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期末综合训练（1）
考试时间建议：150分钟；考试满分：150份
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
2．(本题3分)函数与在同一坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
3．(本题3分)已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数的图象上，则下列判断正确的是（
）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
4．(本题3分)若无论取何值，代数式的值恒为非负数，则的值为（
）
A．0
B．
C．
D．1
5．(本题3分)如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，其中，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．或
D．或
6．(本题3分)如图，二次函数的图象与轴相交于点和，下列结论：①；②当时，；③若、在函数图象上，当时，；④，正确的有（
）
A．①②④
B．①④
C．①②③
D．①③④
7．(本题3分)如图，正方形中，和是对角线，作交延长线于点，连接交于点，则下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④，正确的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
8．(本题3分)如图是墙壁上在，两条平行线间的边长为的正方形瓷砖，该瓷砖与平行线的较大夹角为，则两条平行线间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
9．(本题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（
）
A．AD＝AE
B．DB＝EC
C．∠ADE＝∠C
D．
10．(本题3分)如图所示，为
，
在反比例函数的图象上，点
，
在反比例
函数
的图象上，
轴，连结
并延长交
轴于点
，
轴，
与
的面积之差为
，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．(本题3分)如图，一次函数和与反比例函数的交点分别为点、和，下列结论中，正确的个数是（
）
①点与点关于原点对称；②；③点的坐标是；④是直角三角形．
A．1
B．2
C．3
D．4
12．(本题3分)如图①，在矩形中，（为常数），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，与的函数关系图象如图②所示，当时，的值为（
）
A．
B．1
C．
D．
二、填空题(共30分)
13．(本题3分)如图，点P(3，2)在△ABC的边BC上，若以原点O为位似中心在第一象限内将△ABC扩大为原来的2倍得到，则点P在上的对应点的坐标是_______．
14．(本题3分)如图，距离不远的两条电线杆高度均为在阳光照射下，第一条电线杆在平坦广场上的影长第二条电线杆离墙的距离且第二条电线杆的部分影子投射到墙心上，则投射在墙上的影子长度为________________．
15．(本题3分)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆的长__________．
16．(本题3分)如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，且点，分别在边，上，则的值为__________．
17．(本题3分)若直线与函数的图象只有一个交点，则交点坐标为__________；若直线与函数的图象有四个公共点，则m的取值范围是__________．
18．(本题3分)已知函数的图象与轴有一交点．则的值为
_________．
19．(本题3分)如图，，点在上，与交于点，，，则的长为
．
20．(本题3分)如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是______．
21．(本题3分)如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，则下列结论正确的是______（填序号）．
①；②连接MD，S△ODM=2S△OCE，；③；④连接，则△BED∽△BCA.
22．(本题3分)若函数图象上存在点，满足，则称点为函数图象上的奇异点．如：直线上存在唯一的奇异点．若关于的二次函数的图象上存在唯一的奇异点，且当时，的最小值为，则的值为__________．
三、解答题(共84分)
23．(本题8分)如图，在中，，，为边的中点，连接过作交于点
(1)求的度数；
(2)如图，为边上一点，连接，过作交于点请判断线段与的数量关系，并说明理由．
24．(本题8分)如图，某反比例函数图象的一支经过点和点(点在点的右侧)作轴于点，连结，．若的面积为，求点的坐标.
25．(本题8分)我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段．如图在
的方格中，现有一
格点线段及格点
，按要求画图．
（1）在图
中画一条格点线段
，使线段
和线段
互相平分；
（2）在图
中画一条格点线段
，将线段
分为
两部分．
图1
图2
26．(本题8分)如图，在等边中，，点是边上的任意一点（点不与点，点重合），过点作，交直线于点，作，垂足为点．
（1）求的度数；
（2）连接，当为等边三角形时，求的长．
27．(本题8分)已知：函数的图象与轴相交于点两点，与轴相交于点，．
（1）求抛物线的解析式且写出其顶点坐标；
（2）连结，求的值．
28．(本题8分)数学小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度（图中的长），经测量知，在B处测得点D的仰角为，在A处测得点C的仰角为，，且A、B、H三点在一条直线上，请根据以上数据计算GH的长（，要求结果精确得到0.1）
29．(本题8分)武汉“新冠肺炎”发生以来，某医疗公司积极复工，加班加点生产医用防护服，为防控一线助力．以下是该公司以往的市场调查，发现该公司防护服的日销售量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，如下图所示，关于日销售利润w（元）和销售单价x（元）的几组对应值如下表：
销售单价x（元）
85
95
105
日销售利润w（元）
875
1875
1875
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价一成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）根据函数图象和表格所提供的信息，填空：
该公司生产的防护服的成本单价是
元，当销售单价x＝
元时，日销售利润w最大，最大值是
元；
（3）该公司复工以后，在政府部门的帮助下，原材料采购成本比以往有了下降，平均起来，每生产一套防护服，成本比以前下降5元．该公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，如果在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
30．(本题8分)某科技公司接到一份新型高科技产品紧急订单，要求在天内（含天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了该种产品件，以后每天生产的产品都比前一天多件．由于机器损耗等原因，当日生产的产品数量达到件后，每多生产一件，当天生产的所有产品平均每件成本就增加元．
（1）设第天生产产品件，求出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（2）若该产品每件生产成本（日生产量不超过件时）为元，订购价格为每件元，设第天的利润为元，试求与之间的函数解析式，并求该公司哪一天获得的利润最大，最大利润的是多少？
（3）该公司当天的利润不低于元的是哪几天？请直接写出结果．
31．(本题8分)如图，在美化校园的活动中，数学兴趣小组用16m长的篱笆，一边靠墙围成一个矩形花园ABCD，墙长为6m，设ABm．
（1）若花园的面积为14，求的值；
（2）花园的面积能否为40？为什么？
（3）若要求花园的面积大于24，求的取值范围．
32．(本题12分)如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接、．
（1）与之间的关系式为：
；
（2）判断线段和之间的数量关系，并说明理由；
（3）设点是抛物线上、之间的动点，连接，，当时：
①若，求点的坐标；
②若，且的最大值为，请直接写出的值．
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精品试卷·第
2
页
（共
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期末综合训练（1）
考试时间建议：150分钟；考试满分：150份
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．(本题3分)函数与在同一坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴-k＜0，∴一次函数y=kx-k的图象经过一、三、四象限，故本选项正确；
B、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴-k＜0，∴一次函数y=kx-k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴-k＞0，∴一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴-k＞0，∴一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
3．(本题3分)已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数的图象上，则下列判断正确的是（
）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
【答案】C
【解析】根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则，．
【解答】解：，
函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．(本题3分)若无论取何值，代数式的值恒为非负数，则的值为（
）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】先利用多项式乘多项式的法则展开，再根据代数式（x＋1?3m）（x?m）的值为非负数时△≤0以及平方的非负性即可求解．
【解答】解：（x＋1?3m）（x?m）
＝x2＋（1?4m）x＋3m2?m，
∵无论x取何值，代数式（x＋1?3m）（x?m）的值恒为非负数，
∴△＝（1?4m）2?4（3m2?m）＝（1?2m）2≤0，
又∵（1?2m）2≥0，
∴1?2m＝0，
∴m＝．
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，二次函数与一元二次方程的关系，偶次方非负数的性质，根据题意得出（x＋1?3m）（x?m）的值为非负数时△≤0是解题的关键．
5．(本题3分)如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，其中，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解析】由题意可求点B坐标，根据图象可求解．
【解答】解：∵正比例函数y=x与反比例函数的图象交于A、B两点，其中A（2，2），
∴点B坐标为（-2，-2）
∴由图可知，当x＞2或-2＜x＜0，正比例函数图象在反比例函数的图象的上方，
即不等式的解集为x＞2或-2＜x＜0
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握函数图象的性质是解决．
6．(本题3分)如图，二次函数的图象与轴相交于点和，下列结论：①；②当时，；③若、在函数图象上，当时，；④，正确的有（
）
A．①②④
B．①④
C．①②③
D．①③④
【答案】B
【解析】根据二次函数的图象与性质（增减性、对称性、与x轴的交点）逐个判断即可．
【解答】由题意得：此二次函数的对称轴为
解得，则结论①正确
由函数图象可知，当时，，则结论②错误
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
与取值范围不确定
无法确定与的大小关系，则结论③错误
将点代入二次函数的解析式得：
，即
，则结论④正确
综上，结论正确的有①④
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质（增减性、对称性、与x轴的交点），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
7．(本题3分)如图，正方形中，和是对角线，作交延长线于点，连接交于点，则下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④，正确的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】①先根据正方形的性质可得，再根据平行四边形的判定即可得；②先根据正方形的性质可得BD、DF的长，再根据平行四边形的性质可得，然后根据相似三角形的判定与性质即可得；③先根据平行线的性质可得，再根据线段的和差即可得；④先根据正方形的性质、平行线的性质可得，再根据直角三角形的面积公式分别求出和的面积，由此即可得．
【解答】设正方形ABCD的边长为，则
四边形ABCD是正方形
，，，，
四边形是平行四边形，则结论①正确
，即
，则结论②正确
四边形是平行四边形
则，结论③正确
，
，
即，结论④正确
综上，正确的个数是4
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟记并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．
8．(本题3分)如图是墙壁上在，两条平行线间的边长为的正方形瓷砖，该瓷砖与平行线的较大夹角为，则两条平行线间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，过B作EF⊥l1于点E，EF与l2交于点F，则EF⊥l2，证明△ABE≌△BCF，得BE＝CF，解Rt△BCF便可得结果．
【解答】解：如图，过B作EF⊥l1于点E，EF与l2交于点F，则EF⊥l2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠CBF＝∠ABE＋∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，
在Rt△BCF中，BF＝a?sinα，CF＝a?cosα，
∴BE＝a?cosα，
∴EF＝BE＋BF＝asinα＋acosα，
即两条平行线间的距离为asinα＋acosα，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
9．(本题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（
）
A．AD＝AE
B．DB＝EC
C．∠ADE＝∠C
D．
【答案】D
【解析】由BCDE，两直线平行同位角相等，可得∽，由相似的比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，且等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠AED，且根据相似三角形各边成比例可得≠，即可得到正确选项．
【解答】解：∵AB=AC，∴为等腰三角形，∠ABC=∠ACB，
又∵BCDE，两直线平行，同位角相等，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，可得：∠ADE=∠AED，
∴∽，即也是等腰三角形，
A选项：∵是等腰三角形，∴AD=AE，该选项正确；
B选项：∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即DB=EC，该选项正确；
C选项：∵∽，且两个三角形均为等腰三角形，∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠ACB，该选项正确；
D选项：∵∽，∴≠，该选项错误，
故选：D．
【点评】本题主要考察了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键在于通过平行线的性质，判断三角形相似，并分别列出各边的关系．
10．(本题3分)如图所示，为
，
在反比例函数的图象上，点
，
在反比例
函数
的图象上，
轴，连结
并延长交
轴于点
，
轴，
与
的面积之差为
，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设点A（a,
），根据反比例函数及图像的特点依次表示出B,C,D,E的坐标，再根据三角形的面积公式列出方程即可求解．
【解答】∵点在反比例函数的图象上，
故设A（a,
），
∴B点的横坐标为a，C、D点纵坐标为，
∵点，D在反比例函数
的图象上，
∴B（a,
），C（0，），D（，），
∴E点的横坐标为，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴E（，），
∵与
的面积之差为，
∴，
故，
解得k=6，
故选C．
【点评】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是根据题意写出各点坐标．
11．(本题3分)如图，一次函数和与反比例函数的交点分别为点、和，下列结论中，正确的个数是（
）
①点与点关于原点对称；②；③点的坐标是；④是直角三角形．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】根据题意，由反比例函数的性质和一次函数的性质分别求出点A、B、C的坐标，然后通过计算，分别进行判断，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，
由，解得：或，
∴点A为（1，2），点B为（，），
∴点A与点B关于原点对称；故①③正确；
由，解得：或，
∴点C为（，）；
∴，，
∴，故②正确；
∵，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理求两点间的长度，以及两直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题．
12．(本题3分)如图①，在矩形中，（为常数），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，与的函数关系图象如图②所示，当时，的值为（
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】①当点P在AB上运动时，由题意得：AB=3，则AC=3k，AP=1，AQ=2k，当t=2时，即PB=2，y=
，求出AB=3，BC=4，AC=5；②当x=4时，点P在AD上运动的距离为1，点Q在CD上运动了1秒，即可求解．
【解答】解：①当点P在AB上运动时，
过点Q作QH⊥AB于点H，
由题意得：AB=3，则AC=3k，AP=1，AQ=2k，
当t=2时，即PB=2，y=
解得：QH=
，
则AH=AQcos∠BAC=2k×=2，故PH=1，
则AH=2，而QH=
故tan∠HAQ===tanα，
则cosα=，解得：k=
故AB=3，BC=4，AC=5；
②当t=4时，点P在AC上运动的距离为1，点Q在CD上运动了1秒，运动的距离QC为，则DQ=3－，
，
故选：C．
【点评】题考查的是动点图象问题，涉及解直角三角形、面积的计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题(共30分)
13．(本题3分)如图，点P(3，2)在△ABC的边BC上，若以原点O为位似中心在第一象限内将△ABC扩大为原来的2倍得到，则点P在上的对应点的坐标是_______．
【答案】(6，4)
【解析】根据位似的性质，将点Ｐ的坐标扩大２倍即可得到点的坐标．
【解答】点在的边上，
以原点Ｏ为位似中心，在第一象限内将△ABC扩大为原来的2倍得到，
由位似变换性质可得，点的横坐标和纵坐标都变为点P的2倍，
因此点的坐标为（6,4）
故答案为：（6,4）．
【点评】本题考查了位似的性质，熟知其性质是解题的关键．
14．(本题3分)如图，距离不远的两条电线杆高度均为在阳光照射下，第一条电线杆在平坦广场上的影长第二条电线杆离墙的距离且第二条电线杆的部分影子投射到墙心上，则投射在墙上的影子长度为________________．
【答案】
【解析】作交CH于点F，易知，可得，求出FH长，进一步可知DE长．
【解答】解：如图，作交CH于点F，
则四边形EFCD为矩形，
，
由题意得，且，
，即
解得
故答案为：1.2．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活的利用相似三角形对应线段成比例的性质是解题的关键．
15．(本题3分)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆的长__________．
【答案】
【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
则，
，
解得：米，
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．(本题3分)如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，且点，分别在边，上，则的值为__________．
【答案】
【解析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE＝S四边形BCED，可得出，结合BD＝AB?AD即可求出的值，此题得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
∴
∵平行于的直线把分成面积相等的两部分，
∴
∴
故答案为：
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
17．(本题3分)若直线与函数的图象只有一个交点，则交点坐标为__________；若直线与函数的图象有四个公共点，则m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出和的图象，根据图象性质即可求出．
【解答】①作出和的图象，如图所示
观察图形即可看出，当直线过（3，0）时，与函数的图象只有一个交点，所以答案为（3,0）；
②联立，
消去y后可得：，
令，可得，
，
即m=时，直线y=x+m与函数的图象只有3个交点，
当直线过点（-1，0）时，此时m=1，直线y=x+m与函数的图象只有3个交点，直线y=x+m与函数y=|2-2x-3的图象有四个公共点时，m的范围为：；
故答案为：①；②．
【点评】本题考查一次函数与二次函数交点问题，正确作出函数图象，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．
18．(本题3分)已知函数的图象与轴有一交点．则的值为
_________．
【答案】或
【解析】分类讨论：当函数是一次函数时是一条直线，图像必与轴有一个交点；当函数是二次函数时，与x轴只有一个交点，所以，由此即可求解.
【解答】解：分类讨论：
当函数是一次函数时，可以理解为一条直线，图像必与轴有一个交点，∴k=1；
当函数是二次函数时，，∴k=2.
故答案为：或.
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图像问题，熟练掌握其图像性质是解决此类题的关键.
19．(本题3分)如图，，点在上，与交于点，，，则的长为
．
【答案】
【解析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出，由GH∥CD，得出，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【解答】解：，
，
即①，
，
，
即②，
①②，
得，
，
，
解得．
故答案为：
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．
20．(本题3分)如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是______．
【答案】
【解析】作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a，然后再.求出BH、AH即可解答．
【解答】解：如图，作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a
观察图像可知：
所以tanβ＝．
故答案为．
【点评】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键在于正确添加常用辅助线、构造直角三角形求解．
21．(本题3分)如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，则下列结论正确的是______（填序号）．
①；②连接MD，S△ODM=2S△OCE，；③；④连接，则△BED∽△BCA.
【答案】①③④
【解析】①正确．由四边形ABCD是矩形，推出S△OBC＝S△OBA，由点E、点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，推出S△CEO＝S△OAD＝，即可推出S△OEB＝S△OBD．
②错误．因为b＝
ab，所以S△ODM：S△OCE＝，故错误．
③正确．设点B（m，n），D（m，n′）则M（m，n，），由点M，点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，可得m?n＝m?n′，推出n′＝n，推出AD＝AB，推出BD＝3AD，故正确．
④正确．由＝3，推出DE∥AC，推出△BED∽△BCA．
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴S△OBC＝S△OBA，
∵点E、点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△CEO＝S△OAD＝，
∴S△OEB＝S△OBD，故①正确;
连接DM，∵S△ODM＝S△OBD﹣S△BDM＝，
∵S△CEO＝S△OAD＝，
∴S△ODM：S△OCE＝，故②错误;
设点B（m，n），D（m，n′）则M（m，n，），
∵点M，点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m?n＝m?n′，
∴n′＝n，
∴AD＝AB，
∴BD＝3AD，故③正确;
连接DE，同法可证CE＝BC，
∴BE＝3EC，
∴，
∴DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，故④正确．
故答案是：①③④.
【点评】考查反比例函数综合题、矩形的性质、三角形的面积、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，学会用分割法求三角形面积，属于中考压轴题．
22．(本题3分)若函数图象上存在点，满足，则称点为函数图象上的奇异点．如：直线上存在唯一的奇异点．若关于的二次函数的图象上存在唯一的奇异点，且当时，的最小值为，则的值为__________．
【答案】2或4
【解析】设函数奇异点的坐标为P（x，x+1），代入函数的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有一个奇异点，则△=0，得到b=（a-h）2-2h+2，把它看成一个二次函数，对称轴a=h，分三种情况讨论：①h＜-3，列方程，方程无解，没有符合条件的t值；②h＞2，列方程，解出h并取舍；③当-3≤h≤2，同理得h=2．
【解答】解：设y关于x的二次函数的图象上的奇异点为（x，x+1），
代入函数得：
∵存在唯一的一个“奇异点”，
∴△=
b=（a-h）2-2h+2，
这是一个b关于a的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为a=h，对称轴左侧，b随a的增大而减小；对称轴右侧，a随a的增大而增大；
①h＜-3，当-3≤a≤2时，在对称轴右侧递增，
∴当a=-3时，b有最小值为-2，
即（-3-h）2-2h+2=﹣2，
h2+4t+13=0，
△=16-4×1×13＜0，方程无解，
②h＞2，当-3≤a≤2时，在对称轴左侧递减，
∴当a=2时，b有最小值为-2，
即（2-h）2-2h+2=-2，
h2-6h+8=0，
解得，h=4或2（舍去），
③当-3≤h≤2，当-3≤a≤2时，n有最小值为-2h+2=-2，
∴h=2
综上所以述：h的值为4或2，
故答案为：4或2．
【点评】本题考查了对函数奇异点的掌握和运用，还考查了二次函数的性质及一元二次方程的根与二次函数的关系；明确一元二次方程根据与系数的关系，方程的解与根的判别式的关系；尤其是二次函数的最值问题，在自变量的所有取值中：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，函数有最小值，当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．
三、解答题(共84分)
23．(本题8分)如图，在中，，，为边的中点，连接过作交于点
(1)求的度数；
(2)如图，为边上一点，连接，过作交于点请判断线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），详见解析
【解析】(1)根据三角形内角和算出∠A=30°,再利用直角三角形斜边中线性质得出∠DCA=∠A=30°,根据外角定理即可求出∠ADE=30°．
(2)根据垂直推算出∠FDC=∠GDE,再求出∠BCD=∠DEG,可得,再由相似比求出关系即可．
【解答】解：（1）在中,,
又为边的中点,
又
（2）
理由如下：
又
又，
即：
【点评】本题考查解直角三角形、三角形外角的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形,关键在于熟练掌握相关的基础概念．
24．(本题8分)如图，某反比例函数图象的一支经过点和点(点在点的右侧)作轴于点，连结，．若的面积为，求点的坐标.
【答案】
【解析】设反比例函数解析式为，把代入求出反比例函数解析式，设点坐标为，作于，则，表示出a，b的关系，利用的面积为列方程求解即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为，
把代入解析式得，
，
反比例函数的解析式为．
设点坐标为，如图，
作于，则，
反比例函数的图象经过点，
，
，
，
解得：，
，
．
【点评】本题考查了坐标与图形，以及反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
25．(本题8分)我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段．如图在
的方格中，现有一
格点线段及格点
，按要求画图．
（1）在图
中画一条格点线段
，使线段
和线段
互相平分；
（2）在图
中画一条格点线段
，将线段
分为
两部分．
图1
图2
【答案】（1）答案见解析;（2）答案见解析;
【解析】（1）利用平行四边形的性质解决问题即可；
（2）利用相似三角形的性质分情况讨论即可；
【解答】（1）
（2）
【点评】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的性质，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．(本题8分)如图，在等边中，，点是边上的任意一点（点不与点，点重合），过点作，交直线于点，作，垂足为点．
（1）求的度数；
（2）连接，当为等边三角形时，求的长．
【答案】（1）30°；（2）．
【解析】（1）利用等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠C=60°，在利用垂直的定义和三角形内角和定理可得结果；
（2）设BP=x，根据等边三角形的性质，利用三角函数，易得，在Rt△APE中，，利用等边三角形的性质可得PE=PD，建立等量关系，解得x．
【解答】解：（1）为等边三角形，
，
（2）设，则
在中，，
在中，，
为等边三角形，，
，即．
解得．
当为等边三角形时，的长为．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质建立等量关系，利用方程思想是解答此题的关键．
27．(本题8分)已知：函数的图象与轴相交于点两点，与轴相交于点，．
（1）求抛物线的解析式且写出其顶点坐标；
（2）连结，求的值．
【答案】（1）抛物线的解析式，顶点坐标
；（2）．
【解析】（1）函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，则x1，x2，满足y=0时，方程的根与系数关系．因为x1+x2=2，则可求b，再根据抛物线与y轴的交点为C（0，3），则可求出c,从而求得抛物线解析式．
（2）已知解析式则可得A，B，C坐标，求sin∠ACB，须作垂线构造直角三角形，结论易得．
【解答】解：（1）∵函数与轴相交于点，两点，
为的两个根，
，即：
∵函数的图像与轴相交于点
所求抛物线的解析式，顶点坐标
（2）令，解得或．
又，
，
根据题意画图，过点作于点，
∵，，，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
设，则，
∵，
，
，即.
在中，，，则。
.
【点评】本题考查了二次函数图象交点性质、韦达定理、等腰直角三角形及三角函数等知识，题目考法新颖，但内容常规基础，是一道非常值得考生练习的题目．
28．(本题8分)数学小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度（图中的长），经测量知，在B处测得点D的仰角为，在A处测得点C的仰角为，，且A、B、H三点在一条直线上，请根据以上数据计算GH的长（，要求结果精确得到0.1）
【答案】GH的长约为9.4m．
【解析】首先过点D作DE⊥AH于点E，设DE=xm，则CE=（x+2）m，解Rt△AEC和Rt△BED，得出AE=（x+2），BE=，根据AE-BE=12列出方程（x+2）-=12，解方程求出x的值，进而得出GH的长．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AH于点E,设DE=m，则CE=(+2)m．
在Rt△AEC和Rt△BED中，有∠CAB=30?，∠DBH=60?，
∴AE=(+2)，BE=
∵AE?BE=AB=12，
∴(+2)?=12，
∴=?3，
∴GH=CD+DE=2+?3=?1≈9.4(m)．
答：GH的长约为9.4m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据已知构造直角三角形得出DE的长是解题关键．
29．(本题8分)武汉“新冠肺炎”发生以来，某医疗公司积极复工，加班加点生产医用防护服，为防控一线助力．以下是该公司以往的市场调查，发现该公司防护服的日销售量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，如下图所示，关于日销售利润w（元）和销售单价x（元）的几组对应值如下表：
销售单价x（元）
85
95
105
日销售利润w（元）
875
1875
1875
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价一成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）根据函数图象和表格所提供的信息，填空：
该公司生产的防护服的成本单价是
元，当销售单价x＝
元时，日销售利润w最大，最大值是
元；
（3）该公司复工以后，在政府部门的帮助下，原材料采购成本比以往有了下降，平均起来，每生产一套防护服，成本比以前下降5元．该公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，如果在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
【答案】（1）y＝﹣5x+600（80≤x≤120）；（2）80，100，2000；（3）产品的成本单价应不超过65元．
【解析】（1）设y与x之间的函数解析式为：y＝kx+b，根据函数图象，利用待定系数法确定函数关系式即可；
（2）设成本单价是a元，根据日销售利润＝日销售量×（销售单价一成本单价），代入表格数据进行计算求得成本单价，然后得到利润w与销量x的关系，利用完全平方公式变形即可得解；
（3）设产品的成本单价为b元，根据题意列出关于b的不等式，然后求解即可.
【解答】（1）设y与x之间的函数解析式为：y＝kx+b，
由题意得，，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣5x+600（80≤x≤120）；
（2）设成本单价是a元，
由题意得，（﹣5×85+600）×（85﹣a）＝875，
解得：a＝80，
∴该公司生产的防护服的成本单价是80元；
∵w＝（﹣5x+600）（x﹣a）＝﹣5x2+（600+5a）x﹣600a＝﹣5（x﹣100）2+2000，
∴当x＝100时，W最大＝2000，
即每件销售单价为100元时，每天的销售利润最大，最大利润是2000；
故答案为：80，100，2000；
（3）设产品的成本单价为b元，
当x＝90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，
解得：b≤65，
答：产品的成本单价应不超过65元．
【点评】本题主要考查一元一次函数的应用，解此题关键在于熟练掌握待定系数法确定函数关系式，一元一次方程与不等式的应用求解.
30．(本题8分)某科技公司接到一份新型高科技产品紧急订单，要求在天内（含天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了该种产品件，以后每天生产的产品都比前一天多件．由于机器损耗等原因，当日生产的产品数量达到件后，每多生产一件，当天生产的所有产品平均每件成本就增加元．
（1）设第天生产产品件，求出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（2）若该产品每件生产成本（日生产量不超过件时）为元，订购价格为每件元，设第天的利润为元，试求与之间的函数解析式，并求该公司哪一天获得的利润最大，最大利润的是多少？
（3）该公司当天的利润不低于元的是哪几天？请直接写出结果．
【答案】（1）
且x为正整数）；（2），第天利润最大，最大利润为元；（3）利润不低于元的是第5、6、7天
【解析】（1）由第一天生产了件，以后每天都比前一天多生产件即可得出与之间的函数解析式；
（2）分日产量不超过50和日产量超过50两种情况进行讨论，根据利润公式列出函数关系式，利用函数的性质及配方法取两种情况的最大值即可；
（3）根据题意列出不等式进行求解，然后取整数即可．
【解答】解：（1）∵第一天生产了件，以后每天都比前一天多生产件，
，
与之间的函数解析式为：
且x为正整数）
（2）当时，
∵，随的增大而增大，
当时，；
当时，
，
此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小，又天数为整数，
当时，元．
∵，当时，最大，且元．
综上所述：
第天利润最大，最大利润为元．
（3）当时，由得，，
当时，由得，，或．
综上利润不低于元的是第、、天．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式，分段函数等知识，理解题意，根据利润公式列出函数关系式是解决本题的关键．
31．(本题8分)如图，在美化校园的活动中，数学兴趣小组用16m长的篱笆，一边靠墙围成一个矩形花园ABCD，墙长为6m，设ABm．
（1）若花园的面积为14，求的值；
（2）花园的面积能否为40？为什么？
（3）若要求花园的面积大于24，求的取值范围．
【答案】（1）2；（2）花园的面积不能为40，理由详见解析；（3）4<≤6．
【解析】（1）根据矩形的面积公式列出方程求解即可；
（2）根据矩形的面积计算公式列出连长与面积的二次函数关系式，计算出最大值，与40比较即可；
（3）先确定矩形面积等于24时，x的取值，再确定花园的面积大于24时的取值范围．
【解答】（1）由题意列方程：，
解得14，2，
由于14>6不合题意，所以=2．
（2）设花园的面积为，依题意有：
，即，
的最大值=32，
∴花园的面积不能为40．
（3）由（2）知，
当=24时，有，解得12，4，
∵花园的面积大于24，∴4<<12，
又∵墙长为6m，∴0<≤6，
∴的取值范围是4<≤6．
【点评】本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．
32．(本题12分)如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接、．
（1）与之间的关系式为：
；
（2）判断线段和之间的数量关系，并说明理由；
（3）设点是抛物线上、之间的动点，连接，，当时：
①若，求点的坐标；
②若，且的最大值为，请直接写出的值．
【答案】（1）c﹣b=
1；（2）OB=OC，理由见解析；（3）①点P的坐标为（1，4）或（2，3）；②
或
【解析】（1）将A（-1，0）代入抛物线即可得解；
（2）由抛物线可得点C的坐标，故可得OC=c，代入抛物线得可得B（0，c）,故可得OB=c，故可得结论；
（3）①设点P（x，y），根据可得，求解方程即可得到解答；
②根据二次函数图象的增减性结合的最大值分3种情况求解即可.
【解答】（1）∵抛物线经过
代入得：
故答案为：．
（2）OB=OC．
∵抛物线与轴交于点C，
由（1）知，代入抛物线得，
解得：，，
∵，
（3）①
当m＝3时，得：解得：
∴．
∴OB=OC=3，
∵A（﹣1，0），
∴AB=4．
∴．
连接OP（如图所示），则有：
．
∵点P（x，y）在抛物线L上，
∴．
∴，
∵S△PBC＝S△ABC，
∴，
即，
解得：x1=1，x2=2．
当x=1时，；当x=2时，．
∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．
②∵抛物线
∴对称轴为
∵图象开口向下，
时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，
a.当时，即时，y最大值
或（不符合题意，舍去）
b.当时，y最大值
（不符合题意，舍去）
c.当时，y最大值，
或（不符合题意，舍去）
综上所述：或
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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