2021-2022学年华东师大九年级上册数学《第24章 解直角三角形》单元测试卷（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年华东师大九年级上册数学《第24章 解直角三角形》单元测试卷（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 299.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-22 22:42:28 | ||
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文档简介
2021-2022学年华东师大九年级上册数学《第24章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A．2
B．2.4
C．2.6
D．3
2．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么cosA的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，则CD的长是（ ）
A．
B．6
C．
D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，AC＝6，CD⊥AB于D，则AD的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这个锐角的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．40°
7．直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是（ ）
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
8．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（ ）
A．38°
B．39°
C．51°
D．52°
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝3，AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，则BC的长为（ ）
A．12
B．3+3
C．6+3
D．6
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA＝
B．cosB＝
C．tanA＝2
D．tanB＝
二．填空题
11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝4，BC＝10，则△EFM的周长是
．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝3，BD＝6，CD的长为
．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD为边AB上的高，如果AD＝2，DB＝4，那么边AC的长是
．
14．直角三角形中，其中一个锐角为40°，则另一个锐角的度数为
．
15．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，DA＝DB＝3，则AC的长为
．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则AC的长为
．
17．如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值是
．
18．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F，∠AEF＝65°，那么∠CAE＝
．
19．如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是
．
20．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为
．
三．解答题
21．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的长．
22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且CD⊥AB．
（1）求证：AC2＝AB?AD；
（2）若△ABC为任意三角形，试问：在AB边上（不包括A、B两个顶点）是否仍存在一点D，使AC2＝AB?AD，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC边上的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于E．
求：（1）∠BCD的度数；
（2）若DE＝3，求AB的长．
24．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；
（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．
25．如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
26．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF交于点D，∠F＝50°，∠C＝30°，求∠EDF和∠DBA的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：连接AP，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴AP最短时，AP＝4.8
∴当AM最短时，AM＝＝2.4．
故选：B．
2．解：sinA＝＝，
故选：A．
3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝＝5，
∴cosA＝＝，
故选：B．
4．解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，
∴由射影定理得：CD2＝BD?AD＝9×4＝36，
∴CD＝6（舍去负值）．
故选：B．
5．解：由射影定理得，AC2＝AD?AB，
则AD＝＝2，
故选：B．
6．解：设一个锐角的度数为x，则另一个锐角的度数为x，
则x+x＝90°，
解得，x＝60°，
故选：C．
7．解：设这个锐角度数是x，则另一个锐角度数是（90﹣x）°，
由题意得，x＝4（90﹣x），
解得x＝72°，
所以，这个锐角的度数是72°．
故选：D．
8．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°，
∴∠A＝51°，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝51°，
故选：C．
9．解：∵AB的中垂线l交BC于点D，
∴AD＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝30°，
∵∠C＝90°，AC＝3，
∴AD＝6，CD＝．
BC＝BD+CD＝6+3
故选：C．
10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，
所以BC＝＝4，
所以sinA＝＝＝＝cosB，
tanA＝＝＝2，
tanB＝＝＝，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8，
∴在Rt△BCE中，EM＝BC＝5，
在Rt△BCF中，FM＝BC＝5，
又∵EF＝4，
∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝5+5+4＝14．
故答案是：14．
12．解：由射影定理得，CD2＝AD?BD＝18，
解得，CD＝3，
故答案为：3．
13．解：由射影定理得，AC2AD?AB＝2×（2+4）＝12，
∴AC＝2，
故答案为：2．
14．解：∵直角三角形一个锐角为40°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°．
15．解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵DA＝DB＝3，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴DC＝2DB＝6，
∴AC＝AD+CD＝3+6＝9．
故答案为：9．
16．解：∵cosB＝，
∴＝，
∵AB＝6，
∴BC＝4，
∴AC＝＝2，
故答案为：2．
17．解：连接BC，
根据勾股定理，可求得AB＝，BC＝，AC＝，
根据勾股定理的逆定理，可得∠ABC＝90°，
∴sin∠BAD＝＝＝．
故答案为：．
18．解：∵AB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F，
∴AF＝BF，EF⊥AB，
∴AE＝BE，
∴∠BEF＝∠AEF＝65°，
∴∠AEB＝130°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAE＝∠AEB﹣∠C＝40°，
故答案为：40°．
19．解：连接AC，
根据勾股定理，AC2＝12+12＝2；AC＝；
OC2＝22+22＝8；OC＝2；
OA2＝32+12＝10；
于是OC2+AC2＝OA2．
故三角形AOC为直角三角形．
tan∠AOB＝＝＝．
故答案为．
20．解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝54°，
∵∠3＝∠2+∠A，
∴∠A＝54°﹣24°＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
故答案为60°．
三．解答题
21．解：由射影定理得，AB2＝BD?BC，
则BD＝＝1.6．
22．（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AB?AD；
（2）解：存在，
理由：如图，
过C作∠ACD＝∠B交AB于D，
则AC2＝AB?AD，
证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AB?AD．
23．解：（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，
∴CD＝AD，DE⊥AC，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，
（2）∵∠B＝60°
∴∠BCD＝∠B＝60°
∴BD＝CD，
∴BD＝CD＝AD＝AB，
∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，
∴AD＝2DE＝6，
∴AB＝2AD＝12．
24．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG＝20°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝90°，
∵DG平分∠ADE，
∴∠CDF＝45°，
∴∠CFD＝45°，
∴∠BFD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠G＝180°﹣20°﹣135°＝25°；
（2）如图2，∠A＝2∠G，理由是：
由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，
设∠ABG＝x，∠CDF＝y，
∵∠ACB＝∠DCF，
∴∠A+∠ABC＝∠CDF+∠CFD，即∠A+2x＝2y，
∴y＝，
同理得∠A+∠ABG＝∠G+∠CDF，
∴∠A+x＝∠G+y，即∠A+x＝∠G++x，
∴∠A＝2∠G；
（3）如图3，∵EF∥AD，
∴∠DFE＝∠CDF，
由（2）得：∠CFD＝∠CDF，
△FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG＝180°，∠BFG+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠G+∠FBG，
∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G＝+∠G．
25．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，
∵∠1＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝＝4.8．
26．解：∵CE⊥AF，
∴∠FED＝90°，
∵∠F＝50°，
∴∠EDF＝90°﹣∠F＝90°﹣50°＝40°，
∴∠CDB＝∠EDF＝40°，
∵∠C＝30°，
∴∠DBA＝∠C+∠CDB＝30°+40°＝70°，
即∠EDF＝40°，∠DBA＝70°．
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A．2
B．2.4
C．2.6
D．3
2．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么cosA的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，则CD的长是（ ）
A．
B．6
C．
D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，AC＝6，CD⊥AB于D，则AD的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这个锐角的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．40°
7．直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是（ ）
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
8．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（ ）
A．38°
B．39°
C．51°
D．52°
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝3，AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，则BC的长为（ ）
A．12
B．3+3
C．6+3
D．6
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA＝
B．cosB＝
C．tanA＝2
D．tanB＝
二．填空题
11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝4，BC＝10，则△EFM的周长是
．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝3，BD＝6，CD的长为
．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD为边AB上的高，如果AD＝2，DB＝4，那么边AC的长是
．
14．直角三角形中，其中一个锐角为40°，则另一个锐角的度数为
．
15．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，DA＝DB＝3，则AC的长为
．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则AC的长为
．
17．如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值是
．
18．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F，∠AEF＝65°，那么∠CAE＝
．
19．如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是
．
20．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为
．
三．解答题
21．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的长．
22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且CD⊥AB．
（1）求证：AC2＝AB?AD；
（2）若△ABC为任意三角形，试问：在AB边上（不包括A、B两个顶点）是否仍存在一点D，使AC2＝AB?AD，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC边上的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于E．
求：（1）∠BCD的度数；
（2）若DE＝3，求AB的长．
24．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；
（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．
25．如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
26．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF交于点D，∠F＝50°，∠C＝30°，求∠EDF和∠DBA的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：连接AP，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴AP最短时，AP＝4.8
∴当AM最短时，AM＝＝2.4．
故选：B．
2．解：sinA＝＝，
故选：A．
3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝＝5，
∴cosA＝＝，
故选：B．
4．解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，
∴由射影定理得：CD2＝BD?AD＝9×4＝36，
∴CD＝6（舍去负值）．
故选：B．
5．解：由射影定理得，AC2＝AD?AB，
则AD＝＝2，
故选：B．
6．解：设一个锐角的度数为x，则另一个锐角的度数为x，
则x+x＝90°，
解得，x＝60°，
故选：C．
7．解：设这个锐角度数是x，则另一个锐角度数是（90﹣x）°，
由题意得，x＝4（90﹣x），
解得x＝72°，
所以，这个锐角的度数是72°．
故选：D．
8．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°，
∴∠A＝51°，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝51°，
故选：C．
9．解：∵AB的中垂线l交BC于点D，
∴AD＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝30°，
∵∠C＝90°，AC＝3，
∴AD＝6，CD＝．
BC＝BD+CD＝6+3
故选：C．
10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，
所以BC＝＝4，
所以sinA＝＝＝＝cosB，
tanA＝＝＝2，
tanB＝＝＝，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8，
∴在Rt△BCE中，EM＝BC＝5，
在Rt△BCF中，FM＝BC＝5，
又∵EF＝4，
∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝5+5+4＝14．
故答案是：14．
12．解：由射影定理得，CD2＝AD?BD＝18，
解得，CD＝3，
故答案为：3．
13．解：由射影定理得，AC2AD?AB＝2×（2+4）＝12，
∴AC＝2，
故答案为：2．
14．解：∵直角三角形一个锐角为40°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°．
15．解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵DA＝DB＝3，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴DC＝2DB＝6，
∴AC＝AD+CD＝3+6＝9．
故答案为：9．
16．解：∵cosB＝，
∴＝，
∵AB＝6，
∴BC＝4，
∴AC＝＝2，
故答案为：2．
17．解：连接BC，
根据勾股定理，可求得AB＝，BC＝，AC＝，
根据勾股定理的逆定理，可得∠ABC＝90°，
∴sin∠BAD＝＝＝．
故答案为：．
18．解：∵AB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F，
∴AF＝BF，EF⊥AB，
∴AE＝BE，
∴∠BEF＝∠AEF＝65°，
∴∠AEB＝130°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAE＝∠AEB﹣∠C＝40°，
故答案为：40°．
19．解：连接AC，
根据勾股定理，AC2＝12+12＝2；AC＝；
OC2＝22+22＝8；OC＝2；
OA2＝32+12＝10；
于是OC2+AC2＝OA2．
故三角形AOC为直角三角形．
tan∠AOB＝＝＝．
故答案为．
20．解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝54°，
∵∠3＝∠2+∠A，
∴∠A＝54°﹣24°＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
故答案为60°．
三．解答题
21．解：由射影定理得，AB2＝BD?BC，
则BD＝＝1.6．
22．（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AB?AD；
（2）解：存在，
理由：如图，
过C作∠ACD＝∠B交AB于D，
则AC2＝AB?AD，
证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AB?AD．
23．解：（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，
∴CD＝AD，DE⊥AC，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，
（2）∵∠B＝60°
∴∠BCD＝∠B＝60°
∴BD＝CD，
∴BD＝CD＝AD＝AB，
∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，
∴AD＝2DE＝6，
∴AB＝2AD＝12．
24．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG＝20°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝90°，
∵DG平分∠ADE，
∴∠CDF＝45°，
∴∠CFD＝45°，
∴∠BFD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠G＝180°﹣20°﹣135°＝25°；
（2）如图2，∠A＝2∠G，理由是：
由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，
设∠ABG＝x，∠CDF＝y，
∵∠ACB＝∠DCF，
∴∠A+∠ABC＝∠CDF+∠CFD，即∠A+2x＝2y，
∴y＝，
同理得∠A+∠ABG＝∠G+∠CDF，
∴∠A+x＝∠G+y，即∠A+x＝∠G++x，
∴∠A＝2∠G；
（3）如图3，∵EF∥AD，
∴∠DFE＝∠CDF，
由（2）得：∠CFD＝∠CDF，
△FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG＝180°，∠BFG+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠G+∠FBG，
∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G＝+∠G．
25．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，
∵∠1＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝＝4.8．
26．解：∵CE⊥AF，
∴∠FED＝90°，
∵∠F＝50°，
∴∠EDF＝90°﹣∠F＝90°﹣50°＝40°，
∴∠CDB＝∠EDF＝40°，
∵∠C＝30°，
∴∠DBA＝∠C+∠CDB＝30°+40°＝70°，
即∠EDF＝40°，∠DBA＝70°．