江苏省沭阳县修远高级中学校2022届高三上学期第一次阶段考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省沭阳县修远高级中学校2022届高三上学期第一次阶段考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-23 08:03:30 | ||
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文档简介
修远高级中学2021—2022学年度第一学期第一次阶段测试
高三数学试题
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
已知集合，，若，则实数的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
2.
函数的定义域为（
）
B.
C.
D.
3.
已知，则“”是“”的（
）
A.充分不必要条件
B
.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.
若，则（
）
B.
C.
D.
已知，则的值为（
）
B.
C.
D.
函数在的图像大致为(
）
A
B
C
D
已知复数，有下列四个命题：
甲:
乙：的虚部为
丙：复数对应的点位于第二象限
丁：
如果只有一个假命题，则该命题是（
）
A
甲
B
乙
C
丙
D
丁
已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
(
)
0
B．1
C．2
D．2021
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.）
9.
下列说法正确的有（
）
，则：
若，，则：，
10．已知，则（
）
的最大值为
的最大值为
的最小值为5
的最小值为
已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
12.
若，则下列等式中成立的是（
）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）
13.
某学校高三（1）班有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班活动，其中35人参加数学培训班，28人参加物理培训班，31人参加了生物培训班，其中三个培训班都参加的有6人，则有
人只参加了一种培训班。
14.
写出一个同时具有下列性质①②③的函数________。
①；
②；
③时，恒成立.
甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我没去过A城市；
乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断甲去过的城市为________
.
已知奇函数在上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为
（用<连接）.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知，且，求的值.
（本小题满分12分）
已知函数是上的奇函数
求的值;
若对一切实数满足，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1：1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
120
从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．
参考数据：，其中．
0．10
0．05
0．01
0．005
0．001
2．706
3．841
6．635
7．879
10．828
20.（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是正方形，若,平面平面．
（1）求的长；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
21.（本小题满分12分）
已知函数，为的导函数，且
求的解析式;
（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
22.（本小题满分12分）
已知且，
求的值;
令，求证有且只有两个不同的零点.
2022届高三9月学情调研测试
数学试题
测试时间：120分钟
试卷满分：150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.原题:
（人教A版习题1.2第5题）已知集合，，若，求实数的取值范围。
改编：已知集合，，若，则实数的取值范围为（
）
B.
C.
D.
【答案】B
考查：集合之间的关系。
2.原题：（2019·天津高考（文））
设，使不等式成立的的取值范围为__________.
【答案】
改编：函数的定义域为（
）
B.
C.
D.
【答案】
A
考查：函数的定义域，一元二次不等式的求解。
3.原题：（2021全国高考天津卷）已知，则“”是“”的（
）
充分不必要条件
B
.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
改编：已知，则“”是“”的（
）
A.充分不必要条件
B
.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
考查：充分条件和必要条件的判断。
4.原题：（2016·全国高考（理））若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
改编：若，则（
）
B.
C.
D.
【答案】
B
考查：不等式的性质，函数的单调性
5.原题：（苏教版必修4教科书3.1.2习题）已知，求.
改编：已知，则的值为（
）
B.
C.
D.
【答案】
B
考查：二倍角公式、诱导公式以及角变换
6.(2016年全国卷1)函数在的图像大致为(
）
A
B
C
D
【答案】
C
考查：函数性质的应用，函数的图像研究
7.（原创题）已知复数，有下列四个命题：
甲:
乙：的虚部为
丙：复数对应的点位于第二象限
丁：
如果只有一个假命题，则该命题是（
）
A
甲
B
乙
C
丙
D
丁
【答案】
D
考查：复数的相关概念，复数的几何意义
8.
原题：（2018年全国卷Ⅱ）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则(
)
A．
B．0
C．2
D．50
改编：已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
(
)
0
B．1
C．2
D．2021
【答案】
B
考查：函数的奇偶性、对称性、周期性及其综合应用
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.）
9.（原创题）下列说法正确的有（
）
，则：
若，，则：，
【答案】B
C
考查：含有量词的命题的真假判断及其否定的表述。
10．原题：（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
改编：已知，则（
）
的最大值为
B.的最大值为
C.的最小值为5
D.的最小值为
【答案】
B
C
考查：用基本不等式求常见的最大、最小值
11.原题：（八省联考第1题）已知、均为实数集的子集，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
改编：已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
BD
考查：用Venn图表达集合的基本运算。
12.原题：（2021新高考一卷第6题）若，则
A．
B．
C．
D．
改编：若，则下列等式中成立的是（
）
【答案】BCD
考查：二倍角公式，同角三角函数关系，和差角公式。
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）
13.原题：（新人教版阅读材料：集合中的元素个数）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个
班共有多少名同学参赛？
改编：某学校高三（1）班有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班活动，其中35人参加数学培训班，28人参加物理培训班，31人参加了生物培训班，其中三个培训班都参加的有6人，则有
人只参加了一种培训班。
【答案】22
考查：集合中的容斥原理。
14.原题：（2021新高考二卷第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数________。
①；②当时，；③是奇函数．
改编：写出一个同时具有下列性质①②③的函数________。
①；②；③时，恒成立
【答案】（答案不唯一）
考查：幂函数的性质及数学探究能力
15.原题：（2019全国1卷）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________
改编：甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我没去过A城市；
乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断甲去过的城市为________
【答案】：B
考查：逻辑推理能力。
16.原题：[2017·天津卷]
已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aB．cC．bD．b改编：已知奇函数在上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为
（用<连接）
【答案】
考查：函数性质的研究及其综合应用
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）原题：（必修四教材习题3.1（3））已知且求的值.
改编：已知，且，求的值.
解答：因为，所以.............................................2分
所以........................................................4分
因为所以，
又因为，所以，.........................................................6分
因为，所以.......................................................................8分
所以............................................................................................................10分
考查：和差角公式，二倍角公式，三角方程。
18.（本小题满分12分）原题：（苏教版P155第15题）设为实数，已知函数是奇函数。（1）求的值；
（2）求证：是上的增函数；（3）当时，求函数的取值范围。
改编：已知函数是上的奇函数
求的值;
若对一切实数满足，求实数的取值范围.
解：（1）（方法1）因为是上的奇函数，所以
所以，所以
（方法2）因为是上的奇函数，所以
即，所以恒成立，所以.........................4分
（2）因为，任取，且
则
因为，所以，所以即
所以是上的增函数。
.........................7分
因为对一切实数满足，
即
所以有
即对一切恒成立。........................10分
因为，所以，所以.........................12分
考查：初等函数的奇偶性，单调性及其综合应用
19.（本小题满分12分）原题：（2022·全国高三专题练习）为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．
（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
100
（2）从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率．
参考数据：，其中．
0．10
0．05
0．01
0．005
0．001
2．706
3．841
6．635
7．879
10．828
改编：为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1：1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
120
从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．
参考数据：，其中．
0．10
0．05
0．01
0．005
0．001
2．706
3．841
6．635
7．879
10．828
解：（1）2×2列联表如表所示
满意
不满意
合计
男生
40
20
60
女生
30
30
60
合计
70
50
120
........................................3分
利用公式可得
.....................6分
故有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”．
....................7分
（2）由（1）知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人
“男生满意”的人中占人，“女生满意”的人中占人，
..........8分
记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，则
...............11分
答：恰好抽中2名男生与1名女生的概率
...............12分
考查：独立性检验，分层抽样，古典概型
20.（本小题满分12分）原题：（2021·全国高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
改编：在四棱锥中，底面是正方形，若,平面平面．
（1）求的长；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
解：（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
因为平面平面，,
所以平面
................................2分
因为
所以
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
所以............5分
(2)在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，故,
设平面的法向量，
则即，取，则，故.................7分
而平面的法向量为，
则即，取，则，故................9分
因为，
所以
...................11分
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
................12分
考查：面面垂直的性质及二面角的计算
21.（本小题满分12分）原题：（2020?北京卷）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
改编：已知函数，为的导函数，且
求的解析式
（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
解：（1）因为，所以
所以
解得
所以.........................4分
（2）因为,
所以在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
.........................7分
不妨设（时，结果一样）时，
则，
所以
，.........................10分
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，也是最小值为.........................12分
考查：函数解析式、切线方程以及用导数研究常规函数的性质
22.（本小题满分12分）原题：【2020·山东枣庄期末】已知函数,为的导函数.
(1)求证:在上存在唯一零点;
(2)求证:有且仅有两个不同的零点.
改编：已知且，
求的值
令，求证有且只有两个不同的零点
解：（1）因为函数
所以且．
所以当时恒成立，此时在（0，+∞）上单调递增，
又，不合题意；
....................2分
当时令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
又，所以
....................4分
（2）因为
设，
当时，，所以在上单调递减，
又因为，
所以在上有唯一的零点.
...................5分
所以当时，，在上单调递增;
当时，，在上单调递减;
所以在上存在唯一的极大值点....................6分
所以
又因为，所以在上恰有一个零点．又因为，所以在上也恰有一个零点．......8分
②当时，，
，设，
所以在上单调递减，所以
所以当时，恒成立
所以在上没有零点．....................10分
③当时，
设，
所以在上单调递减，所以
所以当时，恒成立
所以在上没有零点．
综上，有且仅有两个零点．...................12分
考查：不等式的恒成立，函数的单调性、最值、零点以及用导数综合研究复杂函数的能力
高三数学试题
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
已知集合，，若，则实数的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
2.
函数的定义域为（
）
B.
C.
D.
3.
已知，则“”是“”的（
）
A.充分不必要条件
B
.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.
若，则（
）
B.
C.
D.
已知，则的值为（
）
B.
C.
D.
函数在的图像大致为(
）
A
B
C
D
已知复数，有下列四个命题：
甲:
乙：的虚部为
丙：复数对应的点位于第二象限
丁：
如果只有一个假命题，则该命题是（
）
A
甲
B
乙
C
丙
D
丁
已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
(
)
0
B．1
C．2
D．2021
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.）
9.
下列说法正确的有（
）
，则：
若，，则：，
10．已知，则（
）
的最大值为
的最大值为
的最小值为5
的最小值为
已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
12.
若，则下列等式中成立的是（
）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）
13.
某学校高三（1）班有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班活动，其中35人参加数学培训班，28人参加物理培训班，31人参加了生物培训班，其中三个培训班都参加的有6人，则有
人只参加了一种培训班。
14.
写出一个同时具有下列性质①②③的函数________。
①；
②；
③时，恒成立.
甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我没去过A城市；
乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断甲去过的城市为________
.
已知奇函数在上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为
（用<连接）.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知，且，求的值.
（本小题满分12分）
已知函数是上的奇函数
求的值;
若对一切实数满足，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1：1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
120
从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．
参考数据：，其中．
0．10
0．05
0．01
0．005
0．001
2．706
3．841
6．635
7．879
10．828
20.（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是正方形，若,平面平面．
（1）求的长；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
21.（本小题满分12分）
已知函数，为的导函数，且
求的解析式;
（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
22.（本小题满分12分）
已知且，
求的值;
令，求证有且只有两个不同的零点.
2022届高三9月学情调研测试
数学试题
测试时间：120分钟
试卷满分：150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.原题:
（人教A版习题1.2第5题）已知集合，，若，求实数的取值范围。
改编：已知集合，，若，则实数的取值范围为（
）
B.
C.
D.
【答案】B
考查：集合之间的关系。
2.原题：（2019·天津高考（文））
设，使不等式成立的的取值范围为__________.
【答案】
改编：函数的定义域为（
）
B.
C.
D.
【答案】
A
考查：函数的定义域，一元二次不等式的求解。
3.原题：（2021全国高考天津卷）已知，则“”是“”的（
）
充分不必要条件
B
.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
改编：已知，则“”是“”的（
）
A.充分不必要条件
B
.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
考查：充分条件和必要条件的判断。
4.原题：（2016·全国高考（理））若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
改编：若，则（
）
B.
C.
D.
【答案】
B
考查：不等式的性质，函数的单调性
5.原题：（苏教版必修4教科书3.1.2习题）已知，求.
改编：已知，则的值为（
）
B.
C.
D.
【答案】
B
考查：二倍角公式、诱导公式以及角变换
6.(2016年全国卷1)函数在的图像大致为(
）
A
B
C
D
【答案】
C
考查：函数性质的应用，函数的图像研究
7.（原创题）已知复数，有下列四个命题：
甲:
乙：的虚部为
丙：复数对应的点位于第二象限
丁：
如果只有一个假命题，则该命题是（
）
A
甲
B
乙
C
丙
D
丁
【答案】
D
考查：复数的相关概念，复数的几何意义
8.
原题：（2018年全国卷Ⅱ）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则(
)
A．
B．0
C．2
D．50
改编：已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
(
)
0
B．1
C．2
D．2021
【答案】
B
考查：函数的奇偶性、对称性、周期性及其综合应用
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.）
9.（原创题）下列说法正确的有（
）
，则：
若，，则：，
【答案】B
C
考查：含有量词的命题的真假判断及其否定的表述。
10．原题：（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
改编：已知，则（
）
的最大值为
B.的最大值为
C.的最小值为5
D.的最小值为
【答案】
B
C
考查：用基本不等式求常见的最大、最小值
11.原题：（八省联考第1题）已知、均为实数集的子集，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
改编：已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
BD
考查：用Venn图表达集合的基本运算。
12.原题：（2021新高考一卷第6题）若，则
A．
B．
C．
D．
改编：若，则下列等式中成立的是（
）
【答案】BCD
考查：二倍角公式，同角三角函数关系，和差角公式。
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）
13.原题：（新人教版阅读材料：集合中的元素个数）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个
班共有多少名同学参赛？
改编：某学校高三（1）班有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班活动，其中35人参加数学培训班，28人参加物理培训班，31人参加了生物培训班，其中三个培训班都参加的有6人，则有
人只参加了一种培训班。
【答案】22
考查：集合中的容斥原理。
14.原题：（2021新高考二卷第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数________。
①；②当时，；③是奇函数．
改编：写出一个同时具有下列性质①②③的函数________。
①；②；③时，恒成立
【答案】（答案不唯一）
考查：幂函数的性质及数学探究能力
15.原题：（2019全国1卷）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________
改编：甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我没去过A城市；
乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断甲去过的城市为________
【答案】：B
考查：逻辑推理能力。
16.原题：[2017·天津卷]
已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
（用<连接）
【答案】
考查：函数性质的研究及其综合应用
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）原题：（必修四教材习题3.1（3））已知且求的值.
改编：已知，且，求的值.
解答：因为，所以.............................................2分
所以........................................................4分
因为所以，
又因为，所以，.........................................................6分
因为，所以.......................................................................8分
所以............................................................................................................10分
考查：和差角公式，二倍角公式，三角方程。
18.（本小题满分12分）原题：（苏教版P155第15题）设为实数，已知函数是奇函数。（1）求的值；
（2）求证：是上的增函数；（3）当时，求函数的取值范围。
改编：已知函数是上的奇函数
求的值;
若对一切实数满足，求实数的取值范围.
解：（1）（方法1）因为是上的奇函数，所以
所以，所以
（方法2）因为是上的奇函数，所以
即，所以恒成立，所以.........................4分
（2）因为，任取，且
则
因为，所以，所以即
所以是上的增函数。
.........................7分
因为对一切实数满足，
即
所以有
即对一切恒成立。........................10分
因为，所以，所以.........................12分
考查：初等函数的奇偶性，单调性及其综合应用
19.（本小题满分12分）原题：（2022·全国高三专题练习）为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．
（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
100
（2）从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率．
参考数据：，其中．
0．10
0．05
0．01
0．005
0．001
2．706
3．841
6．635
7．879
10．828
改编：为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1：1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
120
从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．
参考数据：，其中．
0．10
0．05
0．01
0．005
0．001
2．706
3．841
6．635
7．879
10．828
解：（1）2×2列联表如表所示
满意
不满意
合计
男生
40
20
60
女生
30
30
60
合计
70
50
120
........................................3分
利用公式可得
.....................6分
故有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”．
....................7分
（2）由（1）知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人
“男生满意”的人中占人，“女生满意”的人中占人，
..........8分
记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，则
...............11分
答：恰好抽中2名男生与1名女生的概率
...............12分
考查：独立性检验，分层抽样，古典概型
20.（本小题满分12分）原题：（2021·全国高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
改编：在四棱锥中，底面是正方形，若,平面平面．
（1）求的长；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
解：（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
因为平面平面，,
所以平面
................................2分
因为
所以
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
所以............5分
(2)在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，故,
设平面的法向量，
则即，取，则，故.................7分
而平面的法向量为，
则即，取，则，故................9分
因为，
所以
...................11分
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
................12分
考查：面面垂直的性质及二面角的计算
21.（本小题满分12分）原题：（2020?北京卷）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
改编：已知函数，为的导函数，且
求的解析式
（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
解：（1）因为，所以
所以
解得
所以.........................4分
（2）因为,
所以在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
.........................7分
不妨设（时，结果一样）时，
则，
所以
，.........................10分
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，也是最小值为.........................12分
考查：函数解析式、切线方程以及用导数研究常规函数的性质
22.（本小题满分12分）原题：【2020·山东枣庄期末】已知函数,为的导函数.
(1)求证:在上存在唯一零点;
(2)求证:有且仅有两个不同的零点.
改编：已知且，
求的值
令，求证有且只有两个不同的零点
解：（1）因为函数
所以且．
所以当时恒成立，此时在（0，+∞）上单调递增，
又，不合题意；
....................2分
当时令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
又，所以
....................4分
（2）因为
设，
当时，，所以在上单调递减，
又因为，
所以在上有唯一的零点.
...................5分
所以当时，，在上单调递增;
当时，，在上单调递减;
所以在上存在唯一的极大值点....................6分
所以
又因为，所以在上恰有一个零点．又因为，所以在上也恰有一个零点．......8分
②当时，，
，设，
所以在上单调递减，所以
所以当时，恒成立
所以在上没有零点．....................10分
③当时，
设，
所以在上单调递减，所以
所以当时，恒成立
所以在上没有零点．
综上，有且仅有两个零点．...................12分
考查：不等式的恒成立，函数的单调性、最值、零点以及用导数综合研究复杂函数的能力
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