第六讲 实数(提升训练)(原卷版+解析版)

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第六讲
实数
【提升训练】
一、单选题
1．下列说法：（1）无限小数都是无理数；（2）有限小数都是有理数；（3）﹣＝﹣0.6；（4）的算术平方根是2；（5）＝±6；（6）实数与数轴上的点一一对应．其中正确的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】A
【分析】
根据无理数、有理数、算术平方根、数轴的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
（1）无限小数不一定是无理数，故说法错误；
（2）有限小数都是有理数是正确的；
（3），且，
∴
∴﹣
故说法错误；
（4）＝2
∴的算术平方根是，故说法错误；
（5）＝6，故说法错误；
（6）实数与数轴上的点一一对应是正确的．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数、算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握无理数、有理数、算术平方根、数轴的性质，从而完成求解．21世纪教育网版权所有
2．已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）2·1·c·n·j·y
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A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
【答案】D
【分析】
由题意根据勾股定理可得OB，然后再结合数轴上点的表示及无理数的估算可进行求解．
【详解】
解：由题意得：∠OAB=90°，OA＝2，AB＝3，
∴，故①错，②正确；
∵O为数轴原点，
∴点C对应的数是，故③错误；
∵，，
∴5＜AD＜6，故④正确；
∴正确的有②④；
故选D．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、无理数的估算及数轴，熟练掌握勾股定理、无理数的估算及数轴上数的表示是解题的关键．【版权所有：21教育】
3．如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间（　　　）
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A．0到1之间
B．1到2之间
C．2到3之间
D．3到4之间
【答案】C
【分析】
求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【详解】
解：∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=，
∴AC=AB=，
∴OC=，
∴点C的横坐标为：，
∵3＜＜4，
∴2＜＜3，
∴点C横坐标的取值范围是2到3之间．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长．
4．已知实数满足，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵
∴，，
∴，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和有理数的计算，解题关键是理解非负数的性质，求出字母的值．
5．如图，数轴上点A所表示的数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先根据勾股定理求出PQ的长，即可求出点A所表示的数．
【详解】
解：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
PQ，
由画图可知PA＝PQ，
所以点A到原点的距离为1，
故点A所表示的数是1．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理以及数轴表示数的意义和方法，掌握解答的方法是关键．
6．下列说法正确的是（
）
A．是有理数
B．5的平方根是
C．2＜＜3
D．数轴上不存在表示的点
【答案】C
【分析】
根据无理数的意义，开平方，被开方数越大算术平方根越大，实数与数轴的关系，可得答案．
【详解】
解：A、是无理数，故A错误；
B、5的平方根是，故B错误；
C、＜＜，∴2＜＜3，故C正确；
D、数轴上存在表示的点，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数的意义、实数与数轴的关系利用被开方数越大算术平方根越大是解题关键．
7．如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和，则点C对应的实数是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1﹣
B．﹣2
C．﹣
D．2﹣
【答案】D
【分析】
根据数轴上两点之间距离的计算方法，以及中心对称的意义，列方程求解即可．
【详解】
解：∵A、B两点对应的实数分别是1和，
∴AB＝﹣1，
又∵点C与点B关于点A对称，
∴AC＝AB，
设点C所表示的数为c，则AC＝1﹣c，
∴1﹣c＝﹣1，
∴c＝2﹣，
故选：D．
【点睛】
本题考查数轴表示数的意义和方法，理解中心对称的性质和数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键．
8．在下列数中，是无理数的是（　　　）
A．2.1313313331…（两个1之间依次多一个3）
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据无理数的定义判断即可．
【详解】
解：A.
2.1313313331…（两个1之间依次多一个3）是无理数，符合题意；
B.
是有限小数，不是无理数，不符合题意；
C.
是分数，不是无理数，不符合题意；
D.
，是整数，不是无理数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，解题关键是熟记无理数是无限不循环小数．
9．如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近﹣的是（　　）
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
【答案】B
【分析】
根据无理数的估值方法进行判断即可；
【详解】
∵≈-3.16，
∴
点N最接近，
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握知识点是解题的关键；
10．如图，在数轴上作长、宽分别为2和1的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长方形，以原点为圆心，长方形对角线的长为半径画弧，与数轴相交于点A．若点A对应的数字为a，则下列说法正确的是（　　）21·世纪
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A．a>-2.3
B．a<-2.3
C．a=-2.3
D．无法判断
【答案】A
【分析】
先利用勾股定理求出长方形对角线OB的长，即为OA的长，然后根据在原点的左边求出数轴上的点所对应的实数为，再根据判断出即可得答案．21
cnjy
com
【详解】
解：如图，连接OB，
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长方形对角线的长OB，
，
点在原点的左边，
点所对应的实数为，
又∵，
∴，
∴，即．
故选A．
【点睛】
本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理、比较无理数大小，求出是解题的关键．
11．实数，，，，，中，无理数的个数是（
）个．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据实数分类、无理数的性质，对各个实数逐个分析，即可得到答案．
【详解】
实数，，，，，中，无理数为：、、，共3个；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了实数分类的知识；解题的关键是熟练掌握实数分类、无理数的性质，从而完成求解．
12．在-1.4141，，，，，3.14这些数中，无理数的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义判断即可．
【详解】
解：-1.4141是有限小数，不是无理数；
是无理数；
是无理数；
是无理数；
=2，不是无理数；
3.14是有限小数，不是无理数；
所以，无理数有3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，解题关键是知道无理数是无限不循环小数，常见的有和开不尽方的算术平方根．
13．与数轴上的点一—对应的数是（
）
A．分数或整数
B．无理数
C．有理数
D．有理数或无理数
【答案】D
【分析】
实数与数轴上的点一一对应，实数包括有理数和无理数．
【详解】
A.
分数或整数，只是有理数，不是数轴上所有点，故此项不正确；
B.
只是无理数，不是数轴上所有点，故此项不正确；
C.
只是有理数，不是数轴上所有点，故此项不正确；
D.
有理数和无理数是实数的组成，实数与数轴上的点一一对应，故此项正确；
故选D．
【点睛】
此题考查了实数的意义，能掌握实数与数轴的关系是解答此题的关键．
14．下列实数，，3.14159，，，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)中无理数有(
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
根据无理数的概念即可判断．
【详解】
解：=-3，
无理数有：，
，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)，共有3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数．解题的关键是熟练掌握无理数的概念．
15．若规定符号“f”、“g”表示不同的两种运算．它对实数运算结果如下：
f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，…
g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3…
利用上述规律计算：+结果为（　　）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】C
【分析】
根据题意知“f”表示的运算是比原数小1，
“g”表示的运算是原数的相反数，由此化简原式进行实数计算即可．
【详解】
解：∵f（0）＝-1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，
∴f（2012）＝2012﹣1＝2011，f（13）＝13﹣1＝12，
∵g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3，
∴g（2012）＝﹣2012，
∴+
＝1++|﹣2|
＝1+2+2﹣
＝3+，
故选：C．
【点睛】
此题考查新定义运算，实数的混合运算，掌握计算公式的规律，正确化简原式，熟记零指数幂定义，绝对值的性质是解题的关键．21·cn·jy·com
16．的结果是（
）
A．
B．
C．2
D．0
【答案】C
【分析】
根据零次幂定义，积的乘方的逆运算进行计算．
【详解】
．
故选：C
【点睛】
此题考查实数的混合运算，掌握零次幂定义，积的乘方的逆运算是解题的关键．
17．数轴上表示2，的对应点分别是A、B，点B关于A的对称点是C，则点C表示的数为（
）
A．－2
B．2－
C．4－
D．－4
【答案】C
【分析】
先根据数轴上两点间的距离求出AB，然后根据轴对称的性质求出AC，再求出OC即得答案．
【详解】
解：∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B，
∴，
∵点B关于A的对称点是C，
∴，
∴．
即点C表示的数为4－．
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数与数轴、轴对称的性质以及实数的运算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．21教育名师原创作品
18．下列说法中，正确的是（
）
A．正数的算术平方根一定是正数
B．如果a表示一个实数，那么－a一定是负数
C．和数轴上的点一一对应的数是有理数
D．1的平方根是1
【答案】A
【分析】
根据算术平方根、实数与数轴上的点是一一对应关系、实数、平方根，即可解答．
【详解】
A、正数的算术平方根一定是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)正数，故选项正确；
B、如果a表示一个实数，那么-a不一定是负数，例如a=0，故选项错误；
C、和数轴上的点一一对应的数是实数，故选项错误；
D、1的平方根是±1，故选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了实数，实数与数轴，解决本题的关键是熟记实数的有关性质．
19．如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B，则点B表示的数是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据是数的运算，A点表示的数加两个圆周，可得B点，根据数轴上的点与实数一一对应，可得B点表示的数．
【详解】
解：A点表示的数加两个圆周，可得B点，
所以，，
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动，A点表示的数加两个圆周．
20．如图，在数轴上表示的对应点分别为，点关于点的对称点为，则点表示的数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先根据表示1、的对应点分别为点A、点B可以求出线段AB的长度，然后根据点B和点C关于点A对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标．
【详解】
解：∵表示1、的对应点分别为点A、点B，
∴AB＝?1，
∵点B关于点A的对称点为点C，
∴CA＝AB，
∴点C的坐标为：1?（?1）＝2?．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点为实数与数轴，解决本
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题的关键是求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
21．观察下列等式：
，
，
，
…
将以上等式相加得到
．
用上述方法计算：其结果为（　　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由上述规律可知，
，，，同理
，然后将各式相加后即可求解．
【详解】
由题意可知：
=．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是实数的计算规律，此题
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为积化和差题型，有一定的难度，弄明白了计算规律就容易求解．能够理解题意，看懂运算规律，并能运用规律求解是前提，解决此类题型的关键是会裂项相消．
22．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（　　）
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A．①②
B．②④
C．①④
D．①③
【答案】D
【分析】
根据运算规则即可求解．
【详解】
解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
23．如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，…，以此类推，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据给定几幅图形中黑点数量的变化可找出其中的变化规律“（为正整数）”，进而可求出，将其代入中即可求得结论．
【详解】
解：∵第一幅图中“”有个；
第二幅图中“”有个；
第三幅图中“”有个；
∴第幅图中“”有（为正整数）个
∴
∴当时
．
故选：C
【点睛】
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．
24．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
逐项代入，寻找正确答案即可.
【详解】
解：A选项满足m≤n，则y=2m+1=3；
B选项不满足m≤n，则y=2n-1=-1；
C选项满足m≤n，则y=2m-1=3；
D选项不满足m≤n，则y=2n-1=1；
故答案为D；
【点睛】
本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确的所代入代数式及代入得值.
25．设边长为3的正方形的对角线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长为a，下列关于a的四种说法：①
a是无理数；②
a可以用数轴上的一个点来表示；③
3a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是2-1-c-n-j-y
A．①④
B．②③
C．①②④
D．①③④
【答案】C
【详解】
根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为，是无理数，故说法①正确．
根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确．
∵，∴，故说法③错误．
∵，∴根据算术平方根的定义，a是18的算术平方根，故说法④正确．
综上所述，正确说法的序号是①②④．故选C．
26．定义运算，比如2?3=，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2?（﹣3）=；②此运算中的字母均不能取零；③a?b=b?a；④a?（b+c）=a?c+b?c，其中正确是（　　）
A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
【答案】B
【分析】
根据题目中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．
【详解】
①2?（﹣3）==，①正确；
②∵，
∴a≠0且b≠0，∴②正确；
③∵，，
∴a?b=b?a，∴③正确；
④∵a?（b+c）=
，a?c+b?c=，
∴a?（b+c）≠a?c+b?c，∴④错误.
综上，正确的结论为①②③，故选B.
【点睛】
本题考查了新定义运算，熟练利用新定义运算的运算法则计算各项是解决问题的关键.
27．如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是(　　)
A．－2
B．－2
C．1－2
D．2－1
【答案】C
【分析】
首先利用勾股定理计算出QP的长，进而可得出QP1的长度，再由Q点表示的数为1可得答案.
【详解】
根据题意可得QP==2，
∵Q表示的数为1,
∴P1表示的数为1-2.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了用数轴表示无理数，关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长.
28．一列数，
，
，……
，其中=﹣1，
=，
=，……，
=，则×××…×=（　　）
A．1
B．-1
C．2017
D．-2017
【答案】B
【详解】
因为=﹣1,所以=,=,=,通过观察可得:,,,……的值按照﹣1,,三个数值为一周期循环,将2017除以3可得672余1,所以的值是第673个周期中第一个数值﹣1,因为每个周期三个数值的乘积为:
,所以×××…×=故选B.
29．设边长为3的正方形的对
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角线长为a，下列关于a的四种说法：①
a是无理数；②
a可以用数轴上的一个点来表示；③
3a是18的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是
A．①④
B．②③
C．①②④
D．①③④
【答案】C
【解析】
根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为，是无理数，故说法①正确。
根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确。
∵，∴，故说法③错误。
∵，∴根据算术平方根的定义，a是18的算术平方根，故说法④正确。
综上所述，正确说法的序号是①②④。故选C。
二、填空题
30．观察下列各式：用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为______．
【答案】
【分析】
观察规律可直接得到规律．
【详解】
解：∵，
，
，…，
∴．
故答案为：
【点睛】
此题考查了数字规律的运算，会求一个数的立方根，正确分析已知中的等式由此得到变化规律是解题的关键．
31．实数+2的整数部分a＝__，小数部分b＝__．
【答案】4
﹣2
【分析】
根据算数平方根和实数大小比较的性质分析，即可得到+2的整数部分；再根据实数加减运算性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵2＜＜3，
∴4＜+2＜5，
∴+2的整数部分为4，小数部分为+2﹣4＝﹣2，
∴a＝4，b＝﹣2，
故答案为：4，﹣2．
【点睛】
本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握算术平方根、实数大小比较的性质，从而完成求解．
32．按一定规律排成的一列数依次为：，，，，，……按此规律排下去，这列数中的第10个数是__________．21cnjy.com
【答案】
【分析】
根据题目给出数列的规律即可求出答案．
【详解】
解：分子可以看出：，，，，……，
故第10个数的分子为，
分母可以看出：第几个数的分母是其序数的平方加1，
例如：12+1＝2，22+1＝5，32+1＝10，42+1＝17，52+1＝26，
故第10个数的分母为102+1＝101，
故这列数中的第10个数是：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，正确得出分母的变化规律是解题关键．
33．观察下列等式的规律：，，，，……．设，，，．则的值是______．
【答案】
【分析】
根据题意分别求出的表达方式，再进行相加，对式子进行观察找到规律进行计算．
【详解】
解：由题意得：，
，
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了式子运算的规律问题，解题的关键是先求出的表达式，相加后根据一定规律进行求和．
34．如图，在数轴上找到表示－3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的点B，过点A作AB⊥OB，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C在数轴上表示的数是__．　
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
先根据数轴的定义可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后根据数轴的定义即可得．
【详解】
解：设点在数轴上表示的数是，则，
由题意得：，
，
，
由作图可知，，即，
解得，
由数轴的定义得：，
，
即点在数轴上表示的数是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．
三、解答题
35．计算：
【答案】1
【分析】
通过负指数幂、零指数幂和乘方的计算即可；
【详解】
解：原式=
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握负指数幂、零指数幂和乘方的计算法则，准确计算是解题的关键．
36．计算：．
【答案】
【分析】
根据负整数指数幂，立方根，算术平方根，绝对值的运算法则进行计算即可．
【详解】
解：原式=
-2-
+
2
=．
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根，立方根及开立方，负整数指数幂的运算性质是解题的关键．
37．计算：．
【答案】
【分析】
先算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方、化简二次根式、再计算加减即可求解．
【详解】
解：
原式
．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方、化简二次根式等，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
38．（1）计算：；
（2）求满足条件的值：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先根据算术平方根的意义和立方根的定义化简，然后求值即可得到答案；
（2）根据立方根的定义，解方程即可.
【详解】
解：（1）
（2）
．
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算，利用立方根解方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
39．（1）计算：
（2）
【答案】（1）7；（2）
【分析】
（1）根据实数的混合运算法则，绝对值，负整数指数幂，零指数幂计算即可；
（2）根据乘法公式计算即可．
【详解】
（1）计算：
（2）
．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，乘法公式等知识点，熟知运算法则是解题的关键．
40．计算：﹣＋|﹣2|＋．
【答案】1
【分析】
利用算术平方根，立方根的概念和绝对值的意义进行化简，然后再计算．
【详解】
解：原式＝2﹣3＋2﹣＋
＝1．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根和立方根的概念，理解绝对值的意义是解题关键．
41．若，化简
【答案】
【分析】
由判断＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．
【详解】
解：∵，
∴＞0，
∴
∴
【点睛】
本题考查二次根式的化简，正确的对
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．
42．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】．
【分析】
根据两个正方形的面积可求出两个正方形的边长，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算即可得答案．www.21-cn-jy.com
【详解】
大正方形的边长==2，小正方形的边长=，
阴影部分的面积=（2+）×2-4-2
=2﹣2．
【点睛】
本题考查实数的运算，正确求出两个正方形的边长并熟练掌握实数运算法则是解题关键．
43．计算下列各题：
（1），
（2），
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可得；
（2）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算实数的加减即可得；
（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可得．
【详解】
解：（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
；
（3）原式，
，
．
【点睛】
本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．
44．计算：．
【答案】
【分析】
分别计算负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值和二次根式，再相加减即可．
【详解】
解：原式=
=．
【点睛】
本题考查实数的混合运算．主要考查负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值和二次根式，能分别正确计算是解题关键．
45．计算
（1）
（2）
【答案】（1）8；（2）
【分析】
（1）先根据算术平方根和立方根的概念进行化简，然后再计算；
（2）整式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．
【详解】
解：（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
【点睛】
本题考查实数的混合运算以及整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
46．（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）-2x2+2xy；（2）
【分析】
（1）先利用完全平方公式、多项式乘多项式运算法则展开化简，再合并同类项计算即可；
（2）分别进行负整数指数幂运算、有理数的乘方运算、零指数幂运算、绝对值运算即可求解．
【详解】
解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
【点睛】
本题主要考查整式的混合运算、实
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数的混合运算，涉及完全平方公式、多项式乘多项式、负整数指数幂、零指数幂、绝对值性质等知识点，熟记公式，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键．
47．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先分别利用平方根、立方根及绝对值的性质进行化简，再合并化简结果即可；
（2）先分别利用零指数幂、立方根及平方根的性质进行化简，再合并化简结果即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
【点睛】
此题考查了实数的混合运算，掌握实数运算的相关法则是解题的关键．
48．计算：
（1）﹣﹣（﹣1）2020；
（2）|﹣2|﹣﹣．
【答案】（1）0；（2）2﹣
【分析】
（1）直接利用算术平方根以及立方根、有理数的乘方运算法则分别计算得出答案；
（2）直接利用算术平方根以及立方根、绝对值的性质分别计算得出答案．
【详解】
解：（1）原式＝5﹣4﹣1＝0；
（2）原式＝2﹣﹣3﹣（﹣3）
＝2﹣．
【点睛】
本题考查了乘方、平方根、算术平方根、绝对值的性质，解题的关键是正确的进行化简．
49．计算：
【答案】5
【分析】
根据绝对值、零指数幂、负指数幂、立方等知识点，分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
解：原式＝3﹣1＋4﹣1＝5.
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
50．（1）－|－2|＋－1
（2）
【答案】（1）1；（2）．
【分析】
（1）原式利用算术平方根、立方根、绝对值性质化简，然后计算即可求出值；
（2）利用完全平方公式，单项式乘以多项式化简，然后再合并同类项即可．
【详解】
解：1）－|－2|＋－1
（2）
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项等知识点，熟悉相关法则是解题的关键．【出处：21教育名师】
51．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据算术平方根和立方根的运算法则进行计算即可；
（2）按照整式混合运算顺序和法则计算即可．
【详解】
解：（1）原式
（2）原式
【点睛】
本题考查了算术平方根、立方根和整式的运算，解题关键是熟记相关法则，准确进行计算．
52．计算：．
【答案】
【分析】
先利用零指数幂、负整数指数幂、立方根和绝对值的性质分别化简，再依次相加减即可．
【详解】
解：原式＝
＝
＝
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．主要考查零指数幂、负整数指数幂、立方根和绝对值的性质，掌握相关概念是解题关键．注意化简绝对值后最后先带上括号，以免出错．21
cnjy
com
53．计算：（1）
（2）．
【答案】（1）-1；（2）．
【分析】
（1）原式先计算乘除法，再计算加减即可得到答案；
（2）原式分别根据零指数幂，有理数的乘方、绝对值的代数意义分别化简各式，然后再进行加减运算即可．
【详解】
解：（1）
=
=-4+3
=-1；
（2）
=
=．
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解答此题的关键．
54．数学阅读是学生个体根据
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
【答案】8或0
【分析】
根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【详解】
解：∵，
∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0．
【点睛】
本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．
55．一个正整数，若从左到右奇数位上的数字
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)相同，偶数位上的数字相同，称这样的数为“接龙数”．例如：121，3535都是“接龙数”，123不是“接龙数”．
（1）求证：任意四位“接龙数”都能被101整除；
（2）若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．对于任意的三位“接龙数”，记F（t）＝﹣2﹣x，求使得F（t）为完全平方数的所有三位“接龙数”．
【答案】（1）见详解；（2）181或323或505或727或989．
【分析】
（1）设四位“接龙数”为（0＜a≤9，0≤b≤9，且a，b为整数），进而得出；
（2）先求出F（t）=22×2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)（10x+y），再确定出20＜2（10x+y）＜200，2（10x+y）是偶数，进而得出2（10x+y）=36或64或100或144或196，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设四位“接龙数”为（0＜a≤9，0≤b≤9，且a，b为整数），
∴=1000a+100b+10a+b=1010a+101b=101（10a+b）
∵a，b为正整数，
∴10a+b是正整数，
∴能被101整除，
即任意四位“接龙数”都能被101整除；
（2）∵F（t）=﹣2﹣x，
=100x+10y+x-2（10x+y）x
=80x+8y
=22×2（10x+y），
∵0＜x≤9，0≤y≤9，且x，y均为整数，
∴10＜10x+y＜100，
∴20＜2（10x+y）＜200，2（10x+y）是偶数，
∵F（t）为完全平方数，
∴2（10x+y）=36或64或100或144或196，
∴10x+y=18或32或50或72或98，
∴x=1，y=8或x=3，y=2或x=5，y=0或x=7，y=2或x=9，y=8；
∴使得F（t）为完全平方数的所有三位“接龙数”为181或323或505或727或989．
【点睛】
此题主要考查了整除问题，完全平方数，判断出20＜2（10x+y）＜200且是偶数，是解本题的关键．
56．计算：
（1）
．
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先去绝对值号，去根号，再进行合并同类项，加减运算；
（2）先进行单项式和多项式的乘除运算，再进行加减运算
．
【详解】
解：（1）原式=
．
（2）原式=
．
【点睛】
这道题考查的是实数的运算法则和整式的乘除法．熟练掌握整式和实数的运算法则是解题的关键．
57．（1）计算:
①；
②(2＋3)(2
-3)．
（2）解方程:
①4(x-1)2-9
=0；
②8x3＋125=0．
【答案】（1）①；②；（2）或；
②．
【分析】
（1）①先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算；
②根据平方差公式计算即可；
（2）①将方程移项，再整理为的的形式，再根据平方根定义求解即可；
②将方程移项，再整理为根据立方根定义求解即可；
【详解】
解：（1）解：①原式
．
②原式
．
（2）解：①原方程可化为
则或，
解得，或．
②原方程可化为，
解得，．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根及实数的运算，主要考查学生的运算能力，题目比较好，解题关键是理解平方根、立方根的意义．www-2-1-cnjy-com
58．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．【来源：21cnj
y.co
m】
复数的加?减?乘的运算与我们学过的整式加?减?乘的运算类似．
例如计算：．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：______，_________；
（2）计算：；
（3）将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】
（1）根据，则i3=i2?i，i4=i2?i2，然后计算；
（2）根据完全平方公式计算，出现i2，化简为-1计算；
（3）分子分母同乘以后，把分母化为不含i的数后计算．
【详解】
解：（1）∵，∴，．
故答案为：；
（2）；
（3）．
【点睛】
本题考查了实数的运算，以及完全平方公式的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题．
59．进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为个则称为进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个进制表示的数通常使用个阿拉伯数字作为基数，特点是逢进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数
，则，七进制数
（1）请将以下两个数转化为十进制：
，（
．
（2）若一个正数可以用7进制表示为，也可用五进制表示为，求出这个数并用十进制表示．
【答案】（1）93，34；（2）这个数用十进制表示为51或102．
【分析】
（1）根据进制的规则列式计算即可；
（2）根据题意列得，化简成24a+b=12c，根据a、b、c的取值范围分别将a从1开始取值验证，即可得到答案．
【详解】
（1），，
故答案为：93，34；
（2）根据题意得：，
∴24a+b=12c，
∴，
∵a、b、c均为整数，且，
∴b=0，c=2a，
∵，，
∴或，
∵，．
∴这个数用十进制表示为51或102．
【点睛】
此题考查新定义运算，有理数的混合运算，列代数式，正确理解题意是解题的关键．
60．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果，那么我们把这个四位正整数叫做进步数，例如四位正整数2347：因为，所以2347叫做进步数．
（1）求四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是1、4，且这个四位正整数是“进步数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．
【答案】（1）8888；（2）1134
．　
【分析】
（1）根据进步数的定义分别求出四位正整数中的最大“进步数”与最小“进步数”即可得解；
（2）根据进步数的定义可以推得所求数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为1114、1124、1134、1144中的某一个，再根据这个四位正整数能被7整除逐一对4个数进行验证可以得解
．
【详解】
解：（1）由进步数的定义可知四位正整数中最大的“进步数”应该是9999，
又最高位不能为0，所以四位正整数中的千位最小为0，所以四位正整数中最小的“进步数”应该是1111，
∴9999-1111=8888，
∴四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差为8888；
（2）由已知可得所求数的千位为1，十位为1-4中的某个数字，
∴所求数为1114、1124、1134、1144中的某一个，
∵这个四位正整数能被7整除，
∴由1114=159×7+1，1124=160×7+4，1134=162×7，1144=163×7+3可知所求数为1134
．
【点睛】
本题考查新定义下的实数规律探索，由材料归纳出新定义并应用于具体问题求解是解题关键．　　　　
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www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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"
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第六讲
实数
【提升训练】
一、单选题
1．下列说法：（1）无限小数都是无理数；（2）有限小数都是有理数；（3）﹣＝﹣0.6；（4）的算术平方根是2；（5）＝±6；（6）实数与数轴上的点一一对应．其中正确的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2．已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
3．如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间（　　　）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0到1之间
B．1到2之间
C．2到3之间
D．3到4之间
4．已知实数满足，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，数轴上点A所表示的数是（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列说法正确的是（
）
A．是有理数
B．5的平方根是
C．2＜＜3
D．数轴上不存在表示的点
7．如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和，则点C对应的实数是（
）
A．1﹣
B．﹣2
C．﹣
D．2﹣
8．在下列数中，是无理数的是（　　　）
A．2.1313313331…（两个1之间依次多一个3）
B．
C．
D．
9．如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近﹣的是（　　）
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
10．如图，在数轴上作长、宽分别为2和1的长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形，以原点为圆心，长方形对角线的长为半径画弧，与数轴相交于点A．若点A对应的数字为a，则下列说法正确的是（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．a>-2.3
B．a<-2.3
C．a=-2.3
D．无法判断
11．实数，，，，，中，无理数的个数是（
）个．
A．
B．
C．
D．
12．在-1.4141，，，，，3.14这些数中，无理数的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
13．与数轴上的点一—对应的数是（
）
A．分数或整数
B．无理数
C．有理数
D．有理数或无理数
14．下列实数，，3.14159，，，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)中无理数有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
15．若规定符号“f”、“g”表示不同的两种运算．它对实数运算结果如下：
f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，…
g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3…
利用上述规律计算：+结果为（　　）
A．1
B．
C．
D．0
16．的结果是（
）
A．
B．
C．2
D．0
17．数轴上表示2，的对应点分别是A、B，点B关于A的对称点是C，则点C表示的数为（
）
A．－2
B．2－
C．4－
D．－4
18．下列说法中，正确的是（
）
A．正数的算术平方根一定是正数
B．如果a表示一个实数，那么－a一定是负数
C．和数轴上的点一一对应的数是有理数
D．1的平方根是1
19．如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B，则点B表示的数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
20．如图，在数轴上表示的对应点分别为，点关于点的对称点为，则点表示的数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
21．观察下列等式：
，
，
，
…
将以上等式相加得到
．
用上述方法计算：其结果为（　　　）
A．
B．
C．
D．
22．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．②④
C．①④
D．①③
23．如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，…，以此类推，则的值为（
）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
24．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
25．设边长为3的正方形的对角线长为a，下
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)列关于a的四种说法：①
a是无理数；②
a可以用数轴上的一个点来表示；③
3a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是21世纪教育网版权所有
A．①④
B．②③
C．①②④
D．①③④
26．定义运算，比如2?3=，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2?（﹣3）=；②此运算中的字母均不能取零；③a?b=b?a；④a?（b+c）=a?c+b?c，其中正确是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
27．如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是(　　)21·世纪
教育网
A．－2
B．－2
C．1－2
D．2－1
28．一列数，
，
，……
，其中=﹣1，
=，
=，……，
=，则×××…×=（　　）21cnjy.com
A．1
B．-1
C．2017
D．-2017
29．设边长为3的正方形的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)对角线长为a，下列关于a的四种说法：①
a是无理数；②
a可以用数轴上的一个点来表示；③
3a是18的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是21教育网
A．①④
B．②③
C．①②④
D．①③④
第II卷（非选择题）
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二、填空题
30．观察下列各式：用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为______．
31．实数+2的整数部分a＝__，小数部分b＝__．
32．按一定规律排成的一列数依次为：，，，，，……按此规律排下去，这列数中的第10个数是__________．www-2-1-cnjy-com
33．观察下列等式的规律：，，，，……．设，，，．则的值是______．
34．如图，在数轴上找到表示－3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的点B，过点A作AB⊥OB，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C在数轴上表示的数是__．　2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
35．计算：
36．计算：．
37．计算：．
38．（1）计算：；
（2）求满足条件的值：．
39．（1）计算：
（2）
40．计算：﹣＋|﹣2|＋．
41．若，化简
42．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
43．计算下列各题：
（1），
（2），
（3）．
44．计算：．
45．计算
（1）
（2）
46．（1）计算：；
（2）计算：．
47．计算：
（1）
（2）
48．计算：
（1）﹣﹣（﹣1）2020；
（2）|﹣2|﹣﹣．
49．计算：
50．（1）－|－2|＋－1
（2）
51．计算：
（1）；
（2）．
52．计算：．
53．计算：（1）
（2）．
54．数学阅读是学生个体根据已有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：2·1·c·n·j·y
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
55．一个正整数，若从左到
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)右奇数位上的数字相同，偶数位上的数字相同，称这样的数为“接龙数”．例如：121，3535都是“接龙数”，123不是“接龙数”．21
cnjy
com
（1）求证：任意四位“接龙数”都能被101整除；
（2）若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．对于任意的三位“接龙数”，记F（t）＝﹣2﹣x，求使得F（t）为完全平方数的所有三位“接龙数”．【来源：21cnj
y.co
m】
56．计算：
（1）
．
（2）．
57．（1）计算:
①；
②(2＋3)(2
-3)．
（2）解方程:
①4(x-1)2-9
=0；
②8x3＋125=0．
58．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．www.21-cn-jy.com
复数的加?减?乘的运算与我们学过的整式加?减?乘的运算类似．
例如计算：．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：______，_________；
（2）计算：；
（3）将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
59．进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为个则称为进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个进制表示的数通常使用个阿拉伯数字作为基数，特点是逢进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数
，则，七进制数【出处：21教育名师】
（1）请将以下两个数转化为十进制：
，（
．
（2）若一个正数可以用7进制表示为，也可用五进制表示为，求出这个数并用十进制表示．
60．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果，那么我们把这个四位正整数叫做进步数，例如四位正整数2347：因为，所以2347叫做进步数．
（1）求四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是1、4，且这个四位正整数是“进步数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．【版权所有：21教育】
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精品试卷·第
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