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第六讲
实数
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在数轴上作以边长为1的正方形，点在原点上，若，数轴上点对应的数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．1.4
【答案】B
【分析】
根据正方形，利用勾股定理求出OB的长，可得到
，即可求解．
【详解】
解：∵在数轴上作以边长为1的正方形，
∴
，
∵，
∴
，
∴点对应的数是．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理进行计算是解题的关键．
2．下列各数1.414，，20π，，，8.181181118…按规律排列），3.1415926中是无理数的有（ ）个．2·1·c·n·j·y
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义逐个判定即可．
【详解】
解：1.414，3.1415926，是有限小数，属于有理数；＝6，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；无理数有20π，，8.181181118…按规律排列）共3个．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
3．若a的相反数是2，则a等于（ ）
A．2
B．﹣2
C．3
D．
【答案】B
【分析】
由相反数的定义可得：，则的值即可求得．
【详解】
解：由题意得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相反数的概念，解题的关键是掌握相反数的概念．
4．如图，已知数轴上的点A，B，C，D分别表示数﹣2，1，2，3，则表示3﹣的点P应落在线段（
）
A．AO上
B．OB上
C．BC上
D．CD上
【答案】C
【分析】
估算出3?的取值范围，即可确定点P在数轴上应落在的线段．
【详解】
∵1<2<4
∴
∴
即表示3?的点P落在线段BC上
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了实数与数轴上点的关系．关键是根据的取值范围来确定3?的取值范围．
5．定义运算：，例如：，，则等于（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】
理解新定义的运算规则，对求解计算即可．
【详解】
解：∵，根据定义
∴
故选A．
【点睛】
此题考查了基础知识的迁移能力，涉及到定义新运算规则、二次根式等内容，理解新运算规则是解题的关键．
6．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（
）
A．
B．
C．－2
D．
【答案】A
【分析】
根据数轴上点的位置判断出b-1，a+1，a-b的正负，原式利用绝对值、算术平方根的性质等进行化简，即可得到结果．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵-2
∴b-1>0，a+1<0，a-b<0，
∴
=
=
故选：A．
【点睛】
此题考查了实数与数轴，判断出各式的正负是解本题的关键．
7．下列无理数中，在与之间的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义进行估算解答即可．
【详解】
解：A、<=-2，不合题意；
B、-2<<-1，符合题意；
C、>1，不合题意；
D、>2，不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．【版权所有：21教育】
8．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．﹣1﹣
B．1﹣
C．﹣
D．﹣1+
【答案】A
【分析】
根据图示，可得：点A是以（-1，0）为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵=，
∴点A是以（-1，0）为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，且在-1左侧，
∴a=-1-，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：点A是以（-1，0）为圆心，以为半径的圆与x轴的交点．21
cnjy
com
9．在﹣，0，﹣1，1这些数中最小的数是（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．﹣
【答案】D
【分析】
先根据实数的大小比较法则比较大小，再求出答案即可．
【详解】
解：∵﹣﹣1＜0＜1，
∴最小的数是﹣，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
10．在下列实数中，是无理数的为（ ）
A．
B．
C．1.01001
D．
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
解：A．是分数，属于有理数；
B．是无理数；
C．1.01001是有限小数，属于有理数；
D．＝3，是整数，属于有理数；
故选：B．
【点睛】
本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数和有理数的意义是解题关键．
11．下列各数中无理数有（
）
－1.732，，π，，3.212212221……（每两个1之间2的个数一次加1），3.14，，．
A．4个
B．3个
C．2个
D．5个
【答案】A
【分析】
根据无理数的概念判断，一定要同时理解有理数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【出处：21教育名师】
【详解】
解：，
无理数有：，，，3.212212221……，共有4个．
故答案为：A．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数，无理数就是无限不循环小数．
12．下列各数中最大的数是（
）
A．5
B．
C．π
D．－8
【答案】A
【分析】
根据实数的大小比较即得结论．
【详解】
解：因为－8＜＜＜5，所以最大的数是5，
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了实数大小的比较，可以利用正数大于0，0大于负数，正数大于负数等比较方法．
13．在四个实数中，最小数的是（
）
A．1
B．
C．0
D．﹣
【答案】D
【分析】
根据实数大小的比较方法判断即可．
【详解】
解：∵-＜0＜1＜，
∴最小的数是-，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数大小的比较．解题的关键是掌握实数大小的比较方法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
14．以下列长度的三条线段能组成三角形的是（
）
A．1，2，3
B．2，，4
C．3，5，8
D．2，3，4
【答案】D
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A、1+2=3，不能够组成三角形；
B、2+<4，不能够组成三角形；
C、3+5=8，不能构成三角形；
D、2+3＞4，能构成三角形．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
15．下列各数中，不是无理数的是（ ）
A．
B．
C．2π
D．1.343343334……
【答案】B
【分析】
无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断.
【详解】
解：A、是无理数，故此选项不符合题意；
B、＝﹣3，﹣3是整数，是有理数，故此选项符合题意；
C、2π是无理数，故此选项不符合题意；
D、1.343343334……是无理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.如π，，
0.8080080008...
(每两个8
之间依次多1个0)等形式.
16．下列实数中，最小的数是（
）
A．
B．
C．﹣1
D．
【答案】D
【分析】
根据负数大小比较法则进行解答便可．
【详解】
解：∵
，
，|﹣1|＝1，，
又∵，
∴，
∴最小的数是．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则，是解题的关键．
17．下列实数中是无理数的是（ ）
A．0.385
B．
C．
D．π
【答案】D
【分析】
无限不循环的小数是无理数，根据无理数的概念逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】
解：，
都是有理数，是无理数，
故不符合题意，符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是无理数的识别，掌握无理数的概念是解题的关键．
18．在实数，0，－2，1中，最小的数是(
)
A．
B．0
C．－2
D．1
【答案】A
【分析】
根据实数大小比较的法则比较即可
【详解】
解：∵＜﹣2＜0＜1，
∴在实数，0，－2，1中，最小的实数是
故选：A
【点睛】
本题考查实数的大小比较，解题的关键是能够比较有理数与根号形式的无理数的大小
19．如图，数轴上点表示的数可能是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据数轴上的点处于3和4之间，即和之间，再根据选项逐一判断即可．
【详解】
A．，所以该选项不符合题意．
B．，所以该选项不符合题意．
C．，所以该选项符合题意．
D．，所以该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查数轴上点的判定，关键是转化为二次根式的形式，即可解题.
20．下列实数：﹣，﹣，3.14，，，0，其中无理数的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断.
【详解】
解：﹣＝﹣4，3.14，
，0是有理数
无理数有﹣，共有2个．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.如π，等形式.21cnjy.com
21．如图，表示实数的点是数轴上的（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【答案】A
【分析】
估算近似值，进而得出的近似值得出答案．
【详解】
解：∵，
∴3＜＜4，
∴3﹣6＜＜4﹣6，
∴﹣3＜＜﹣2，
故选：A．
【点睛】
本题考查无理数的估算，数轴表示数，正确地估算无理数的大小是解答的前提．
22．如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
此题利用数轴表示实数的方法和勾股定理解题即可．
【详解】
解：∵OA=3，AB=2，AB⊥OA
，
∴，
∵OC=OB，
∴点C为，
故答案选：B．
【点睛】
此题考查实数在数轴上的表示方法，涉及勾股定理，难度一般．
23．如图，分别以数轴的单位长度1和3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点O为圆心，这个直角三角形的斜边为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．10
B．3.5
C．2
D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理可得直角三角形的斜边，由作法即可知点A表示的数．
【详解】
由勾股定理得直角三角形的斜边长为
，则OA=
所以点A表示的数为
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理、实数在数轴上的表示，关键用勾股定理计算出直角三角形斜边的长．
24．如图，在数轴上，O点为原点，点A在数轴
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)上表示的数是2，AB＝1，AB⊥OA于点A，OB为半径画弧交数轴于点C，C点在O点左侧，则点C表示的数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．2
C．
D．﹣2
【答案】C
【分析】
根据勾股定理求出OB，结合数轴即可得出结论．
【详解】
解：∵在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝1，
∴OB＝＝．
∵以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，
∴OC＝OB＝，C点在O点左侧，
∴点C表示的实数是．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系,
求出OB是解答此题的关键．
25．下列叙述正确的是（ ）
A．0.4
的平方根是+0.2
B．﹣23的立方根是﹣2
C．有理数和数轴上的点一一对应
D．无理数就是开方开不尽的数
【答案】B
【分析】
根据平方根、立方根、有理数与数轴的对应关系，无理数的定义判定即可得到答案.
【详解】
解：A、0.4
的平方根是，故原说法不正确；
B、﹣23=-8的立方根是﹣2，故原说法正确；
C、有理数和无理数与数轴上的点一一对应，故原说法不正确；
D、无理数就是无限不循环小数，故原说法不正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平方根、立方根、有理数与数轴的对应关系，无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
26．如图，数轴上点A表示的数为a，则a的值是（ ）
A．+1
B．﹣
C．﹣1
D．
【答案】C
【分析】
先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．
【详解】
解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为：，
∴?1到A的距离是，那么点A所表示的数为：?1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
27．如图，在数轴上点表示，过点作数轴的垂线截取，以原点为圆心，以长为半径画弧，交负半轴于点，那么点所表示的数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先利用勾股定理求出OB的长，然后得到OC的长，即可得到C表示的数.
【详解】
解：由题意得：∠BAO=90°
∵在数轴上点A表示?3
∴OA=3
∵AB=2
∴由勾股定理得：
又∵以原点O为圆心，以OB长为半径画弧，交负半轴于点C
∴
∴点C所表示的数是
故选D.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，用数轴表示数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
28．如图，若是实数在数轴上对应的点，则关于，，1的大小关系表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据数轴可以得到a＜1＜-a，据此即可确定哪个选项正确．
【详解】
解：∵实数a在数轴上原点的左边，
∴a＜0，但|a|＞1，-a＞1，
则有a＜1＜-a．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上的数右边的数总是大于左边的数．
29．如图，在中，，，点，在数轴上对应的数分别为1，2，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则与点对应的数是（
）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由勾股定理可得AC的长，从而得AD=AC，则由点A表示的数示得点D表示的数．
【详解】
在Rt△ABC中，AB=BC=1，则由勾股定理得：
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点
∴AD=AC=
∴D点表示的实数为：
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴、勾股定理等知识，熟知实数与数轴上的点一一对应关系是解答此题的关键．
30．下列实数中，比大的数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据算术平方根的性质（被开方数越大，被开方数的算术平方根越大）解决此题．
【详解】
解：∵0＜1＜2＜3＜4，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查算术平方根的性质以及实数大小的比较，熟练掌握算术平方根的性质是解决本题的关键．
二、填空题
31．＝______．
【答案】3﹣
【分析】
本题需先判断出﹣3的符号，再求出||的结果即可．
【详解】
解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴﹣3＜0，
∴|﹣3|＝3﹣
故答案为：3﹣.
【点睛】
本题主要考查了实数比较大小，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
32．观察下列等式：回答问题：
①
②
③，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想________；
（2）请你找出其中规律，并将第个等式写出来_______．
【答案】
=
【分析】
（1）由前面的三个等式猜想结果；
（2）根据观察，可得规律．
【详解】
解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想：
==；
（2）观察可知：=．
【点睛】
本题考查了算术平方根，观察等式发现规律是解题关键．
33．比较大小：________5．
【答案】
【分析】
将转换为，转换为，比较大小即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查实数的大小比较，将所给实数进行适当变形是解题的关键．
34．如图，在数轴上，点，表示的数分别为，，于点，且．连接，在上截取，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点表示的实数是________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长.
【详解】
解：由题意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴E表示的数为：，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
35．如图，在边长为的正方形网格中，两格点，之间的距离为________．（填“＞”，“＝”或“＜”）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】＜
【分析】
根据勾股定理求出AB的长度，然后比较即可得到结论．
【详解】
解：点A，B之间的距离d=，
∵，
∴，
∴
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了勾股定理和实数比较大小，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三、解答题
36．计算：（﹣1）2021+（）﹣1+|﹣1|﹣（﹣1）0．
【答案】
【分析】
首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】
解：
.
【点睛】
本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，绝对值和零指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21世纪教育网版权所有
37．计算：
【答案】
【分析】
分别计算、|2?π|、的值，再计算代数式的结果．
【详解】
原式．
【点睛】
本题考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂的意义计算及实数的运算．熟练掌握是解决问题的关键．
38．阅读下面求近似值的方法，回答问题：
①任取正数；
②令，则；
③令，则；
…以此类推次，得到．
其中称为的阶过剩近似值，称为的阶不足近似值．按照这个方法，求的近似值．
①我们取为小于的最大正整数，则_____________．
②在①的基础上，算出的3阶过剩近似值和3阶不足近似值．
【答案】①2；②，
【分析】
①根据，故可求出的值；
②由材料中的求值的方法，先计算的最大正整数a1，再将a1代入即可求出a2，
a3的值即可．
【详解】
解：①因为，所以，即，
②由题意可知，，，
，
，
，
所以的3阶过剩近似值为，的3阶不足近似值．
【点睛】
本题主要考查估算的应用与调整，理解阅读中给出的求解过程是解决本题的关键．
39．计算：．
【答案】
【分析】
根据实数的性质进行化简，故可求解．
【详解】
解：原式＝
＝．
【点睛】
此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则．
40．计算：．
【答案】-5
【分析】
先计算算术平方根和立方根，再加减即可．
【详解】
解：．
．
．
【点睛】
本题考查了求算术平方根和立方根，有理数的加减，解题关键是正确计算算术平方根和立方根．
41．计算：．
【答案】2﹣．
【分析】
先运用有理数的平方、算术平方根、零次幂以及绝对值的知识化简，然后再计算即可．
【详解】
解：
＝﹣1+2﹣1+（2﹣）
＝0+2﹣
＝2﹣．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算、有理数的平方、算术平方根、零次幂以及绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．www.21-cn-jy.com
42．计算：﹣（﹣2）+|﹣1|+（）0﹣（﹣）﹣2．
【答案】0
【分析】
先把式子进行化简，然后再进行运算即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题主要考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是熟记非0实数的0次幂的值为1．
43．计算（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）有根号先算根号内的，再利用立方根定义分别进行开立方运算再加减运算即可；
（2）原式先利用算术平方根及立方根定义、乘方定义计算后再进行乘除、最后进行加减运算即可得到结果．
【详解】
解：（1）
（2）
．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，熟练运用实数的运算法则是解题的关键．
44．已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值．
【答案】
【分析】
一个数是由整数部分＋小数部分构成的．通过估算的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值．21·世纪
教育网
【详解】
解：∵是的整数部分，是它的小数部分，
∴
∴．
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小方法是解本题的关键．
45．计算：．
【答案】-1
【分析】
分别计算乘方和开方，再算加减法．
【详解】
解：
=
=-1
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
46．比较和1的大小．
【答案】＜1
【分析】
先找出的取值范围进而得到的取值范围即可比较出大小．
【详解】
解：∵＜＜，
即2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴＜1．
【点睛】
本题考查实数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力，得出
的取值范围是解题关键．
47．在如图的数轴上作出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】
根据勾股定理，作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：如图：点A表示的数；
过4对应的点B作数轴的垂线l，在l上截取BC＝1，则以原点为圆心，OC为半径画弧交数轴的正半轴于点A，则点A为所作．21
cnjy
com
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【点睛】
本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理．
48．计算：15×3﹣1（﹣1）2021．
【答案】3
【分析】
首先计算零指数幂、负整数指数幂和乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】
解：15×3-1（﹣1）2021
=15×-1+（-1）
=5-1-1
=3．
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
49．计算：
【答案】0
【分析】
根据零指数次幂，负整数指数幂，算术平方根的的意义及性质求解各项的值，再相加减即可求解．
【详解】
解：原式=1-4+3
=0．
【点睛】
本题主要考查实数的运算，零指数次幂，负整数指数幂，算术平方根，掌握零指数次幂，负整数指数幂，算术平方根的的意义及性质是解题的关键．
50．求下列各式的值．
（1）；（2）．
【答案】（1）35；（2）-1.7
【分析】
（1）根据实数的性质化简即可求解；
（2）根据实数的性质化简即可求解．
【详解】
解：(1)
；
(2)．
【点睛】
(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．
51．计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）1
【分析】
（1）利用乘法分配律合并计算；
（2）先算零指数幂，立方根和绝对值，再算加减法．
【详解】
解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=1
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律，乘方与开方的法则．
52．计算：．
【答案】
【分析】
根据绝对值的性质及平方根、立方根的性质化简，再计算结果．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查算术平方根、立方根、绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
53．计算：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据乘方的意义，即可求解；
（2）根据多项式除以单项式的法则，即可求解．
【详解】
解：（1）原式=；
（2）原式=
=．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算以及整式的除法运算，掌握实数和整式的运算法则，是解题的关键．
54．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1；（2）．
【分析】
（1）根据负整指数幂、零指数幂以及有理数的乘方的法则进行计算即可；
（2）先根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式展开，再合并同类项即可
【详解】
解：（1）原式．
（2）原式．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
55．计算：．
【答案】3.
【分析】
直接利用乘方，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质二和次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：
【点睛】
本题主要考查了实数运算，熟悉相关性质，能正确化简各数是解题关键．
56．计算：．
【答案】-2
【分析】
根据零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂和算术平方根的定义计算即可．
【详解】
原式=．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂和算术平方根等运算法则是关键．
57．计算
（1）
（2）(a2)3·(a2)4÷(a2)5；
（3）[（6x3y2）2+3（4x2y3-x2）]÷（﹣3x2）；
（4）598×602（用简便方法计算）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）先分别化简各项，再作加减法；
（2）先计算幂的乘方，再根据同底数幂的乘除法则计算；
（3）先去小括号，再利用多项式除以单项式法则计算；
（4）原式变形为，再利用平方差公式计算．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=；
（4）
=
=
=
=
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
58．计算：．
【答案】10
【分析】
先利用绝对值的性质去绝对值，要注意＜2，再合并同类项即可解答．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查了求一个数的绝对值、二次根式的加减运算，会利用绝对值的性质去绝对值是解答的关键，注意符号是易错点．21教育网
59．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）先将括号展开，再合并同类项；
（2）先利用同底数幂的除法法则分别计算，再合并；
（3）先去小括号，再合并，最后计算除法；
（4）先算零指数幂，再算除法．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=；
（4）
=
=
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
60．计算：
（1）
（2）先化简再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）先化简根号，再计算乘法，最后相加减；
（2）先将括号展开，再合并同类项，最后将x和y值代入计算．
【详解】
解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
将代入，
原式==．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
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精品试卷·第
2
页
（共
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第六讲
实数
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在数轴上作以边长为1的正方形，点在原点上，若，数轴上点对应的数是（
）
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A．
B．
C．
D．1.4
2．下列各数1.414，，20π，，，8.181181118…按规律排列），3.1415926中是无理数的有（ ）个．21教育网
A．3
B．4
C．5
D．6
3．若a的相反数是2，则a等于（ ）
A．2
B．﹣2
C．3
D．
4．如图，已知数轴上的点A，B，C，D分别表示数﹣2，1，2，3，则表示3﹣的点P应落在线段（
）
A．AO上
B．OB上
C．BC上
D．CD上
5．定义运算：，例如：，，则等于（
）
A．
B．
C．2
D．
6．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（
）
A．
B．
C．－2
D．
7．下列无理数中，在与之间的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（
）
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A．﹣1﹣
B．1﹣
C．﹣
D．﹣1+
9．在﹣，0，﹣1，1这些数中最小的数是（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．﹣
10．在下列实数中，是无理数的为（ ）
A．
B．
C．1.01001
D．
11．下列各数中无理数有（
）
－1.732，，π，，3.212212221……（每两个1之间2的个数一次加1），3.14，，．
A．4个
B．3个
C．2个
D．5个
12．下列各数中最大的数是（
）
A．5
B．
C．π
D．－8
13．在四个实数中，最小数的是（
）
A．1
B．
C．0
D．﹣
14．以下列长度的三条线段能组成三角形的是（
）
A．1，2，3
B．2，，4
C．3，5，8
D．2，3，4
15．下列各数中，不是无理数的是（ ）
A．
B．
C．2π
D．1.343343334……
16．下列实数中，最小的数是（
）
A．
B．
C．﹣1
D．
17．下列实数中是无理数的是（ ）
A．0.385
B．
C．
D．π
18．在实数，0，－2，1中，最小的数是(
)
A．
B．0
C．－2
D．1
19．如图，数轴上点表示的数可能是（
）
A．
B．
C．
D．
20．下列实数：﹣，﹣，3.14，，，0，其中无理数的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
21．如图，表示实数的点是数轴上的（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
22．如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（
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A．
B．
C．
D．
23．如图，分别以数轴的单位长度1和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点O为圆心，这个直角三角形的斜边为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为（ ）21cnjy.com
A．10
B．3.5
C．2
D．
24．如图，在数轴上，O点为原点，点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A在数轴上表示的数是2，AB＝1，AB⊥OA于点A，OB为半径画弧交数轴于点C，C点在O点左侧，则点C表示的数是（ ）21·cn·jy·com
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A．
B．2
C．
D．﹣2
25．下列叙述正确的是（ ）
A．0.4
的平方根是+0.2
B．﹣23的立方根是﹣2
C．有理数和数轴上的点一一对应
D．无理数就是开方开不尽的数
26．如图，数轴上点A表示的数为a，则a的值是（ ）
A．+1
B．﹣
C．﹣1
D．
27．如图，在数轴上点表示，过点作数轴的垂线截取，以原点为圆心，以长为半径画弧，交负半轴于点，那么点所表示的数是（
）www.21-cn-jy.com
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A．
B．
C．
D．
28．如图，若是实数在数轴上对应的点，则关于，，1的大小关系表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
29．如图，在中，，，点，在数轴上对应的数分别为1，2，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则与点对应的数是（
）2·1·c·n·j·y
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A．
B．
C．
D．
30．下列实数中，比大的数是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．＝______．
32．观察下列等式：回答问题：
①
②
③，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想________；
（2）请你找出其中规律，并将第个等式写出来_______．
33．比较大小：________5．
34．如图，在数轴上，点，表示的数分别为，，于点，且．连接，在上截取，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点表示的实数是________．
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35．如图，在边长为的正方形网格中，两格点，之间的距离为________．（填“＞”，“＝”或“＜”）．
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三、解答题
36．计算：（﹣1）2021+（）﹣1+|﹣1|﹣（﹣1）0．
37．计算：
38．阅读下面求近似值的方法，回答问题：
①任取正数；
②令，则；
③令，则；
…以此类推次，得到．
其中称为的阶过剩近似值，称为的阶不足近似值．按照这个方法，求的近似值．
①我们取为小于的最大正整数，则_____________．
②在①的基础上，算出的3阶过剩近似值和3阶不足近似值．
39．计算：．
40．计算：．
41．计算：．
42．计算：﹣（﹣2）+|﹣1|+（）0﹣（﹣）﹣2．
43．计算（1）
（2）
44．已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值．
45．计算：．
46．比较和1的大小．
47．在如图的数轴上作出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹）
48．计算：15×3﹣1（﹣1）2021．
49．计算：
50．求下列各式的值．
（1）；（2）．
51．计算：
（1）．
（2）．
52．计算：．
53．计算：（1）
（2）
54．计算：
（1）；
（2）．
55．计算：．
56．计算：．
57．计算
（1）
（2）(a2)3·(a2)4÷(a2)5；
（3）[（6x3y2）2+3（4x2y3-x2）]÷（﹣3x2）；
（4）598×602（用简便方法计算）．
58．计算：．
59．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
60．计算：
（1）
（2）先化简再求值：，其中．
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