27.2.1相似三角形的判定（第4课时） 课件（共30张PPPT）

(共30张PPT)
27.2.1相似三角形的判定
---第4课时
人教版
九年级下
教学目标
1.
探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2.
掌握利用两角分别相等来判定两个三角形相似的方法，并能
进行相关计算.(重点、难点)
3.
掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
回顾旧知
1、想一想：
到目前为止我们学习了几种相似三角形的判定方法？
符号语言：
∵
DE∥BC
∴
△
ADE
∽
△
ABC
判定方法一：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
判定方法二：三边成比例的两个三角形相似.
符号语言：
∵
∴
△
ABC
∽
△A′B′C′
A
B
C
A′
B′
C′
回顾旧知
三角形相似的判定方法三:
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。
A
B
C
A′
B′
C′
符号语言：
∵
,
∠A=∠A'
∴
△
ABC
∽
△A′B′C′
类比三角形全等判定方法中的ASA与AAS，我们接着探究三角形相似的判定方法！
合作探究
2、这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？
3、三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？一定需要三个内角吗？我们一起探究！
三个内角对应相等。
观察与思考：1、你与老师的直角三角尺
,相似吗？
(30O
与60O)
相似！
合作探究
探究一：有一个角对应相等的两个三角形相似吗？
30o
30o
60o
110o
不相似！
合作探究
探究二：有两个个角对应相等的两个三角形相似吗？
问题1：
度量
AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′
的长，并计算出它们的比值.
你有什么发现？
C
A
B
A'
B'
C'
与同伴合作，一人画
△ABC，另一人画
△A′B′C′，使
∠A=∠A′=50°，∠B=∠B′=45°，探究下列问题：
这两个三角形相似！
你能证明这一结论吗？
合作探究
证明：在
△A′B′C′的边
A′B′上，
截取
A′D=AB，点
D
作
DE
//
B′C′，交
A′C′
于点
E，
则有△A′DE
∽△A′B′C′，∠A′DE
=∠B′.
∵∠B=∠B′，∴∠A′DE=∠B.
又∵
A′D=AB，∠A=∠A′，
∴△A′DE
≌△ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′
.
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
已知：在
△ABC与
△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′；
求证：
△ABC∽△A′B′C′
合作探究
三角形相似的判定定理四：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵
∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴
△ABC
∽
△A'B'C'.
符号语言：
归纳总结：
C
A
B
A'
B'
C'
趁热打铁
1、下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
①
②
③
70o
50o
A
B
C
F
D
E
A
C
B
D
E
F
30o
30o
55o
30o
60o
50o
√
√
×
趁热打铁
2、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
解:
∵
DE∥BC，EF∥AB（已知），
∴
∠ADE＝∠B＝∠EFC
∠AED＝∠C.
∴
△ADE∽△EFC.
典例精析
∴
解：∵
ED⊥AB，∴∠EDA=90
°
.
又∠C=90
°，∠A=∠A，
∴
△AED
∽△ABC.
例1、如图，在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，AB
=
10，AC
=
8.
E
是
AC
上一点，AE
=
5，ED⊥AB，垂足为D.
求AD的长.
D
A
B
C
E
∴
知识点拨：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或者两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。
合作探究
对于两个直角三角形，我们还可以用
“HL”判定它们全等.
那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
思考：
如图，在
Rt△ABC
和
Rt△A′B′C′
中，∠C=90°，∠C′=90°，
.
求证：Rt△ABC
∽
Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
分析：我们只需证明：
即可。
合作探究
证明：设____________=
k
，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
由
，得
∴
∴
Rt
△ABC
∽
Rt
△A′B′C′.
勾股定理
∴
C
A
A'
B
B'
C'
合作探究
直角三角形相似的判定方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
归纳总结：
在
Rt△ABC
和
Rt△A′B′C′
中，
∴
Rt
△ABC
∽
Rt
△A′B′C′.
符号语言：
C
A
A'
B
B'
C'
趁热打铁
证明：
∵
△ABC
的高AD、BE交于点F，
∴
∠FEA=∠FDB=90°，
∵∠AFE
=∠BFD
(对顶角相等).
∴
△FEA
∽
△
FDB，
∴
3.
如图，△ABC
的高
AD，BE
交于点
F．
求证：
D
C
A
B
E
F
综合演练
如图，已知
AB∥DE，∠AFC
＝∠E，则图中相似三角形共有
(
)
A.
1对
　　B.
2对
C.
3对
　　D.
4对
C
2.
如图，△ABC中，AE
交
BC
于点
D，∠C=∠E，AD
:
DE=2
:3，
BD=6，则BC的长等于
(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
D
C
A
B
D
E
综合演练
A
B
D
C
3.
如图，点
D
在
AB上，当∠
＝∠
(或
∠
=∠
)时，
△ACD∽△ABC；
ACD
ACB
B
ADC
4.如图，⊙O
的弦
AB，CD
相交于点
P，
若
PA=4，PB
=
10，PC
=
5，则
PD
=
.
8
O
D
C
B
A
P
知识点拨：题中涉及的线段属于△BCP和△ADP，因此连接AD、BC，根据圆周角的性质得到解题所需角度，进而求解。
综合演练
证明：
∵∠BAC=
∠1+
∠DAC，
∠DAE=
∠3+
∠DAC，∠1=∠3，
∴
∠BAC=∠DAE.
∵
∠C=180°－∠2－∠DOC
，
∠E=180°－∠3－∠AOE，
∠DOC
=∠AOE（对顶角相等），
∴
∠C=
∠E.
∴
△ABC∽△ADE.
5.
如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC
∽△ADE．
A
B
C
D
E
1
3
2
O
综合演练
6、如图，弦
AB
和
CD
相交于
⊙O
内一点
P，求证：PA
·
PB=
PC
·
PD.
证明:连接AC，DB.
∵∠A
和
∠D
都是弧
CB
所对的圆周角，
∴
∠A=
，
同理
∠C=
，
∴
△PAC
∽
△PDB，
∴
即PA
·PB
=
PC
·
PD.
∠D
∠B
O
D
C
B
A
P
综合演练
7、如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的中点，过E作MN交AD于M，交BC于N，若CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3，求BC的长。
解：∵
∠CEN=90°∠ACB=∠NCE
∴
△ABC
∽
△NEC，
∴
又∵EC=3
∴BC=4.5
综合演练
8、已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,
∠A=900,对角线BD⊥CD;
求证:(1)
△ABD∽△DCB;
(2)BD2=AD·BC
A
B
C
D
证明:(1)
∵AD∥BC,
∴
∠ADB=
∠DBC
∵
∠A=∠BDC=
90°,
∴
△ABD∽△DCB
(2)
∵
△ABD∽△DCB
∴
AD
BD
BD
BC
即:BD2=AD·BC
=
综合演练
9、如图，已知：∠ACB
=∠ADC
=
90°，AD
=
2，CD
=
，当
AB
的长为多长时，△ACB
与△ADC相似．
C
A
B
D
解：∵∠ADC
=
90°，AD
=
2，CD
=
，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
当
Rt△ABC
∽
Rt△ACD
时，
有
AC
:
AD
＝AB
:
AC，
即
:
2
=AB
:
，
解得
AB=3；
∴
C
A
B
D
(2)
当
Rt△ACB
∽
Rt△CDA
时，
有
AC
:
CD
＝AB
:
AC
，
即
:
=AB
:
，
解得
AB=
．
∴
当
AB
的长为
3
或
时，这两个直
角三角形相似．
综合演练
提能训练
10、如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，
△ADC和△CBD和△ABC相似吗？证明你的结论。在图中的已有线段之间有哪些等量关系？
课堂总结
说一说
1、你学习了判定三角形相似的哪个方法？
2、判定两个直角三角形相似有哪些方法？
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题27.2
P42页：2(2)、7
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php