2021-2022学年九年级数学北师大版上册1.1菱形的性质与判定同步优生辅导训练（word解析版）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
同步优生辅导训练（附答案）
一、选择题
1．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（　　）
A．3cm
B．4cm
C．4.8cm
D．5cm
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　）
A．（4，5）
B．（5，4）
C．（4，4）
D．（5，3）
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8．P是AB边上的一点，E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为（　　）
A．8
B．2
C．4
D．2
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝13，对角线AC＝10，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　）
A．8
B．
C．
D．
5．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（　　）
A．60°
B．55°
C．45°
D．30°
6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（　　）
A．1
B．2
C．2
D．4
7．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　　）
A．8
B．12
C．16
D．32
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝8，S菱形ABCD＝96，则OE的长为（　　）
A．2
B．2
C．6
D．8
9．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有（　　）
A．AC⊥BD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．∠1＝∠2
10．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD；
其中正确结论的是（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，AB＝13cm，AC＝24cm，E，F分别是CD和BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为　
　cm．
12．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，若AF＝1，则菱形ABCD的面积等于　
　．
13．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，连接OE，则OE长为　
　．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为　
　．
15．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝　
　度．
16．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝6，则菱形ABCD的周长为　
　．
17．已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC＝AB，请对△ABC添加一个条件：　
　，使得四边形BCDE成为菱形．
三、解答题
18．已知：平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．E是AD的中点，连接OE并延长至F使得OE＝EF，连接FD，FC，FC交BD于点G．
求证：（1）△FGD≌△CGO；
（2）当AB与AC有怎样的数量关系时，四边形FOCD是菱形，并说明理由．
19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由．
20．如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，
∴AC＝8cm，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4cm，
故选：B．
2．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴DO＝4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故选：B．
3．解：如图连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝8，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BA＝AD＝8，
∵PE＝ED，PF＝FB，
∴EF＝BD＝4．
故选：C．
4．解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝×10＝5，
∵AB＝13＝BC，
由勾股定瑆得：OB＝＝＝12，
∴BD＝2OB＝24，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD＝BC?AE＝AC?BD，
13AE＝×10×24，
AE＝，
故选：C．
5．解：如图，连接AC，
∵AE⊥BC，点E是BC的中点，
∴AB＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAE＝30°，
同理可得∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝30°+30°＝60°．
故选：A．
6．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝＝＝，
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积是：AE?BC＝2．
故选：C．
7．解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD，
∵面积为28，
∴AC?BD＝2OD?AO＝28
①
∵菱形的边长为6，
∴OD2+OA2＝36
②，
由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD?AO＝36+28＝64．
∴OD+AO＝8，
∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝16，
∵S菱形ABCD═AC×BD＝96，
∴AC＝12，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝6，
故选：C．
9．解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．
B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．
故选：C．
10．解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE＝AB，
∴∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中点，
∴HF＝BC，
∵BC＝AB，AB＝BD，
∴HF＝BD，故④说法正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE不是菱形；
故②说法不正确；
∴AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③说法正确，
故选：C．
11．解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13cm，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13cm，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24cm，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12cm，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
∵OB＝OD＝＝＝5（cm），
∴BD＝2OD＝10（cm），
∴EG＝BD＝10（cm），
故答案为：10．
12．解：连接DB，
∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，
∴∠AEF＝90°，AB＝2AE，
∵菱形ABCD中，∠BAD＝60°，
∴∠FAE＝30°，
∴AE＝，
∵菱形ABCD中，∠BAD＝60°，
∴AD＝AB，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB＝AB＝2AE＝，
∴AC＝2AO＝，
∴菱形ABCD的面积＝，
故答案为：
13．解：∵四边形
ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°．OB＝OD，AO＝CO，
∵AB＝2，
∴OB＝1，AO＝OC＝，
∴DB＝2，
∵CE∥DB，
∴四边形
DBEC是平行四边形．
∴CE＝DB＝2，∠ACE＝90°，
∴OE＝＝＝，
故答案为：．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD＝2，
∴∠AOB＝90°，
∵E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC＝2EF＝2，
∴OA＝，
∴AB＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4；
故答案为：4．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°，
∵DH⊥AB，
∴OH＝BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO＝＝25°，
故答案为：25．
16．解：菱形ABCD中，AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．
故答案为：24．
17．解：添加一个条件：AB＝2BC，可使得四边形BCDE成为菱形．理由如下：
∵DC＝AB，E为AB的中点，
∴CD＝BE＝AE．
又∵DC∥AB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AB＝2BC，
∴BE＝BC，
∴四边形BCDE是菱形．
故答案为：AB＝2BC．
18．（1）证明：在△ACD中，点O，E分别为边AC，AD中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴OE∥CD，，
又∵，
∴OF∥CD，OF＝CD，
∴四边形OCDF为平行四边形，
∴FD∥OC，FD＝OC，
∴∠GFD＝∠GCO，∠GDF＝∠GOC，
∴△FGD≌△HGO（ASA）；
（2）解：当时，四边形FOCD是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，OC＝AC，
∵AB＝AC，
∴AB＝CD＝OC，
由（1）得：四边形OCDF为平行四边形，
∴平行四边形FOCD是菱形，
19．（1）证明：∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE＝∠CFE，
∴OD＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OB＝CF，
在△FCE和△BOE中，
，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）解：当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形；理由如下：
∵∠ADC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCFD为菱形．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DAE＝∠C，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
∵DF∥BE，DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
在Rt△ADB中，
∵E为AB的中点，
∴BE＝DE，
∴四边形DEBF是菱形．