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第六讲
二次根式
【提升训练】
一、单选题
1．估计的值应在（
）
A．3和4之间
B．4和5之间
C．5和6之间
D．6和7之间
2．已知，则的值为（
）
A．6
B．
C．4
D．
3．下列计算错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．以下变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列计算错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．下列整数中，与的值最接近的是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．若a2+b2＝4ab，a>b>0，则＝（ ）
A．
B．3
C．﹣
D．﹣3
12．下列计算不正确的是（
）
A．3﹣＝2
B．＋＝3
C．（1﹣）2＝3﹣2
D．×＝
13．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S＝（其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为（
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A．
B．
C．
D．
14．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
15．已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
16．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
17．已知a=，b=，则a2+b2的值为（
）
A．8
B．1
C．6
D．
18．下列整数中，与（3）÷的值最接近的是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
19．若二次根式有意义，且+（a﹣2）x+9是一个完全平方式，则满足条件的a值为（ ）
A．±8
B．±4
C．8
D．﹣4
20．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
21．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（
）．
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A．78
cm2
B．
cm2
C．
cm2
D．
cm2
22．如图是一个按某种规律排列的数阵：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（
）．
A．
B．
C．
D．
23．与最接近的整数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
24．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（
）21教育网
A．
B．
C．
D．
25．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
26．化简x，正确的是（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
27．关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（ ）
A．①
B．①②
C．①③
D．①②③
28．给出下列结论：①在3和4之间；②中的取值范围是；③的平方根是3；④；⑤．其中正确的个数为（
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
29．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）
A．（2，5）
B．（8，20）
C．（2，5），（8，20）
D．以上都不是
30．已知.则xy=（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
31．化简二次根式
的结果是（
）
A．
B．－
C．
D．－
32．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（
）.
A．4
B．5
C．6
D．7
33．已知，是大于1的自然数，那么的值是（
）.
A．
B．
C．
D．
34．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
35．设为正整数，，，，，…，….，已知，则(
).
A．1806
B．2005
C．3612
D．4011
36．当时，多项式的值为(
).
A．1
B．
C．
D．
37．如图直线a，b都与直线m垂直，垂足分别
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为M、N，MN＝1，等腰直角△ABC的斜边，AB在直线m上，AB＝2，且点B位于点M处，将等腰直角△ABC沿直线m向右平移，直到点A与点N重合为止，记点B平移平移的距离为x，等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
38．若ab＜0，则代数式可化简为（ ）
A．a
B．a
C．﹣a
D．﹣a
39．若a＝，b＝2+，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
40．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是( )
A．3
B．
C．2
D．
二、填空题
41．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为_____．
42．计算：﹣（π﹣3）0＝_____．
43．计算的结果等于_________．
44．_______________．
45．计算：________．
三、解答题
46．（1）计算：．
（2）化简：．
47．观察下列各式：
①；②；③；④．
根据上面三个式子所呈现的规律，完成下列各题：
（1）写出第⑤个式子：____________；
（2）写出第个式子（，且为整数），并给出证明．
48．计算：
49．阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有＝a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，21·cn·jy·com
当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x+的最小值为
；当x＜0时，x+的最大值为
．
（2）当x＞0时，求y＝的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，求四边形ABCD面积的最小值．2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
50．计算：
51．计算：．
52．计算：．
53．如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）嘉嘉认为污染的数为，计算“”的结果；
（2）若，淇淇认为存在一个整数，可以使得“”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．
54．计算：
55．（1）计算：
（2）化简：；
56．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，【来源：21·世纪·教育·网】
，，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
57．计算：×(﹣)﹣|2|+()﹣3﹣(π﹣3.14)0．
58．计算：．
59．化简求值：，其中．
60．计算：
（1）
（2）
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精品试卷·第
2
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第六讲
二次根式
【提升训练】
一、单选题
1．估计的值应在（
）
A．3和4之间
B．4和5之间
C．5和6之间
D．6和7之间
【答案】C
【分析】
先对二次根式进行计算，再对进行估值即可.
【详解】
解：
=
∵
∴
故选：C.
【点睛】
本题考查二次根式的计算，无理数的估值，正确的进行计算是关键.
2．已知，则的值为（
）
A．6
B．
C．4
D．
【答案】A
【分析】
根据二次根式的性质求出a=13，得到b=-10，代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴a-13=0，
∴a=13，
∴b=-10，
∴=，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次根式的性质，化简二次根式，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．下列计算错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据二次根式的意义和运算法则解答．
【详解】
解：A、，正确；
B、不是同类二次根式，不能合并，错误；
C、，正确；
D、，正确；
故选B
．
【点睛】
本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义和运算法则是解题关键．
4．以下变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的法则计算即可
【详解】
解：
A、，故错误
B、，故错误
C、，故错误
D、，正确
故选：D
【点睛】
本题考查二次根式的化简，正确使用法则是关键
5．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直接利用积的乘方运算法则以及二次根式的加减运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【详解】
解：A、（?a3）2＝a6，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、（a?b）2＝a2?2ab＋b2，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了积的乘方运算以及二次根式的加减运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．下列计算错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据运算法则逐一计算判断即可
【详解】
∵，
∴A式计算正确，不符合题意；
∵，
∴B式计算正确，不符合题意；
∵，
∴C式计算错误，符合题意；
∵，
∴D式计算正确，不符合题意；
故选C
【点睛】
本题考查了整式的加减，幂的乘方，单项式除以单项式，二次根式的化简，熟练掌握运算的法则和化简的方法是解题的关键．
7．下列整数中，与的值最接近的是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】
根据二次根式的混合运算法则化简原式，再估算出的值即可判断．
【详解】
解：
＝
＝8﹣，
∵2.22＜5＜2.32，
∴，
∴，
∴与的值最接近的是6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：A.
被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意；
B.
是最简二次根式，符合题意；
C.
被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D.
被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式．
9．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据运算法则，逐一化简计算判断即可
【详解】
∵，
∴A选项计算错误；
∵，
∴B选项计算正确；
∵，
∴C选项计算错误；
∵，
∴D选项计算错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，积的乘方，负整数指数幂的运算，完全平方公式，熟练掌握各自运算遵循的基本运算法则是解题的关键．
10．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分别根据同底数幂的除法法则，二次根式的加法法则，积的乘方运算法则以及零指数幂、负整数指数幂的运算法则逐一判断即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
A、原计算错误，不符合题意；
B、
原计算错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)除法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的运算，零指数幂、负整数指数幂的运算，熟记二次根式的运算、幂的运算法则是解答本题的关键．
11．若a2+b2＝4ab，a>b>0，则＝（ ）
A．
B．3
C．﹣
D．﹣3
【答案】C
【分析】
由a2+b2＝4ab可得，，再由a>b>0，可得b
-a<0，a+b>0，根据二次根式的性质可得b
–a=
，a+b=，整体代入后化简即可求解．
【详解】
∵a2+b2＝4ab，
∴，，
∵a＞b＞0，
∴b
-a<0，a+b>0，ab>0，
∴b
–a=
，a+b=，
∴＝．
故选C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形及二次根式的性质，正确求得b
–a=
及a+b=是解决问题的关键．
12．下列计算不正确的是（
）
A．3﹣＝2
B．＋＝3
C．（1﹣）2＝3﹣2
D．×＝
【答案】B
【分析】
利用二次根式的加减运算法则、完全平方公式及二次根式的乘法法则逐项排查即可．
【详解】
解：A．3﹣=2，此该选项正确；
B．＋=3＋=4，此选项错误；
C．（1﹣）2=3-2，此选项正确；
D．×=，此选项正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的加减运算法则、完全平方公式及二次根式的乘法法则等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．21世纪教育网版权所有
13．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S＝（其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据已知条件的公式计算即可；
【详解】
根据题意可知：a＝，b＝，c＝，
∴S＝，
＝，
，
，
，
∴，
∴；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．
14．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
据二次根式的加减法对A、B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断即可求解．
【详解】
解：A、原式＝，所以A选项错误，不符合题意；
B、原式＝2+3＝5，所以B选项错误，不符合题意；
C、原式＝，所以C选项正确，符合题意；
D、原式＝，所以D选项错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，二次根式的加减先把
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)二次根式化为最简二次根式，然后对被开方数相同的二次根式加减即可．熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．【版权所有：21教育】
15．已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴=-或=，
∵，
∴＜0，
∴=
-，=不符合题意，舍去，
故选B．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键．
16．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
对前三个，不是最简二次根式的分别化成最简二次根式，然后再进行运算，即可判断正确与否；对第四个，根据二次根式商的性质判断即可．
【详解】
A：由于两个最简二次根式的被开方数不相同，它们不能相加，故不正确；
B：化成最简二次根式后，其被开方数与的被开方数相同，它们可以合并，且合并结果正确，故正确；
C：由于，故不正确；
D：根据二次根式商的性质，要求被开方数中的被除数非负，除数为正数，故不正确．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简、运算及性质，对于二次根式的性质，一定要注意使用的前提条件．
17．已知a=，b=，则a2+b2的值为（
）
A．8
B．1
C．6
D．
【答案】C
【分析】
根据二次根式的运算法则和完全平方公式计算即可．
【详解】
解：a=，b=，
a2=，
b2=，
a2+b2=；
故选：C．
【点睛】
本题考查了求代数式的值和二次根式运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行计算．
18．下列整数中，与（3）÷的值最接近的是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】
根据二次根式的混合运算法则化简原式，再估算出的值即可判断．
【详解】
解：（3）÷
＝
＝6﹣；
∵2.22＜5＜2.32，
∴
，
∴，
与（3）÷的值最接近的是4，
故选：B．
【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，判断无理数的大小，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
19．若二次根式有意义，且+（a﹣2）x+9是一个完全平方式，则满足条件的a值为（ ）
A．±8
B．±4
C．8
D．﹣4
【答案】D
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出a的范围，根据完全平方式求出a，根据题意判断，得到答案．21·世纪
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【详解】
解：∵二次根式有意义，
∴6﹣2a≥0，
解得，a≤3，
∵+（a﹣2）x+9是一个完全平方式，
∴a﹣2＝±6，
解得，a＝8，或a＝﹣4，
∵a≤3，
∴a＝﹣4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，熟练掌握有意义的条件，准确理解完全平方式的意义是解题的关键．21
cnjy
com
20．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据完全平方公式，合并同类项法则，二次根式的减法法则，积的乘方计算法则依次计算并判断．
【详解】
解：A、，故该项不符合题意；
B、，故该项不符合题意；
C、不能计算，故该项不符合题意；
D、，故该项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查整式及二次根式的计算，正确掌握完全平方公式，合并同类项法则，二次根式的减法法则，积的乘方计算法则是解题的关键．21cnjy.com
21．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．78
cm2
B．
cm2
C．
cm2
D．
cm2
【答案】D
【分析】
结合题意，根据二次根式的性质计算，即可求出阴影部分的面积，进而得出答案．
【详解】
从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，
∴两个小正方形的边长分别为：cm、cm
∴大正方形的边长是：cm
∴大正方形的面积是：cm2
∴留下部分（即阴影部分）的面积是-30-48＝cm2．
故选：D．
【点评】
此题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式的性质，从而完成求解．
22．如图是一个按某种规律排列的数阵：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【详解】
由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：
故选：C．
【点睛】
本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．
23．与最接近的整数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】
把原式去括号后根据算术平方根的性质求解
．
【详解】
解：原式=，
∵49<54<64，
∴，
∵，
∴，
∴最接近7，
∴最接近7-3即4，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．
24．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据公式解答即可．
【详解】
根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则
其面积为
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．
25．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
【点睛】
该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
26．化简x，正确的是（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【答案】C
【解析】
根据二次根式有意义的条件可知﹣＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x
=﹣?=﹣.www-2-1-cnjy-com
故选C．
27．关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（ ）
A．①
B．①②
C．①③
D．①②③
【答案】C
【分析】
①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．
【详解】
解：①当时，
．
故①正确；
②若值为2，
则，
∴a2+2a+1=2a+4，
∴a2=3，
∴．
故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，
∴=
=
=≥0．
∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．
28．给出下列结论：①在3和4之间；②中的取值范围是；③的平方根是3；④；⑤．其中正确的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】
根据估算出的大小、二次根式的意义、算术平方根、无理数比较大小方法，即可解答．
【详解】
解：①，
，
故①错误；
②因为二次根式中的取值范围是，故②正确；
③，9的平方根是，故③错误；
④，故④错误；
⑤∵，，
∴，即，故⑤错误；
综上所述：正确的有②，共1个，
故选：．
【点睛】
本题考查了故算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算平方法比较无理数大小．
29．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）
A．（2，5）
B．（8，20）
C．（2，5），（8，20）
D．以上都不是
【答案】C
【分析】
根据二次根式的性质分析即可得出答案．
【详解】
解：∵+是整数，m、n是正整数，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．
30．已知.则xy=（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】D
【分析】
利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.
【详解】
配方得
将代入得：
计算得：
故选：D.
【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握.
31．化简二次根式
的结果是（
）
A．
B．－
C．
D．－
【答案】B
【分析】
首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【详解】
故选B
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
32．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（
）.
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分母有理化进行计算即可.
【详解】
由原式得：
所以，因为，,
所以.
故选：C
【点睛】
此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.
33．已知，是大于1的自然数，那么的值是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，得到，，，进而得到的值，代入即可得到结论．
【详解】
令，从而，，，∴=，∴原式=．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式混合运算法则是解答本题的关键．
34．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【详解】
设，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴原式，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.21教育名师原创作品
35．设为正整数，，，，，…，….，已知，则(
).
A．1806
B．2005
C．3612
D．4011
【答案】A
【解析】
【分析】
利用多项式的乘法把各数开方进行计算，然后求出A1，A2，A3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k=100代入进行计算即可求解.
【详解】
∵(n+3)(n-1)+4=n2+2n-3+4=n2+2n+1=(n+1)2，
∴A1=
∵(n+5)A1+4=(n+5)(n+1)+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=(n+3)2，
∴A2=
∵(n+7)A2+4=(n+7)(n+3)+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25=(n+5)2，
∴A3=
??
依此类推，Ak=n+(2k-1)
∴A100=n+(2×100-1)=2005
解得，n=1806.
故选A.
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1，A2，A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键.
36．当时，多项式的值为(
).
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由原式得，得，原式变形后再将代和可得出答案.
【详解】
∵，
，即，
．
原式．
【点睛】
本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.
37．如图直线a，b都与直线m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)垂直，垂足分别为M、N，MN＝1，等腰直角△ABC的斜边，AB在直线m上，AB＝2，且点B位于点M处，将等腰直角△ABC沿直线m向右平移，直到点A与点N重合为止，记点B平移平移的距离为x，等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等腰直角△ABC被直线a和b所截的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图形分为三种情况讨论：①当0≤x≤1时，y是BM+BD；②当1＜x≤2时，y是CP+CQ+MN；当2＜x≤3时，y＝AN+AF，分别用x表示出这三种情况下y的函数式，然后对照选项进行选择．
【详解】
①当0≤x≤1时，如图1所示．
此时BM＝x，则DM＝x，在Rt△BMD中，利用勾股定理得BD＝
x，
所以等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y＝BM+BD＝（+1）x，是一次函数，当x＝1时，B点到达N点，y＝+1；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
②当1＜x≤2时，如图2所示，
△CPQ是直角三角形，
此时y＝CP+CQ+MN＝+1．
即当1＜x≤2时，y的值不变是+1．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
③当2＜x≤3时，如图3所示，
此时△AFN是等腰直角三角形，AN＝3﹣x，则AF＝（3﹣x），y＝AN+AF＝（﹣1﹣）x+3+3，是一次函数，当x＝3时，y＝0．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
综上所述只有D答案符合要求．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的方法是动中找静，在不同的情况下找到y与x的函数式．
38．若ab＜0，则代数式可化简为（ ）
A．a
B．a
C．﹣a
D．﹣a
【答案】C
【解析】
【分析】
二次根式有意义，就隐含条件b＜0，由ab＜0，先判断出a、b的符号，再进行化简即可．
【详解】
解：若ab＜0，且代数式有意义；
故由b＞0，a＜0；
则代数式
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当a＞0时，，当a＜0时，，当a=0时，.
39．若a＝，b＝2+，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将a乘以可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出的值．
【详解】
a＝?＝．
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．
40．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是( )
A．3
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】
根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．21教育网
【详解】
由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．
二、填空题
41．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为_____．
【答案】2
【分析】
根据二次根式的非负性求出，代入计算得到，再根据算术平方根的定义解答．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴2x＋3y的算术平方根为2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查二次根式的非负性，算术平方根的定义，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
42．计算：﹣（π﹣3）0＝_____．
【答案】5
【分析】
首先计算二次根式的乘法、零指数幂，再计算减法即可解答．
【详解】
解：×﹣（π﹣3）0
＝6﹣1
＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法及零指数幂的性质，解题的关键是熟练运用所学知识．
43．计算的结果等于_________．
【答案】
【分析】
直接利用完全平方公式展开计算即可
【详解】
解：=
故答案为：
【点睛】
本题考查完全平方公式、二次根式的化简，正确应用公式是关键
44．_______________．
【答案】
【分析】
根据负整数指数幂和二次根式的乘法进行计算即可求解．
【详解】
解：．
故答案为：
【点睛】
本题考查了负整数指数幂和二次根式的乘法等知识，熟知相关知识是解题关键．
45．计算：________．
【答案】-2
【分析】
根据负整数指数幂和绝对值定义得到原式=-
-2+，然后合并即可．
【详解】
解：原式=-
-2+
=-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的加减运算，然后合并同类二次根式，也考查了负整数指数幂和绝对值．21·cn·jy·com
三、解答题
46．（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先计算负整指数幂，二次根式化简，零指数幂，再合并即可；
（2）利用平分差公式展开，用单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可．
【详解】
解：（1），
，
．
（2），
，
．
【点睛】
本题考查负整指数幂，二次根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)式化简，零指数幂，乘法公式混合运算，掌握负整指数幂，二次根式化简，零指数幂，乘法公式，单项式乘以多项式法则是解题关键．2·1·c·n·j·y
47．观察下列各式：
①；②；③；④．
根据上面三个式子所呈现的规律，完成下列各题：
（1）写出第⑤个式子：____________；
（2）写出第个式子（，且为整数），并给出证明．
【答案】（1）；（2），见解析
【分析】
（1）从两个角度去思考：一是序号与右边根式前面的整数的关系，二是这个整数与分数的分母之间的关系，确定好规律好，问题自然得解；【出处：21教育名师】
（2）利用特殊与一般的关系推广即可
【详解】
（1）∵右边根式前面的整数等于序号+1，分数的分母等于这个整数的平方减去1，
∴第⑤个式子：，
故答案为：；
（2）第个式子：.
证明如下：
=
=
=.
【点睛】
本题考查了二次根式背景下的规律探索问题，准确找出序号与右边根式前面的整数的关系，这个整数与分数的分母之间的关系是解题的关键．【来源：21cnj
y.co
m】
48．计算：
【答案】
【分析】
根据二次根式的乘法、负整数指数幂、立方根的运算法则进行计算即可；
【详解】
．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法、负整数指数幂、立方根的运算法则，正确掌握运算方法是解题的关键；
49．阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有＝a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，
当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x+的最小值为
；当x＜0时，x+的最大值为
．
（2）当x＞0时，求y＝的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，求四边形ABCD面积的最小值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）2；-2；（2）13；（3）75
【分析】
（1）当x＞0时，直接根据公式a+b≥2计算即可；当x＜0时，先将x+变形为-（-x-），再根据公式a+b≥2计算即可；
（2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式a+b≥2计算的形式，计算即可；
（3）根据等高三角形的性质计算即可．
【详解】
解：（1）当x＞0时，=2，
当x＜0时，，
∵，
∴，即，
故答案为：2；-2；
（2）当x＞0时，
，
∴当x＞0时，y的最小值13；
（3）设S△BOC=x，
∵S△AOB=12，S△COD=27，
∴由等高三角形可得：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，
∴x：27=12：S△AOD，
∴S△AOD=，
∴四边形ABCD的面积为：12+27+x+≥39+2=75，当且仅当x=18时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为75．
【点睛】
本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．
50．计算：
【答案】
【分析】
利用二次根式的乘法、绝对值、零指数幂的意义分别计算，然后合并同类二次根式即可；
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)绝对值、零指数幂的意义，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
51．计算：．
【答案】﹣-
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质以及分数指数幂的性质和绝对值的性质、二次根式的性质化简得出答案．
【详解】
解：原式＝＋2﹣-2-﹣9
＝9＋2﹣-2-﹣9
＝﹣-．
【点睛】
本题考查了绝对值，二次根式的分母有理化，负整数指数幂，分数指数幂，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键．
52．计算：．
【答案】
【分析】
直接利用二次根式及零次幂的性质分别化简，合并后即可得出结果．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握二次根式及零次幂的性质是解答此题的关键．
53．如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）嘉嘉认为污染的数为，计算“”的结果；
（2）若，淇淇认为存在一个整数，可以使得“”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据整式的加法法则解题；
（2）设污染的数字为，利用整式的减法法则解得，再利用配方法化为，由的结果是整数得到是整数，据此解题．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：（1）
；
（2）设污染的数字为，
∴
∵
∴是整数
∵的结果是整数
∴是整数
∵是无理数，是整数
∴
即存在整数满足题意．
【点睛】
本题考查整式的加减混合运算、涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
54．计算：
【答案】
【分析】
先算负整数指数幂，即底数的倒数，再化简二次根式，再去绝对值，零次幂，合并同类二次根式即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查实数范围内的计算题，包括最简二次根式的化简、去绝对值、零次幂、负整数指数幂的运算．正确进行化简计算是关键，去绝对值是难点．
55．（1）计算：
（2）化简：；
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再去括号合并同类项即可
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
56．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，
，，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）分母有理化的两种方法：①分子因式分解达到约分的目的；②同乘分母的有理化因式达到约分的目的；
（2）先分母有理化，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．
【详解】
（1）①；
②；
（2）原式
．
【点睛】
本题考查了二次根式的有理化
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
57．计算：×(﹣)﹣|2|+()﹣3﹣(π﹣3.14)0．
【答案】7﹣5
【分析】
首先计算二次根式的乘法、零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
58．计算：．
【答案】
【分析】
先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，然后合并即可.
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
59．化简求值：，其中．
【答案】；
．
【分析】
根据分式的混合运算法则，先化简，再代入求值，二次根式化简计算即可求解．
【详解】
解：，
=+，
=+，
=，
当a＝时，原式=．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，二次根式化简计算，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式化简计算是解题的关键．
60．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先去括号，再进行实数的加减即可求解；
（2）先根据乘方的意义、绝对值的意义、开立方等知识进行化简，再进行实数运算即可求解．
【详解】
（1）
；
（2）
．
【点睛】
本题考查了实数的运算、乘方、绝对值的化简、开立方，二次根式的加减运算等知识，熟知相关知识点，并熟练掌握运算法则是解题关键．
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精品试卷·第
2
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（共
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页）
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