成比例定理，可得
故选D.
【点评】考查平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.
2．如图，直线与交于点，且与，，分别交于点，，，，，，则下列比例式不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A.，
∴，故本选项正确；
B.，
∴,故本选项正确；
C.，
∴，故本选项正确；
D.，
∴，故本选项错误；
故选:D.
【点评】考查平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例.
3．已知两个相似三角形的面积比为，周长和是，则这两个三角形的周长分别是（
）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】A
【解析】先设两个三角形的周长分别是x、y，根据题意可得关于x、y的方程组，解即可．
【解答】设两个三角形的周长分别是x、y，
那么有x+y=40①，
②，
解关于①②的方程得
x=16，y=24，
故选：A.
【点评】考查相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
4．如图，，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，AD:DB=3:4
∴AD:AB=3:7，
∴DE:BC=3:7，
故选:C.
【点评】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键.
5．如图，已知△ABC中，P是边AC上的一点，连接BP，以下条件不能判定△ABP∽△ACB的是（
）
A．∠ABP=∠C
B．∠APB=∠ABC
C．=
D．=
【答案】D
【解析】已知了△ABP和△ACB中有一个公共角，那么可再找出一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例，即可得出△ABP∽△ACB的结论．
【解答】解：由图得：∠A=∠A，
∴当∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或时，△ABP∽△ACB.
故选:D
【点评】考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
6．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论不正确的是（
）
A．AB2＝BCBD
B．AB2＝ACBD
C．ACBD＝ABAD
D．ABAC＝ADBC
【答案】B
【解析】根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【解答】∵△ABC∽△DBA，
∴＝＝，
∴AB2＝BCBD，ACBD＝ABAD，ABAC＝ADBC，
故选B.
7．如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE：BC的值．
【解答】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵EC＝1，AC＝3，
∴AE＝AC?EC＝2，
∴．
∴．
故选A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
8．如图，身高为米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影由向走去，当走到点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得米，米，则树的高度为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】B
【解析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】如图：∵BC=4，
AC=2，
∴AB=2+4=6，
∵CD∥BE，
∴△ACD∽△ABE，
∴AC：AB=CD：BE，
∴2：6=1.5：BE，
∴BE=4.5m，
∴树的高度为4.5m，
故选B.
【点评】本题考查了相似三角形的应用举例，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了转化的思想．
9．在三条线段，，中，的一半等于的四分之一长，也等于的六分之一长，那么这三条线段的和与的比等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意可得，设=k，继而可根据比例的性质得出答案.
【解答】由题意得：，
设=k，则有a=2k，b=4k，c=6k，
所以=3：1，
故选D.
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握是解题的关键.
10．若△ABC∽△A′B′C′，则相似比k等于（
）.
A．A′B′：AB
B．∠A：∠A′
C．S△ABC：S△A′B′C′
D．△ABC周长：△A′B′C′周长
【答案】D
【解析】根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解．∵△ABC∽△A′B′C′，∴相似比k=AB：A′B′=△ABC周长：△A′B′C′周长，=.
故选D．
考点：相似三角形的性质．
11．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为( )
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】C
【解析】已知DE∥BC，
根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值即可求AC的长.
【解答】∵DE∥BC，
∴,
∵AD＝3，BD＝6，AE＝2，
∴，
∴AC=6.
故选C.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，截得的线段对应成比例．
12．如图，在平行四边形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE：CE=2：5，途接DE交AB于F，则△ADF与△BEF的面积之比为（ ）
A．9：4
B．4：9
C．3：2
D．25：4
【答案】A
【解析】由题意可证△ADF∽△BEF可得△ADF与△BEF的面积之比＝（）2，由BE：CE＝2：5可得BE：BC＝BE：AD＝2：3，即可求△ADF与△BEF的面积之比．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE：CE＝2：5，
∴BE：BC＝2：3
即BE：AD＝2：3，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
故选A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解是本题关键．
13．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝6，
DB＝7，则BC的长是（???）
A．???????
B．???????
C．
D．
【答案】D
【解析】连接CA、CD，根据翻折的性质可得弧CD所对的圆周角是∠CBD，再根据AC弧所得的圆周角也是∠CBA，然后求出AC=CD，过点C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后求出△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE2，再求出BE，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC．
【解答】如图，连接CA、CD，
根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，
∵弧AC所对的圆周角是∠CBA，∠CBA=∠CBD，
∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等），
过点C作CE⊥AB于E，
则AE=ED=AD=×6=3，
∴BE=BD+DE=7+3=10，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACB=∠AEC=90°，
∴∠A+∠ACE=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴，
即CE2=AE?BE=3×10=30，
在Rt△BCE中，BC===，
故选D．
【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD是解题的关键．
14．若3x=2y，则x：y的值为（
）
A．2：3
B．3：2
C．3：5
D．2：5
【答案】A
【解析】根据比例的基本性质，组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积逆推即可得到答案.
【解答】∵3x＝2y，∴x∶y＝2∶3，故答案选A.
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积.
15．如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是（ ）
A．△AED与△ACB
B．△AEB与△ACD
C．△BAE与△ACE
D．△AEC与△DAC
【答案】C
【解析】易知△ADC为等腰三角形，根据等腰三角形底角相等的性质可得∠C＝∠DAC，易证∠BAE＝∠DAC，即可证明∠C＝∠BAE，即可证明△AEB与△ACD全等.
【解答】∵在直角三角形中，斜边上的中线为斜边长的一半，
∴AD＝BD＝CD，∴△ADC为等腰三角形，
∵∠BAE＋∠BAD＝90°，∠DAC＋∠BAD＝90°,
∴∠BAE＝∠DAC，
∴∠C＝∠BAE，
∵∠E＝∠E,
∴△BAE∽△ACE，所以答案选C.
【点评】本题主要考查相似三角形的证明，同时考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中求证∠C＝∠BAE是解题的关键.
16．如图，在菱形ABCD中，点E为边AD的中点，且∠ABC=60°，AB=6，BE交AC于点F，则AF=（
）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
【答案】B
【解析】根据四边形ABCD是菱形，证出△AEF∽△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得AF与CF的比，又易知△ABC为等腰三角形，AC＝AB＝6，即可求出AF的长度.
【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，
根据定理“两直线平行，内错角相等”可知∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，
又∵∠BFC＝∠EFA，∴△BFC∽△EFA，
∴AF∶CF＝AE∶CB＝1∶2，
又∵△ABC中AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AF＋FC＝BC＝AB＝6，
∴AF＝AC＝×6＝2，所以答案选B.
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，菱形的性质和比例的应用；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似并且用相似比求出线段长度是解决问题的关键.
17．若ad=bc，则下列各式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由ad＝bc，根据比例变形，即可求得答案，注意排除法的应用.
【解答】∵ad＝bc，∴＝，A项正确；＝，B项错误；＝，C项正确；＝，D项正确.所以答案选B.
【点评】此题考查了比例的性质，需要注意比例的变形.
18．王大伯要做一张如图所示的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1=0.5m，最下面一级踏板的长度A7B7=0.8m．则A3B3踏板的长度为（ ）
A．0.6m
B．0.65m
C．0.7m
D．0.75m
【答案】A
【解析】根据梯形中位线定理和相似三角形的性质解答．
【解答】
因为每相邻两级踏板之间的距离都相等，
所以A4B4为梯形A1A7B7B1的中位线，
根据梯形中位线定理，
A4B4=
（A1B1+A7B7）=
（0.5+0.8）=0.65m．
作A1C∥B1B4，
则DB3=CB4=A1B1=0.5m，
A4C=0.65m-0.50m=0.15m，
于是
，
，
解得A3D=0.10m．
A3B3=0.10m+0.50m=0.60m．
故答案为A.
【点评】本题考查的知识点是梯形中位线定理和相似三角形性质的应用．解题关键是找出相似的三角形．
19．已知：如图中，，且，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】首先过点F作FM∥BC，交AE于M，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得与=1，则可求得BE：EC的值．
【解答】过点F作FM∥BC，交AE于M，
∵AF：FC=1：2，
∴AF：AC=1：3，
∴，
∴EC=3FM，
∵BD=DF，
∴=1，
∴BE=FM，
∴BE：EC=1：3,
故选B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键.注意数形结合思想的应用．
20．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可得答案.
【解答】∵AD?//?BE?//?CF，
∴，
∵，，，
∴，
∴DF=4.5，
故选C.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容以及图形的结构特征是解题的关键.
21．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为3，则△BCD的面积为（ ）
A．12
B．9
C．6
D．3
【答案】B
【解析】由∠ACD＝∠B、∠CAD＝∠BAC可得出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质结合S△ACD＝3，可求出S△ABC的值，将其代入S△BCD＝S△ABC?S△ACD中即可求出结论．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵S△ACD＝3，
∴S△ABC＝4?S△ACD＝12，
∴S△BCD＝S△ABC?S△ACD＝9．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出S△ABC的值是解题的关键．
22．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②OM=ON；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
【解答】解：∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCN＋∠DCN＝90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM＋∠DCN＝90°，
∴∠BCN＝∠CDM，
又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
∵△CNB≌△DMC，可得CM＝BN，
又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON故②正确，
∵△OCM≌△OBN，
∴∠COM＝∠BON，
∴∠MON＝∠COB＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形，
∵△AOD也是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正确，
∵AB＝BC，CM＝BN，
∴BM＝AN，
又∵Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，
∴AN2＋CM2＝MN2，
故④正确；
∴本题正确的结论有：①②③④，
故选D．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，考查了学生对综合知识的运用能力．
23．如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：
，把矩形ABCD对折，使CD与AB重合，得折痕EF，把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90°，得到矩形A′BF′E′，连结E′B，交A′F′于点M，连结AC，交EF于点N，连结AM，MN，若矩形ABCD面积为8，则△AMN的面积为（??
）
A．4
?????
B．4??????
C．2????
D．1
【答案】C
【解析】先根据已知条件判定△E'A'B∽△ABC，得出∠A'BE'=∠ACB，进而判定AC∥BE'，连接BN，则△AMN的面积=△ABN的面积，根据N为AC的中点，故△ABN的面积为△ABC面积的一半，进而得到△AMN的面积为△ABC面积的一半，即矩形ABCD面积的四分之一，据此可得结论．
【解答】如图：
由折叠可得，BE=BC=AF，而AB：BC=1：，
∴，
由旋转可得，AF=A'E'，AB=A'B，
∴，
又∵，
∴，
又∵∠E'A'B=∠ABC=90°，
∴△E'A'B∽△ABC，
∴∠A'BE'=∠ACB，
∴AC∥BE'，
连接BN，则△AMN的面积=△ABN的面积，
由题可得，N为AC的中点，故△ABN的面积为△ABC面积的一半，
∴△AMN的面积为△ABC面积的一半，即矩形ABCD面积的四分之一，
∴△AMN的面积=×8=2，
故选C．
【点评】本题主要考查了折叠的性质以及旋转的性质，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应角相等，得出平行线．解题时注意：平行线之间的距离处处相等．
24．下列说法不正确的是（
）
A．含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的
B．所有的矩形是相似的
C．所有边数相等的正多边形是相似的
D．所有的等边三角形都是相似的
【答案】B
【解析】根据相似三角形与相似多边形的判定方法逐一进行判断即可得.
【解答】A.
含角的直角三角形可知另一个锐角为60°，与含角的直角三角形是相似的，故不符合题意；
B.
若一个矩形的长与宽的比为2：1，另一个矩形的长与宽的比为3：1，则这两个矩形就不相似，故B选项符合题意；
C.
所有边数相等的正多边形是相似的，正确，故不符合题意；
D.
所有的等边三角形都是相似的，正确，故不符合题意，
故选B.
【点评】本题考查了相似三角形与相似多边形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键.
二、填空题
25．如图所示，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足________条件时，有△ABC∽△AED．
【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或=
【解析】由于∠D≠∠B，∠DAE＝∠CAB，则∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△AED；当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△AED．
【解答】∵DE与BC不平行，∴∠D≠∠B，而∠DAE＝∠CAB，∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B时，△ABC∽△AED．
当时，△ABC∽△AED．
故答案为∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
26．已知，，且，则________．
【答案】
【解析】利用相似三角形的对应边的比相等可以求得两条线段的比．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F，
∴
∵AB:DE=1:2，
∴EF:BC=2:1，
故答案为:2:1.
【点评】考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等.
27．假期，爸爸带小明去A地旅游．小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500
000的地图上测得所居住的城市距A地32
cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km.
【答案】160
【解析】设小明所居住的城市与A地的实际距离为x
km，根据比例尺的定义列出方程，解方程求得x的值即可.
【解答】设小明所居住的城市与A地的实际距离为x
km，
根据题意可列比例式为，
解得x＝160.
∴小明所居住的城市与A地的实际距离为160km.
故答案为160.
【点评】本题考查了比例尺的定义，熟知比例尺是图上距离与实际距离的比值是解题的关键.
28．已知：???，若，??，则与???的相似比为________，它们的面积比为________．
【答案】1:2
1：4
【解析】本题可根据相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解．
【解答】∵△ABC∽△A?B?C?，
∴△ABC与△A?B?C?的相似比为AB：A′B′=1：2；
它们的面积比为AB2：A′B′2=1：4．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
29．若，且对应高线的比为，则它们的面积比为________．
【答案】
【解析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行计算即可得解．
【解答】∵△ABC∽△DEF，对应高线的比为2：3，
∴它们的相似比为2：3，
∴它们的面积比为（）2＝．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方的性质．
30．若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6，与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12
cm，那么△A′B′C′的最大边长是________．
【答案】24cm
【解析】设△A′B′C′的最大边长是xcm，根据相似三角形的对应边的比等于相似比及△ABC的三条边长的比即可列方程求解．
【解答】设△A′B′C′的最大边长是xcm，由题意得
，
解得x=24，
则△A′B′C′的最大边长是24cm，
故答案为：24cm．
【点评】本题是相似三角形的性质的基础应用题，难度一般，主要考查学生对相似三角形中大边对大边、小边对小边性质的掌握和运用能力．
31．如图，两条直线被第三条直线所截，DE=，EF=，AB=1，则AC=_____．
【答案】
+1．
【解析】由l1∥l2∥l3，可得，可得，由此即可解决问题.
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
∴AC＝＝＋1，
故答案为＋1．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
32．已知：如图，在中，，，垂足是，，BD=1．则______．
【答案】
【解析】根据勾股定理可求出CD的长，由∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°可证明∠A=∠BCD，即可证明△BCD∽△ACD，根据相似三角形的性质求出AD即可.
【解答】∵，．
∴CD=
=，
∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠BDC=∠CDA=90°，
∴△BCD∽△ACD，
∴AD：CD=CD：BD，
∴AD==5.
故答案为5.
【点评】本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
33．如图，
，DE=2AE，CF=2BF，且DC=5，AB=8，则EF=________．
【答案】7
【解析】延长AD、BC交于G，根据平行线分线段成比例可得GD：GA=5：8，进一步得到DC：EF=5：7，依此即可求解．
【解答】延长AD、BC交于G．
∵AB∥EF∥DC，DC=5，AB=8，
∴GD：GA=5：8，
∵DE=2AE，
∴GD：GE=5：7，
∴DC：EF=5：7，
解得EF=7．
故答案为7．
【点评】考查了平行线分线段成比例，平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
34．函数的图象如图所示，观察图象，使成立的的取值范围是________．
?
【答案】或
【解析】观察图象，根据直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值即可解答．
【解答】解：观察图象可得，直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值为x≤-1或x≥3.
故答案为：x≤-1或x≥3．
【点评】本题考查了二次函数图象与不等式之间的关系，判断出y≥1的自变量的取值是直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
35．已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中心变换得到的，如图，已知，，则位似中心点的坐标是________．
【答案】
【解析】根据位似图形的概念，连接AG，与CE的交点即是点P．根据相似三角形的性质求得OP的长，即可得点P的坐标.．
【解答】如图，连接AG，
∵EO=1，DC=2，
∴△ACD与△GOE的位似比是2：1，
∴AD：OG=2：1，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AD⊥x轴，
∴AD∥OG，
∴△OPG∽△DPA
∴PD：OP=2：1，
∵OD=2，
∴OP=，
∴位似中心P点的坐标是（，0）．
故答案为（，0）．
【点评】本题考查了位似的相关知识，熟知位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解决问题的关键．
36．如图，已知平行四边形中，过点的直线与相交于点、与相交于点、与的延长线相交于点，若，，则________.
【答案】
【解析】根据平行四边形可得AD∥BC、
AB∥CD，由此可得△AEB∽△EGC，△AEF∽△BEC，利用其对应边成比例可求出EG的长，再用EG减去EF即可求得FG的长．
【解答】∵AD∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴
，
又∵AB∥CD，
∴△ABE∽△EGC，
∴
，
∴，
将BE=5，EF=2，代入求得EG=12.5，
∴FG=EG-EF=12.5-2=10.5．
故答案为10.5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质，利用相似三角形的对应边成比例得到是解决问题的关键．
37．如图，五边形与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为．若五边形ABCDE的，面积为20cm2，那么五边形的面积为____cm2．
【答案】5．
【解析】
试题解析：∵五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为，
∴五边形A′B′C′D′E′的面积与五边形ABCDE的面积比为：1：4，
∵五边形ABCDE的面积为20cm2，
∴五边形A′B′C′D′E′的面积为：5．
考点：位似变换．
38．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，延长AE与BC延长线交于点F，则FC：FB=_____．
【答案】
【解析】作EH⊥AB于H．根据EC∥AB，可得=，设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，想办法求出EC即可解决问题.
【解答】解：作EH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAH＝∠EHA＝90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴AD＝BC＝EH，DE＝AH，
∵AB＝2BC，设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，
在Rt△AEH中，AE＝AB＝2a，EH＝AD＝a，
∴AH＝＝a，
∴EC＝BH＝2a?a，
∵EC∥AB，
∴△FEC∽△FAB，
∴=＝=，
故答案为：
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
39．如图，个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，分别为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，，的面积为，则________．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．
【解答】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上,点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
∴
∵BnCn∥B1C1，
∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，
∴
即
∴
故答案为.
【点评】考查相似三角形的判定与性质,
正方形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
40．点是的边上一点，过点的直线与的边界的另一个交点为，则使与相似的直线可能有________（把正确的结论的代号都填上）．
①条；②条；③条；④条．
【答案】④
【解析】根据题意画出图形，过点P作PD∥BC，PF∥AC，作∠APE=∠C，∠BPG=∠C；可得这样的直线一共有4条．
【解答】如图所示，
①过点P作PD∥BC，则△APD∽△ABC；
②作∠APE=∠C，则△APE∽△ACB；
③过点P作PF∥AC，则△PBF∽△ABC；
④在∠BPG=∠C，则△PBG∽△CBA．
故答案为④．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题
41．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
【答案】FN：ND=2：3．
【解析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FE=BC，根据已知推出CD=，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．
【解答】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴，
∵AF：BF=1：2，
∴=，
∴，
即FE=BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD=BC，
∵FE∥BD，
∴．
即FN：ND=2：3．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
42．如图，和是否相似？为什么？
【答案】和相似
【解析】相似，根据两边对应成比例且夹角相等的三角形是相似三角形，即可证明．
【解答】△AEB和△CEF相似．理由如下：
∵EF：AE=24：32=3：4，EC：BE=21：28=3：4，∴EF：AE=EC：BE．
又∵∠CEF=∠AEB（对顶角相等），∴△AEB∽△FEC（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记各种判定方法是解题的关键，题目比较简单，是中考常见题型．
43．如图，若，和相交于点，和相交于点，，，，求．
【答案】．
【解析】先求出的相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求出.
【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得．
【点评】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
44．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△，求△中的第三边长．
【答案】2.
【解析】此题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，分析作答即可．
试题解析：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△的两边长分别为1，1.5，可以看出，△的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．
45．中，为上的一点，，是上一点，，求，的值．
【答案】，．
【解析】作交于，如图，已知把BD：DC=2：1和AE：ED=1：4，通过作平行线建立FC、AF与DG的关系，GF与BF的关系，EF与EG的关系，即可求得答案.
【解答】作交于，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确添加辅助线、把它们的比转移到同一条线段上．
46．如图，，且．
梯形与梯形是否位似？如果位似，求出它们的相似比，如果不位似，说明理由；
若．求梯形的面积．
【答案】梯形与梯形不位似；理由见解析；．
【解析】（1）分别求出梯形MNQP与梯形PBCQ的对应边的比，根据位似变换的概念进行判断即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出S△APQ和S△AMN，计算得到答案．
【解答】梯形与梯形不位似，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴梯形与梯形不位似；
∵，
∴，又，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴梯形的面积．
【点评】本题考查的是位似变换和相似三角形的性质，掌握位似变换的概念和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
47．正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE
（1）以DE为一边做格点△DEF与△ABC相似；
（2）直接写出△DEF的面积．
【答案】（1）作图见解析；（2）7.5．
【解析】（1）由于每个小正方形边长为1，先利用勾股定理求出△ABC的三边分别为AB=，BC=，AC=，DE=5，根据三边对应成比例的两三角形相似，可以画出格点△DEF，使DF=5，EF=；
（2）根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】（1）如图所示，△DEF与△ABC相似；
?
（2）△DEF的面积=×5×3=7.5．
【点评】本题考查了利用相似变换作图，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积，熟练掌握网格结构，根据相似比准确找出对应点的位置是解题的关键．
48．如图，经过的顶点，，，交于．
求证：；
连结，如果，，求的长．
【答案】证明见解析；．
【解析】（1）根据MN∥BC，得到，，等量代换得到，根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）根据，得到DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到，于是推出，即，即可得到结论．
【解答】∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
49．如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：．
?
【答案】见解析
【解析】连接AF，根据线段垂直平分线的性质，得到FD=FA，∠FAD=∠FDA，再根据三角形外角的性质，得到两个三角形的一对对应角相等，另一对角是这两个三角形的公共角，可以证明两个三角形相似，然后用相似三角形的性质对应线段的比相等进行证明．
【解答】如图，连接，
∵垂直平分，
∴．，
∵平分，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据题意判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质定理对应边的比相等证明等式成立．
50．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=18cm，高AD=12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求矩形EFGH的周长．
【答案】矩形EFGH的周长为30cm．
【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出EH，EF的长，即可得出答案．
【解答】∵矩形EFGH中，EH∥FG，EH=GF，
∴△AEH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AM⊥EH，
∴，
设EH=3x，则MD=EF=2x，AM=12﹣2x，
∴，
解得：x=3，
∴EH=3x=9，EF=2x=6，
∴矩形EFGH的周长为：2×（9+6）=30（cm）．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
51．如图，在△ABC中，A，B两点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．
【答案】点B的横坐标为－.
【解析】过B和B'向x轴引垂线,构造相似比为1:2的相似三角形,那么利用相似比和所给B'的横坐标即可求得点B的横坐标
【解答】分别过点B，B′作BD⊥x轴于点D，B′E⊥x轴于点E，
∴∠BDC＝∠B′EC＝90°.
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，
∴点B，C，B′在一条直线上，
∴∠BCD＝∠B′CE，∴△BCD∽△B′CE，
∴.
又∵，∴.
∵点B′的横坐标是2，点C的坐标是(－1，0)，
∴CE＝3，
∴CD＝
，∴OD＝
，
∴点B的横坐标为－.
【点评】此题考查相似三角形的性质和位似变换，解题关键在于做辅助线
52．在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形“，如图，△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（﹣1，2）．
（1）点B的坐标为
，△ABC的面积为
；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，放大后点A、B的对应点分别为A1、B1，点B1在第一象限；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则放大后点P的对应点P1的坐标为
．
【答案】（1）（2，2）、3；（2）见解析；（3）（2a，2b）．
【解析】（1）直接根据图形可得点B的坐标、由三角形面积公式可得△ABC的面积；
（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（3）由位似变换的性质可得答案．
【解答】解：（1）点B的坐标为（2，2）、△ABC的面积为×3×2=3，
故答案为（2，2）、3；
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）若P（a，b）为线段AC上的任一点，则放大后点P的对应点P1的坐标为（2a，2b），
故答案为（2a，2b）．
【点评】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．
53．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
【答案】2.4秒或秒
【解析】设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：△CPQ∽△CBA与△CPQ∽△CAB
【解答】设经过y秒后，△CPQ∽△CBA，此时BP=2y，CQ=y．
∵CP=BC-BP=8-2y，CB=8，CQ=y，CA=6．
∵△CPQ∽△CBA，
∴，
∴?
∴y=2.4
设经过y秒后，△CPQ∽△CAB，此时BP=2y，CQ=y．
∴CP=BC-BP=8-2y．
∵△CPQ∽△CAB，
∴
∴
∴y=
所以，经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似
【点评】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
54．（1）已知，求的值；
（2）已知2x=3y=4z，求的值．
【答案】（1）；（2）8
【解析】（1）可设比值为k，然后表示出x、y、z，再代入比例式计算即可得解；
（1）可设比值为k，然后表示出x、y、z，再代入比例式计算即可得解.
【解答】解：（1）设=k（k≠0），
则x=2k，y=3k，z=4k，
所以
==；
（2）设2x=3y=4z=k≠0，
则x=，y=，z=，
所以==8．
【点评】本题考查了比例的性质，分式的化简求值问题，利用“设k法”求解更简便．
55．如图所示，，分别是正方形的边，上的点，且，以为边作正方形，与交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若是的中点，求证：为的中点；
（3）连接，设，，，在（2）的条件下，判断是否成立？并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【解析】（1）由正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，再由SAS即可证出△ADE≌△DCF；
（2）先证出，再证明，得出比例式，证出，即可得出结论；
（3）先证明△AEQ∽△ECQ，得出△AEQ∽△ECQ∽△ADE，得出面积比等于相似比的平方，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：由，，，得；
（2）证明：因为四边形是正方形，
所以，所以.
又因为，所以.
因为，所以，
所以.
因为是的中点，所以，所以
因为，所以，即是的中点．
（3）解：成立．
理由：因为，所以，
所以.
因为，
所以，
所以.
所以，.
所以.
在中，由勾股定理，得，
所以，即.
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要多次证明三角形相似才能得出结论．
56．如图，已知与是位似图形，求证：．
【答案】见解析
【解析】根据位似图形的性质得到，加上∠AOB＝∠A′OB′，则可判断△AOB∽△A′OB′，所以∠BAO＝∠B′OA′，然后根据平行线的判定即可得到结论．
【解答】如图，
∵与是位似图形，
∴，
而，
∴，
∴，
∴．
【点评】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
57．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
【答案】S=﹣t2+18（0≤t＜6）
【解析】△BPQ的面积=BP×BQ，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可．
【解答】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，
∴S=
PB?BQ=PB?（BE+EQ）
=（6﹣t）（6+t）
=﹣t2+18，
∴S=﹣t2+18（0≤t＜6）
【点评】解决本题的关键是找到所求的三角形的面积的等量关系，注意求自变量的取值应从线段长度为非负数考虑．
58．已知实数x、y、z满足，试求的值.
【答案】
【解析】先根据实数x、y、z满足，求出，从而得到x=y,z=y
把它们代入式子求解即可.
【解答】方法一：∵实数x、y、z满足，
∴x=y,z=y
∴原式===.
方法二：
∵x、y、z满足，
∴，∴＝，＝＝，
∴＝＝＝k，∴x＝3k，y＝4k，z＝6k，
∴＝＝＝.
【点评】本题考查了求分式的值，解答本题的关键是根据实数x、y、z满足，求出，从而得到x=y,z=y，然后代入求值.
59．如图，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴上，点在射线上，且．垂直轴于点．
点坐标为________，点坐标为________．
操作：将一足够大的三角板的直角顶点放在射线或射线上，一直角边始终过点，另一直角边与轴相交于点．问是否存在这样的点，使以点，，为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）存在这样的点，使以点，，为顶点的三角形与全等
【解析】（1）根据点E在x轴正半轴上，OE=OF=10，即可得出E（10，0），再根据点F在射线BA上，可设F（x，x+2），则OH=x，FH=x+2，最后根据勾股定理求得x即可；
（2）当点Q在射线HF上时，分两种情况：①QE=OE=10，②QP=OE=10；当点Q在射线AF上时，分两种情况：①QE=OE=10，②QP=OE=10，分别作辅助线构造直角三角形或相似三角形，求得QH的长，即可得出点Q的坐标．
【解答】（1）∵点E在x轴正半轴上，OE=OF=10，∴E（10，0）．
∵点F在射线BA上，∴可设F（x，x+2），则OH=x，FH=x+2，如图，连接OF，则
Rt△OHF中，x2+（x+2）2=102，解得：x=6，∴x+2=8，∴F（6，8）．
故答案为（10，0），（6，8）；
（2）存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等．
当点Q在射线HF上时，分两种情况：
①如图所示，若QE=OE=10，而HE=10﹣6=4，∴在Rt△QHE中，QH===2，∴Q（6，2）；
②如图所示，若QP=OE=10，作PK⊥FH于K，则∠PKQ=∠QHE=90°，QK==8．
∵∠PQK+∠EQH=∠QEH+∠EQH=90°，∴∠PQK=∠QEH，∴△PQK∽△QEH，∴=，即=，解得：QH=3，∴Q（6，3）；
当点Q在射线AF上时，分两种情况：
①如图所示，若QE=OE=10，设Q（x，x+2），作QR⊥x轴于R，则RE=10﹣x，QR=x+2，∴Rt△QRE中，（10﹣x）2+（x+2）2=102，解得：x=4±，∴Q（4+，6+）或（4﹣，6﹣）；
②如图所示，若QP=OE=10，则QE=OP，设Q（x，x+2）．
∵∠POE=90°，∴四边形OPQE是矩形，∴x=OE=10．
∵Q在射线AF上，∴x+2=QE=12，∴Q（10，12）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的性质，矩形的性质以及勾股定理的综合应用．解决第（2）题的关键是分类讨论，运用勾股定理以及相似三角形的对应边成比例进行计算求解．分类时注意不能遗漏，也不能重复．
60．如图，中，，，分别是，的中点，作且使，平分．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）求证：．
【答案】（1）是等腰直角三角形；（2）证明见解析；
【解析】（1）根据直角三角形的性质，可得∠FBA+∠BAC=90°，根据等式的性质，可得，根据等腰直角三角形的判定，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠EDA=∠EAD=∠CBF，根据等量代换，可得，，根据相似三角形的判定，可得答案．
【解答】解：（1）是等腰直角三角形，
证明：∵，
∴．
∵，，
，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）∵，
∴．
∵，，
∴，
∴
【点评】考查相似三角形的判定，
等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
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精品试卷·第
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