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3.1
函数的概念及其表示
【学习要求】
1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
【思维导图】
【知识梳理】
1．函数的概念
定义
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值集合
值域
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.
【注】(1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．
(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．
(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．
2．区间及有关概念
(1)一般区间的表示．设a，b∈R，且a
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
(2)特殊区间的表示.
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
【注】(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．
(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．
3.函数的表示法
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式
图象法
以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法
列表法
列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法
【注】三种表示法的优缺点如下表：
表示法
优点
缺点
解析法
简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值
不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式
图象法
能形象直观地表示变量的变化情况
只能近似地求出自变量所对应的函数值
列表法
不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值
只能表示有限个数的自变量所对应的函数值
4.
分段函数
所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．
【注】分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
【高频考点】
高频考点1.
对函数概念的理解
【方法点拨】定义法：对于给定的对应关系，判断是否满足函数的概念，即可判断对应关系是否是函数.
【例1】（2021·上海高一专题练习）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（
）
A．①②③④
B．①②③
C．②③
D．②
【答案】C
【详解】对于①，函数图象不满足函数的定义域，故错误；
对于②，函数图象满足函数的定义域以及函数的值域，故正确；
对于③，函数图象满足函数的定义域以及函数的值域，故正确；
对于④，函数图象不满足函数的定义（任意的，存在唯一实数与之对应），故错误；故选：C.
【变式1-1】（2021·全国高一课时练习）下列对应是从集合到集合的函数的是（
）
A．，，对应关系:对集合中的元素取绝对值与中元素对应
B．，，对应关系:，，
C．，，对应关系:，，
D．A={x|x三角形}，，对应关系:对中元素求面积与中元素对应
【答案】BC
【详解】选项A中，对于中的元素，在的作用下得，但不属于，即中的元素在中没有元素与之对应，所以不是函数；
选项B中，对于中的元素，在的作用下与中的对应，中的元素，在的作用下与中的对应，所以满足中的任一元素与中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数；
选项C中，对于中的任一元素，在对应关系的作用下，中都有唯一的元素与之对应，所以是函数；
选项D中，集合不是数集，故不是函数.
故选：BC.
【变式1-2】（2021·广东高一单元测试）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】对于A，由图像可知，函数的定义域为，而集合，不符合题意；
对于B，由图像可知，函数的定义域为，值域为，满足函数的定义，故正确；
对于C，由图像可知，函数的定义域为，值域为，满足函数的定义，故正确；
对于D，由图像可知，图形中一个有两个值与之相对应，不满足函数的定义，故不正确.故选：BC．
【变式1-3】（2021·太原市第五十六中学校高二月考）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的序号有______．
【答案】②
【详解】对①，由图知：，不符合函数的定义域，故①错误；
对②，由图知：，，图象符合函数的定义，故②正确.
对③，由图知：，不符合函数的值域，故③错误；
对④，不符合函数定义，不是函数图象，故④错误.故答案为：②
【变式1-4】（2021·全国高一专题练习）有对应法则f：
（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；
（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；
（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；
（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；
（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.
其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．
【答案】（1）(4)
【详解】（1）由函数的定义知，正确；
（2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；
（3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（4）由函数的定义知，正确；
（5）因为集合A不是数集，故错误；故答案为：（1）(4)
高频考点2
.函数的定义域问题
【方法点拨】①根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式.
②已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.
【例2】（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由解析式有意义可得，故，故函数的定义域为故选：D.
【变式2-1】（2021·怀化市辰溪博雅实验学校高二月考）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：要使函数有意义，则，即，解得或.
所以函数的定义域为故选：D
【变式2-2】（2021·沙坪坝·重庆八中高二月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数的定义域是，
所以.
故选：D.
【变式2-3】（2022·全国高三专题练习）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：由题意可得，解得．
因为有定义，所以当时，由，得；
当时，由，得；
当时，，恒成立．
综上，实数的取值范围是．故选：D．
【变式2-4】（2022·全国高三专题练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为________.
【答案】.
【详解】的定义域为R，则恒成立，所以，
所以实数a的取值范围为.
高频考点3
.
求函数的解析式
【方法点拨】1）已知解析式类型，用待定系数法求解析式；2）未知解析式类型，用构造法求解析式；
【例3】（2021·全国）（1）若二次函数满足，，求.
（2）若对任意实数，均有，求.
（3）已知，求的解析式；
（4）已知，求的解析式.
【答案】（1）；（2）；（3），；（4），.
【详解】解：（1）因为二次函数满足；所以设，
则：；
因为，所以；
∴；∴；∴，；∴.
（2）∵（1）∴（2）
由得，∴.
（3）因为，所以，所以，
（4）因为，①
所以，②
消去解得，
【变式3-1】（2021·云南省楚雄天人中学高一月考）求下列函数的解析式
（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）若函数，求．
【答案】（1），；（2），.
【详解】（1）因为是一次函数，设，
则，所以，
则，解得，所以；
（2）由函数，令，则，
所以，所以.
【变式3-2】（2022·全国高三专题练习）已知，则满足的关系有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】因为，所以==，即不满足A选项；
==，=，即满足B选项，不满足C选项，
，，即满足D选项．故选：BD
【变式3-3】（2021·全国高一专题练习）已知二次函数满足，，则函数的最小值为__________．
【答案】．
【详解】为二次函数，可设，，
因为，
即，，解得，，令，则
，函数即为．的图象开口向上，图象的对称轴为直线，在上单调递增，，即的最小值为．故答案为：．
【变式3-4】（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知是一次函数，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，设函数，
因为，可得，解得，所以.故选：B.
高频考点4.
同一函数的判断
【方法点拨】对于给定的两个函数，分析两函数的定义域、对应关系是否相同，即可判断两函数是否是同一函数．
【例4】（2021·静宁县第一中学高三月考）下列各组函数是同一函数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【详解】A.
定义域为与定义域为R，故不是同一函数；
B.
定义域为R，
定义域为，故不是同一函数；
C.
与，解析式不同，故不是同一函数；
D.
因为，，定义域都为R，解析式相同，故是同一函数.故选：D
【变式4-1】（2021·藁城新冀明中学高三月考）下列四组函数中表示同一个函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B中，函数与的对应法则不同，所以两函数不是同一函数；
对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于D中，函数与的定义域与对应法则都相同，所以是同一函数.故选：D.
【变式4-2】（2021·云南）下列各组函数中为同一函数的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【详解】选项A,
的定义域是,
的定义域是,
两个函数对应关系不相同,
所以不是同一个函数,
选项A错误;
选项B,
的定义域是,
的定义域是,
两个函数对应关系也相同,
所以是同一个函数,
选项B正确;
选项C,
的定义域是,
的定义域是,
定义域不同,
不是同一个函数,
选项C错误;
选项D,
的定义域是,
的定义域是,
定义域不同,
不是同一个函数,
选项D错误.故选：B.
【变式4-3】（2021·福建三明一中高一期中）下列四组函数，表示同一函数的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【详解】对A，，对应关系不一致，故A错误；
对B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错误；
对C，和的对应关系不一致，故C错误；
对D，和的定义域都为，且，对应关系一致，故D正确.故选：D.
【变式4-4】（2021·黔西南州同源中学高一期中）下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（
）
①
②
③
A．①
B．②
C．③
D．以上都不是
【答案】D
【详解】解：对于（1），函数，与函数的定义域不同，不是同一函数；对于（2），函数，与函数或的定义域不同，不是同一函数；对于（3），函数，与函数的定义域不同，不是同一函数.故选：D.
高频考点5
.
函数的值域问题
【方法点拨】①已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，在由函数解析式求解；
②已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值或取值范围.
【例5】（2021·全国高一课时练习）求下列函数的值域
（1）；（2）；（3）；（4）；
【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）.
【详解】（1）由题意，函数可化为，可得定义域为，所以，可得，所以值域为.
（2）由函数，令，
则，所以函数值域为.
（3）由函数，
因为，可得且，所以且
所以函数的值域为且.
（4）由题意，函数，令，
解得，即函数的定义域为，
又由函数，
因为，，所以，
可得，即，所以函数的值域为.
【变式5-1】（2021·天津南开中学高三月考）已知定义在区间上的函数，其值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】，
当时，，，所以，所以，
当时，，所以，所以，所以，
所以在区间上的值域为，故选：C.
【变式5-2】（2021·浙江高一期末）函数的定义域是_________，函数的值域为__________．
【答案】
【详解】①由，得，解得，
故函数的定义域是.
②令，，则，
所以原函数可化为，其对称轴为，
所以函数在上单调递增，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：①；②
【变式5-3】（2021·金华市云富高级中学高一月考）函数的值域是（
）.
A．（﹣∞，2]
B．（0，+∞）
C．[2，+∞）
D．[0，2]
【答案】D
【详解】由，则，解得，
所以函数的定义域为，令，
当时，，所以，
所以函数的值域为[0，2].故选：D
【变式5-4】（2021·全国高一专题练习）已知函数，则的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为，所以所以，
即的值域是．故选：C
高频考点6
.
求函数值
【方法点拨】①已知函数解析式求函数值，将自变量代入解析式，求解即可．
②由函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解.
【例6】（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知函数，则的值为______．
【答案】2020
【详解】因为，
故答案为：2020．
【变式6-1】（2021·静宁县第一中学高三月考（理））已知函数则等于（
）
A．4
B．
C．
D．2
【答案】D
【详解】因为函数所以，
所以，故选：D
【变式6-2】（2021·天津南开中学高三月考）已知，则的值为__________，的值为__________．
【答案】98
97
【详解】由已知得：；
记，其中等号右端有个，
则
其中f右上角的数值代表的是f的个数，
注意从到这个过程中，的个数减少了2，
同样的推理可知：
故答案为：98，97
【变式6-3】（2021·汕头市潮南区陈店实验学校）设函数，则的值为_____
【答案】
【详解】，故答案为：
【变式6-4】（2021·广东高一单元测试）若函数，那么______．
【答案】15
【详解】令，则.当时，，即.故答案为：15.
高频考点7
.
函数的表示法
【方法点拨】根据函数的三种表示方法的特点，具体问题具体分析，用适合的表示法表示出函数关系.
【例7】（2021·河南商丘·高二月考）图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】水壶的结构：低端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下：
开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，由图可知选项A符合，故选：A
【变式7-1】（2021·吴江汾湖高级中学）已知函数分别由下表给出，则满足的为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】当时，，此时，
当时，，
此时，
当时，，此时，
不等式的解集为故选：C
【点睛】本题主要考查了函数的表示法：表格法，结合表格求函数的值，注意复合函数的求值，属于基础题．
【变式7-2】（2021·全国高一专题练习）如图所示是一个无水游泳池，是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与的交点为，则的高度随时间变化的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，
刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，
当水面经过点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，
故符合条件的函数图象为A选项中的图象.故选：A.
【变式7-3】（2021·全国高一专题练习）德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于的每一个值，
总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图像、表格还是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为（
）
1
2
3
4
5
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【详解】由题意知：，．故选D．
【变式7-4】（2021·全国高一专题练习）已知函数，.
（1）在平面直角坐标系里作出、的图象.（2），用表示、中的较小者，记作，请用图象法和解析法表示；（3）求满足的的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）.
【详解】（1），.则对应的图象如图：
（2）函数的图象如图：
解析式为；
（3）若，
则由图象知在点左侧，点右侧满足条件，此时对应的满足或，
即不等式的解集为.
高频考点8
.
分段函数
【方法点拨】
根据分段函数，分情况解决问题即可。
【例8】（2021·福建南平市·）已知函数，关于函数的结论正确的是（
）
A．的定义域为R
B．的值域为
C．若，则x的值是
D．的解集为
【答案】BC
【详解】函数，定义分和两段，定义域是，故A错误；
时，值域为，时，，值域为，故的值域为，故B正确；
由值的分布情况可知，在上无解，故，即，得到，故C正确；
时令，解得，时，令，解得，故的解集为，故D错误.故选：BC.
【变式8-1】（2021·山西）已知函数，关于函数f(x)的结论正确的是（
）
A．f(x)的定义域是R
B．f(x)的值域是
C．若
f(x)=3，则x的值为
D．f(x)图象与y=2有两个交点
【答案】BC
【详解】由函数知，定义域为，即，A错误；时，，时，，故，故值域为，B正确；
由分段的取值可知时，即，解得或（舍去），故C正确；
由分段的取值可知时，即，解得或（舍去），故f(x)图象与y=2有1个交点，故D错误.故选：BC.
【变式8-2】（2021·宜城市第三高级中学高一期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（
）
A．的定义域是
B．的值域是
C．为单调递增函数
D．若，则
【答案】ABC
【详解】因为，所以函数的定义域为R，故A正确；
当时，，当时，，所以的值域为R，故B正确;
当时，为增函数，当时，为增函数，且连续
故为R上的增函数,故C正确；
当时，若，则，解得，舍去，若时，，解得或舍去，故，故D不正确.故选：ABC
【变式8-3】（2021·湖北黄冈·高二期末）设，若是的最小值，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当时，（当且仅当时取等号）
当时，
当时，在上的最小值为，不合题意
当时，在上单调递减
是在上的最小值
且
本题正确选项：
【变式8-4】（2021·广东高一单元测试）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（
）
A．的值域为
B．的定义域为
C．
D．任意一个非零有理数，
对任意恒成立
【答案】BCD
【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确；
因为函数，所以的定义城为，故B正确；
因为，所以，故C正确；
对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，故选：BCD.
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·沙坪坝·重庆八中高三开学考试）已知函数定义域为，则函数定义域为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数需满足，解得．故选：A
2．（2021·四川省蒲江县蒲江中学高一月考）在下列四组函数中，表示同一函数的是（
）
A．，，，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【详解】A．两个函数的定义域都为，但两个函数的解析式不相同，即对应法则不一样，故不表示同一函数；B．的定义域为，的定义域为或，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；C．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；D．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，对应法则相同，故表示同一函数．故选：D．
3．（2021·抚顺市雷锋高级中学高一期中）已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意.故选：A
4．（2021·佛山市南海区里水高级中学高一月考）函数的图象如图所示，则的解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据图象可知，函数f（x）的图象是由两条直线构成，设f（x）＝kx+b，
当x≥0时，图象过（0，1）和（1，0）．可得f（x）＝﹣x+1，
当x＜0时，图象过（0，1）和（﹣1，0）．可得f（x）＝x+1，
∴可得f（x）在R上的解析式为f（x）＝﹣|x|+1．故选：C．
5．（2021·全国高一专题练习）德国数学家迪利克雷在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数”.这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，都有一个确定的与之对应，不管这个数对应法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数由下表给出，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】，，则，.
又，.故选：D
6．（2022·全国高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由抽象函数的定义域可知，，解得，
所以所求函数的定义域为.故选A.
7．（2020·石家庄市第十七中学高一月考）我们规定：与函数的解析式相同，值域相同但定义域不同的函数叫的“孪生函数”，那么解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】根据题意，结合一元二次方程直接求解定义域，即可得到正确选项.
【详解】根据题意，令，解得，令，解得，
故解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”定义域为或，因此只有2个.故选：B.
8．（2021·陕西延安市·）狄利克雷函数是数学中非常有名且很重要的一个函数.它的定义如下：，则关于狄利克雷函数的说法错误的一项是（
）
A．定义域为R
B．值域为
C．是偶函数
D．对定义域内任意都有
【答案】B
【详解】则函数定义域为R，A正确；值域为B错误；
，是偶函数，C正确；
，D正确.故选B
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·全国高一课时练习）集合，下列表示从到的函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】由题意，集合，
对于A中，，当时，则，可得表示从到的函数；
对于B中，，当时，则，可得表示从到的函数；
对于C中，，当时，则，可得不能表示从到的函数；
对于D中，，当时，则，可得表示从到的函数.故选：ABD
10．（2021·全国高一课时练习）以下各组函数不是同一个函数的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABD
【详解】对于A.因为，，它们的对应关系不相同，所以它们不是同一个函数；对于B.因为函数的定义域为，的定义域为，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；
对于C.当时，为奇数，则，，它们的定义域及对应关系都相同，所以它们是同一个函数；
对于D.因为函数的定义域为，的定义域为，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数.
故选：ABD.
11．（2020·河北正定中学高一月考）若函数的值域是，则实数的可能取值是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】CD
【详解】令，要使值域包括0，即最小值小于等于0．
那么：，解得．故选：CD．
12．（2021·全国高一专题练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（
）
A．的定义域为
B．的值域为
C．
D．若，则x的值是
E.的解集为
【答案】BD
【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误；
当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；当时，，故C错误；
当时，，解得（舍去），当时，，解得或（舍去），故D正确；
当时，，解得，当时，，解得，因此的解集为；故E错误.故选：BD.
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·河北正定中学高一月考）若函数，则______．
【答案】0
【详解】因为函数
所以．故答案为：0
14．（2021·天津南开中学高三模拟预测）函数在上的值域为___________.
【答案】
【详解】，
因为，所以，所以，则，
所以，所以，即，
所以函数的值域为，故答案为：
15．（2021·全国）已知函数是一次函数，满足，则的解析式____
【答案】或
【详解】解：设，由题意可知，
所以，解得或，所以或.
故答案为：或
16．（2021·南通市海门实验学校高一月考）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】因为函数的定义域为
R，所以的解为R，
即函数的图象与x轴没有交点，
（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；
（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.综上：实数的取值范围是.故答案为：
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17.
（2021·广东省高一月考）已知函数y＝|x+1|+|1﹣x|．
（1）用分段函数形式写出函数的解析式；（2）画出该函数的大致图象．
【解题】（1）由x+1＝0，得出x＝﹣1．由x﹣1＝0，x＝1．只要分x＜﹣1，﹣1≤x≤1，x＞1分别去掉绝对值符号，写出y的表达式即可．（2）根据（1）画出草图如下图．
【解答】解：（1）函数y＝|x+1|+|1﹣x|
（2）据（1）的函数的解析式画出图象如图所示：
18．（2021·全国高一专题练习）已知f(x)=(x∈R，x≠-2)，g(x)=x2+1(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值；(3)作出f(x)，g(x)的图象，并求函数的值域.
【答案】(1)，5；(2)；(3)图见解析，f(x)的值域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g(x)的值域为[1，+∞).
【详解】(1)f(2)==，g(2)=22+1=5；
(2)g(3)=32+1=10，f(g(3))=f(10)==；
(3)函数f(x)的图象如图：
函数g(x)的图象如图：
观察图象得f(x)的值域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g(x)的值域为[1，+∞).
19．（2021·全国高一课时练习）已知函数；
（1）求，的值．（2）求证：是定值．
（3）求的值．
【答案】（1）1；1；（2）证明见解析；（3）2018.
【详解】解：(1)因为，
所以
(2)证明：.
(3)由(2)知，所以，
所以＝2018.
20．（2021·辽宁省建昌县高级中学高一月考）已知函数
（1）求的定义域，值域；（2）求；（3）解不等式.
【答案】（1）定义域为，值域为；（2）；（3）
【详解】（1）f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪.易知f(x)在(0,1)上为增函数，在上为减函数，∴当x＝1时，，又f(0)＝0，，∴值域为.
（2），.
（3）f(x＋1)>等价于①或
②或③
解①得∴f(x＋1)>
的解集为.
21．（2021·全国高一专题练习）已知函数，，．
（1）在图中画出函数，的图象；（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
【答案】（1）图象见解析；（2）；图象见解析.
【详解】（1），的图象如下图所示：
（2）当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述：.图象如下图所示：
22．（2021·全国高一专题练习）根据下列条件，求函数的解析式；
（1）已知是一次函数，且满足；
（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；
（3）已知；
（4）已知等式对一切实数?都成立，且；
（5）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立；
（6）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6）．
【详解】（1）设，则
所以解得：所以；
（2）设
，解得：
（3）
，令，由双勾函数的性质可得或，
，或
（4）因为对一切实数?都成立，且
令则，又因为
所以，即
（5）将代入等式得出，
联立，变形得：，解得
（6）由题意得：定义域为,
设，则
．
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3.1
函数的概念及其表示
【学习要求】
1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
【思维导图】
【知识梳理】
1．函数的概念
定义
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值集合
值域
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.
【注】(1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．
(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．
(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．
2．区间及有关概念
(1)一般区间的表示．设a，b∈R，且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
(2)特殊区间的表示.
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
【注】(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．
(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．
3.函数的表示法
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式
图象法
以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法
列表法
列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法
【注】三种表示法的优缺点如下表：
表示法
优点
缺点
解析法
简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值
不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式
图象法
能形象直观地表示变量的变化情况
只能近似地求出自变量所对应的函数值
列表法
不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值
只能表示有限个数的自变量所对应的函数值
4.
分段函数
所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．
【注】分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
【高频考点】
高频考点1.
对函数概念的理解
【方法点拨】对于给定的对应关系，判断是否满足函数的概念，即可判断对应关系是否是函数.
【例1】（2021·上海高一专题练习）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（
）
A．①②③④
B．①②③
C．②③
D．②
【变式1-1】（2021·全国高一课时练习）下列对应是从集合到集合的函数的是（
）
A．，，对应关系:对集合中的元素取绝对值与中元素对应
B．，，对应关系:，，
C．，，对应关系:，，
D．A={x|x三角形}，，对应关系:对中元素求面积与中元素对应
【变式1-2】（2021·广东高一单元测试）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2021·太原市第五十六中学校高二月考）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的序号有______．
【变式1-4】（2021·全国高一专题练习）有对应法则f：
（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；
（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；
（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；
（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；
（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.
其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．
高频考点2
.函数的定义域问题
【方法点拨】①根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式.
②已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.
【例2】（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2021·怀化市辰溪博雅实验学校高二月考）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2021·沙坪坝·重庆八中高二月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2022·全国高三专题练习）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】（2022·全国高三专题练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为________.
高频考点3
.
求函数的解析式
【方法点拨】1）已知解析式类型，用待定系数法求解析式；2）未知解析式类型，用构造法求解析式；
【例3】（2021·全国）（1）若二次函数满足，，求.
（2）若对任意实数，均有，求.
（3）已知，求的解析式；
（4）已知，求的解析式.
【变式3-1】（2021·云南省楚雄天人中学高一月考）求下列函数的解析式
（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）若函数，求．
【变式3-2】（2022·全国高三专题练习）已知，则满足的关系有（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2021·全国高一专题练习）已知二次函数满足，，则函数的最小值为__________．
【变式3-4】（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知是一次函数，，则（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点4.
同一函数的判断
【方法点拨】对于给定的两个函数，分析两函数的定义域、对应关系是否相同，即可判断两函数是否是同一函数．
【例4】（2021·静宁县第一中学高三月考）下列各组函数是同一函数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【变式4-1】（2021·藁城新冀明中学高三月考）下列四组函数中表示同一个函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2021·云南）下列各组函数中为同一函数的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式4-3】（2021·福建三明一中高一期中）下列四组函数，表示同一函数的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式4-4】（2021·黔西南州同源中学高一期中）下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（
）
①
②
③
A．①
B．②
C．③
D．以上都不是
高频考点5
.
函数的值域问题
【方法点拨】①已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，在由函数解析式求解；
②已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值或取值范围.
【例5】（2021·全国高一课时练习）求下列函数的值域
（1）；（2）；（3）；（4）；
【变式5-1】（2021·天津南开中学高三月考）已知定义在区间上的函数，其值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2021·浙江高一期末）函数的定义域是_________，函数的值域为__________．
【变式5-3】（2021·金华市云富高级中学高一月考）函数的值域是（
）.
A．（﹣∞，2]
B．（0，+∞）
C．[2，+∞）
D．[0，2]
【变式5-4】（2021·全国高一专题练习）已知函数，则的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点6
.
求函数值
【方法点拨】①已知函数解析式求函数值，将自变量代入解析式，求解即可．
②由函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解.
【例6】（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知函数，则的值为______．
【变式6-1】（2021·静宁县第一中学高三月考（理））已知函数则等于（
）
A．4
B．
C．
D．2
【变式6-2】（2021·天津南开中学高三月考）已知，则的值为__________，的值为__________．
【变式6-3】（2021·汕头市潮南区陈店实验学校）设函数，则的值为_____
【变式6-4】（2021·广东高一单元测试）若函数，那么______．
高频考点7
.
函数的表示法
【方法点拨】根据函数的三种表示方法的特点，具体问题具体分析，用适合的表示法表示出函数关系.
【例7】（2021·河南商丘·高二月考）图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（2021·吴江汾湖高级中学）已知函数分别由下表给出，则满足的为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式7-2】（2021·全国高一专题练习）如图所示是一个无水游泳池，是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与的交点为，则的高度随时间变化的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】（2021·全国高一专题练习）德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于的每一个值，
总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图像、表格还是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为（
）
1
2
3
4
5
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式7-4】（2021·全国高一专题练习）已知函数，.
（1）在平面直角坐标系里作出、的图象.（2），用表示、中的较小者，记作，请用图象法和解析法表示；（3）求满足的的取值范围.
高频考点8
.
分段函数
【方法点拨】
根据分段函数，分情况解决问题即可。
【例8】（2021·福建南平市·）已知函数，关于函数的结论正确的是（
）
A．的定义域为R
B．的值域为
C．若，则x的值是
D．的解集为
【变式8-1】（2021·山西）已知函数，关于函数f(x)的结论正确的是（
）
A．f(x)的定义域是R
B．f(x)的值域是
C．若
f(x)=3，则x的值为
D．f(x)图象与y=2有两个交点
【变式8-2】（2021·宜城市第三高级中学高一期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（
）
A．的定义域是
B．的值域是
C．为单调递增函数
D．若，则
【变式8-3】（2021·湖北黄冈·高二期末）设，若是的最小值，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-4】（2021·广东高一单元测试）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（
）
A．的值域为
B．的定义域为
C．
D．任意一个非零有理数，
对任意恒成立
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·沙坪坝·重庆八中高三开学考试）已知函数定义域为，则函数定义域为（
）．
A．
B．
C．
D．
2．（2021·四川省蒲江县蒲江中学高一月考）在下列四组函数中，表示同一函数的是（
）
A．，，，
B．，
C．，
D．，
3．（2021·抚顺市雷锋高级中学高一期中）已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·佛山市南海区里水高级中学高一月考）函数的图象如图所示，则的解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·全国高一专题练习）德国数学家迪利克雷在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数”.这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，都有一个确定的与之对应，不管这个数对应法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数由下表给出，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·全国高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·石家庄市第十七中学高一月考）我们规定：与函数的解析式相同，值域相同但定义域不同的函数叫的“孪生函数”，那么解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．（2021·陕西延安市·）狄利克雷函数是数学中非常有名且很重要的一个函数.它的定义如下：，则关于狄利克雷函数的说法错误的一项是（
）
A．定义域为R
B．值域为
C．是偶函数
D．对定义域内任意都有
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·全国高一课时练习）集合，下列表示从到的函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2021·全国高一课时练习）以下各组函数不是同一个函数的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
11．（2020·河北正定中学高一月考）若函数的值域是，则实数的可能取值是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
12．（2021·全国高一专题练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（
）
A．的定义域为
B．的值域为
C．
D．若，则x的值是
E.的解集为
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·河北正定中学高一月考）若函数，则______．
14．（2021·天津南开中学高三模拟预测）函数在上的值域为___________.
15．（2021·全国）已知函数是一次函数，满足，则的解析式____
16．（2021·南通市海门实验学校高一月考）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17.
（2021·广东省高一月考）已知函数y＝|x+1|+|1﹣x|．
（1）用分段函数形式写出函数的解析式；（2）画出该函数的大致图象．
18．（2021·全国高一专题练习）已知f(x)=(x∈R，x≠-2)，g(x)=x2+1(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值；(3)作出f(x)，g(x)的图象，并求函数的值域.
19．（2021·全国高一课时练习）已知函数；
（1）求，的值．（2）求证：是定值．
（3）求的值．
20．（2021·辽宁省建昌县高级中学高一月考）已知函数
（1）求的定义域，值域；（2）求；（3）解不等式.
21．（2021·全国高一专题练习）已知函数，，．
（1）在图中画出函数，的图象；（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
22．（2021·全国高一专题练习）根据下列条件，求函数的解析式；
（1）已知是一次函数，且满足；
（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；
（3）已知；
（4）已知等式对一切实数?都成立，且；
（5）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立；
（6）已知，求的解析式．
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精品试卷·第
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