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第23章：解直角三角形（综合练习）
一、单选题
1．在中，，若，则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
2．中，，，，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是（
）
A．海里
B．海里
C．海里
D．海里
5．在中，，当，时，的值是（
）
A．c=4
B．c=5
C．c=6
D．c=7
6．中，，于点，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5
，BC=3，则tanB的值是（
）
A．
B．
C．
D．
8．cos30°的值为（??
）
A．1?????????????????????????????
B．???????????????????
C．?????????????????????????
D．
9．一树干被台风吹断，折成与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则树干原来的高度为（
）米．
A．
B．
C．
D．
10．如图，已知在中，，是边上一点，，，且，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，∠ACB=50°，那么AB等于（ ）
A．asin50°
B．atan50°
C．acos50°
D．
12．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
13．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=（ ）
A．7海里
B．14海里
C．3.5海里
D．4海里
14．如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=4500米，tanα=
，
则飞机到目标B的水平距离BC为（ ）
A．5400米????????????????????????
B．5400米????????????????????????
C．5600米?????????????????????
D．5600米
15．如图，由山脚下的一点测得山顶的仰角是，从沿倾斜角为的山坡前进米到，再次测得山顶的仰角为，则山高为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
16．工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，其顶角为，腰长为；铁板乙形状为直角梯形，两底边长分别为、，且有一内角为．现在我们把它们任意翻转，分别试图从一个直径为的圆洞中穿过，结果是（
）
A．甲板能穿过，乙板不能穿过
B．甲板不能穿过，乙板能穿过
C．甲、乙两板都能穿过
D．甲、乙两板都不能穿过
17．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（?
）
A．
B．
C．
D．
18．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（ ）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）
A．200
B．250
C．300
D．540
19．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30日，在A点测得D点的仰角∠EAD=45°，在B点测得D点的仰角为∠CBD=60°，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为（ ）米．
A．10，30
B．30，30
C．30﹣3，30
D．30﹣30，30
20．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
21．如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（ ）
A．m=n
B．x=m+n
C．x＞m+n
D．x2=m2+n2
22．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则cosA的值为（
）
A．
B．
C．
D．
24．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
二、填空题
25．河堤的横断面如图，堤高米，迎水斜坡长米，那么斜坡的坡度是________．
26．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=3，则cosA=__．
27．如图，DE为△ABC的中位线，点F为DE上一点，且∠AFB=90°，若AB=8，BC=10，则EF的长为________．
28．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）．
29．在国道襄阳段改造工程中，需沿方向开山修路（如图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从上的一点取，，．为了使开挖点在直线上，那么________．（供选用的三角函数值：，，）
30．公园里有一块形如四边形的草地，测得米，，．则这块草地的面积为__________．
31．在中，，，，________．
32．计算________．
33．在高米的山顶上测得正东方向两船的俯角分别为和，则两船间的距离是________（精确到米，）
34．小智同学在距大雁塔塔底水平距离为138米处，看塔顶的仰角为24.8°（不考虑身高因素），则大雁塔市约为________米．（结果精确到0.1米）
35．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC于点E，若BD=8，sin∠CBD=，则AE的长为_____．
36．如图，在四边形ABCD中，AB=，AD=7，BC=8，tan∠B=，∠C=∠D，则线段CD的长为_____．
37．△ABC中，AB=AC，sinA=，则tanB=_____．
38．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=3，ON=7，点P是直线OB上的点，要使点P，M，N构成等腰三角形的点P有________个．
39．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观测C地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为__________m.
40．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，现将△ABC绕点B顺时针旋转30°至△DEB，DE交AB于点F，则线段EF的长为________．
41．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____．
42．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=2，则DE+DF=____________.
三、解答题
43．人要使用斜靠在墙面上的梯子安全地攀到梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个的梯子．问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀到多高的墙？（精确到）
（2）当梯子的底端距离墙面时，此时人是否能够安全地使用这个梯子？
44．计算：
45．计算：．
46．计算：
47．在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知a＝4，b＝8，求c；
(2)已知b＝10，∠B＝60°，求a，c；
(3)已知c＝20，∠A＝60°，求a，b.
48．计算:.
49．如图，在笔直的海岸线l上有两个观测点A和B，点A在点B的正西方向，AB＝2km．若从点A测得船C在北偏东60°的方向，从点B测得船C在北偏东45°的方向，则船C离海岸线l的距离为_____km．（结果保留根号）
50．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向内旋转35°到达ON位置，此时点A，C的对应位置分别是点B，D，测量出∠ODB=25°，点D到点O的距离为30cm，求滑动支架BD的长．
（结果精确到1cm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
51．如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．（结果保留根号）
52．如图所示，某村要设计修建一条引水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道底面宽0.8m，渠道内坡度是1：0.5．引水时，水面要低于渠道上沿0.2m，水流的横断面（梯形ABFE）的面积为1.3m2，求水渠的深度h．
53．如图，已知BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，=9，∠BAE=α，求sinα+cosα的值．
54．计算或化简：
（1）sin45°?cos60°﹣cos45°?sin30°；
（2）5tan30°﹣2（cos60°﹣sin60°）；
（3）（tan30°）2005?（2sin45°）2004；
（4）（2cos45°﹣tan45°）﹣（tan60°+sin30°）0﹣（2sin45°﹣1）﹣1．
55．已知：如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午点，在处测得小岛的方向是北偏东，以每小时海里的速度继续向东航行，中午点到达处，并测得小岛的方向是北偏东，若小岛周围海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？
56．如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
57．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，公路上距A处45千米的红方在B处沿南偏西67°方向前进实施拦截．红方行驶26千米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西37°方向前进，刚好在D处成功拦截蓝方．求拦截点D处到公路的距离AD．（参考数据：sin67°≈
，cos67°≈
，tan67°≈
，sin37°≈
，cos37°≈
，tan37°≈
）
58．如图，已知斜坡MN的坡脚N处有一颗大树PN，太阳光线以45°的俯角将树顶P的影子落在斜坡MN上的点Q处．如果大树PN在斜坡MN上的影子NQ长为6.5米，大树PN高为8.5米，求斜坡MN的坡度．
59．为了测量某教学楼CD的高度，小明在教学楼前距楼基点C，12米的点A处测得楼顶D的仰角为50°，小明又沿CA方向向后退了3米到点B处，此时测得楼顶D的仰角为40°（B、A、C在同一水平线上），依据这些数据小明能否求出教学楼的高度？若能求，请你帮小明求出楼高；若不能求，请说明理由．（取2.24）
60．如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB．
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精品试卷·第
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（共
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第23章：解直角三角形（综合练习）
一、单选题
1．在中，，若，则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据特殊角的三角函数值求出∠B，再求∠A，即可求解.
【解答】在中，，若，则∠B=30°
故∠A=60°，所以sinA=
故选：C
【点评】本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.
2．中，，，，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据直角三角形锐角三角函数定义直接求解．
【解答】已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴tan∠ACB=，
【点评】本题考查锐角三角函数的定义.关键找对邻边、对边、所用三角函数.
3．的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】试题分析：根据特殊角的三角函数值即可得=，故答案选B．
考点：特殊角的三角函数值．
4．如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是（
）
A．海里
B．海里
C．海里
D．海里
【答案】D
【解答】试题解析：由已知得：
在中，
(海里)
故选D.
5．在中，，当，时，的值是（
）
A．c=4
B．c=5
C．c=6
D．c=7
【答案】C
【解答】解：在中，，当，
则sinA=sin60°=，
则c=6，
故选C．
6．中，，于点，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】首先由已知中，，求出，，，由，在中求得的长．
【解答】∵∠A：∠B：∠C=l：2：3，
∴∠A=180×
=30°，
∠B=180°×=60°，
∠ACB=180°×=90°，
又∵CD⊥AB，
∴在Rt△BCD中，
CD=BC?sin∠B=a．
故选B．
【点评】本题考查了三角形内角和及解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5
，BC=3，则tanB的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】分析：根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．
详解：∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∴cosA==．
故选D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
8．cos30°的值为（??
）
A．1?????????????????????????????
B．???????????????????
C．?????????????????????????
D．
【答案】D
【解析】
cos30°=．
故选D．
9．一树干被台风吹断，折成与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则树干原来的高度为（
）米．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意画出图形，再根据直角三角形的性质进行解答即可．
【解答】如图所示：AB=20米，∠ABC=30°，
∴AC=AB?tan30°=20×=（米）；
BC=（米），
∴AC+BC=+=20（米）．
故选B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
10．如图，已知在中，，是边上一点，，，且，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先解Rt△CAD，由tan∠CAD==
，可设CD=x，则AC=2x，根据勾股定理得出x2+
（2x）2=（）2，求出x=1，那么CD=1，AC=2．再解Rt△CAB，由tan∠ABC=
，求出BC=4，然后根据BD=BC-CD即可求解.
【解答】∵在Rt△CAD中,∠C=90°,tan∠CAD=
=12，
∴可设CD=x，则AC=2x，
∵AD=，
∴由勾股定理得：x2+(2x)2=()2，
解得x=1，
∴CD=1，AC=2.
∵在Rt△CAB中,∠C=90°，tan∠ABC=，
∴BC=4，
∴BD=BC?CD=4?1=3.
故选B
【点评】本题考查解直角三角形．关键找对邻边、对边、恰当选择三角函数函数.
11．如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，∠ACB=50°，那么AB等于（ ）
A．asin50°
B．atan50°
C．acos50°
D．
【答案】B
【解析】根据题意，可得Rt△ABC，同时可知AC与∠ACB．根据三角函数的定义解答．
【解答】根据题意，在Rt△ABC，有AC＝a，∠ACB＝50°，且tan50°＝，
则AB＝AC×tan50°＝a?tan50°，
故选B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握三角函数的定义．
12．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】D
【解析】根据解直角三角形的知识可知：=sinα，即可求出AB．
【解答】∵=sinα，
∴AB=.
故选D.
【点评】本题考查的是解三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键.
13．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=（ ）
A．7海里
B．14海里
C．3.5海里
D．4海里
【答案】A
【解析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠PAD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．
【解答】过P作PDAB于点D.
PBD=PAB+APB=90°-60°=30°,
PAB=90-75=15,PAB=APB,
BP=AB=7(海里)
故答案选A.
【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-方向角的问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-方向角的问题.
14．如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=4500米，tanα=
，
则飞机到目标B的水平距离BC为（ ）
A．5400米????????????????????????
B．5400米????????????????????????
C．5600米?????????????????????
D．5600米
【答案】A
【解析】利用所给角的正切函数求得线段BC的长即可.
【解答】由题知，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=α?，AC=4500
，
∵tanα=??????
∴BC=5400.
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.
15．如图，由山脚下的一点测得山顶的仰角是，从沿倾斜角为的山坡前进米到，再次测得山顶的仰角为，则山高为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】C
【解析】首先根据题意分析图形；过点作，的垂线，垂足分别为，，构造两个直角三角形与，分别求解可得与的值，再利用图形关系，进而可求出答案．
【解答】过点B作CD，AC的垂线，垂足分别为E，F，
∵∠BAC=30°，AB=1500米，
∴BF=EC=750米．
AF=AB?cos∠BAC=1500×=750（米）．
设FC=x米，
∵∠DBE=60°，
∴DE=x米．
又∵∠DAC=45°，
∴AC=CD．
即：750+x=750+x，
解得x=750．
则CD=750（+1）米．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
16．工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，其顶角为，腰长为；铁板乙形状为直角梯形，两底边长分别为、，且有一内角为．现在我们把它们任意翻转，分别试图从一个直径为的圆洞中穿过，结果是（
）
A．甲板能穿过，乙板不能穿过
B．甲板不能穿过，乙板能穿过
C．甲、乙两板都能穿过
D．甲、乙两板都不能穿过
【答案】A
【解析】把一边水平放置，看最高顶点到对边边所在直线的距离是否小于圆洞的直径即可．
【解答】过点B作BD⊥AC于点D，
∵等腰三角形，顶角为45°，AB=12cm，
∴BD=AD=ABsin45°=12×=6＜8.5，
∴甲能穿过圆洞．
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，过B点作BE⊥CD，垂足为E，
∵∠C=60°，BE=BC?sin60°=5＞8.5，不能通过；
故选A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，求出最高顶点到对边所在直线的距离是解答本题的关键．
17．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（?
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．
【解答】
在△ABC中,∠C=90，
∵AC=4，BC=3，
∴AB==5.
∴sinA==，
故答案选：B.
【点评】本题考查的知识点是锐角三角形的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角形的定义.
18．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（ ）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）
A．200
B．250
C．300
D．540
【答案】B
【解析】根据坡度的概念和俯角的概念解答即可．
【解答】解：由题意得，∠EAC＝45°，EC＝100米，
∴AC＝EC＝100米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BC＝3EC＝300米，
∴AB＝300＋100＝400米，
设DF＝x米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BD＝3DF＝3x米，
∵∠DAF＝12°，tan12°≈0.2，
∴AD＝5DF＝5x米，
则8x＝400，
解得x＝50，
∴AD＝250米．
故选B．
【点评】本题考查的是解直角三角形、熟记锐角三角函数的定义、根据题意列出方程是解题的关键．
19．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30日，在A点测得D点的仰角∠EAD=45°，在B点测得D点的仰角为∠CBD=60°，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为（ ）米．
A．10，30
B．30，30
C．30﹣3，30
D．30﹣30，30
【答案】D
【解析】在Rt△BCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，延长AE交CD于F，则AF∥BC，求得∠AFD＝90°，在Rt△ADF中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度．
【解答】延长AE交CD于F，则AF∥BC，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AF⊥DC，
∴∠AFD＝∠AFC＝∠ABC＝∠BCD＝90°．
∴四边形ABCF为矩形，
∴AF＝BC＝30m，FC＝AB．
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝30m，
在Rt△BCD中，DC＝BC?tan∠DBC＝30，
∴FC＝DC?DF＝30?30，
答：甲建筑物的高AB为（30?30）m，乙建筑物的高DC为30m．
故选D．
【点评】本题主要考查角直角三角形的应用，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．
20．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】连接BD，先利用勾股定理逆定理得△ABD是直角三角形，再根据正切函数的定义求解可得．
【解答】解：如图所示，连接BD，
则BD2＝12＋12＝2，AD2＝22＋22＝8，AB2＝12＋32＝10，
∴BD2＋AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
则tan∠BAC＝，
故选B．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是构建直角三角形并掌握勾股定理逆定理、正切函数的定义．
21．如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（ ）
A．m=n
B．x=m+n
C．x＞m+n
D．x2=m2+n2
【答案】D
【解析】将△ABM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，连接NN′；证明△AMN≌△ANN′，则有MN＝NN′；在Rt△NN'C′中，根据勾股定理可得结论．
【解答】解：∵tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，
∴∠B＝∠C＝∠MAN＝45°，
∵∠CAB＝90°，
∴AC＝AB，
将△BAM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，点B与点C重合，点M落在N′处，连接NN′，
则有AN′＝AM，CN′＝BM，∠1＝∠3，
∵∠MCN＝45°，
∴∠1＋∠2＝45°，
∴∠2＋∠3＝45°，
∴∠NAN′＝∠MAN．
在△MAN与△NAN′中，
，
∴△MAN≌△NCN′（SAS），
∴MN＝NN′，
由旋转性质可知，∠ACN′＝∠B＝45°，
∴∠NCN′＝∠ACN′＋∠ACB＝90°，
∴NN'2＝NC2＋N'C2，
即x2＝n2＋m2，
故选D．
【点评】此题主要考查了旋转、全等三角形、等腰直角三角形、勾股定理、三角函数等知识点．解题关键是作出辅助线，构造直角三角形是关键．
22．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】直接利用网格结合正方形的性质构造直角三角形，再利用勾股定理得出答案．
【解答】如图所示：连接BD，交AC于点E，
由正方形的性质可得：BD⊥AC，
故BD＝，AB＝，
则sin∠BAC＝．
故选D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键．
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则cosA的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【解答】由Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，得
cosA=sinB=，
故选C．
【点评】本题考查在直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系，互为余角的三角函数关系：一个角的正弦等于它余角的余弦．
24．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】D
【解析】根据解直角三角形的知识可知：=sinα，即可求出AB．
【解答】∵=sinα，
∴AB=.
故选D.
【点评】本题考查的是解三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键.
二、填空题
25．河堤的横断面如图，堤高米，迎水斜坡长米，那么斜坡的坡度是________．
【答案】
【解析】解直角三角形的应用-坡度坡角问题,，坡度i=垂直距离÷水平距离．
【解答】由勾股定理得,BC==24米，
则斜坡AB的坡度i=AC:BC=1:2.4，
故答案为1:2.4.
【点评】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题,关键是：坡度i=垂直距离÷水平距离．
26．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=3，则cosA=__．
【答案】
【解析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AC的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．
【解答】解：∵∠C=90°，a=2，b=3，
∴AB=c=
∴cosA=.
27．如图，DE为△ABC的中位线，点F为DE上一点，且∠AFB=90°，若AB=8，BC=10，则EF的长为________．
【答案】1
【解析】首先根据三角形的中位线定理求得DE的长，然后利用直角三角形斜边上中线的性质可求得FD的长，则EF即可求得．
【解答】解：∵DE为ABC的中位线，
∴DE=BC=×10=5，
∵∠AFB为直角，D是AB的中点，即FD是直角△ABF的中线，
∴FD=AB=×8=4，
∴EF=DE﹣FD=5﹣4=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理以及直角三角形的性质，掌握三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决此题的关键．
28．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）．
【答案】．
【解答】解：在Rt△APC中，∵AP=
，∠APC=45°，∴AC=PC=40．
在Rt△BPC中，∵∠
PBC=30°，∴BC=PCcot30°=40×=
，
∴AB=AC+BC=（海里）．
故答案为．
【点评】本题考查了方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
29．在国道襄阳段改造工程中，需沿方向开山修路（如图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从上的一点取，，．为了使开挖点在直线上，那么________．（供选用的三角函数值：，，）
【答案】642.8
【解答】
即
解得：DE=642.8m.
故答案为：642.8
30．公园里有一块形如四边形的草地，测得米，，．则这块草地的面积为__________．
【答案】
【解析】根据BC=CD，∠C=120°，那么等腰△BCD的两个底角相等为30°，连接BD，根据∠B=120°则△BAD为直角三角形，那么把四边形进行分割计算即可．
【解答】
解：连接BD，过C作CE⊥BD于E，
∵BC=DC=10，∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠1=∠2=30°，∴∠ABD=90°．
∴CE=5，
∴BE=5，
∵∠A=45°，
∴AB=BD=2BE=10，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=AB?BD+BD?CE
=×10×10+×10×5
=150+25（米2）
故答案为:（
150+25）米2
【点评】考查解直角三角形在实际生活中的应用；把四边形问题整理为三角形问题是解决本题的突破点，作等腰三角形底边上的高，是常用的辅助性方法．
31．在中，，，，________．
【答案】8
【解析】根据∠A=90°，BC=10，cosB=
，根据三角函数可得AC的长.
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10，cosB=，cosB=，
∴BC=6．
∴AC===8．
故答案为8．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确锐角三角函数指的是哪两条边的比值．
32．计算________．
【答案】1
【解答】解：原式=．故答案为1．
33．在高米的山顶上测得正东方向两船的俯角分别为和，则两船间的距离是________（精确到米，）
【答案】
【解析】在直角△ABC中，根据AB、∠ACB可以求得BC的长度，在直角△ADB中，根据AB、∠BAD可以求得BD的长度，根据CD=CB-BD可以求得CD的长度，即可解题．
【解答】如图：
根据题意得：∠C=∠EAC=15°，∠ADB=∠EAD=75°，
∴∠DAB=15°，
在Rt△ABD中，tan∠DAB=，
∵tan15°=2-，
∴BD=AB?tan15°=400-200，
在Rt△ABc中，tan∠ACB=tan15°=，
∴BC==400+200，
∴CD=BC-BD=400，
∴两船间的距离是400．
故答案为400．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-俯角和仰角问题，本题中计算BC、BD的值是解题的关键．
34．小智同学在距大雁塔塔底水平距离为138米处，看塔顶的仰角为24.8°（不考虑身高因素），则大雁塔市约为________米．（结果精确到0.1米）
【答案】63.5
【解析】先作出图形，则AB=138米，∠A=24.8°，最后，在RtABC中，利用三角函数的定义可求得BC的长．
【解答】解：如图，
在RtABC中，
AB=138米，∠A
=24.8°，
∵=tan24.8°，
∴BC=ABtan24.8°≈138×0.46≈63.5（米）．
故答案为：63.5．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
35．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC于点E，若BD=8，sin∠CBD=，则AE的长为_____．
【答案】9
【解析】过点D作DH⊥BC，垂足为H．根据三角函数求出DH的长度，再证明△CDH∽△CAE，运用相似三角形的性质求AE的长．
【解答】解：过点D作DH⊥BC，垂足为H,
在Rt△BDH中，
DH＝BD?sin∠CBD＝8×＝6．
∵DH⊥BC，AE⊥BC，
∴DH∥AE，△CDH∽△CAE．
∴＝，
∴AE＝DH＝×6＝9．
【点评】本题综合考查了相似三角形、解直角三角形等知识点，作辅助线是关键．难度较大．
36．如图，在四边形ABCD中，AB=，AD=7，BC=8，tan∠B=，∠C=∠D，则线段CD的长为_____．
【答案】
【解析】作AH⊥BC于H，在CB上截取CE，使得CE＝AD，连接AE，作DM⊥AE于M，CN⊥AE于N．构造等腰梯形，把等腰梯形分成两个全等三角形一个矩形解决问题即可．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，在CB上截取CE，使得CE＝AD，连接AE，作DM⊥AE于M，CN⊥AE于N，
∵∠ADC＝∠ECD，DA＝CE，
∴四边形ADCE是等腰梯形，则△ADM≌△ECN，可得AM＝EN，四边形MNCD是矩形，可得CD＝MN，
在Rt△ABH中，∵tanB＝，AB＝，
∴AH＝5，BH＝2，
∵BC＝8，EC＝AD＝7，
∴BE＝8?7＝1，
∴EH＝BH?BE＝1，
在Rt△AEH中，AE＝＝，
∵△ECN∽△EAH，
∴，
∴EN＝，
∴AM＝EN＝，
∴CD＝MN＝AE?AM?EN＝，
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
37．△ABC中，AB=AC，sinA=，则tanB=_____．
【答案】
【解析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tanB的值．
【解答】解：如图，△ABC中，AB=AC，sinA=，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥AC于E，
则BD=CD，sinA==,
设BE=13a,则AB=12a，
在Rt△ABE中，AB=13a，BE=12a，则AE=5a，CE=AC=AE=AB-AE=8a，
在Rt△BCE中，BE=12a，CE=8a，则BC=a，BD=a，
在Rt△ABD中，AD=a，
故tanB=.
故答案为.
【点评】此题考查了解直角三角形，熟记相关概念以及熟练运用勾股定理是解此题的关键.
38．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=3，ON=7，点P是直线OB上的点，要使点P，M，N构成等腰三角形的点P有________个．
【答案】3
【解析】先求出点M、N到在OB的距离，再根据等腰三角形的判定逐个画出即可．
【解答】解：
过M作MM′⊥OB于M′，过N作NN′⊥OB于N′，
∵OM=3，ON=7，∠AOB=45°，
∴MN=4，MM′=OM×sin45°=＜4，NN′=ON×sin45°=＞4，MH=M′N′=4×sin45°=2＜4，
所以只有一小两种情况：①以M为圆心，以4为半径画弧，交直线OB于P1、P2，此时△NP1M和△NMP2都是等腰三角形；
②作线段MN的垂直平分线，交直线PB于P3，此时△MNP3是等腰三角形，
即有3个点P符合，
故答案为：3．
【点评】本题考查饿等腰三角形的判定，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
39．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观测C地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为__________m.
【答案】100
【解析】利用题意得到∠C=30°，AB=100，然后根据30°的正切可计算出BC．
【解答】根据题意得∠C=30°，AB=100，
∵tanC=，
∴BC====100（m）．
故答案为100．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
40．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，现将△ABC绕点B顺时针旋转30°至△DEB，DE交AB于点F，则线段EF的长为________．
【答案】
【解析】根据旋转不变性得到∠EBC=∠EBF=∠FBD=∠D=30°，设EF=x，则FB=FD=2x，ED=3x，在Rt△DEB中，利用∠D的余弦值中的边角关系列出有关x的方程求解x的值即可．
【解答】∵∠A=30°,现将△ABC绕点B顺时针旋转30°至△DEB，
∴∠EBC=∠EBF=∠FBD=∠D=30°，
∴FB=FD
∵∠C=90°，
∴设EF=x，则FB=FD=2x，
∴ED=3x，
∵在Rt△DEB中，
cos∠D==
解得：x=．
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质以及解直角三角形的知识点相结合，学生需要利用旋转不变性得到角度，并找对已知边和恰当的三角函数是解题关键．
41．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____．
【答案】
【解析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．
【解答】解：∵，
∴∠A＝60°，
∴．
故答案为．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
42．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=2，则DE+DF=____________.
【答案】
【解析】设BD=x，则CD=2-x．根据△ABC是等边三角形，可知∠B=∠C=60°．再由三角函数得，ED=x，同理，DF=．因此可求得DE+DF=x+=．
三、解答题
43．人要使用斜靠在墙面上的梯子安全地攀到梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个的梯子．问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀到多高的墙？（精确到）
（2）当梯子的底端距离墙面时，此时人是否能够安全地使用这个梯子？
【答案】（1）5.82米；（2）此时人能够安全地使用这个梯子.
【解析】（1）根据锐角三角函数关系得出sinα=，进而求出BC的长；
（2）利用锐角三角函数关系得出α的余弦值，进而得出α的取值范围即可得出答案．
【解答】解：（1）当，则，
故，
故使用这个梯子最高可以安全攀到的墙；
（2）当梯子的底端距离墙面时，
，
∵，，
∴，
∴此时人能够安全地使用这个梯子．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是三角函数的建模能力.
44．计算：
【答案】1
【解析】根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂和cos45°=得到原式=，然后进行乘法运算后合并即可．
详解：原式=，
=
=1．
【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行实数的加减运算．也考查了零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．
45．计算：．
【答案】10
【解析】原式第一项开立方，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．
试题解析：原式=2+9-1
=10.
46．计算：
【答案】
【解析】，小于2，去掉绝对值后，变为
，
，，
【解答】解：原式=
=
=
【点评】本题考查了含有绝对值、三角函数、幂、及二次根式的综合计算．难度不大，需要牢记运算规则和三角函数值．
47．在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知a＝4，b＝8，求c；
(2)已知b＝10，∠B＝60°，求a，c；
(3)已知c＝20，∠A＝60°，求a，b.
【答案】(1)c=4；(2)a=，c=；(3)a=10，b=10.
【解析】（1）由已知条件根据勾股定理即可求得c的长；
（2）由已知条件结合直角三角形中边、角间的关系即可求得a和c的长；
（3）由已知条件结合直角三角形中边、角间的关系即可求得a和b的长.
【解答】详解：
（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝8，
∴；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝10，∠B＝60°，
∴，
；
（3）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝20，∠A＝60°，
∴，
.
【点评】熟记：“正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，理解直角三角形中边、角间的关系”是正确解答本题的关键.
48．计算:.
【答案】
【解析】先将各项分别化简，然后合并．
【解答】解：原式
49．如图，在笔直的海岸线l上有两个观测点A和B，点A在点B的正西方向，AB＝2km．若从点A测得船C在北偏东60°的方向，从点B测得船C在北偏东45°的方向，则船C离海岸线l的距离为_____km．（结果保留根号）
【答案】1+
【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
设CD=x，
∵∠CBD=∠BCD=45°，
∴BD=CD=x，
又∵AB=2，
∴AD=AB+BD=2+x，
在Rt中，∵∠CAD=30°，
∴AD=
∴
∴CD=x=1+
故答案为：1+
50．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向内旋转35°到达ON位置，此时点A，C的对应位置分别是点B，D，测量出∠ODB=25°，点D到点O的距离为30cm，求滑动支架BD的长．
（结果精确到1cm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【答案】滑动支架BD的长大约为25cm
【解析】根据锐角三角函数可以求得BE的长，然后根据sin∠BDE的值即可求得BD的长，本题得以解决．
【解答】解：在Rt△BOE中，∠BOE=55°，
tan55°=，
∴OE=，
在Rt△BDE中，∠BDE=25°，
tan25°=，
∴DE=，
∴DO=30，
∴DO=DE+OE=+=30，
解得，BE≈10.6，
在Rt△BDE中，∠BDE=25°，
sin25°=，
∴BD=≈25，
答：滑动支架BD的长大约为25cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
51．如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．（结果保留根号）
【答案】11.9．
【解答】试题分析：由已知得到∠DEB=∠DBE，从而ED=DB=12，在Rt△EGD中，由于∠DEG=30°，得到三边的关系，即可求出EG的长，由EF=EG+GF即可得到答案．
试题解析：依题意得：GFCD和DCAB都是矩形，∵∠EDG=60°，∠EBD=30°，∴∠DEB=30°，∴ED=BD=AC=12，∵∠EDG=60°，∴∠GED=30°，∴GD=ED=6，∴EG=GD=，∴EF=EG+GF=+1.5≈11.9．
答：楼EF的高度约为11.9米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
52．如图所示，某村要设计修建一条引水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道底面宽0.8m，渠道内坡度是1：0.5．引水时，水面要低于渠道上沿0.2m，水流的横断面（梯形ABFE）的面积为1.3m2，求水渠的深度h．
【答案】水渠的深度h为1.2m
【解析】作AM⊥EF于M，BN⊥EF于N．则四边形AMNB为矩形．MN＝0.8m．根据已知求得AM的值，再加上0.2即可．
【解答】解：作AM⊥EF于M，BN⊥EF于N．如图，
四边形AMNB为矩形．MN=0.8m．
由题意得=1÷0.5=2．
∴AM=2ME．
设ME为x，则AM=2x．
∴EF=2x+0.8．
∴×（0.8+2x+0.8）×2x=1.3．
解得x=或x=﹣1.3（舍去）．
∴AM=2×=1．
∴h=1+0.2=1.2（m）．
答：水渠的深度h为1.2m．
【点评】此题主要考查等腰梯形的性质和坡度问题，注意公式：tanα（坡度）＝垂直距离：水平距离．
53．如图，已知BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，=9，∠BAE=α，求sinα+cosα的值．
【答案】
【解析】先利用同角的余角相等，得出∠D＝∠B，得到△AFD∽△EFB，有，代入＝9中得出AF＝3EF，再由勾股定理得出AE与EF的关系，代入原式求解．
【解答】解：∵∠B+∠BAC=∠D+∠BAC=90°，
∠B=∠D，
∴Rt△DAF∽Rt△BEF，
∴，
∵=（）2=9，
∴AF=3EF，
∴AE==EF?，
∴sinα+cosα=．
【点评】本题利用了勾股定理和相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念．
54．计算或化简：
（1）sin45°?cos60°﹣cos45°?sin30°；
（2）5tan30°﹣2（cos60°﹣sin60°）；
（3）（tan30°）2005?（2sin45°）2004；
（4）（2cos45°﹣tan45°）﹣（tan60°+sin30°）0﹣（2sin45°﹣1）﹣1．
【答案】（1）0（2）
（3）
（4）-2
【解析】（1）根据特殊的三角函数值解出对应的函数值，再代入原式计算即可；
（2）根据特殊的三角函数值解出对应的函数值，再代入原式计算即可；
（3）根据特殊的三角函数值解出对应的函数值，再代入原式计算即可；
（4）根据特殊的三角函数值解出对应的函数值，再代入原式计算即可.
【解答】解：（1）原式=×﹣×=0；
（2）原式=5×﹣2（﹣）=﹣2×=﹣1+=；
（3）原式=（×）2005?（2×）2004=（）2005?（2）2004=（）2004?22004?=；
（4）原式=（2×﹣1）﹣（+）0﹣（2×﹣1）﹣1=2﹣﹣1﹣=1﹣﹣（+1）=﹣2．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，熟记这些函数值是解此题的关键.
55．已知：如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午点，在处测得小岛的方向是北偏东，以每小时海里的速度继续向东航行，中午点到达处，并测得小岛的方向是北偏东，若小岛周围海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？
【答案】继续向东航行则有触礁的危险，不能一直向东航行．
【解析】先作出辅助线构造出直角三角形，求出BP，进而得出PD，最后和25进行判断即可．
【解答】过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD=90°﹣60°=30°，且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°，∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=15×2=30（海里）．
在直角△BPD中，∵∠PBD=∠PAB+∠APB=30°，∴PD=BP=15海里＜25海里，故若继续向东航行则有触礁的危险，不能一直向东航行．
【点评】本题是解直角三角形﹣﹣方向角问题，主要考查了直角三角形的性质，解答本题的关键是构造出直角三角形，用锐角三角函数是解决此类题目的关键．
56．如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
【答案】（16+5）米．
【解答】设AG=x．在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG=，
∴FG=，在Rt△ACG中，
∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣=10，解得：x=15+5，
∴AB=15+5+1=16+5（米）．
答：电视塔的高度AB约为(16+5)米．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
57．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，公路上距A处45千米的红方在B处沿南偏西67°方向前进实施拦截．红方行驶26千米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西37°方向前进，刚好在D处成功拦截蓝方．求拦截点D处到公路的距离AD．（参考数据：sin67°≈
，cos67°≈
，tan67°≈
，sin37°≈
，cos37°≈
，tan37°≈
）
【答案】点D处到公路的距离AD约为38千米．
【解析】根据正弦和余弦的定义分别求出BF、CF，根据正切的定义求出CE，计算即可．
【解答】在Rt△BCF中，
BF=BC×cos∠FBC≈10，
CF=BC×sin∠FBC≈24，
∴DE=45﹣24=21，
在Rt△DCE中，CE=
≈28，
∴AD=BG=BF+CE≈38．
答：点D处到公路的距离AD约为38千米．
【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-方向角的问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-方向角的问题.
58．如图，已知斜坡MN的坡脚N处有一颗大树PN，太阳光线以45°的俯角将树顶P的影子落在斜坡MN上的点Q处．如果大树PN在斜坡MN上的影子NQ长为6.5米，大树PN高为8.5米，求斜坡MN的坡度．
【答案】．
【解析】根据题意过点Q作于点E，进而利用勾股定理得出EN的长，再利用
求出其坡比即可．
【解答】解：如图所示：过点Q作于点E，
∵太阳光线以45°的俯角将树顶P的影子落在斜坡MN上的点Q处，
∴，
∴PE=EQ，
设EN=x，则EQ=PE=8.5-x,
则,
解得：（不合题意舍去），，
故,
则斜坡MN的坡度为：．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,解题的关键是先转化为解直角三角形问题,主要是由勾股定理和三角函数求解.
59．为了测量某教学楼CD的高度，小明在教学楼前距楼基点C，12米的点A处测得楼顶D的仰角为50°，小明又沿CA方向向后退了3米到点B处，此时测得楼顶D的仰角为40°（B、A、C在同一水平线上），依据这些数据小明能否求出教学楼的高度？若能求，请你帮小明求出楼高；若不能求，请说明理由．（取2.24）
【答案】能求，13.44米
【解析】根据题意：可得△ACD∽△DCB；可得；进而得到CD与AC、BC的关系，代入数据解可得答案．
【解答】解：能求．
△ACD与△DCB中，有∠ADC=∠DBC=40°；∠DAC=∠BDC=50°；
故有△ACD∽△DCB，
∴，
CD2=AC?BC=12×15=180，
∴CD=13.44（米）．
答：该教学楼的高度约为13.44米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
60．如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB．
【答案】15
【解析】此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BD⊥AC于D，求出∠DBC＝30°，求出DC，由勾股定理求出BD，求出AD、BD的长，由勾股定理求出AB即可.
【解答】解：由示意图可知：∠ACB=60°，
由平行线的性质可知∠ABC=180°﹣30°﹣75°=75°，
∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=45°，BC=60×=30（海里），
过B作BD⊥AC于D，
则∠BDC=90°，∠DBC=30°，
∴DC=BC=15海里，
由勾股定理得：BD=15海里，
∵∠A=45°，∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠A=45°，
∴AD=BD=15海里，
由勾股定理得：AB=（海里），
答：此时货轮距灯塔A的距离AB为海里．
【点评】本题主要考查了方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点．
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精品试卷·第
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